专题02 整式乘除的数学运用（专项训练）数学新教材浙教版七年级下册

专题02 整式乘除的数学运用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求整式的乘除中的字母参数（常考点） 1 题型二、乘法公式与几何图形的数形结合（重点） 3 题型三、乘法公式相关的规律问题（重点） 7 题型四、完全平方公式问题的三式转化（难点） 10 题型五、定义性问题 14 B综合攻坚・能力跃升 题型一、求整式的乘除中的字母参数 1．（浙江温州市2025-2026学年下学期七年级期中检测）若，则的值是（   ） A． B． C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据多项式乘以多项式的运算法则求出的展开结果，进而得到关于a、b的方程，解方程求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26七年级下·河北衡水·期中）若关于x的多项式的结果与x的取值无关，则a的值是_______． 【答案】2 【分析】先把原式进行化简，再根据结果与x的取值无关列方程并解方程即可． 【详解】解： ∵多项式的结果与的取值无关， ∴含项的系数为0， 即， 解得：． 3．（25-26八年级上·重庆·期中）若关于x的多项式与的乘积中没有二次项，且常数项为10，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式．先利用多项式乘以多项式法则计算，根据展开式中没有二次项与常数项为10得到关于、的方程，求解即可． 【详解】解： ． 乘积展开式中没有二次项，且常数项为10， ，， ，， ． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）关于的整式与相乘的积不含二次项和三次项，求与的值． 【答案】，， 【分析】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则，根据多项式乘以多项式法则先计算，再根据相乘的积不含x的二次项和三次项，则x的二次项和三次项的系数为0，求出的值即可． 【详解】解： ， 关于的整式与相乘的积不含二次项和三次项， ， ，． 5．小万和小鹿正在做一道老师留下的关于多项式乘法的习题：． (1)小万在做题时不小心将中的x写成了，结果展开后的式子中不含x的二次项，求a的值； (2)小鹿在做题时将中的一个数字看错成了k，结果展开后的式子中不含x的一次项，则k的值可能是多少？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式计算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式计算法则将对应算式展开并合并同类项，令二次系数为，即可求出答案， （2）根据多项式乘以多项式计算法则将对应算式展开并合并同类项，令一次系数为，即可求出答案． 【详解】（1）解： 展开后的式子中不含x的二次项， ， 解得； （2）解：①若将中的3看成k， ， 展开后的式子中不含x的一次项， ，． ②若将中的看成k， ， 展开后的式子中不含x的一次项， ，解得． ③若指数2看作k，当时， 原式 不符合题意； ④若指数2看作k，当时， 原式 ， 不符合题意； 或． 题型二、乘法公式与几何图形的数形结合 1．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）从图到图的变化过程中可以发现的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平方差公式的几何背景，利用面积法验证公式是解题的关键．通过观察图到图的图形变化，分别计算出两个图形的面积，再根据图形剪拼前后面积不变的原理，即可推导出平方差公式． 【详解】解：图一的面积可表示为， 图二的面积可表示为， ， 故选：． 2．（25-26八年级上·吉林长春·月考）如图，对该正方形的面积进行表达时能体现的乘法公式是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用几何图形面积推导乘法公式．通过大正方形的面积两种表示方法进行求解即可得解． 【详解】解：根据题意，大正方形的面积为， 也可以表示为 则可以得到的乘法公式是， 故答案为：． 3．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类若干张，如果用A、B、C三类卡片拼成一个边长为的正方形，则需要C类卡片_______张．   【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 先根据完全平方公式求出边长为的正方形的面积，再分析各类卡片的面积，从而得出需要类卡片的数量． 【详解】解：∵ 边长为的正方形的面积为，类卡片面积为，类卡片面积为，类卡片面积为 ∴ 拼成该正方形需要类卡片张，类卡片张，类卡片张． 故答案为： 4．乘法公式的探究及应用． (1)如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）； (2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 （写成多项式乘法的形式）； (3)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （用式子表达）； (4)运用你所得到的公式，计算下列题： 【答案】(1) (2)，, (3) (4) 【分析】此题主要考查了平方差公式，熟悉相关性质是解题的关键． （1）利用正方形的面积公式就可求出； （2）仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积； （3）建立等式就可得出； （4）利用平方差公式就可方便简单的计算． 【详解】（1）解：利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积； （2）解：由图可知长方形的宽是，长是，所以面积是； （3）解：（等式两边交换位置也可）； 故答案为：； （4）解： ； 5．（25-26八年级上·湖北恩施·期末）对于一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如根据图1，通过计算面积我们可以得到数学等式． (1)通过求图形2的面积，你可以得到数学等式：______； (2)请根据整式乘法的运算法则，通过计算验证你所得到的数学等式； (3)若a，b，c满足，求的值． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】本题主要考查多项式的混合运算与图形面积的计算． （1）根据图形面积的计算求解即可； （2）运用完全平方公式计算即可； （3）根据（1）得到，再变形，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：大正方形的面积为：， 各部分的面积和为：， ∴； （2）解： ， ∴； （3）解：根据题意，， ∴， ∵ ， ∴ ． 题型三、乘法公式相关的规律问题 1．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图，为杨辉三角的一部分，下图给出了的展开式的系数规律． 根据数表规律得的展开式中第二项是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是杨辉三角与二项式展开式，灵活运用杨辉三角的系数规律及代入法展开是解题的关键．根据杨辉三角给出的的展开式系数规律，得到的展开式，再将，代入，进而求出展开式的第二项． 【详解】解：由图可得，， 将，代入得：， 化简得，， 的展开式中第二项是． 故选：． 2．（25-26七年级下·浙江宁波·月考）计算的值是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平方差公式对每个因式分解，分解后通过约分消去中间项，即可计算得到最终结果． 【详解】解：∵ ， ∴原式可变形为： ． 3．（25-26七年级下·山东青岛·月考）计算：______． 【答案】 【分析】将原式相邻两项两两分组，利用平方差公式化简分组后的式子，再对所有项求和即可得到结果． 【详解】解：原式 . 4．（25-26八年级上·四川内江·月考）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如下表所示，它揭示了（为非负整数）展开式的各项系数的规律． 1         1   1 1   2   1 1   3   3   1 …… …… 有如下几个结论：①展开式有项，系数和为；②的结果是；③当代数式的值是时，有理数的值是；④如果今天是星期一，那么天后是星期二．其中正确的序号是________． 【答案】② 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，完全平方公式、幂的乘方，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先研究已有的过程得展开式共有项，系数的和为：，再把②③④结合“杨辉三角”的规律，进行整理化简，即可作答． 【详解】解：∵，系数的和为：， ，系数的和为：， ，系数的和为：， ，系数的和为：， ∴，系数的和为：， …… 以此类推，展开式共有项，系数的和为：，故①不符合题意； 结合“杨辉三角”，则， ∴， 即的结果是；故②符合题意； 结合“杨辉三角”，则， 即， ∵当代数式的值是1， ∴， ∴， 解得或，故③不符合题意； ，其展开式除最后一项外，均含有因数，都能被整除， 其展开式的最后一项为， ∴的余数与的余数相同， ∴的余数为6， 因此今天是星期一，再过天是星期天．故④不符合题意； 综上分析可知：正确的序号是②． 故答案为：②． 5．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）观察下列各式的规律，解答下列问题 第1个等式 第2个等式 第3个等式 第4个等式 …… (1)根据上述规律，请写出第5个等式： ． (2)猜想： ． (3)利用（2）中的结论，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知等式写成第个等式即可； （2）观察可知第n个式子左边的第一个多项式为，第二个多项式中是按照字母a的指数降序排列的，且每一项只含有a、b两个字母，每一项的系数都为1，字母的指数之和为n，等式右边是，据此可得答案； （3）将原式变形为，利用，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，第5个等式为； （2）解：第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． ……， 以此类推可知，； （3）解：原式 ． 题型四、完全平方公式问题的三式转化 1．（25-26八年级上·广东湛江·月考）已知，，则等于（   ） A．1 B． C．1或 D．以上都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，运用完全平方公式进行运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 利用完全平方公式计算的平方，再求值． 【详解】解：∵， ，， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25七年级下·河北保定·月考）若，，则的值是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，熟知是解题的关键． 根据完全平方公式得到①，②，然后把两个等式相加即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴①， ∵， ∴②， ①＋②得，， ∴， 故选：A 3．（2026·吉林松原·模拟预测）若，，则_________． 【答案】1 【分析】将已知两式相减，再利用完全平方公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级上·天津北辰·月考）若，则________． 【答案】16 【分析】本题考查完全平方公式的应用，掌握知识点是解题的关键． 将已知等式左边用完全平方公式展开，得到关于的表达式，再通过代数运算求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴． 故答案为：16． 5．（25-26七年级下·陕西宝鸡·月考）在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题．比如，运用两数和的完全平方公式，能够在三个代数式，，中，已知其中任意两个代数式的值时，求出第三个代数式的值．例如：已知，，求的值． 解：将两边同时平方，得， 即， 因为， 等量代换，得， 所以． 请根据以上信息，解答下列问题． (1)已知，，求的值； (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a，b，若，，求图中阴影部分的面积； (3)若，则的值为多少？ 【答案】(1)8 (2)22 (3)13 【分析】（1）根据完全平方公式变形，再将，代入即可求解； （2）根据题意得出图中阴影部分的面积，再根据完全平方公式变形求出的值，即可求解； （3）令，，则，，根据计算即可． 【详解】（1）解： ，，， ， 解得； （2）解：由图可得，阴影部分的面积， ，， ， 阴影部分的面积； （3）解：令，， 则，， ． 6．（25-26八年级上·福建泉州·期末）【阅读理解】我们已经学过完全平方公式：，适当地变形，可以解决很多的数学问题． 例：若，，求的值． 解：由完全平方公式：， 因此． 因为，， 所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）填空：若，，则_____； 【类比应用】 （2）若关于的方程满足，求的值； 【思维拓展】 （3）“幻方”是中国古代数学的智慧结晶，最早记载于春秋《大戴礼记》．现将数字填入如图所示的三个两两相交的圆圈中，三个交点处（即两个圆圈的重叠部分）填入的数字分别记为，，． 若每个圆圈上的三个数字之和都相等，求的值； 在的条件下，若每个圆圈上的三个数字的平方和分别记为，，，且，求的值． 【答案】（）；（）；（） 或； ． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）仿照题例即可求解； （）因为，显然，所以，即，然后两边平方即可求解； （）设每个圆圈上的三个数字之和为，则得，因为为整数，且，解得，然后通过为的倍数即可求解； 因为，所以，即，然后分（）当，（）当两种情况求解即可． 【详解】解：（）由完全平方公式：， 因此， 因为，， 所以， 故答案为：； （）因为，显然， 所以， 即， 所以； （）设每个圆圈上的三个数字之和为， ∴， ， ， 因为为整数，且， 解得， 又因为为的倍数， 所以或； 因为， 所以， 即， （）若，则， 所以（不合题意，舍去）； （）若，则， 所以． 所以的值为． 题型五、定义性问题 1．（24-25七年级下·山西太原·月考）对于任意有理数，现用“☆”定义一种运算：☆，根据这个定义，代数式☆可以化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式乘法，掌握平方差公式的结构特征是解题关键．根据已知新定义运算法则列式，再结合平方差公式计算即可． 【详解】解：☆ ， 故选：D． 2．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）对于任意有理数a，b，c，d，定义一种新运算：．则的计算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的混合运算，理解新运算法则是解答的关键．根据新运算的法则，列式计算即可． 【详解】解：原式 故选B． 3．（25-26七年级下·江西萍乡·期中）定义新运算：，那么______． 【答案】 【详解】解：， ． 4．（25-26八年级上·福建泉州·期中）在数学的世界里，新定义的运算常常能为我们探索数的规律打开新的窗口．有一种名为“幂记号”的新定义：如果、、是整数，且，那么我们规定一种记号，例如：，那么记作．现已知、是正整数，且，，，利用定义可以得到____．（用含、的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，关键是根据新定义进行转换； 根据幂记号的定义，将已知条件转化为指数形式，再代入求解. 【详解】解：由已知，，根据定义得：； 同理，，得 ； 则：， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： . 1．（江苏徐州市2025—2026学年度第二学期期中检测七年级）已知不含x的一次项，则a的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】利用多项式乘多项式法则展开原式，根据“不含x的一次项”得到一次项系数为0，解方程即可求出a的值． 【详解】解： ， ∵不含x的一次项， ∴x的一次项系数为0，即， 解得． 2．对于任意有理数a，b，现有“*”定义一种运算：，根据这个定义，代数式可以化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题目中给出的运算方法，即可推出原式，通过计算即可推出结果． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了整式的运算，解题的关键是根据题意掌握新运算的规律． 3．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）从边长为的正方形内剪掉一个边长为的小正方形（图①），然后将剩余部分剪拼成一个矩形（图②）．这样操作能验证的等式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，分别由代数式表示出两个阴影部分面积，再由图1和图2中阴影部分面积关系即可得到答案．数形结合，准确表示出图1和图2中阴影部分的面积是解决问题的关键． 【详解】解：图1阴影部分的面积为大正方形面积减去小正方形面积：； 图2矩形面积：； 由题意可知图1和图2阴影部分的面积相等，则， 故选：B． 4．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）设、、、均为整数，关于的多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为．下列结论： ①当时，则；②的值能被8整除； ③若，则的最大值为1；④若，．则． 其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘法法则、平方差公式，先根据多项式乘法法则得到，，再逐个判断四个结论的对错，结合整数的性质统计正确结论的个数即可． 【详解】解：，一次项系数为， ， ，一次项系数为， ， 均为整数， ① 当时， ， ， 故①正确； ② ，， 为整数， 是整数， 能被整除， 故②正确； ③， ，即 ， ， 当时取等号，符合是整数的条件， 的最大值为， 故③正确； ④ 代入，， 得： 整理得：， 当，时， 满足所有条件， 此时， 故④错误； 综上，正确的结论有个． 5．（25-26七年级下·江苏徐州·月考）若展开后不含x的一次项，则p与q的关系是___________． 【答案】 【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据结果中不含x的一次项，即含x的一次项系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵展开后不含x的一次项， ∴，即． 6．（江苏盐城市2025-2026学年度第二学期期中考试七年级）有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的长方形，需要A、B、C类卡片共_____张． 【答案】9 【分析】根据长方形的面积来判断各需要多少张A、B、C类卡片，最后计算卡片总和． 【详解】解：长方形的面积长宽， 且A、B、C类卡片面积分别为， 故需要2张A，5张B，2张C，共9张． 7．（25-26七年级下·山东青岛·期中）规定一种新运算为：，例如：．根据此规定，解决下列问题： (1)__________； (2)若的结果是一个关于，的完全平方式，则的值为__________； (3)若的值为2，则的值为__________． 【答案】(1)8 (2) (3)3 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）先根据新定义化简，再由完全平方公式的结构特征求解即可； （3）先根据新定义得到，再化简得到，然后进行整体代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：由题意得， ， ∵结果是一个关于，的完全平方式， ∴； （3）解：∵的值为2， ∴ ∴， ∴． 8．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． 请根据规律，写出的展开式中含项的系数是______． 【答案】 【分析】根据题意展开，再把，代入计算即可解答． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴， 令，代入得， ∴含项为， ∴的展开式中含项的系数是． 9．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）已知的展开式中不含和项． (1)分别求、的值； (2)化简求值： 【答案】(1)的值为，的值为 (2)， 【分析】（1）根据多项式乘多项式的运算法则将展开后合并，然后令和项的系数分别为，得到关于、的二元一次方程组，求解即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式及多项式除以单项式的运算法则将原式化简后合并，再将、代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ∵的展开式中不含和项， ∴， 解得：， 即的值为，的值为； （2）解： ， 当，时， 原式． 10．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将剩余部分拼成图2长方形． (1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）； A．；B． (2)利用你得到的公式，计算下列各式： ①； ②． 【答案】(1)B (2)①1；②5050 【分析】（1）根据图1和图2的①②面积之和相等即可得到等式； （2）利用平方差公式进行计算即可； 【详解】（1）解：图1的①②面积之和为，图2的①②面积之和为， 因此验证的等式是． （2）解：① ； ② ． 11．（25-26七年级下·福建漳州·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如： ， ．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，，则，． ． ，即． (1)根据上述规定，填空：① ，② ； (2)记，，．求证：． 【答案】(1)①；②； (2)见解析． 【分析】（1）①根据“雅对”的定义，直接找到满足的指数； ②仿照题干，设两个“雅对”为未知数，利用同底数幂乘法法则，将和转化为新的“雅对”； （2）将“雅对”转化为幂的形式，通过幂的运算建立等式，由同底数幂相等推出指数相等，完成证明． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ②设，， 则，， 可得， 故， 即； （2）证明：∵，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴． 12．（24-25八年级上·四川宜宾·月考）观察下列各式： ； ； ． （1）根据以上规律，则 ； （2）你能否由此归纳出一般规律 ； （3）根据以上规律计算：． （4）根据以上规律计算：= ． 【答案】（）；（）；（）；（）． 【分析】（）仿照已知等式求出所求原式的值即可； （）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （）原式变形后，利用得出的规律变形，计算即可求出值； （）原式变形后，利用得出的规律变形，计算即可求出值； 此题考查了平方差公式，数字的变化类，以及多项式乘多项式，熟练掌握公式及法则是解题的关键． 【详解】（）解：∵； ； ； ； ∴， 故答案为：； （）解：∵； ； ； ∴， 故答案为：； （）解： ； （）解： 故答案为：． 13．（25-26七年级下·江西抚州·期中）如图①，是一个长为、宽为的长方形，用剪刀沿图中的虚线（对称轴）剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）． (1)图②中画有阴影的小正方形的边长等于_____； (2)观察图②，代数式，与之间的等量关系为_____； (3)思维迁移： （i）若，求的值． （ii）若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)（i）；（ii）5 【分析】（1）根据图形之间的关系即可得到答案； （2）图②中画有阴影的小正方形的面积等于大正方形的面积减去4个小长方形的面积，又等于其边长的平方，据此分别表示出图②中画有阴影的小正方形的面积即可得到答案； （3）（i）根据（2）的结论代入求值即可；（ii）根据（2）的结论可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，图②中画有阴影的小正方形的边长等于； （2）解：图②中画有阴影的小正方形的面积等于大正方形的面积减去4个小长方形的面积，即其面积为， ∵图②中画有阴影的小正方形的面积为， ∴； （3）解：（i）由（2）可得， ∵， ∴； （ii）∵，， ∴， ∴． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式乘除的数学运用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求整式的乘除中的字母参数（常考点） 1 题型二、乘法公式与几何图形的数形结合（重点） 2 题型三、乘法公式相关的规律问题（重点） 3 题型四、完全平方公式问题的三式转化（难点） 4 题型五、定义性问题 6 B综合攻坚・能力跃升 题型一、求整式的乘除中的字母参数 1．（浙江温州市2025-2026学年下学期七年级期中检测）若，则的值是（   ） A． B． C．8 D．9 2．（25-26七年级下·河北衡水·期中）若关于x的多项式的结果与x的取值无关，则a的值是_______． 3．（25-26八年级上·重庆·期中）若关于x的多项式与的乘积中没有二次项，且常数项为10，则______． 4．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）关于的整式与相乘的积不含二次项和三次项，求与的值． 5．小万和小鹿正在做一道老师留下的关于多项式乘法的习题：． (1)小万在做题时不小心将中的x写成了，结果展开后的式子中不含x的二次项，求a的值； (2)小鹿在做题时将中的一个数字看错成了k，结果展开后的式子中不含x的一次项，则k的值可能是多少？ 题型二、乘法公式与几何图形的数形结合 1．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）从图到图的变化过程中可以发现的结论是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·吉林长春·月考）如图，对该正方形的面积进行表达时能体现的乘法公式是______． 3．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类若干张，如果用A、B、C三类卡片拼成一个边长为的正方形，则需要C类卡片_______张．   4．乘法公式的探究及应用． (1)如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）； (2)如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 （写成多项式乘法的形式）； (3)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （用式子表达）； (4)运用你所得到的公式，计算下列题： 5．（25-26八年级上·湖北恩施·期末）对于一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如根据图1，通过计算面积我们可以得到数学等式． (1)通过求图形2的面积，你可以得到数学等式：______； (2)请根据整式乘法的运算法则，通过计算验证你所得到的数学等式； (3)若a，b，c满足，求的值． 题型三、乘法公式相关的规律问题 1．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图，为杨辉三角的一部分，下图给出了的展开式的系数规律． 根据数表规律得的展开式中第二项是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·浙江宁波·月考）计算的值是（） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·山东青岛·月考）计算：______． 4．（25-26八年级上·四川内江·月考）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如下表所示，它揭示了（为非负整数）展开式的各项系数的规律． 1         1   1 1   2   1 1   3   3   1 …… …… 有如下几个结论：①展开式有项，系数和为；②的结果是；③当代数式的值是时，有理数的值是；④如果今天是星期一，那么天后是星期二．其中正确的序号是________． 5．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）观察下列各式的规律，解答下列问题 第1个等式 第2个等式 第3个等式 第4个等式 …… (1)根据上述规律，请写出第5个等式： ． (2)猜想： ． (3)利用（2）中的结论，计算：． 题型四、完全平方公式问题的三式转化 1．（25-26八年级上·广东湛江·月考）已知，，则等于（   ） A．1 B． C．1或 D．以上都不正确 2．（24-25七年级下·河北保定·月考）若，，则的值是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．（2026·吉林松原·模拟预测）若，，则_________． 4．（25-26八年级上·天津北辰·月考）若，则________． 5．（25-26七年级下·陕西宝鸡·月考）在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题．比如，运用两数和的完全平方公式，能够在三个代数式，，中，已知其中任意两个代数式的值时，求出第三个代数式的值．例如：已知，，求的值． 解：将两边同时平方，得， 即， 因为， 等量代换，得， 所以． 请根据以上信息，解答下列问题． (1)已知，，求的值； (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a，b，若，，求图中阴影部分的面积； (3)若，则的值为多少？ 6．（25-26八年级上·福建泉州·期末）【阅读理解】我们已经学过完全平方公式：，适当地变形，可以解决很多的数学问题． 例：若，，求的值． 解：由完全平方公式：， 因此． 因为，， 所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）填空：若，，则_____； 【类比应用】 （2）若关于的方程满足，求的值； 【思维拓展】 （3）“幻方”是中国古代数学的智慧结晶，最早记载于春秋《大戴礼记》．现将数字填入如图所示的三个两两相交的圆圈中，三个交点处（即两个圆圈的重叠部分）填入的数字分别记为，，． 若每个圆圈上的三个数字之和都相等，求的值； 在的条件下，若每个圆圈上的三个数字的平方和分别记为，，，且，求的值． 题型五、定义性问题 1．（24-25七年级下·山西太原·月考）对于任意有理数，现用“☆”定义一种运算：☆，根据这个定义，代数式☆可以化简为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）对于任意有理数a，b，c，d，定义一种新运算：．则的计算结果是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·江西萍乡·期中）定义新运算：，那么______． 4．（25-26八年级上·福建泉州·期中）在数学的世界里，新定义的运算常常能为我们探索数的规律打开新的窗口．有一种名为“幂记号”的新定义：如果、、是整数，且，那么我们规定一种记号，例如：，那么记作．现已知、是正整数，且，，，利用定义可以得到____．（用含、的代数式表示） 1．（江苏徐州市2025—2026学年度第二学期期中检测七年级）已知不含x的一次项，则a的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 2．对于任意有理数a，b，现有“*”定义一种运算：，根据这个定义，代数式可以化简为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·湖南娄底·期末）从边长为的正方形内剪掉一个边长为的小正方形（图①），然后将剩余部分剪拼成一个矩形（图②）．这样操作能验证的等式是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）设、、、均为整数，关于的多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为．下列结论： ①当时，则；②的值能被8整除； ③若，则的最大值为1；④若，．则． 其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（25-26七年级下·江苏徐州·月考）若展开后不含x的一次项，则p与q的关系是___________． 6．（江苏盐城市2025-2026学年度第二学期期中考试七年级）有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的长方形，需要A、B、C类卡片共_____张． 7．（25-26七年级下·山东青岛·期中）规定一种新运算为：，例如：．根据此规定，解决下列问题： (1)__________； (2)若的结果是一个关于，的完全平方式，则的值为__________； (3)若的值为2，则的值为__________． 8．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． 请根据规律，写出的展开式中含项的系数是______． 9．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）已知的展开式中不含和项． (1)分别求、的值； (2)化简求值： 10．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将剩余部分拼成图2长方形． (1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）； A．；B． (2)利用你得到的公式，计算下列各式： ①； ②． 11．（25-26七年级下·福建漳州·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如： ， ．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，，则，． ． ，即． (1)根据上述规定，填空：① ，② ； (2)记，，．求证：． 12．（24-25八年级上·四川宜宾·月考）观察下列各式： ； ； ． （1）根据以上规律，则 ； （2）你能否由此归纳出一般规律 ； （3）根据以上规律计算：． （4）根据以上规律计算：= ． 13．（25-26七年级下·江西抚州·期中）如图①，是一个长为、宽为的长方形，用剪刀沿图中的虚线（对称轴）剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形（中间是空的）． (1)图②中画有阴影的小正方形的边长等于_____； (2)观察图②，代数式，与之间的等量关系为_____； (3)思维迁移： （i）若，求的值． （ii）若，求的值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $