第四章因式分解单元测试卷-2025-2026学年北师大版数学八年级下学期.

2025-2026学年八年级下学期数学单元测试卷 （测试范围：因式分解） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做因式分解，逐一判断各选项即可. 【详解】解：A选项是整式乘法，结果为和的形式，不是因式分解； B选项，结果为和的形式，不是几个整式的积，不是因式分解； C选项，将多项式化为两个整式的积的形式，符合因式分解的定义，是因式分解； D选项，结果为和的形式，不是几个整式的积，不是因式分解. 2．多项式各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，二者相乘得到公因式即可解题． 【详解】解：多项式各项的公因式是． 3．若因式分解的结果为，则“”是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方差公式计算，对比原式即可求出的值． 【详解】解：， ∵， ∴， 等式两边同时消去，得， ∴． 4．下列各式中，能用平方差公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据能用平方差公式因式分解的多项式的条件判断，条件为：多项式共两项，两项都可写成平方的形式，且两项符号相反． 【详解】解： A、∵是两项，两项均为平方项，且符号相反，符合平方差公式因式分解的要求，可分解为，∴A正确； B、∵中不是平方项，不符合要求，∴B错误； C、∵中不是平方项，且两项符号相同，不符合要求，∴C错误； D、∵是三项多项式，不符合要求，∴D错误． 5．在多项式①；②；③；④，能用完全平方公式因式分解的有（   ） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】C 【分析】本题根据完全平方公式的结构特征，逐一判断四个多项式是否符合结构，即可得出结果． 【详解】解：① ， 故①可以用完全平方公式因式分解． ② ，不符合完全平方公式结构，故②不能用完全平方公式因式分解． ③ ，不符合完全平方公式的结构特征，故③不能用完全平方公式因式分解． ④，故④可以用完全平方公式因式分解． 综上，能用完全平方公式因式分解的是①④． 6．已知，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】利用平方差公式分解原式，再代入已知条件逐步化简即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴ ． 7．已知个正实数，，，···，满足，其中q是不为1的正数．则，与的大小关系为（   ） A．大于 B．等于 C．小于 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查多项式大小比较及因式分解，根据表示出两个式子，再将两式相减比较即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∵q是不为1的正数，， ∴ ∴， 故选：A． 8．如图1，用1块正方形地砖铺在正方形的台面上，未能完全覆盖．如图2，用4块同样的正方形地砖铺在这个正方形的台面上，会有一部分超出台面，超出台面部分的面积为．若地砖与台面的边长均为整数（单位：），则台面与这种型号的地砖边长相差（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方形地砖的边长为，正方形台面的边长为，根据用4块同样的正方形地砖铺在这个正方形的台面上，超出台面部分的面积为，得到，进而得到，再根据地砖与台面的边长均为整数结合，可得，解方程组即可解答． 【详解】解：设正方形地砖的边长为，正方形台面的边长为， 根据题意，得，则， ∵地砖与台面的边长均为整数，且， ∴， 解得， 则， ∴台面与这种型号的地砖边长相差． 9．计算：的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分解因式的运用，先将分子进行因式分解，再化简即可求解，熟练掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键． 【详解】原式 ， 故选：C． 10．把多项式因式分解，下列步骤中，开始出现错误的一步是（   ） 解：原式 ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的方法，重点考查提取公因式法中的符号处理，能准确识别因式分解过程中的错误是解题的关键． 检查因式分解每一步的符号和变形，发现步骤①将原式的负号错误改为正号，导致后续步骤基于错误表达式进行． 【详解】解：原式为， ∵， ∴正确变形应为， 但步骤①写为，符号错误， ∴ 开始出现错误的一步是①． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．分解因式：____． 【答案】 【分析】先用十字相乘法对进行因式分解，用提公因式法对因式分解，再将分解为，最后将整体利用十字相乘法因式分解，即可求解． 【详解】解： ， ， ， ． 【点睛】掌握因式分解十字相乘法对于型的式子如果能分解为两个数，的积，且有时(即与和是一次项的系数)，那么,这种分解因式的方法叫做十字相乘法． 12．因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，运用分组分解法进行分解即可． 【详解】解：． 故答案为： 13．在实数范围因式分解： _________________ 【答案】 【分析】本题考查实数范围内的因式分解，先提取公因式，再将利用平方差公式在实数范围内分解． 【详解】解： 故答案为：． 14．（1）多项式中各项的公因式是______； （2）多项式中各项的公因式是______； （3）多项式中各项的公因式是_______． 【答案】 【分析】公因式是指多项式的各项都含有的因式，据此求解即可． 【详解】解：（1）多项式中各项的公因式是； （2）多项式中各项的公因式是； （3）多项式中各项的公因式是． 15．分解因式：______． 【答案】 【分析】利用分组分解法，先分解二次项部分，再提取公因式即可求解． 【详解】解： ． 16．已知整式可以因式分解为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查的是根据因式分解的结果求参数，通过展开因式分解形式，比较同类项系数，建立方程求解． 【详解】解：展开，与原式比较系数， 得， 解得 ， 则． 故答案为：． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．把下列各式因式分解： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【分析】前3个小题直接提取公因式即可； 后3个小题，先分别变形，变形后可直接提取公因式． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【点睛】本题考查了用提公因式法分解因式，当多项式中有互为相反数的因式时，可通过变形，使多项式有公因式．一般常见的两种变形为：及． 18．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 19．在实数范围内分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解中的换元法以及十字相乘法、平方差公式的综合运用．将四次多项式转化为二次多项式，随后对二次多项式分别运用十字相乘法分解，解题的关键是对于能继续用平方差公式分解的部分进一步分解，最终完成高次多项式的因式分解． （1）首先使用换元法转化进行分解，然后使用十字相乘法分解二次式，最后使用回代还原，最后运用平方差公式进行求解即可． （2）首先使用换元转化进行分解，然后使用十字相乘法分解二次式，最后使用回代还原进行求解即可． 【详解】（1）解：设，则原式变为， 所以． 再把代回，得到． 再将分解，得． （2）解：设，则原式变为． 所以． 再把代回，得到． 进一步分解，，， 所以． 20．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：用配方法分解因式：， 解：原式 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：______； (2)用配方法分解因式：． 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）利用完全平方公式，加上一次项系数一半的平方即可； （2）利用配方法分解因式即可． 【详解】（1）解：∵， ∴横线上添加一个常数为； （2）解： ． 21．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则 解得： ∴另一个因式为，m的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)若，则______； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】(1) (2)，另一个因式是 (3)，另一个因式是 【分析】本题考查了因式分解的结果求参数，多项式乘多项式，解题的关键是：理解因式分解与多项式乘法互为逆运算． （1）将，等式右边展开，根据对应项系数相等，即可求解， （2）设另一个因式为，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解， （3）设另一个因式是，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解． 【详解】（1）解：， ，， ， 故答案为：； （2）解：设另一个因式为， 则， ，解得，， 另一个因式是； （3）解：设另一个因式是，则 ， 则，解得，， 另一个因式是． 22．分解因式，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)三边，，满足，判断的形状． 【答案】(1) (2)等腰三角形 【分析】（）应用分组分解法，把分解因式即可． （）首先应用分组分解法，把分解因式，然后根据三角形的分类方法，判断出的形状即可． 【详解】（1）解： ； （2）， ， ， 或， 或， 是等腰三角形． 23．关于的方程，像这样只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的方程叫做一元二次方程，小明同学把方程左边的多项式因式分解： 进而得到，根据“如果两个因式的积为0，那么至少有一个因式为0”，即方程可以转化为：或，解这两个一次方程得：或．所以原方程的解有两个，分别为：或． 上述解方程的过程，是通过因式分解将一元二次方程转化为一元一次方程求解的过程．仿照上面的方法，解决下列问题： (1)解方程； (2)类比上面的思路，结合我们学习的一元一次不等式组．请你求不等式的解集． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）先对方程左边因式分解，再将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解； （2）先对不等式左边因式分解，再根据“两数相乘，同号得正”将原不等式转化为两个一元一次不等式组，分别求解后得到原不等式的解集． 【详解】（1）解：因式分解得， ∵如果两个因式的积为0，那么至少有一个因式为0， ∴或， 解得或． （2）解：， 因式分解得， 根据“两数相乘，同号得正，异号得负”，可得或， 解不等式组，得， 解不等式组，得， 因此不等式的解集为或． 24．如图，大矩形是由三个小矩形和一个小正方形拼成的． (1)观察猜想： 请根据此图填空：（________）（________）． (2)说理验证： 事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： （________）（________） （________）（________）． (3)迁移运用：请对下列多项式因式分解： ①填空：________； ②． 【答案】(1)， (2)，，， (3)①；② 【分析】（1）根据等面积求解； （2）利用单项式乘多项式以及因式分解求解； （3）①利用代数方法变形因式分解； ②利用代数方法变形因式分解． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：①； ② ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期数学单元测试卷 （测试范围：因式分解） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（   ） A． B． C． D． 2．多项式各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 3．若因式分解的结果为，则“”是（    ） A． B． C． D． 4．下列各式中，能用平方差公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 5．在多项式①；②；③；④，能用完全平方公式因式分解的有（   ） A．①② B．②③ C．①④ D．②④ 6．已知，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2 7．已知个正实数，，，···，满足，其中q是不为1的正数．则，与的大小关系为（   ） A．大于 B．等于 C．小于 D．不能确定 8．如图1，用1块正方形地砖铺在正方形的台面上，未能完全覆盖．如图2，用4块同样的正方形地砖铺在这个正方形的台面上，会有一部分超出台面，超出台面部分的面积为．若地砖与台面的边长均为整数（单位：），则台面与这种型号的地砖边长相差（    ） A． B． C． D． 9．计算：的值为（    ） A． B． C． D． 10．把多项式因式分解，下列步骤中，开始出现错误的一步是（   ） 解：原式 ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．分解因式：____． 12．因式分解：______． 13．在实数范围因式分解： _________________ 14．（1）多项式中各项的公因式是______； （2）多项式中各项的公因式是______； （3）多项式中各项的公因式是_______． 15．分解因式：______． 16．已知整式可以因式分解为，则的值为______． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．把下列各式因式分解： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）． 18．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 19．在实数范围内分解因式： (1)； (2)． 20．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：用配方法分解因式：， 解：原式 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：______； (2)用配方法分解因式：． 21．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则 解得： ∴另一个因式为，m的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)若，则______； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 22．分解因式，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)三边，，满足，判断的形状． 23．关于的方程，像这样只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的方程叫做一元二次方程，小明同学把方程左边的多项式因式分解： 进而得到，根据“如果两个因式的积为0，那么至少有一个因式为0”，即方程可以转化为：或，解这两个一次方程得：或．所以原方程的解有两个，分别为：或． 上述解方程的过程，是通过因式分解将一元二次方程转化为一元一次方程求解的过程．仿照上面的方法，解决下列问题： (1)解方程； (2)类比上面的思路，结合我们学习的一元一次不等式组．请你求不等式的解集． 24．如图，大矩形是由三个小矩形和一个小正方形拼成的． (1)观察猜想： 请根据此图填空：（________）（________）． (2)说理验证： 事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： （________）（________） （________）（________）． (3)迁移运用：请对下列多项式因式分解： ①填空：________； ②． 学科网（北京）股份有限公司 $