2026年高考数学考前终极冲刺卷（全国通用）2026年高考数学考前最后一课

**基本信息** 2026年高考数学考前冲刺卷，以人生哲理情境串联复数、三角、统计等核心知识，通过单选题基础巩固、解答题综合应用（如制氧机销量线性回归），适配三轮冲刺，强化数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|复数象限判断、集合运算、三角恒等变换|结合人生选择等哲理引导，如“排列组合定顺序，人生出场靠自己”| |多选题|3题|圆柱圆锥表面积体积、解三角形多解问题|注重空间想象与逻辑推理，如“抛物线垂直相交”情境| |填空题|3题|向量轨迹、等比数列求和、正态分布概率|强调数学建模，如“蓝莓等级概率期望计算”| |解答题|5题|线性回归、立体几何证明、导数零点证明|综合应用与创新，如制氧机销量统计分析、双曲线定值探究|

冲刺・终极预测练 2026年高考数学考前冲刺卷 确认过眼神，这就是你想要做的题！ 一、单选题（人生就是不断选择的过程，积累足够的知识，做对下一道选择题，踏准无悔的人生征途！） 1．（复数点亮坐标象限，找准方向就能锁定人生位置！） 在复平面内，复数z对应的点Z在第二象限，则复数对应的点所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】由在复平面内，复数z对应的点Z在第二象限，设， 则，显然，所以点在第一象限，A正确. 故选：A 2．（集合有相逢，人生有际遇，所有努力，终会与好运相遇！） 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，所以. 故选：B. 3．（三角化繁为简，人生破局而出，熬过所有计算，终得圆满答案！） 已知，为钝角，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】解：因为，所以，因为为钝角， 所以，则， 所以. 故选：B 4．（排列组合定顺序，人生出场靠自己，选对路，步步生辉！） 某班在一次班团活动中，安排2名男生和4名女生讲演，为安排这六名学生讲演的顺序，要求两名男生之间不超过1人讲演，且第一位和最后一位出场讲演的是女生．则不同的安排方法总数为（　　） A．168 B．192 C．240 D．336 【答案】C 【解析】第一位和最后一位出场讲演的是女生，有种， 中间4人，为2男2女，任意排列有种， 若中间2名女生，则有种，则满足条件的有种， 则共有种不同的安排方法． 故选：C． 5．（函数有起伏，人生有高低，稳住心态，低谷之后全是上坡！） 函数，若对恒成立，且在上恰有条对称轴，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】由题知，当时取得最大值，即， 所以，即， 又在上有条对称轴，所以， 所以，所以. 故选：B 6．（奇偶辨性质，人心明是非，守正而行，自能拨开迷雾见晴天！） 已知函数，则使得成立的正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知的定义域为，且，所以为偶函数．当时，，可知函数在上单调递减，且． 对于不等式成立，则，解得或， 又因为，所以，即正实数的取值范围是． 故选：C． 7．（离心守分寸，做人知进退，不骄不躁，方能行至万里！） 已知，分别是双曲线与椭圆的左右公共焦点， 是，在第一象限的公共点，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设椭圆的长轴长为，焦距长为， 由题意得，在中，由勾股定理得， 在双曲线中由定义得， ∴，故， 在椭圆中由定义得， ∴，解得， ∴椭圆的离心率为. 故选：D. 8．（构造比大小，静心定输赢，沉下心来，你比想象中更强！） 已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知，，， 设，， 则， 其中， 令，则， 当时，，∴在上单调递减，， ∴当时，，， 在上单调递增， ∴，即，∴有. 对于与，， 将泰勒展开，得， ， ∴. 综上所述，，，的大小关系为. 故选：C. 二、多选题（多项选择藏全面，细心甄别，不漏一处精彩，方能收获满分！） 9．（圆柱圆锥藏乾坤，心有容量，方能装下人生万千风景！） 某精密仪器车间有一个圆柱形原料，现需要在这个原料中挖出一个倒立的圆锥形零件，其尺寸如图所示，则（   ） A．圆柱形原料的表面积为 B．圆柱形原料的体积为 C．圆锥形零件的表面积为 D．圆锥形零件的体积为 【答案】AD 【分析】根据题意，代入几何体的表面积和体积公式，即可求解. 【解析】由题意知圆柱形原料的底面半径，高， 圆柱形原料的表面积，体积，故A正确，B错误； 由题意知圆锥形零件的底面半径，高，母线， 表面积，体积，故C错误，D正确. 10．（解三角求最优，人生择佳途，每一步拼搏，都在靠近巅峰！） 中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（    ） A． B．若有两解，则取值范围是 C．若为锐角三角形，则取值范围是 D．若为边上的中点，则的最大值为3 【答案】ABD 【解析】对选项A：，故，故， ，所以，故A正确； 对选项B：若△ABC有两解，则，即，则，故B正确； 对选项C：为锐角三角形，则，，故， 则，，故，故C错误； 对选项D：若为边上的中点，则， 故， 又，， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立，故， 所以，故，正确； 故选：ABD. 11．（抛物线聚焦点，垂直亦能相逢，全力以赴，终会撞个满怀！） 已知是抛物线的焦点，过点作两条互相垂直的直线、，与相交于，两点，与相交于，两点，为，中点，为，中点，直线为抛物线的准线，则（    ） A．有可能为锐角 B．以为直径的圆与相切 C．的最小值为32 D．和面积之和最小值为32 【答案】BCD 【解析】 由，故焦点坐标为，准线方程为， 设，、、、，则， 联立，消去得：，， 有，， 则， 故为钝角，故A错误； 此时点坐标为， ， 故， ， 则为直径的圆以为圆心，为半径， 圆心到的距离为， 与半径相等，故以为直径的圆与相切，即B正确； 由，同理可得， 即， 当且仅当时，等号成立，故C正确； ， 由，则，同理可得，， 即 ， 当且仅当，时等号成立， 当时，由抛物线的对称性及直线的对称性可得，， 即，可同时取等，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（未来，若是空白，就来填补；若不是，就去点缀，不管怎样，都该昂首向前。） 12．（向量寻轨迹，人生找归途，全力以赴，所求皆得，所行皆坦途！） 已知平面向量，，，，若，，，，则的最大值是___________. 【答案】 【解析】由，，可建立直角坐标系，使得， 设，由，可知点到和的距离之和为， 所以点轨迹为以和为焦点，长轴为的椭圆，点轨迹方程为， 设，由，可知点轨迹方程为圆：， 设，到圆心的距离 ， 当时，，. 故答案为：. 13．（等比步步稳，厚积定薄发，点滴坚持，终成人生最大赢家！） 已知为正项等比数列的前n项和，若，则的最小值为________． 【答案】 【解析】解：由等比数列的性质，，，成等比数列，且 故，当且仅当时，等号成立，所以最小值为32． 故答案为32 14．（概率定输赢，努力改天命，坚持到底，幸运终将为你而来！） 某蓝莓基地种植蓝莓，按个蓝莓果重量（克）分为级：的为级，的为级，的为级，的为级，的为废果．将级与级果称为优等果．已知蓝莓果重量服从正态分布．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出个蓝莓果．记每次抽到优等果的概率为（可精确到）．若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过次，若抽查次数的期望值不超过，的最大值为______． 附：，， 【答案】4 【解析】因为蓝莓果重量服从正态分布其中， ， 设第次抽到优等果的概率（）， 恰好抽取次的概率，所以， 设，则， 两式相减得：， 所以， 由，即，的最大值为． 故答案为：． 四、解答题（成功只是结果，过程才是人生。规范答题，分步得分，多去享受做题的过程吧！） 15．（数据见未来，努力有回响，所有付出，终将化作金榜题名！） 冬季气温骤降、空气干燥且气压变化大，慢性阻塞性肺疾病（慢阻肺），哮喘，间质性肺病、肺纤维化，肺炎、支气管炎患者等呼吸系统疾病患者对氧气需求增加，尤其需要制氧机辅助，近年来，我国制氧机产业迅速发展，下表是某地区某品牌制氧机的年销售量与年份的统计表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 销量（万台） 2 3.5 2.5 8 9 (1)求这种品牌制氧机的销量关于年份代码的线性回归方程，并预测2027年这种品牌制氧机的销量； (2)为了研究不同性别的学生对制氧机知识的了解情况，某校组织了一次有关制氧机知识的竞赛活动，随机抽取了男生和女生各100名，得到如下列联表： 学生 制氧机知识 合计 了解 不了解 男生 20 女生 40 合计 （ⅰ）根据已知条件，填写列联表； （ⅱ）根据小概率值的独立性检验，判断该校学生对制氧机知识的了解情况与性别是否有关联； (3)从（2）的样本中按对制氧机知识了解和不了解的学生人数进行分层抽取10人，再从这10人中随机抽取4人做某项调查，记这4人中对制氧机知识不了解的人数为，试求的分布列和数学期望. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【解析】（1）年份代码的平均数，销量的平均数， 所以， ， 所以，所以， 所以这个地区某品牌制氧机的销量关于年份代码的线性回归方程为， 由于2027年对应的年份代码为，得， 所以预测2027年这个地区某品牌制氧机的销量约为12.4万台． （2）（ⅰ）根据男生和女生各100名，补全列联表为： 学生 制氧机知识 合计 了解 不了解 男生 80 20 100 女生 40 60 100 合计 120 80 200 （ⅱ）零假设：该校学生对制氧机知识的了解情况与性别无关. 根据（ⅰ）中的列联表中的数据可得， . 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即该校学生对制氧机知识的了解情况与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005. （3）从（2）的样本中按对制氧机知识了解和不了解的比例选取10人， 则抽取的10人中，了解的人数为6人，不了解的人数为4人 再随机从中抽取4人，对制氧机知识不了解的人数的所有可能取值为0，1，2，3，4. 且， ， ， 则的分布列为 0 1 2 3 4 数学期望为 16．（空间立坐标系，人生立大志向，心有方向，何惧道阻且长！） 如图，在五面体中，平面，，，，，，分别为的中点，连接． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【解析】（1）因为平面平面，所以． 又因为，平面，所以平面． 又平面，所以． 又因为为线段的中点，所以． 因为，所以． 因为分别为线段的中点，所以． 又，所以．即四点共面． 又平面平面， 所以平面． （2）因为平面，所以． 又，所以两两垂直． 如图建立空间直角坐标系． 于是． 可得 由（1）可得AP平面DCE． 所以平面的一个法向量为． 设直线与平面所成角为，则有 ． 则直线与平面所成角的正弦值为． （3）设是线段上的一点，则存在，使． ，从而． 由点的坐标可得． 设平面的法向量为 则有，即 令，则法向量为 令，即，解得． 此时，又显然有平面，从而平面． 所以，线段上存在点，使得平面，此时． 17．（数列循规律，人生守初心，一步一印，终能求和成王者！） 已知是数列的前项和，，数列是公差为的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【解析】（1）因为，且数列是公差为的等差数列，所以， 所以， 当时，，两式相减，得， 所以，所以， 所以数列是常数列，所以，即. （2）因为，所以. 又， 两式相加，得. 所以. 所以， ， 两式相减，得 . 所以. 18．（导数求极值，人生攀高峰，跨过所有难关，前程繁花似锦！） 已知函数. (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)若函数在上有两个零点，，且. （i）求的取值范围； （ii）求证：. 【解析】（1）当时，， 则， 所以，. 所以函数的图象在处的切线方程为， 即. （2）（i） =3(2) =3() . 当时，， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减. 所以在上的极大值为， 又，. 若函数在上有两个零点， 则解得， 所以的取值范围是； （ii）证明：由（i）得， 要证，只需证. 因为，且在上单调递减， 所以只需证. 因为， 所以只需证. 令， 则 ， 当时，，，所以，，所以， 即在上单调递增， 所以， 所以，即. 所以，得证. 19．（双曲线追渐近，人生追梦想，步步靠近，终抵理想彼岸！） 已知双曲线：的左、右顶点分别为，，点是上一点，过点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，且. (1)求的方程； (2)若是的左支上异于点的一点，直线交直线于点，直线交于另一点. （i）设直线的斜率分别为，，求证：为定值； （ii）求坐标原点到直线距离的最大值. 【解析】（1）由题意知的渐近线方程为， 设，则. 因为，所以， 所以的方程为. （2）（i）证明：由（1），得，，设，，， 直线的斜率，直线的斜率. 因为，所以. 因为，， 所以. 因为，所以， 所以，即为定值. （ii）解：若直线的斜率为0，根据对称性，直线与直线的交点应在轴上，不符合题意， 所以直线的斜率不为0，又，不重合，故可设直线的方程为. 联立得， 由题意得且，即， 由韦达定理，得，. 由（i）得， 故， 所以， 化简，得. 因为，所以，解得. 所以直线的方程为，因此直线恒过点， 所以当时，坐标原点到直线的距离取得最大值4. 试卷第2页，共17页 试卷第1页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $ 冲刺・终极预测练 2026年高考数学考前冲刺卷 确认过眼神，这就是你想要做的题！ 一、单选题（人生就是不断选择的过程，积累足够的知识，做对下一道选择题，踏准无悔的人生征途！） 1．（复数点亮坐标象限，找准方向就能锁定人生位置！） 在复平面内，复数z对应的点Z在第二象限，则复数对应的点所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（集合有相逢，人生有际遇，所有努力，终会与好运相遇！） 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（三角化繁为简，人生破局而出，熬过所有计算，终得圆满答案！） 已知，为钝角，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（排列组合定顺序，人生出场靠自己，选对路，步步生辉！） 某班在一次班团活动中，安排2名男生和4名女生讲演，为安排这六名学生讲演的顺序，要求两名男生之间不超过1人讲演，且第一位和最后一位出场讲演的是女生．则不同的安排方法总数为（　　） A．168 B．192 C．240 D．336 5．（函数有起伏，人生有高低，稳住心态，低谷之后全是上坡！） 函数，若对恒成立，且在上恰有条对称轴，则（    ） A． B． C． D．或 6．（奇偶辨性质，人心明是非，守正而行，自能拨开迷雾见晴天！） 已知函数，则使得成立的正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（离心守分寸，做人知进退，不骄不躁，方能行至万里！） 已知，分别是双曲线与椭圆的左右公共焦点， 是，在第一象限的公共点，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（构造比大小，静心定输赢，沉下心来，你比想象中更强！） 已知，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题（多项选择藏全面，细心甄别，不漏一处精彩，方能收获满分！） 9．（圆柱圆锥藏乾坤，心有容量，方能装下人生万千风景！） 某精密仪器车间有一个圆柱形原料，现需要在这个原料中挖出一个倒立的圆锥形零件，其尺寸如图所示，则（   ） A．圆柱形原料的表面积为 B．圆柱形原料的体积为 C．圆锥形零件的表面积为 D．圆锥形零件的体积为 10．（解三角求最优，人生择佳途，每一步拼搏，都在靠近巅峰！） 中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（    ） A． B．若有两解，则取值范围是 C．若为锐角三角形，则取值范围是 D．若为边上的中点，则的最大值为3 11．（抛物线聚焦点，垂直亦能相逢，全力以赴，终会撞个满怀！） 已知是抛物线的焦点，过点作两条互相垂直的直线、，与相交于，两点，与相交于，两点，为，中点，为，中点，直线为抛物线的准线，则（    ） A．有可能为锐角 B．以为直径的圆与相切 C．的最小值为32 D．和面积之和最小值为32 三、填空题（未来，若是空白，就来填补；若不是，就去点缀，不管怎样，都该昂首向前。） 12．（向量寻轨迹，人生找归途，全力以赴，所求皆得，所行皆坦途！） 已知平面向量，，，，若，，，，则的最大值是___________. 13．（等比步步稳，厚积定薄发，点滴坚持，终成人生最大赢家！） 已知为正项等比数列的前n项和，若，则的最小值为________． 14．（概率定输赢，努力改天命，坚持到底，幸运终将为你而来！） 某蓝莓基地种植蓝莓，按个蓝莓果重量（克）分为级：的为级，的为级，的为级，的为级，的为废果．将级与级果称为优等果．已知蓝莓果重量服从正态分布．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出个蓝莓果．记每次抽到优等果的概率为（可精确到）．若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过次，若抽查次数的期望值不超过，的最大值为______． 附：，， 四、解答题（成功只是结果，过程才是人生。规范答题，分步得分，多去享受做题的过程吧！） 15．（数据见未来，努力有回响，所有付出，终将化作金榜题名！） 冬季气温骤降、空气干燥且气压变化大，慢性阻塞性肺疾病（慢阻肺），哮喘，间质性肺病、肺纤维化，肺炎、支气管炎患者等呼吸系统疾病患者对氧气需求增加，尤其需要制氧机辅助，近年来，我国制氧机产业迅速发展，下表是某地区某品牌制氧机的年销售量与年份的统计表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 销量（万台） 2 3.5 2.5 8 9 (1)求这种品牌制氧机的销量关于年份代码的线性回归方程，并预测2027年这种品牌制氧机的销量； (2)为了研究不同性别的学生对制氧机知识的了解情况，某校组织了一次有关制氧机知识的竞赛活动，随机抽取了男生和女生各100名，得到如下列联表： 学生 制氧机知识 合计 了解 不了解 男生 20 女生 40 合计 （ⅰ）根据已知条件，填写列联表； （ⅱ）根据小概率值的独立性检验，判断该校学生对制氧机知识的了解情况与性别是否有关联； (3)从（2）的样本中按对制氧机知识了解和不了解的学生人数进行分层抽取10人，再从这10人中随机抽取4人做某项调查，记这4人中对制氧机知识不了解的人数为，试求的分布列和数学期望. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16．（空间立坐标系，人生立大志向，心有方向，何惧道阻且长！） 如图，在五面体中，平面，，，，，，分别为的中点，连接． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 17．（数列循规律，人生守初心，一步一印，终能求和成王者！） 已知是数列的前项和，，数列是公差为的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 18．（导数求极值，人生攀高峰，跨过所有难关，前程繁花似锦！） 已知函数. (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)若函数在上有两个零点，，且. （i）求的取值范围； （ii）求证：. 19．（双曲线追渐近，人生追梦想，步步靠近，终抵理想彼岸！） 已知双曲线：的左、右顶点分别为，，点是上一点，过点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，且. (1)求的方程； (2)若是的左支上异于点的一点，直线交直线于点，直线交于另一点. （i）设直线的斜率分别为，，求证：为定值； （ii）求坐标原点到直线距离的最大值. 试卷第2页，共5页 试卷第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $