第3章 整式的乘除（知识清单）数学新教材浙教版七年级下册

该初中数学“整式的乘除”单元知识清单系统梳理了幂的运算、整式乘除法则及乘法公式等核心内容，涵盖同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方、零指数与负指数幂，以及单项式乘除、多项式乘除、平方差公式、完全平方公式等知识范畴，搭建了从公式记忆到运算技巧再到综合应用的递进式学习支架。 清单通过“基础公式+易错点解析+典型例题+综合练习”的分级结构呈现知识体系，突出知识点的完整性与条理性。如“比较幂的大小”明确标注底数与指数关系的判断策略，“乘法公式与几何问题结合”通过例14用等面积法验证平方差公式，培养学生的几何直观与推理意识。特别设计逆运算应用、整体法求值等实用技巧，帮助不同基础学生高效掌握要点，教师可借助例题与练习精准设计教学，提升课堂实效。

第3章 整式的乘除 1.同底数幂的乘法： ；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方： ；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方： ；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法： .同底数幂相除，底数不变，指数相减. 5.零指数幂： 即任何不等于零的数的零次方等于1. 6.负指数幂： （≠0，是正整数）. 7.单项式乘以单项式：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别 ，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 8.单项式乘以多项式：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的 ，再把所得的积 .即(都是单项式). 9.多项式乘以多项式:多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 乘另一个多项式的 ，再把所得的积 .即 10.运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：. 11.平方差公式：.两个数的和与这两个数的差的积，等于 .在这里，a和b既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 12.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”， 而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 13. 完全平方公式：。两数和 (差)的平方等于这两数的 加上（减去）这两数 . 14.完全平方公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 15.单项式相除:把系数、相同字母的幂分别 作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 16.多项式除以单项式:先把这个多项式的每一项分别除以 ，再把所得的商 .即：. 1.用同底数幂的乘法公式进行计算 易错点：要根据同底数幂的计算公式①；②；③进行不同数学计算。 例1 计算： (1) (2) (3) (4) 2.比较幂的大小 易错点：要比较幂的大小，主要有以下几种策略： （1）正数大于零，零大于负数，可以先判断幂有关的运算的正负，再判断； （2）如果两个幂中的底数都是一个数的乘方的结果，可以将两者都化为这个数为底数的幂，再比较幂的大小： ①底数如果大于1，指数越大，幂越大； ②底数如果小于1，指数越大，幂越小。 （3）也可以将两个幂化为指数相同，此时底数越大，幂越大。 例2 （25-26八年级上·山东滨州·月考）比较下列各题中幂的大小： (1)比较，，这3个数的大小关系； (2)已知，，，比较a、b、c的大小关系． 3.的逆运算运用 易错点：在运用时，首先要保证a与b的乘积为1或﹣1，其次在获得后，注意剩下因子的正负。如：的计算，。 例3 （25-26七年级下·陕西宝鸡·月考）材料阅读题． 【问题背景】如图是小明完成的一道作业题，请你参考小明的方法解答下面的问题： 小明的作业 计算： 解： ． (1)【计算】 ①； ②； (2)【拓展】若，求n的值． 4.整体法求幂的值 易错点：已知某些幂的结果，根据幂的运算公式，可以将所要求的其他幂的结果。重点是将所要求的幂分解因式。如，可以转化成，还可以继续化成或，甚至可以是，主要看已知条件给的是哪个。 例4 （25-26七年级下·北京延庆·期中）已知，，则的值是___________． 5.单项式的乘法的注意事项 易错点：单项式乘以单项式时，系数归系数相乘，同一字母为底数的幂分别相乘，然后将各自的结果相乘即可；单项式乘以多项式时，注意单项式乘以多项式的每一项，并且注意多项式中每一项的符号要带走。 例5 计算： (1)； (2)； (3)． 6.多项式的乘法的注意事项 易错点：多项式的乘法要注意，第一个多项式中的每一项都要分别乘以另一个多项式中的每一项，所以最重要的是①符号带走；②不要漏乘；③注意最终结果合并同类项。 例6 计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 7.根据多项式的乘法的结果推测因式 易错点：带字母参数的多项式的乘法，根据结果的描述（比如：结果不含1次项，结果与x的值无关等），可以确定对应描述对象的系数为0，从而求出字母参数的值。 例7 （25-26八年级上·四川巴中·期中）（1）若的结果中不含项，求n的值； （2）试说明多项式的值与x的取值无关． 8.多项式的乘法的化简并求值 易错点：此类题型，一般步骤就是先化简，化简完后注意，可以是将未知数的值代入求值，也可以看是否要整体法代入。 例8 先化简，再求值： (1)已知，求的值． (2)，其中，． 9.平方差公式 易错点：能使用平方差公式的多项式的乘法，是两个式子的和乘以两个式子的差的形式，即(A+B)(A-B)，比如当A=2x,B=3y时，(2x+3y)(2x-3y)这样的式子可以用平方差公式；再比如A=-3,B=6m时，(-3+6m)(-3-6m)也可以用平方差公式。 例9 （25-26七年级下·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 10.完全平方公式 易错点：完全平方公式的多项式乘法，结果要保持“两个式子的平方”+“2倍的两个式子的乘积（中间项）”的格式。注意一般平方项符号为正，中间项符号与实际相乘的两个式子相关。 例10 计算： (1)； (2)； (3) 11.用乘法公式的知识进行简便运算 易错点：平方差公式和完全平方公式除了用于多项式的计算，也能进行简便运算，比如计算1999²，可以看做是(2000-1)²，可以用完全平方公式计算结果；再比如说计算2020×1980时，可以看做是(2000+20)(2000-20)，这样就可以用平方差公式进行计算了。 例11 （25-26七年级下·江苏苏州·月考）用乘法公式计算： (1) (2) 12.与平方差公式有关的规律问题 易错点：常见于连续使用平方差公式，比如： (x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)···=(x2-1)(x2+1)(x4+1)···=(x4-1)(x4+1)···=(x8-1)···。 例12 （25-26七年级下·广东深圳·月考）观察：； ， 那么，________． 13.与完全平方公式有关的规律问题...... ...... 易错点：主要是对杨辉三角的认识。如右图杨辉三角，主要规律： （1）图中杨辉三角每个数字（除了两侧的“1”）都是他左上角和右上角数字的和； （2）而每一行数字表示对应完全平方式展开式中各项系数的值。如由杨辉三角我们知道。 例13 （25-26七年级下·江苏无锡·期中）我国古代数学的许多创新与发展都居世界前列，其中杨辉三角就是一例．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》一书中，用如图所示的三角形解释二项和的乘方规律．我们称这个三角形为“杨辉三角”，此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律． (1)补充完整的展开式：______； (2)的展开式中共有______项，所有项系数的和为______； (3)利用上面的规律计算：． (4)此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期三，再过天还是星期三，那么再过天是星期______． 14.乘法公式与几何问题的结合 易错点：数形结合可以更好的理解乘法公式，平方差公式与完全平方公式与几何的关系可以用多种图形方式表达，但比较常见的如下： 例14 （25-26七年级上·上海·期末）某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后，构造了如下图所示的四种图形，想用“等面积法”来验证“平方差公式”，以下四种方法中能够验证“平方差公式”的有______（填图中的序号）． 例15 （25-26七年级下·河北石家庄·期中）【探究】如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图2所示的图形． (1)上述操作能验证的等式是________（请选择正确的一个） A．    B． C．        D． 【应用】(2)已知，，请计算的值； 【拓展】 (3)已知，，则A与B的大小关系为A________B（填“”“”或“”）． 15.完全平方公式的三个组成式之间的关系 易错点：已知三个代数式a+b，ab和a²+b²，他们之间有什么关系？根据完全平方公式我们知道：，。形成了已知其二求第三个代数式值的计算关系。同样的a-b与ab、a²+b²也有类似的关系。 例16 （25-26七年级下·浙江杭州·期中）已知，， (1)求的值； (2)求的值． 16.整式的化简并求值的过程 易错点：整式的化简，在前面多项式的化简中我们已经强调过基本步骤。这里我们再强调一下，如果有用到乘法公式的，首先要使用乘法公式，这样方便展开乘式。 例17 （25-26七年级下·浙江丽水·期中）先化简，再求值：，其中． 17.用同底数幂的除法公式进行计算 易错点：同底数幂的除法公式不但要会最基本的“底数不变，指数相减”的运用，还要学会理解0指数幂和负指数幂。 例18 （25-26七年级下·江苏徐州·月考）按要求解答下列各小题： (1)已知，，求的值； (2)如果，求的值； (3)已知，求的值． 例19 （25-26七年级下·江苏徐州·月考）计算： (1) (2) 18.及相关代数式的计算 易错点：，我们看一下它的平方：，我们发现在平方后，除了x和x-1的指数变为原来的两倍，只增加了常数2，这里就有值得计算探索的地方了。遇到此类题目，我们不妨大胆平方一下，就能求出更多结论。 例20 （25-26八年级上·山东淄博·月考）化简求值：已知，求下列各式的值： ①； ②． 19.整式的化简并求值的过程（带除法） 易错点：注意只有多项式除以单项式时，多项式的每一项可以除以单项式，再将每一项相加；没有单项式除以多项式，用单项式除以多项式中的每一项的这种算法，这是首先要区分开的。。 例21 （25-26七年级下·陕西西安·期中）先化简，再求值：，其中，． 1．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）若有意义，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山东临沂·一模）下列运算中结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）在下列多项式乘法中，不能直接用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级下·山东烟台·期中）阅读下列两个多项式相乘的运算过程，解决下面的问题：四个学生一起做乘法，其中a是正数，那么最后得出的结果可能是（   ） A． B． C． D． 5．（2022九年级·湖南邵阳·竞赛）四个数，，，中最小的数是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）小李同学制作了如图所示的卡片A类、B类、C类各2张，其中A、B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形．现要拼一个两边分别是和的大长方形，那么下列关于他所准备的C类卡片的张数的说法中，正确的是（    ） A．够用，剩余1张 B．不够用，缺1张 C．不够用，缺2张 D．够用，剩余2张 7．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）对于任意有理数，，现用“”定义一种运算：，根据这个定义，代数式可以化简为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）小吉是一个爱好数学的好学生，一天他将三个正方形如图所示相连，然后将数字填入图中的9个顶点处，使得每个正方形顶点上的四个数字的和都等于16，每个正方形顶点上的四个数字的平方和分别记为、、，且．如果将交点处的三个填入的数字分别记作为、、，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 9．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）计算：___________ 10．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）世界上几乎所有的生物都是由细胞组成的，科学家发现，一个细胞的平均质量约为0.0000000085克．用科学记数法表示为____． 11．（22-23七年级下·江苏扬州·月考）已知，，则_____． 12．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）计算___． 13．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）已知，，则的值为______． 14．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）若多项式展开后不含x的一次项，则m的值是______． 15．（25-26七年级下·浙江湖州·期中）已知长方形的长为，宽为，用四个这样的长方形围成一个大正方形，如图1所示，中间空白部分是一个面积为9的小正方形．用五个这样的长方形按如图2的方式摆放，延长部分边框，构成一个新的大长方形，中间空白部分的面积为58，则的值为______． 16．（25-26七年级下·浙江湖州·期中）计算与化简： (1) (2) 17．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）先化简，再求值：，其中，． 18．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）如图，小明家有一块长方形土地用来建造卧室、客厅和厨房．客厅用地是长为米，宽为米的长方形，卧室用地是长为米，宽为米的长方形． (1)求这块长方形土地的总面积是多少平方米？（结果化为最简） (2)当，时，求厨房的用地面积．（先化简，再求值） 19．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）解答下列各题： (1)已知，则的值为_______． (2)如果，求的值 (3)已知，求的值． 20．（25-26七年级下·山东青岛·期中）数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这种思想叫“算两次”．“算两次”也称作富比尼原理，是一种重要的数学思想．由它可以推导出很多重要的公式．某校数学兴趣小组，在学习整式的乘除后，进行了如下的探究： 【问题背景】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： (1)用“算两次”的方法计算图2中阴影部分的面积：第一次列式为_______，第二次列式为_______．因为两次所列算式表示的是同一个图形的面积，所以可以得出等式_______； (2)根据（1）中的等量关系解决如下问题：若，，求的值； (3)【知识迁移】根据图3，写出一个代数恒等式：_______； (4)【思维创新】利用（3）中得出的恒等式，解决下面的问题： 若，，则的值是_______ 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 整式的乘除 1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方： (为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方： (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且).同底数幂相除，底数不变，指数相减. 5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1. 6.负指数幂：（≠0，是正整数）. 7.单项式乘以单项式：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 8.单项式乘以多项式：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式). 9.多项式乘以多项式:多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即 10.运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：. 11.平方差公式：.两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.在这里，a和b既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 12.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”， 而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 13. 完全平方公式：。两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 14.完全平方公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 15.单项式相除:把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 16.多项式除以单项式:先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：. 1.用同底数幂的乘法公式进行计算 易错点：要根据同底数幂的计算公式①；②；③进行不同数学计算。 例1 计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方及同底数幂的乘法运算，解题的关键是熟练掌握幂的运算性质并正确应用符号法则． （1）先根据幂的乘方计算，再依据同底数幂乘法计算乘积． （2）分别用幂的乘方计算、积的乘方计算，再通过同底数幂乘法合并结果． （3）分别用幂的乘方计算，再进行同底数幂乘法运算． （4）分别用积的乘方计算，最后合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2.比较幂的大小 易错点：要比较幂的大小，主要有以下几种策略： （1）正数大于零，零大于负数，可以先判断幂有关的运算的正负，再判断； （2）如果两个幂中的底数都是一个数的乘方的结果，可以将两者都化为这个数为底数的幂，再比较幂的大小： ①底数如果大于1，指数越大，幂越大； ②底数如果小于1，指数越大，幂越小。 （3）也可以将两个幂化为指数相同，此时底数越大，幂越大。 例2 （25-26八年级上·山东滨州·月考）比较下列各题中幂的大小： (1)比较，，这3个数的大小关系； (2)已知，，，比较a、b、c的大小关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则（），将不同的幂转化为同底数或同指数的形式进行比较是解题的关键． （1）将三个幂转化为指数相同的形式，再比较底数大小； （2）将三个幂转化为底数相同的形式，再比较指数大小． 【详解】（1）解：，，， ∵， ∴； （2）解：，，， ， ， ． 3.的逆运算运用 易错点：在运用时，首先要保证a与b的乘积为1或﹣1，其次在获得后，注意剩下因子的正负。如：的计算，。 例3 （25-26七年级下·陕西宝鸡·月考）材料阅读题． 【问题背景】如图是小明完成的一道作业题，请你参考小明的方法解答下面的问题： 小明的作业 计算： 解： ． (1)【计算】 ①； ②； (2)【拓展】若，求n的值． 【答案】(1)①1，② (2)3 【分析】（1）①利用积的乘方法则的逆运算解答即可；②将指数化为相同的形式，再利用积的乘方法则的逆运算解答即可； （2）利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则，将等式左边化为以2为底的幂的形式，然后根据同底数幂相等的性质列出关于n的方程求解即可． 【详解】（1）解：① ② （2）解：∵ ∴， ∴， 解得． 4.整体法求幂的值 易错点：已知某些幂的结果，根据幂的运算公式，可以将所要求的其他幂的结果。重点是将所要求的幂分解因式。如，可以转化成，还可以继续化成或，甚至可以是，主要看已知条件给的是哪个。 例4 （25-26七年级下·北京延庆·期中）已知，，则的值是___________． 【答案】 【详解】解：，， ． 5.单项式的乘法的注意事项 易错点：单项式乘以单项式时，系数归系数相乘，同一字母为底数的幂分别相乘，然后将各自的结果相乘即可；单项式乘以多项式时，注意单项式乘以多项式的每一项，并且注意多项式中每一项的符号要带走。 例5 计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式. 6.多项式的乘法的注意事项 易错点：多项式的乘法要注意，第一个多项式中的每一项都要分别乘以另一个多项式中的每一项，所以最重要的是①符号带走；②不要漏乘；③注意最终结果合并同类项。 例6 计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】本题考查多项式与多项式的乘法运算及整式的加减运算，关键是熟练掌握多项式乘多项式法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，之后合并同类项化简． （1）需要运用多项式乘法的分配律，将第一个多项式的每一项与第二个多项式的每一项相乘，再合并同类项； （2）可以通过多项式乘法展开后合并同类项； （3）先计算多项式乘法，再去括号，最后合并同类项，注意去括号时符号的变化； （4）运用多项式乘法的分配律，将和分别与后面的三项式相乘，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 7.根据多项式的乘法的结果推测因式 易错点：带字母参数的多项式的乘法，根据结果的描述（比如：结果不含1次项，结果与x的值无关等），可以确定对应描述对象的系数为0，从而求出字母参数的值。 例7 （25-26八年级上·四川巴中·期中）（1）若的结果中不含项，求n的值； （2）试说明多项式的值与x的取值无关． 【答案】（1）1；（2）见解析 【分析】本题考查了整式的运算，涉及单项式与多项式的乘法、多项式乘以多项式，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）通过展开多项式乘积，合并同类项后令项的系数为零，即可求解n； （2）通过展开并化简多项式，得到其值为常数，故与x无关． 【详解】解：（1） ∵的结果中不含项， ∴， ∴； （2）∵ ∴多项式的值与x的取值无关． 8.多项式的乘法的化简并求值 易错点：此类题型，一般步骤就是先化简，化简完后注意，可以是将未知数的值代入求值，也可以看是否要整体法代入。 例8 先化简，再求值： (1)已知，求的值． (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了整式的混合运算和代数式求值，涉及整体代入思想，掌握多项式乘法展开后合并同类项的化简技巧，以及通过整体代入简化计算是解题的关键． （1）先展开多项式乘法，合并同类项后，发现化简结果与已知条件表达式完全一致，直接整体代入求值； （2）先展开两个多项式乘法，合并同类项化简表达式，再代入的具体值计算． 【详解】（1）解：原式 ． 当时， 原式． （2）解： ． 当，时， 原式． 9.平方差公式 易错点：能使用平方差公式的多项式的乘法，是两个式子的和乘以两个式子的差的形式，即(A+B)(A-B)，比如当A=2x,B=3y时，(2x+3y)(2x-3y)这样的式子可以用平方差公式；再比如A=-3,B=6m时，(-3+6m)(-3-6m)也可以用平方差公式。 例9 （25-26七年级下·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方差公式和单项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项即可； （2）把原式变形为，再利用平方差公式和完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10.完全平方公式 易错点：完全平方公式的多项式乘法，结果要保持“两个式子的平方”+“2倍的两个式子的乘积（中间项）”的格式。注意一般平方项符号为正，中间项符号与实际相乘的两个式子相关。 例10 计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据完全平方公式，单项式乘以多项式运算法则求解即可； （2）根据多项式乘以多项式运算法则求解即可； （3）根据完全平方公式，多项式乘以多项式运算法则求解即可 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 11.用乘法公式的知识进行简便运算 易错点：平方差公式和完全平方公式除了用于多项式的计算，也能进行简便运算，比如计算1999²，可以看做是(2000-1)²，可以用完全平方公式计算结果；再比如说计算2020×1980时，可以看做是(2000+20)(2000-20)，这样就可以用平方差公式进行计算了。 例11 （25-26七年级下·江苏苏州·月考）用乘法公式计算： (1) (2) 【答案】(1)4004001 (2)4 【分析】（1）把原式变形为，再利用完全平方公式求解即可； （2）把原式变形为，再利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12.与平方差公式有关的规律问题 易错点：常见于连续使用平方差公式，比如： (x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)···=(x2-1)(x2+1)(x4+1)···=(x4-1)(x4+1)···=(x8-1)···。 例12 （25-26七年级下·广东深圳·月考）观察：； ， 那么，________． 【答案】 【分析】通过乘以构造平方差形式，然后连续使用平方差公式简化计算即可． 【详解】解： ． 13.与完全平方公式有关的规律问题...... ...... 易错点：主要是对杨辉三角的认识。如右图杨辉三角，主要规律： （1）图中杨辉三角每个数字（除了两侧的“1”）都是他左上角和右上角数字的和； （2）而每一行数字表示对应完全平方式展开式中各项系数的值。如由杨辉三角我们知道。 例13 （25-26七年级下·江苏无锡·期中）我国古代数学的许多创新与发展都居世界前列，其中杨辉三角就是一例．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》一书中，用如图所示的三角形解释二项和的乘方规律．我们称这个三角形为“杨辉三角”，此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律． (1)补充完整的展开式：______； (2)的展开式中共有______项，所有项系数的和为______； (3)利用上面的规律计算：． (4)此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期三，再过天还是星期三，那么再过天是星期______． 【答案】(1)，验证见解析 (2)， (3) (4)四 【分析】（1）根据题目所给式子可写出的展开式，然后改写成，计算即可验证； （2）由“杨辉三角”归纳的项数与所有项的系数和的规律即可； （3）根据“杨辉三角”的规律解答即可； （4）根据规律得出，可得除以的余数为，即可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，，验证如下： ． （2）解：的展开式有项，所有系数的和为， 的展开式有项，所有系数的和为， 的展开式有项，所有系数的和为， 的展开式有项，所有系数的和为， …… ∴的展开式有项，所有系数的和为， ∴的展开式有项，所有系数的和为． （3）解：由“杨辉三角”的规律得，． （4）解：由“杨辉三角”的规律得（、…是常数）， ∵能被整除， ∴除以的余数为， ∴再过天是星期四． 14.乘法公式与几何问题的结合 易错点：数形结合可以更好的理解乘法公式，平方差公式与完全平方公式与几何的关系可以用多种图形方式表达，但比较常见的如下： 例14 （25-26七年级上·上海·期末）某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后，构造了如下图所示的四种图形，想用“等面积法”来验证“平方差公式”，以下四种方法中能够验证“平方差公式”的有______（填图中的序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式以及等面积法是解题的关键． 用不同的方法分别用代数式表示各个图形中左图、右图阴影部分面积即可得出等式，再进行判断即可． 【详解】解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为，∴，故图①可以验证平方差公式； 图②中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为，∴，故图②可以验证平方差公式； 图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为，∴，故图③可以验证平方差公式； 图④中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为，∴ ，故图④不能验证平方差公式； 综上所述，能验证平方差公式的有①②③， 故答案为：①②③． 例15 （25-26七年级下·河北石家庄·期中）【探究】如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图2所示的图形． (1)上述操作能验证的等式是________（请选择正确的一个） A．    B． C．        D． 【应用】(2)已知，，请计算的值； 【拓展】 (3)已知，，则A与B的大小关系为A________B（填“”“”或“”）． 【答案】(1)A (2)16 (3) 【分析】（1）根据拼接前后的面积相等可得出答案； （2）根据平方差公式进行计算即可； （3）利用平方差公式求出A的值，再与B进行比较即可． 【详解】（1）解：图①的剩余面积为，图②拼接得到的图形面积为， 因此有，，故A正确； （2）解：∵，， ∴ ； （3）解：∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 15.完全平方公式的三个组成式之间的关系 易错点：已知三个代数式a+b，ab和a²+b²，他们之间有什么关系？根据完全平方公式我们知道：，。形成了已知其二求第三个代数式值的计算关系。同样的a-b与ab、a²+b²也有类似的关系。 例16 （25-26七年级下·浙江杭州·期中）已知，， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据代入计算即可； （2）根据代入计算即可． 【详解】（1）∵，， ∴； （2）∵，， ∴． 16.整式的化简并求值的过程 易错点：整式的化简，在前面多项式的化简中我们已经强调过基本步骤。这里我们再强调一下，如果有用到乘法公式的，首先要使用乘法公式，这样方便展开乘式。 例17 （25-26七年级下·浙江丽水·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，24 【分析】先利用整式的混合运算法则化简，然后将代入求值即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 17.用同底数幂的除法公式进行计算 易错点：同底数幂的除法公式不但要会最基本的“底数不变，指数相减”的运用，还要学会理解0指数幂和负指数幂。 例18 （25-26七年级下·江苏徐州·月考）按要求解答下列各小题： (1)已知，，求的值； (2)如果，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）逆用同底数幂的除法法则和幂的乘方法则得到，再将已知条件代入求值即可； （2）先化成同底数幂，然后根据幂的乘方法则化简，再让指数相同，据此列方程求解即可； （3）先化成同底数幂，然后根据幂的乘方和同底数幂的乘除法法则化简，再让指数相同，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 例19 （25-26七年级下·江苏徐州·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用有理数乘方、零次幂、负整数次幂化简，然后再运算即可； （2）先利用同底数幂乘法、幂的乘方、同底数幂除法法则计算，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 18.及相关代数式的计算 易错点：，我们看一下它的平方：，我们发现在平方后，除了x和x-1的指数变为原来的两倍，只增加了常数2，这里就有值得计算探索的地方了。遇到此类题目，我们不妨大胆平方一下，就能求出更多结论。 例20 （25-26八年级上·山东淄博·月考）化简求值：已知，求下列各式的值： ①； ②． 【答案】①；② 【分析】本题综合考查整式的运算知识点． ①根据完全平方公式，对两边平方可得； ②先求的倒数，即进行化简可得，即可解答； 【详解】①∵， ∴ ② 由①知， ∴原式， 即， ∴， 19.整式的化简并求值的过程（带除法） 易错点：注意只有多项式除以单项式时，多项式的每一项可以除以单项式，再将每一项相加；没有单项式除以多项式，用单项式除以多项式中的每一项的这种算法，这是首先要区分开的。。 例21 （25-26七年级下·陕西西安·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】根据完全平方公式、多项式乘多项式、多项式除以单项式以及合并同类项的运算法则，进行化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 1．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）若有意义，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零指数幂的定义，底数不能为0，据此求解即可． 【详解】解：根据零指数幂的定义，任何非零数的零次幂有意义，零的零次幂无意义， ∵ 有意义 ∴ 底数不为，即 解得． 2．（2026·山东临沂·一模）下列运算中结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C正确； 选项D：，D错误． 3．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）在下列多项式乘法中，不能直接用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平方差公式为，结构特征是两个二项式相乘，有一项相同，另一项互为相反数，据此判断各选项，选出不符合特征的选项即可． 【详解】解：A选项、，相同项为，与互为相反数，符合平方差公式结构，可以用平方差公式计算，不符合题意； B选项、 ，相同项为，与互为相反数，符合平方差公式结构，可以用平方差公式计算，不符合题意； C选项、，相同项为，与互为相反数，符合平方差公式结构，可以用平方差公式计算，不符合题意； D选项、 ，所有项都相同，不存在互为相反数的项，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式计算，符合题意． 4．（25-26九年级下·山东烟台·期中）阅读下列两个多项式相乘的运算过程，解决下面的问题：四个学生一起做乘法，其中a是正数，那么最后得出的结果可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将多项式相乘的结果展开即可求解． 【详解】解：根据题意得，， 根据选项得：或， 解得或， 则或． 只有选项A符合题意． 5．（2022九年级·湖南邵阳·竞赛）四个数，，，中最小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察四个幂的指数，可得55，44，33，22的最大公约数是11，利用幂的乘方性质，将四个数转化为指数相同的幂，再比较底数大小即可得到结果． 【详解】解：∵； ； ； ， 又∵， ∴， ∴是四个数中最小的数． 6．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）小李同学制作了如图所示的卡片A类、B类、C类各2张，其中A、B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形．现要拼一个两边分别是和的大长方形，那么下列关于他所准备的C类卡片的张数的说法中，正确的是（    ） A．够用，剩余1张 B．不够用，缺1张 C．不够用，缺2张 D．够用，剩余2张 【答案】B 【分析】首先计算得到，然后比较求解即可． 【详解】解： ∴C类卡片3张， ∵小李同学制作了C类卡片2张， ∴他所准备的C类卡片的张数不够用，缺1张． 7．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）对于任意有理数，，现用“”定义一种运算：，根据这个定义，代数式可以化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是定义新运算，解题的关键是准确理解并运用题目中给出的新运算规则．根据定义可知，只需将代数式中的替换为、替换为，再结合完全平方公式展开并合并同类项，即可完成化简． 【详解】解：新运算定义为， ， 展开并合并同类项得． 故选：． 8．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）小吉是一个爱好数学的好学生，一天他将三个正方形如图所示相连，然后将数字填入图中的9个顶点处，使得每个正方形顶点上的四个数字的和都等于16，每个正方形顶点上的四个数字的平方和分别记为、、，且．如果将交点处的三个填入的数字分别记作为、、，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据题意可得三个正方形上的数字之和为48，而到这个数字之和为36，据此可得，由，，可得，即可解决问题． 【详解】解：∵每个正方形顶点上的四个数字的和都等于16， ∴三个正方形顶点上的数字之和为， 到这个数字之和为， ∵、、都加了两次， ∴， ∴， ∴， ∵， 而， ∵三个正方形交点处的三个数字的平方都加了两次， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将代入得， ∴， ∴． 9．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）计算：___________ 【答案】 【详解】解：． 10．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）世界上几乎所有的生物都是由细胞组成的，科学家发现，一个细胞的平均质量约为0.0000000085克．用科学记数法表示为____． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可解题，当原数绝对值小于时，为负整数，的绝对值与原数小数点移动的位数相等． 【详解】解：用科学记数法表示为． 11．（22-23七年级下·江苏扬州·月考）已知，，则_____． 【答案】 【分析】利用同底数幂的除法运算法则，将所求代数式变形后，代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 12．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）计算___． 【答案】 【详解】解： 13．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）已知，，则的值为______． 【答案】17 【分析】将两个已知等式利用完全平方公式展开，再将两个展开式相加，即可求出的值． 【详解】解：∵，， ∴根据完全平方公式得： ①， ②， 得：， 两边同除以得：． 14．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）若多项式展开后不含x的一次项，则m的值是______． 【答案】 【分析】先计算，再根据多项式展开后不含x的一次项作答即可． 【详解】解： ， ∵多项式展开后不含x的一次项， ∴， 解得：． 15．（25-26七年级下·浙江湖州·期中）已知长方形的长为，宽为，用四个这样的长方形围成一个大正方形，如图1所示，中间空白部分是一个面积为9的小正方形．用五个这样的长方形按如图2的方式摆放，延长部分边框，构成一个新的大长方形，中间空白部分的面积为58，则的值为______． 【答案】7 【分析】用代数式表示图1中间小正方形的面积，图2空白部分的面积，再根据得到的，利用完全平方公式及变形求出的值即可． 【详解】解：图1中，中间小正方形的边长为，面积为， 由图2可得，大长方形的长为，宽为，因此面积为， 所以， 即， ， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ． 16．（25-26七年级下·浙江湖州·期中）计算与化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 17．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先利用平方差公式和完全平方公式进行运算，再对括号内进行运算，然后进行除法运算，最后代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，时， 原式 ． 18．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）如图，小明家有一块长方形土地用来建造卧室、客厅和厨房．客厅用地是长为米，宽为米的长方形，卧室用地是长为米，宽为米的长方形． (1)求这块长方形土地的总面积是多少平方米？（结果化为最简） (2)当，时，求厨房的用地面积．（先化简，再求值） 【答案】(1)这块长方形土地的总面积是平方米 (2)平方米，厨房的用地面积为35平方米 【分析】（1）根据长方形的面积公式并结合多项式乘以多项式的运算法则计算即可得出结果； （2）先用、表示出厨房的用地面积，再代入，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得： 平方米， 答：这块长方形土地的总面积是平方米； （2）解： 平方米， 当，时， 原式 ， 答：厨房的用地面积为35平方米． 19．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）解答下列各题： (1)已知，则的值为_______． (2)如果，求的值 (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据同底数幂的除法运算得到，进而得到，即可求解； （2）根据幂的乘方和同底数相乘法则，即可求解； （3）根据幂的乘方和积的乘方对所求式子进行变形，再代入求值即可． 【详解】（1）解： ， 解得； （2）解： ， ； （3）解： ， ． 20．（25-26七年级下·山东青岛·期中）数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这种思想叫“算两次”．“算两次”也称作富比尼原理，是一种重要的数学思想．由它可以推导出很多重要的公式．某校数学兴趣小组，在学习整式的乘除后，进行了如下的探究： 【问题背景】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： (1)用“算两次”的方法计算图2中阴影部分的面积：第一次列式为_______，第二次列式为_______．因为两次所列算式表示的是同一个图形的面积，所以可以得出等式_______； (2)根据（1）中的等量关系解决如下问题：若，，求的值； (3)【知识迁移】根据图3，写出一个代数恒等式：_______； (4)【思维创新】利用（3）中得出的恒等式，解决下面的问题： 若，，则的值是_______ 【答案】(1)；； (2) (3) (4)61 【分析】（1）第一次求解阴影部分的边长，再计算面积，第二次利用大的正方形的面积减去四个长方形的面积，从而可建立等式； （2）将，代入计算即可； （3）根据大正方形面积等于九个小图形的面积和列等式计算即可； （4）将，代入计算即可． 【详解】（1）解：由图可得，小正方形的边长为：， ∴第一次计算的面积为：， 则第二次计算的面积为：， ∴； （2）解：由题意得， ； （3）解：由图3可得 ； （4）解：∵，， ， ∴． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $