专题03 整式的乘除（考点清单，4考点14题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（浙教版2024）

清单03 整式的乘除 （4个考点梳理+14种题型解读+提升训练） 清单01 幂的运算 幂的运算法则中底数a的规定：底数a可以是单项式，也可以是多项式. 1）同底数幂相乘 底数不变，指数相加，即（m，n都是正整数） 【补充】1.逆用公式：（m，n都是正整数） 2.三个或三个以上同底数幂相乘时，这一法则同样适用，如：（m，n，p都是正整数） 2）幂的乘方 底数不变，指数相乘，即（m，n都是正整数） 【补充】1.逆用公式：（m，n都是整数） 2.拓展：（m，n，p都是正整数） 3）积的乘方 积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即（n为正整数） 【补充】1.逆用公式：（n为正整数） 2.拓展：（n为正整数） 4）同底数幂的除法 底数不变，指数相减，即（a≠0，m，n都为正整数，且m＞n） 【补充】1.关键：看底数是否相同，指数相减是指被除式的指数减去除式的指数. 2.逆用公式：（a≠0，m、n都是正整数）. 3.拓展：（a≠0，m，n，p都是正整数且m＞n+p）. 【注意】1.注意指数为1的情况，如：，计算时容易遗漏或将x的指数当做0. 2.多个同底数幂相除时，应按顺序计算. 5）零指数幂 任何不等于0的数的0次幂都等于1，即（a≠0）. 清单02 整式的乘法 1）单项式乘单项式 运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 2）单项式乘多项式 运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即. 【补充】 1.运算的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同. 2.计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. 3.对单项式乘多项式，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 3）多项式乘多项式 运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即 . 【补充】 1.多项式乘多项式时，要按一定的顺序进行，必须做到不重不漏. 2.多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号. 3.运算结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 4.若结果中含有同类项，则一定要进行合并同类项，使得结果为最简形式. 5.多项式乘多项式法则也适用于多个多项式相乘，即按顺序先将前两个多项式相乘，再把乘积和第三个多项式相乘，依次类推. 6.特殊二次项相乘：，其中：a，b为常数. 清单03 乘法公式 1）平方差公式 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即： 特点：等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；等号右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与相反项的平方差. 平方差公式的常见变化形式： ①位置变化： ②符号变化： 【注意事项】 1）对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式. 2）公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式，所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误. 2）完全平方公式 完全平方公式：两个数的和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的两倍.即. 特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 口诀：首平方，尾平方，二倍乘积放中央，中间符号同前方. 完全平方式的常见变形（①-⑤基础必须掌握）： 清单04 整式的除法 1）单项式除以单项式 运算法则：一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 【注意】 1. 系数相除时，不要遗漏系数前面的符号； 2. 不要遗漏只在被除式里含有的字母. 2）多项式除以单项式 运算法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 实质：把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式. 【注意】 1. 在计算时，多项式各项要包括前面的符号，商的各项的符号由多项式中各项的符号与单项式的符号决定. 2. 在进行多项式除以单项式的计算时不要漏项，所得结果的项数应与被除式的项数相同. 【考点题型一】同底数幂的乘法（） 1．（21-22七年级下·浙江绍兴·期末）若，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘法则的逆用，将待求式化为，再代入计算即可． 【详解】∵， ∴． 故答案为：6． 2．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键． 先化简得，代入数值即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 3．（23-24七年级下·浙江·期末）信息技术的存储设备常用等作为存储的单位．例如，我们常说某移动硬盘的容量是，某个文件大小是等，其中，，对于一个存储量为的硬盘，其容量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法运算，根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故选：C． 4．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，，为正整数）．类似地，我们规定关于任意正整数，的一种新运算：．若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的运算，新定义运算，准确理解题意是解题的关键，根据新定义将进行分解，再求解即可． 【详解】∵，， ∴， 故选：D． 【考点题型二】幂的乘方（） 5．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期末）若，，则 ． 【答案】 【分析】利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：当，时， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 6．（22-23七年级下·浙江衢州·期末）计算：，正确结果是（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】逆用幂的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方运算法则，准确计算． 7．（22-23七年级下·浙江金华·期末）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据整式加法运算法则可知，再根据幂的乘方的运算法则可知进而即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 故选． 【点睛】本题考查了整式的加法运算法则，幂的乘方的运算法则，掌握整式的加法运算法则是解题的关键． 8．（20-21七年级下·浙江·期末）已知，化简并求值：． 【答案】16或80 【分析】原式利用平方差公式及完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，再利用幂的乘方运算得到a，b的值，代入计算即可． 【详解】解： = = = ∵， ∴a=±2，2b-2=6， ∴b=4， 当a=2时，原式==； 当a=-2时，原式==． 【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，幂的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【考点题型三】积的乘方（） 9．（20-21七年级下·江苏苏州·阶段练习） ． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方和积的乘方公式，熟记公式并能逆运用是解题关键．逆运用同底数幂的乘方和积的乘方公式计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 10．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）下列等式中，从左到右计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方法则，掌握这两个法则是关键；利用积的乘方计算，再利用幂的乘方计算即可． 【详解】解：A、，计算错误； B、，计算错误； C、，计算错误； D、，计算正确； 故选：D． 11．（2024·安徽合肥·二模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，根据积的乘方计算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：D． 12．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）对正整数 ，规定 ，记 对正整数 n ，规定 ，记，若正整数使得为完全平方数，请写出一个符合条件的 k 的值： 【答案】12（答案不唯一） 【分析】本题考查完全平方数的知识，积的乘方逆用法则，根据题意把S分解成的形式，再根据完全平方数的定义即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 都为完全平方数， 为完全平方数， 的值可以是， 故答案为：12（答案不唯一）． 【考点题型四】同底数幂的除法（） 13．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）是的（　　）倍． A．5 B．2025 C． 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的乘方，根据同底数幂的除法运算法则进行计算即可，熟练掌握同底数幂的除法运算法则是解题的关键． 【详解】解：． 故选：B． 14．（23-24七年级下·浙江金华·期末）若实数m，n满足，则 ． 【答案】/ 【分析】此题考查同底数幂除法和负整数指数幂的意义，利用法则把原式变形为，再整体代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）已知二元一次方程，求 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，同底数幂的除法运算．熟练掌握二元一次方程的解，同底数幂的除法运算，整体代入是解题的关键． 由题意知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故答案为：． 16．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）我们规定两数a、b之间的一种运算，记作：如果，那么；例如，记作， (1)根据以上规定求出：______________；______________； (2)小明发现也成立，并证明如下 设：          根据以上证明，请计算，______________] (3)猜想，______________]，并说明理由． 【答案】(1)3，0 (2)42 (3)2，理由见解析 【分析】本题考查有理数的乘方、同底数幂的乘除法的逆用，理解题中运算方法是解答的关键． （1）根据题中运算方法，结合有理数的乘方求解即可； （2）类比题中例题解法步骤结合同底数幂的乘法运算求解即可； （3）类比题中例题解法步骤结合同底数幂的除法运算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， 故答案为：3，0； （2）解：设，， ∴，，， ∵，则， ∴， 故答案为：42． （3）解：猜想，理由： 设，， ∴，，， ∵，则， ∴， 故答案为：2． 【考点题型五】用科学记数法表示小于1的数（） 17．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）太空中微波理论上可以在0.000006秒内接收到相距约的信息，数据0.000006用科学记数法表示应为 ． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值． 【详解】解：数据0.000006用科学记数法表示应为 故答案为： 18．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）2025年3月27日，在展会现场，深圳新凯来工业机器有限公司首次对外公开半导体产品线，被市场称为国产芯片设备的“重大突破”．已知某国产芯片制程为0.00000007米，则0.00000007用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数：当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：． 故选：A． 19．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）1纳米=米，1微米毫米，则1纳米= 微米（用科学记数法表述）． 【答案】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定即可得解，熟练掌握科学记数法表示方法是解决此题的关键． 【详解】1纳米米毫米毫米微米微米， 故答案为：． 20．（2024·四川广元·中考真题）2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒．将43阿秒用科学记数法表示为 秒． 【答案】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，解题的关键是熟知．根据题意可知，43阿秒秒，再根据科学记数法的表示方法表示出来即可． 【详解】解：根据题意1阿秒是秒可知， 43阿秒秒， 故答案为：． 【考点题型六】单项式乘单项式（） 21．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式与单项式相乘，积的乘方和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据单项式与单项式相乘的法则计算即可； （2）根据单项式与单项式相乘的法则计算即可； （3）首先计算积的乘方和幂的乘方，然后根据单项式与单项式相乘的法则计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）． 故答案为：；；. 22．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． （1）先计算幂的乘方与积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得解； （2）先计算幂的乘方与积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得解； （3）先计算幂的乘方与积的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后计算加减即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 23．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握积的乘方，单项式与单项式的乘法是解答本题的关键． （1）计算单项式与单项式的乘法即可求解； （2）计算单项式与单项式的乘法即可求解； （3）先算积的乘方，再算单项式与单项式的乘法； （4）先算积的乘方，再算单项式与单项式的乘法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【考点题型七】单项式乘多项式（） 24．（2025七年级下·浙江·专题练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式乘多项式，熟练掌握单项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键． 根据单项式乘多项式的乘法法则解决此题． 【详解】解： ． 故选：C． 25．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了积的乘方运算以及单项式乘以多项式以及合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案； （2）利用单项式乘以多项式运算法则以及单项式乘以单项式运算法则计算得出答案； （3）直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案； （4）利用单项式乘以多项式运算法则计算，再合并同类项得出答案． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式 ． 26．（22-23七年级上·吉林长春·期末）代数式的值（    ） A．与字母都有关 B．只与有关 C．只与有关 D．与字母都无关 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握整式混合运算法则是解题的关键． 根据整式的混合运算法则先展开，再合并，由此即可求解． 【详解】解： ， ∴结果只与有关， 故选：B ． 27．（22-23七年级下·浙江·阶段练习）若要使的展开式中不含的项，则常数a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，合并同类项，以及整式不含某项，正确掌握相关运算法则是解题关键．利用相关运算法则计算得到，根据展开式中不含的项，即的系数为零，据此建立等式求解，即可解题． 【详解】解：， ， 展开式中不含的项， ， 解得， 故答案为：． 【考点题型八】多项式乘多项式（） 28．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）已知的展开式中不含x项，则常数a的值为 ． 【答案】/0.25 【分析】本题考查多项式乘多项式不含某一项的问题．先根据多项式乘多项式法则进行展开，再根据展开式中不含x项，得到x项的系数为0，即可求出a的值． 【详解】解： ， ∵展开式中不含x项， ∴， 解得， 故答案为：． 29．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）若等式对任意实数都成立，那么的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，解一元一次方程，先按照多项式乘以多项式计算，然后根据已知条件得出，，解一元一次方程即可求出m，n的值． 【详解】解： ， ∵ ，等式对任意实数都成立， ∴，， 解得：，， 故选：B． 30．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）已知 ，则 ． 【答案】12 【分析】此题考查了多项式乘多项式，负整指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 已知等式右边利用多项式乘多项式法则计算，合并同类项后再利用多项式相等的条件求出与的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：， ，， 解得：，， 则原式． 故答案为：12． 31．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，张如图1的长为，宽为长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为，空白部分的面积为，若，则，满足的数量关系为 ． 【答案】 【分析】从图形可知空白部分的面积为为中间边长为的正方形面积，上下两个直角边长分别为和的直角三角形的面积以及左右两个直角边为和的直角三角形面积的总和，阴影部分的面积为是大正方形面积与空白部分面积之差，最后根据即可解答． 【详解】解：∵张长为，宽为长方形纸片， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了求阴影部分面积和完全平方公式，正确列出阴影部分与空白部分的面积是解题的关键． 32．（23-24七年级下·浙江金华·期末）一个长方形的长、宽分别为，如果将长方形的长和宽分别增加和． (1)新长方形的面积比原长方形的面积增加了多少？ (2)若，求长方形增加的面积． (3)如果新长方形的面积是原长方形面积的2倍，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)12． 【分析】本题考查的是多项式的乘法与图形面积，求解代数式的值； （1）先分别计算新的长方形与原长方形的面积，再作差即可； （2）把代入（1）中的代数式，再计算即可； （3）由条件可得，再计算，最后整体代入即可； 【详解】（1）解：依据面积公式得，新长方形的面积为； 原长方形的面积为 所以； （2）解：当时， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴ ； 【考点题型九】单项式除单项式（） 33．（23-24七年级下·浙江温州·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查单项式除以单项式，根据运算法则直接计算即可． 【详解】， 故答案为：． 34．（21-22七年级下·浙江舟山·期末）计算 ． 【答案】 【分析】根据单项式除以单项式的运算，求解即可． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】此题考查了单项式除以单项式，解题的关键是掌握单项式除以单项式的运算法则． 35．（20-21七年级上·浙江·期末）小红家的收入分农业收入和其他收入两部分，今年农业收入是其他收入的1.5倍，预计明年农业收入将减少20%；而其他收入将增加40%，那么预计小红家明年的全年总收入比今年（    ） A．增加了4% B．增加了8% C．减少了4% D．减少了8% 【答案】A 【分析】设小红家的其他收入为，则农业收入为，而明年的农业收入和其他收入也可以用表示出来，然后进行比较即可． 【详解】解：设小红家的其他收入为， 今年农业收入是其他收入的1.5倍， 则农业收入为， 今年全年的收入是； 明年农业收入将减少， 则明年的农业收入是， 明年的其他收入是， 明年的全年收入是， 所以明年的收入增加的是：． 故选：A． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是读懂题意，并明确增加或减少的百分数的计算方法． 【考点题型十】多项式除单项式（） 36．（23-24七年级下·浙江温州·期末）若，则A代表的整式是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是多项式除以单项式，多项式除以单项式的运算法则的实质是把多项式除以单项式的运算转化为单项式的除法运算．根据多项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 37．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了整式的除法计算，根据多项式除以单项式法则依次计算并判断 【详解】解：A.除不尽，故错误； B.除不尽，故错误； C.，故正确； D.，故错误； 故选：C 38．（21-22七年级下·浙江湖州·期末）小伟同学的错题本上有一题练习题，这道题被除式的第二项和商的第一项不小心被墨水污染了（污染处用字母和表示），污染后的习题如下：． (1)请你帮小伟复原被污染的和处的代数式，并写出练习题的正确答案； (2)爱动脑的小芳同学把练习题的正确答案与代数式相加，请帮小芳求出这两个代数式的和，并判断所求的和能否进行因式分解？若能，请分解因式；若不能，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)能， 【分析】（1）根据多项式与单项式的除法法则计算即可 （2）先求正确答案与的和，再因式分解即可． 【详解】（1）， ， ∴原题为. 则答案为： （2）， 能因式分解： 【点睛】本题考查多项式除以单项式及因式分解，掌握相应法则时解题关键． 39．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据整式运算法则进行化简，再代入数值计算即可． 【详解】解： ， 把代入得，原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算－求值，解题关键是熟练运用整式运算法则和乘法公式进行化简，代入数值后准确计算． 【考点题型十一】运用平方差公式进行计算（） 40．（22-23七年级下·浙江金华·期末）下列能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平方差公式：解答． 【详解】解：A、能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； B、不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； C、不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； D、不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． 41．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期末）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将式子乘以，值不变，然后运用平方差公式计算即可求解． 【详解】解： ． 故选：A． 【点睛】本题考查平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 42．（22-23七年级下·浙江金华·期末）若能运用平方差公式计算，则，满足的条件可能是（    ） ①，；②，；③，；④，． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据平方差公式的特点进行分析即可． 【详解】解：∵能运用平方差公式计算， ∴，或，， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方． 43．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）若，则m的值为 ． 【答案】±6 【分析】先利用平方差公式计算右边，再由相应字母的系数相同求解即可． 【详解】解：右边(x+my)(x-my)==， ∴， ∴m=±6， 故答案为：±6． 【点睛】题目主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解题关键． 【考点题型十二】求完全平方式中的字母的系数（） 44．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）若关于x的代数式（m是常数）是一个完全平方式，则 ． 【答案】 【分析】本题根据完全平方公式的结构特征进行分析，两倍的平方和，加上或减去它们乘积的2倍，在已知首尾的两位数的情况下，对中间项2倍乘积要分正负两种情况，这点特别注意．根据首末两项分别是和2的平方，可得中间一项为加上或减去它们乘积的2倍，即可求出m的值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴． 故答案为：． 45．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）若是一个完全平方式，则n的值是 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方式．先利用完全平方公式把已知等式的左边展开，然后根据完全平方式的结构特征，列出关于，的方程，解方程即可． 【详解】解：，是一个完全平方式， ，， 解得：，， 故答案为：． 46．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）若是一个完全平方式，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据完全平方式的定义得到，进而得到或，即可求出的值． 【详解】解：是一个完全平方式， ∴， 或， 解得或． 故选：C 【点睛】此题考查了完全平方式概念，如果一个三项式是两个数的平方加（或减）这两个数的积的2倍，则这个三项式是完全平方式，准确理解完全平方式的定义并熟练运用是解题关键． 【考点题型十三】运用完全平方式进行计算（） 47．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）已知，则代数式的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了完全平方公式，代数式求值，二次根式的加法运算．熟练掌握完全平方公式，代数式求值，二次根式的加法运算是解题的关键． 根据，代值求解即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 48．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）（1）计算：． （2）当时，求代数式的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式的化简求值， （1）根据多项式乘以多项式继续计算即可求解； （2）先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； 当时，原式 49．（23-24七年级下·浙江·期末）已知对任意实数x，分式都有意义，则实数k的值可以是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，分式有意义的条件，解一元一次不等式； 先利用完全平方公式对分式的分母进行变形，然后根据分式有意义分母不为0得出关于k的不等式，解不等式可得答案． 【详解】解：， ∵对任意实数x，分式都有意义， ∴， ∴， 则实数k的值可以是10， 故选：D． 50．（23-24七年级下·浙江·期末）如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式．再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，能解决一些与非负数有关的问题．如：求代数式最大值或最小值等．求代数式的最小值，同学们经过探究，合作，交流，最后得到如下的解法： 解：， 是非负数 当时，的值最小，最小值为1，的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最小值； (3)若，求的最大值． 【答案】(1)2 (2) (3)5 【分析】此题考查了运用完全平方公式进行计算，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）原式利用完全平方公式配方后，利用平方的非负性求出最小值即可； （2）原式利用完全平方公式配方后，利用平方的非负性求出最小值即可； （3）由，可得，代入中利用完全平方公式配方后，利用平方的非负性求出最大值即可． 【详解】（1）解：， ∵是非负数， ∴当时，的值最小，最小值为2， ∴的最小值为2； （2）解： ， ， ． 的最小值是． （3）解：， ， ∴ ， ， ． 的最大值． 【考点题型十四】通过对完全平方式变形求值（） 51．（2020·江苏宿迁·中考真题）已知 ，代数式 ，则的值是 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知完全平方公式的变形运用． 先把进行平方，再根据，得到的值． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， 故． 故答案为：2. 52．（23-24七年级下·浙江金华·期末）已知，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是利用完全平方公式的变形求解代数式的值，利用平方根的含义解方程，直接利用完全平方公式的变形进行计算即可； 【详解】解：∵，， ∴ ； ∴； 故选B 53．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，已知四边形、四边形都是正方形，的面积为5，的长为7，那么阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质，三角形的面积，灵活运用正方形的性质是解题的关键．根据题意得出阴影部分的面积进行计算即可． 【详解】解：四边形、四边形都是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积， 故答案为：． 54．（23-24七年级下·浙江金华·期末）基础体验：（1）若实数a，b满足，，求的值 进阶实践：（2）若实数x满足，求的值． 高阶探索：（3）如图，已知正方形与正方形的面积之和为65，，求长方形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）28 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行计算，即可解答； （2）设，则，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答； （3）设正方形的边长为a，正方形是边长为b，根据题意可得，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）∵， ， ∴ ∴ ∴．     （2）设， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （3）设正方形的边长为a，正方形是边长为b， ∵正方形与正方形的面积之和为65， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴长方形的面积为28． 55．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)设a为常数且，若，求a的值． 【答案】(1)12 (2) (3) 【分析】本题考查完全平方公式的运用，解题的关键是牢记，熟练运用整体代入思想． （1）利用完全平方公式将变形为，即可求解； （2）先通分，再整体代入计算，即可求解． （3）先将展开后整体代入计算，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）； （3）由题意，得， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 整式的乘除 （4个考点梳理+14种题型解读+提升训练） 清单01 幂的运算 幂的运算法则中底数a的规定：底数a可以是单项式，也可以是多项式. 1）同底数幂相乘 底数不变，指数相加，即（m，n都是正整数） 【补充】1.逆用公式：（m，n都是正整数） 2.三个或三个以上同底数幂相乘时，这一法则同样适用，如：（m，n，p都是正整数） 2）幂的乘方 底数不变，指数相乘，即（m，n都是正整数） 【补充】1.逆用公式：（m，n都是整数） 2.拓展：（m，n，p都是正整数） 3）积的乘方 积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即（n为正整数） 【补充】1.逆用公式：（n为正整数） 2.拓展：（n为正整数） 4）同底数幂的除法 底数不变，指数相减，即（a≠0，m，n都为正整数，且m＞n） 【补充】1.关键：看底数是否相同，指数相减是指被除式的指数减去除式的指数. 2.逆用公式：（a≠0，m、n都是正整数）. 3.拓展：（a≠0，m，n，p都是正整数且m＞n+p）. 【注意】1.注意指数为1的情况，如：，计算时容易遗漏或将x的指数当做0. 2.多个同底数幂相除时，应按顺序计算. 5）零指数幂 任何不等于0的数的0次幂都等于1，即（a≠0）. 清单02 整式的乘法 1）单项式乘单项式 运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 2）单项式乘多项式 运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即. 【补充】 1.运算的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同. 2.计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. 3.对单项式乘多项式，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 3）多项式乘多项式 运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即 . 【补充】 1.多项式乘多项式时，要按一定的顺序进行，必须做到不重不漏. 2.多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号. 3.运算结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 4.若结果中含有同类项，则一定要进行合并同类项，使得结果为最简形式. 5.多项式乘多项式法则也适用于多个多项式相乘，即按顺序先将前两个多项式相乘，再把乘积和第三个多项式相乘，依次类推. 6.特殊二次项相乘：，其中：a，b为常数. 清单03 乘法公式 1）平方差公式 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即： 特点：等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；等号右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与相反项的平方差. 平方差公式的常见变化形式： ①位置变化： ②符号变化： 【注意事项】 1）对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式. 2）公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式，所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误. 2）完全平方公式 完全平方公式：两个数的和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的两倍.即. 特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 口诀：首平方，尾平方，二倍乘积放中央，中间符号同前方. 完全平方式的常见变形（①-⑤基础必须掌握）： 清单04 整式的除法 1）单项式除以单项式 运算法则：一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 【注意】 1. 系数相除时，不要遗漏系数前面的符号； 2. 不要遗漏只在被除式里含有的字母. 2）多项式除以单项式 运算法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 实质：把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式. 【注意】 1. 在计算时，多项式各项要包括前面的符号，商的各项的符号由多项式中各项的符号与单项式的符号决定. 2. 在进行多项式除以单项式的计算时不要漏项，所得结果的项数应与被除式的项数相同. 【考点题型一】同底数幂的乘法（） 1．（21-22七年级下·浙江绍兴·期末）若，则 ． 2．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·浙江·期末）信息技术的存储设备常用等作为存储的单位．例如，我们常说某移动硬盘的容量是，某个文件大小是等，其中，，对于一个存储量为的硬盘，其容量是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，，为正整数）．类似地，我们规定关于任意正整数，的一种新运算：．若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】幂的乘方（） 5．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期末）若，，则 ． 6．（22-23七年级下·浙江衢州·期末）计算：，正确结果是（    ） A． B．1 C．2 D．4 7．（22-23七年级下·浙江金华·期末）若，，则（    ） A． B． C． D． 8．（20-21七年级下·浙江·期末）已知，化简并求值：． 【考点题型三】积的乘方（） 9．（20-21七年级下·江苏苏州·阶段练习） ． 10．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）下列等式中，从左到右计算正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（2024·安徽合肥·二模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）对正整数 ，规定 ，记 对正整数 n ，规定 ，记，若正整数使得为完全平方数，请写出一个符合条件的 k 的值： 【考点题型四】同底数幂的除法（） 13．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）是的（　　）倍． A．5 B．2025 C． 14．（23-24七年级下·浙江金华·期末）若实数m，n满足，则 ． 15．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）已知二元一次方程，求 ． 16．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）我们规定两数a、b之间的一种运算，记作：如果，那么；例如，记作， (1)根据以上规定求出：______________；______________； (2)小明发现也成立，并证明如下 设：          根据以上证明，请计算，______________] (3)猜想，______________]，并说明理由． 【考点题型五】用科学记数法表示小于1的数（） 17．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）太空中微波理论上可以在0.000006秒内接收到相距约的信息，数据0.000006用科学记数法表示应为 ． 18．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）2025年3月27日，在展会现场，深圳新凯来工业机器有限公司首次对外公开半导体产品线，被市场称为国产芯片设备的“重大突破”．已知某国产芯片制程为0.00000007米，则0.00000007用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 19．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）1纳米=米，1微米毫米，则1纳米= 微米（用科学记数法表述）． 20．（2024·四川广元·中考真题）2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒．将43阿秒用科学记数法表示为 秒． 【考点题型六】单项式乘单项式（） 21．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： （1） ； （2） ； （3） ． 22．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3) 23．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点题型七】单项式乘多项式（） 24．（2025七年级下·浙江·专题练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 25．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 26．（22-23七年级上·吉林长春·期末）代数式的值（    ） A．与字母都有关 B．只与有关 C．只与有关 D．与字母都无关 27．（22-23七年级下·浙江·阶段练习）若要使的展开式中不含的项，则常数a的值为 ． 【考点题型八】多项式乘多项式（） 28．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）已知的展开式中不含x项，则常数a的值为 ． 29．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）若等式对任意实数都成立，那么的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 30．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）已知 ，则 ． 31．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，张如图1的长为，宽为长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为，空白部分的面积为，若，则，满足的数量关系为 ． 32．（23-24七年级下·浙江金华·期末）一个长方形的长、宽分别为，如果将长方形的长和宽分别增加和． (1)新长方形的面积比原长方形的面积增加了多少？ (2)若，求长方形增加的面积． (3)如果新长方形的面积是原长方形面积的2倍，求的值． 【考点题型九】单项式除单项式（） 33．（23-24七年级下·浙江温州·期末）计算： ． 34．（21-22七年级下·浙江舟山·期末）计算 ． 35．（20-21七年级上·浙江·期末）小红家的收入分农业收入和其他收入两部分，今年农业收入是其他收入的1.5倍，预计明年农业收入将减少20%；而其他收入将增加40%，那么预计小红家明年的全年总收入比今年（    ） A．增加了4% B．增加了8% C．减少了4% D．减少了8% 【考点题型十】多项式除单项式（） 36．（23-24七年级下·浙江温州·期末）若，则A代表的整式是 ． 37．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 38．（21-22七年级下·浙江湖州·期末）小伟同学的错题本上有一题练习题，这道题被除式的第二项和商的第一项不小心被墨水污染了（污染处用字母和表示），污染后的习题如下：． (1)请你帮小伟复原被污染的和处的代数式，并写出练习题的正确答案； (2)爱动脑的小芳同学把练习题的正确答案与代数式相加，请帮小芳求出这两个代数式的和，并判断所求的和能否进行因式分解？若能，请分解因式；若不能，请说明理由． 39．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）先化简，再求值：，其中． 【考点题型十一】运用平方差公式进行计算（） 40．（22-23七年级下·浙江金华·期末）下列能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 41．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期末）计算：（    ） A． B． C． D． 42．（22-23七年级下·浙江金华·期末）若能运用平方差公式计算，则，满足的条件可能是（    ） ①，；②，；③，；④，． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 43．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）若，则m的值为 ． 【考点题型十二】求完全平方式中的字母的系数（） 44．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）若关于x的代数式（m是常数）是一个完全平方式，则 ． 45．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）若是一个完全平方式，则n的值是 46．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）若是一个完全平方式，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【考点题型十三】运用完全平方式进行计算（） 47．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）已知，则代数式的值为 ． 48．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）（1）计算：． （2）当时，求代数式的值． 49．（23-24七年级下·浙江·期末）已知对任意实数x，分式都有意义，则实数k的值可以是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 50．（23-24七年级下·浙江·期末）如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式．再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，能解决一些与非负数有关的问题．如：求代数式最大值或最小值等．求代数式的最小值，同学们经过探究，合作，交流，最后得到如下的解法： 解：， 是非负数 当时，的值最小，最小值为1，的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最小值； (3)若，求的最大值． 【考点题型十四】通过对完全平方式变形求值（） 51．（2020·江苏宿迁·中考真题）已知 ，代数式 ，则的值是 ． 52．（23-24七年级下·浙江金华·期末）已知，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 53．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，已知四边形、四边形都是正方形，的面积为5，的长为7，那么阴影部分的面积是 ． 54．（23-24七年级下·浙江金华·期末）基础体验：（1）若实数a，b满足，，求的值 进阶实践：（2）若实数x满足，求的值． 高阶探索：（3）如图，已知正方形与正方形的面积之和为65，，求长方形的面积． 55．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)设a为常数且，若，求a的值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$