专题02 平行线性质的综合运用（专项训练）数学新教材浙教版七年级下册

专题02 平行线性质的综合运用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、折叠问题 1 题型二、“Σ”型平行线模型及变形（难点） 4 题型三、反射问题（常考点） 10 题型四、折射问题与折线问题（常考点） 18 题型五、旋转使得平行的问题探究（难点） 24 题型六、其他实际引用（重点） 32 B综合攻坚・能力跃升 题型一、折叠问题 1．图1是长方形纸条，，将纸条沿折叠成折叠成图2，则图中的的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据平行线的性质得出∠DEF=∠EFB，根据图形折叠的性质得出∠EFC的度数，进而得出∠CFG即可． 【详解】∵AD∥BC， ∴∠DEF=∠EFB=α， 由折叠可得：∠EFC=180°-α， ∴∠CFG=180°-α-α=180°-2α， 故选C. 2．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折党，折痕分别为若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠的性质得到，再根据平行线的性质得到，则，即可得到的度数． 【详解】解：∵翻折前后角度不变， ∴， ∵， ∴， ∴，, ∵, ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．将一张长方形纸片折叠成如图所示的图形．若，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．根据平行线的性质及折叠性质求解即可． 【详解】解：如图，点在的延长线上， ，， ， 根据折叠的性质得到，， ， ， 故答案为：． 4．如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点分别落在的位置，再沿折叠成图，若，则 °． 【答案】80 【分析】本题考查的是平行线的性质和折叠的性质，由折叠的性质得到角相等是解题关键．先根据求出的度数，进可得出和的度数，根据和三角形的内角和可得的度数，再由折叠的性质可得的度数． 【详解】∵， ∴，， 即，， ∴． ∵， ∴． 由折叠可得：， ∴． 故答案为：． 5．如图（1）是长方形纸带，，将纸带沿折叠图（2），则的度数是 ，再沿折叠成图（3），则图（3）中的的度数是 ． 【答案】 /40度 /120度 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是掌握折叠的性质，根据折叠的性质可得；根据矩形的对边平行和折叠的性质可得，由，可得，再根据角的和差即可求解． 【详解】解：根据折叠可知：， 四边形是矩形， ， ， ， ， 故答案为：，． 题型二、“Σ”型平行线模型及变形 1．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，，点在与之间，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质． 过点O作，可得，根据平行线的性质可得，即可求出，再根据得出，即可求解． 【详解】解：如图，过点O作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 2．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）如图，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，作出平行线是解答本题的关键． 作，根据平行线的性质求出，再根据角的和差得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，作， ， ， ， 又， ， ， 故选B． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，直线，点和点在两直线之间，且，则，与之间的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质探究角的关系，过点作，过点作，则，由平行线的性质可得出，，，再得出，，用再结合即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ， ， ，，， ，， ， ， ． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·山东青岛·期末）（1）基础问题：如图（1），若，，，则的度数为____________°． （2）问题迁移：如图（2），若，点P在的上方，问：、、之间有什么数量关系？请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，，的角平分线和的平分线交于点G，则____________°（用含有、的代数式表示）． 【答案】（1）90；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的计算，灵活运用平行线的性质与判定是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质与判定可求解； （2）过P点作，则，可得，进而可得，即可求解； （3）过点G作的平行线，利用平行线的判定与性质、角平分线的性质求解即可． 【详解】解：（1）如图1，过点作． ， ， ∵， ，． ， 故答案为：90； （2）．理由如下： 如图2，过点作， ， ， ，， ； （3）如图3，过点G作的平行线． ，， ， ，， 又 的平分线和的平分线交于点G，， ，， 由（2）得，， ∴， ， ． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·山西晋中·期末）【基础模型】 （1）如图1，若，点为拐点，则的数量关系为___________；若将拐点左移，如图2，此时的数量关系为___________． 【深入探究】 （2）如图3，，平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，若点在点的左侧，，，且，平分平分，请你直接用含的式子表示． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或 【分析】本题考查平行线的性质，过拐点构造平行线是解题的关键： （1）过点作，根据平行线的性质，进行推导即可； （2）结合（1）中的结论以及角平分线的定义，进行求解即可； （3）分点在直线的下方和上方，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）过点作， 如图1： 则， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图2： ∵， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 由（1）可知：， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）当点在下方时，如图： 则，， ∵平分平分， ∴， ∴； 当点在上方时，如图： 作，则， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； 综上：或． 题型三、反射问题 1．（2025·广东深圳·一模）平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜a上，被平面镜a反射后的光线为n，则．如图2，一束光线先后经平面镜反射后，反射光线与平行．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，平面镜反射光线的规律，由题意得，，根据平角的定义可求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，从而求出的度数． 【详解】解：由题意，得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2．（2024·广东·模拟预测）如图是敏敏绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面分别为与，入射光线m与反射光线n平行，若入射光线m与镜面的夹角，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解答本题的关键． 由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得，求出，由可得． 【详解】解：如图， 由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 3．（2025·吉林松原·模拟预测）两面镜子按如图所示的位置摆放，入射光线经过镜子两次反射后的反射光线平行于，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，根据已知条件，得到，，由平行线的性质得到，推出，再根据，进行求解即可． 【详解】解：根据题意得到，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，两面平面镜，形成，从上一点射出的一条光线经平面镜上一点反射，反射光线恰好与平行，已知．若，则 °． 【答案】70 【分析】本题考查了平行线的性质，由平行线的性质得出，，求出，最后再由计算即可得出答案， 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：70． 5．（24-25七年级下·北京·期中）一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面上的点A滚向桌边，碰着上的点后便反弹而滚向桌边，碰着上的点便反弹而滚向点．已知，，，，都是直线，且的平分线垂直于，的平分线垂直于，则 ． 【答案】/58度 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的性质及垂直的性质．解题关键是熟练掌握它们的性质． 利用角平分线性质求出度数，依据平行线和垂直关系推出，得到， 再由角平分线性质确定度数．最后根据，用减去得出度数． 【详解】解： 的平分线垂直于，的平分线垂直于， ∴，，， ， ， ， ∵平分， ∴， 平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 6．当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，例如：在图①、图②中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α． （1）如图①，若入射光线EF与反射光线GH平行，则α＝________°． （2）如图②，若90°＜α＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．探索α与β的数量关系，并说明理由． （3）如图③，若α＝120°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝γ（90°＜γ＜180°），入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝m（0°＜m＜90°），已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示） 【答案】（1）90°；（2）β=2α-180°，理由见解析；（3）90°+m或150° 【分析】（1）根据EF∥GH，得到∠FEG+∠EGH=180°，再根据∠1+∠2+∠FEG=180°，∠3+∠4+∠EGH=180°，以及∠1=∠2，∠3=∠4，可得∠2+∠3=90°，即可求出α=90°； （2）在△BEG中，∠2+∠3+α=180°，可得∠2+∠3=180°-α，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，∠MEG=2∠2，∠MGE=2∠3，在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β=180°，可得α与β的数量关系； （3）分两种情况画图讨论：①当n=3时，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，及△GCH内角和，可得γ=90°+m．②当n=2时，如果在BC边反射后与EF平行，则α=90°，与题意不符；则只能在CD边反射后与EF平行，根据三角形外角定义，可得∠G=γ-60°，由EF∥HK，且由（1）的结论可得，γ=150°． 【详解】解：（1）在△BEG中，∠2+∠3+α=180°， ∵EF∥GH， ∴∠FEG+∠EGH=180°， ∵∠1+∠2+∠FEG=180°，∠3+∠4+∠EGH=180°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°， ∵∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠2+∠3=90°， ∴α=180°-（∠2+∠3）=90°； （2）β=2α-180°，理由如下： 在△BEG中，∠2+∠3+α=180°， ∴∠2+∠3=180°-α， ∵∠1=∠2，∠1=∠MEB， ∴∠2=∠MEB， ∴∠MEG=2∠2， 同理可得，∠MGE=2∠3， 在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β=180°， ∴β=180°-（∠MEG+∠MGE） =180°-（2∠2+2∠3） =180°-2（∠2+∠3） =180°-2（180°-α） =2α-180°； （3）90°+m或150°． 理由如下：①当n=3时，如下图所示： ∵∠BEG=∠1=m， ∴∠BGE=∠CGH=60°-m， ∴∠FEG=180°-2∠1=180°-2m， ∠EGH=180°-2∠BGE=180°-2（60°-m）， ∵EF∥HK， ∴∠FEG+∠EGH+∠GHK=360°， 则∠GHK=120°， 则∠GHC=30°， 由△GCH内角和，得γ=90°+m． ②当n=2时，如果在BC边反射后与EF平行，则α=90°， 与题意不符； 则只能在CD边反射后与EF平行， 如下图所示： 根据三角形外角定义，得 ∠G=γ-60°， 由EF∥HK，且由（1）的结论可得， ∠G=γ-60°=90°， 则γ=150°． 综上所述：γ的度数为：90°+m或150°． 7．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角，这就是光的反射定律． (1)如图2，入射光线经镜面反射后的光线与墙相交于点，若，求的度数； (2)如图3，将支架平面镜（可调节角度）放置在水平地面上，激光笔发出的光束射到镜面上，经反射后与天花板形成的点记为，激光笔与水平天花板所夹的锐角为30°，支架平面镜与地面的夹角． ①若，求反射光束与天花板所形成的角的度数； ②若，请直接写出反射光束与天花板所形成的角的度数（可用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，，解题的关键是∶ （1）如图，过B作，根据平行线的性质求出，根据光的反射定律并结合已知求出，根据平行线的性质求出，然后根据角的和差关系求解即可； （2）①过E作，根据平行线的传递性可得出，根据平行线的性质得出，，根据光的反射定律求出，进而求出，，然后根据平行线的性质求解即可； ②由①可求当和重合时，，然后分和两种情况讨论即可． 【详解】（1）解∶由题意得， ， 如图，过B作，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①根据题意，得，， 过E作， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②过E作， ∴， ∴，， 当和重合时，则， ∴， 当时，如图， 由①可知：， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，如图，过E作， 同理可求出， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上，的度数为或． 题型四、折射问题与折线问题 1．（2025—2026学年第一学期学业水平监测九年级数学试题）当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示），图中，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，利用平行线的性质解答即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 2．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，某市二环路修到长虹家电城区时，需拐弯绕城区而过．如果第一次拐的角A是，第二次拐的角B是，而第三次拐的角是C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，先过点作，再用两直线平行，内错角相等，同旁内角互补等知识点，根据作这条平行线后，将有三条平行线，根据平行线的性质，角之间的关系即可解答． 【详解】解：过点作， ， ； ， ， ， 又∵， ． 故选：D． 3．光线在不同的介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，，则图中 ， ． 【答案】 /167度 /58度 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，根据角度的计算可得，即可得到的度数，再利用平行线的性质得到的度数，进而得到的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：，． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）如图①，已知，，，则的度数为 °． （2）如图②，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角，第二次拐角．第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则 °． 【答案】 40 150 【分析】本题主要考查平行线的性质，利用平行线的性质求解即可． （1）过点作的平行线，则，利用平行线的性质求得，结合，求得，进一步利用求得即可； （2）过点作，则，有．可求得和，即可求得． 【详解】解：（1）过点作的平行线，如图， 由题意易知，， 因为， 所以， 所以， 所以． 又因为， 所以， 故答案为：40． （2）如图，过点作． 因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 故答案为：150． 5．（24-25七年级下·全国·期中）（新素材）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．光线在同种介质中传播，发生反射时，入射角等于反射角． (1)如图①，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成．若，，求的度数； (2)如图②，水面与水杯下沿平行，水杯上盖上一块镜子，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，接触镜子发生反射，光线变成，遇水杯边沿反射，光线变成，猜想和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键： （1）根据平行线的性质，求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）如图，过点作镜面，，与相交于点，根据反射定律，角的和差关系，推出，即可得证． 【详解】（1）解：， ． ， ． ， ． （2）．理由如下： 如图，过点作镜面，，与相交于点． 由题意，得，． ， ， ， ， ． 6．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）综合与实践： (1)创设情境：在一次露营观星活动中，图1小明同学从营地A点出发，要到C地去，先沿北偏东方向到达B地，然后再沿北偏西方向到达目的地C．已知三个营地夹角，此时小明在营地A的__________方向； (2)问题解决：夜晚观星活动开始，图2为观察北斗星时所拍摄，绘制北斗七星的位置图时将北斗七星：瑶光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为A，B，C，D，E，F，G，并连接，在绘制过程中（图3）若摇光、开阳所在的直线与天机星、天璇星所在的直线平行，，，求的度数； (3)问题迁移：如图4，已知直线，E、F为两直线间的定点，且点F在点E的上方，，，连接，则的平分线与的平分线所在直线交于点G，则的度数为__________． 【答案】(1)北偏东 (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，方位角有关的计算，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）由题意得，，则由平行线的性质得到，由三角形内角和定理可得的度数，再求出的度数即可得到答案； （2）过点C作，过点D作，则，由平行线的性质可得，，则可求出，得到，证明，得到，则； （3）过点F作，过点E作，则，由平行线的性质得到，，证明，得到，设，则，由角平分线的定义可得，，则，即可得到． 【详解】（1）解：如图所示，由题意得，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴此时小明在营地A的北偏东方向； （2）解：如图所示，过点C作，过点D作， ∴ ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点F作，过点E作， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵的平分线与的平分线所在直线交于点G， ∴，， ∴， ∴． 题型五、旋转使得平行的问题探究 1．如图，分别将木条a，b与固定的木条c钉在一起，，，顺时针转动木条a，下列选项能使木条a与b平行的是（    ）    A．旋转30° B．旋转50° C．旋转80° D．旋转130° 【答案】A 【分析】根据平行线的 判定定理即可求解． 【详解】解：在图中标注出，如图所示：    若，则 故应将木条a顺时针转动30° 故选：A 2．一副直角三角板叠放如图所示，现将含角的三角板固定不动，把含角的三角板绕直角顶点按每秒的速度沿逆时针方向匀速旋转一周，当两块三角板的斜边平行时，则三角板旋转运动的时间为（    ） A．5秒或7秒 B．5秒或19秒 C．5秒或17秒 D．7秒或19秒 【答案】D 【分析】依据两块三角板的斜边平行，即可得到旋转角的度数，再依据旋转的速度，即可得到三角板旋转运动的时间． 【详解】解：如图， 当斜边ABDC时，∠CFE=∠B=60°， ∴∠BED=60°-45°=15°， ∴旋转角为90°+15°=105°， 105°÷15°=7； 如图，将△ABE继续逆时针旋转180°，可得斜边A'B'DC， 此时，旋转角为105°+180°=285°， 285°÷15°=19； 综上所述，当两块三角板的斜边平行时，则三角板旋转运动的时间为7秒或19秒， 故选D． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如下图，点，，，在同一直线上，现将绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，旋转一周后与同时停止转动，设旋转时间为秒，下列的值，不能满足的是（   ） A．18 B．36 C．45 D．54 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，根据题意，第一次时，应有即；第二次时，应有即；第三次时，应有即，分类计算即可． 【详解】解：根据题意，t秒后，转过，转过，即， 如图，第一次时，即，则即， 解得：； 第二次时，即，则即， 解得：； 第三次时，即，则即， 解得：； 综上，不能满足的值是． 故选：C． 4．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，当点E落在射线的反向延长线上时停止旋转．设的旋转速度为/秒，旋转时间为t，若它的一边与的某一边平行（不含重合情况）， ． 【答案】5秒或15秒或35秒或45秒或50秒 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板中的角度计算，掌握平行线的性质是解题的关键． 分①当，②当，③当，④当，⑤当 时，分别画出图形即可求解． 【详解】①当时， ∵， ∴， ∴， ∴（秒）； ②当时， ∵，， ∴ ∵， ∴A，D，C共线， ∵， ∴（秒）； ③当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）； ④当时，，； ∵ ∴， ∴（秒）； ⑤当时， ∵， ∴， ∴（秒）， 综上所述，t的值为5秒或15秒或35秒或45秒或50秒， 故答案为：5秒或15秒或35秒或45秒或50秒． 5．如图，点A、B分别在直线上，，，平分，将射线绕点B以每秒的速度顺时针方向旋转，射线绕点A以每秒的速度顺时针方向旋转，设旋转时间为，当与平行时，旋转时间t的值为 ． 【答案】秒或秒 【分析】旋转没过线段，过没过，过，分三种情况画图分析，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 分三种情况讨论： ①当时，，如图所示， 此时，，， ∵， ∴， 即， 解得： ②当时，，如图所示， 此时，，， ∵， ∴， 即， 解得：（舍去） ③时，，如图所示， 此时，，， ∵， ∴， 即， 解得： 综上分析可得，旋转时间t的值为秒或秒． 故答案为：秒或秒． 6．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）将一副三角板按如图①放置．在中，，，在中，，，点C、A、E在同一条直线上．现保持不动，将绕点A以每秒钟作顺时针旋转，旋转时间为t秒．    (1)如图①， ，如图②，当时， (2)在旋转过程中，若，当时，求t的值； (3)在绕点A旋转过程中，若同时以每秒的速度绕点A顺时针旋转，且，当时，请直接写出t的值． 【答案】(1)， (2)t的值是20或； (3)或． 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差关系，一元一次方程的应用等知识，也体现了数形结合的思想，读懂题，熟悉条件，理解题意是解题的关键． （1）根据角的和与差即可解答； （2）分两种情况：在的左边和右边，根据列方程即可解答； （3）分情况画出图形，根据两直线平行内错角相等列方程即可解答． 【详解】（1）解：如图①，，， 如图②，当时，；    故答案为：，； （2）解：分两种情况： ①如图1，当在的左边时，由题意得：，    ∵， ∴， ∴； ②如图2，当在的右边时，由题意得：，    ∵， ∴， ∴； 综上，t的值是20或； （3）解：如图，由题意可得：，，   ， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图：由题意可得：，，   ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，或． 题型六、其他实际引用 1．（25-26七年级上·四川遂宁·期末）如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质与判定. 过点P作，则，根据平行线的性质可得，，据此先求出的度数，再求出的度数，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图1是某品牌共享单车放在水平地面的 实物图，图2是其示意图，其中，都与地面平行，与平行，若平分，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题关键．根据可得，根据与平行可得，再根据角平分线的定义即可解答． 【详解】解：∵都与地面平行，， ∴， ∴， ∵与平行， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 故选：B． 3．（25-26七年级下·全国·周测）某小区车库门口的曲臂直杆道闸可抽象为如图所示的模型．已知AB垂直于水平地面AE，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（CD与AE始终平行），在该运动过程中，的度数始终等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握并运用是解决问题的关键． 根据题意，结合图形，得到，再利用两直线平行，同旁内角互补，得到，则，最后． 【详解】解：如图，过点作， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为 ． 【答案】55° 【分析】本题考查平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解题的关键． 过点作，故可得出，再由平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，． 　　 (1)求证：； (2)若平分，，求扶手与靠背的夹角度数； (3)当前支架与后支架正好垂直，时，人躺着最舒服，求此时扶手与支架的夹角． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线、角的和差等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由对等角相等可得，进而得到，再根据同位角相等、两直线平行即可证明结论； （2）由平行线的性质以及题意可得，再根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质以及角的和差可得，再根据同位角相等、两直线平行即可解答； （3）由题意可得，再根据角的和差即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ， ∴． （2）解：，， ， ， ， ， 平分， ， ∵， ， ， ∵， ． （3）解：∵，， ， 且平角为，即， ． 1．（24-25七年级下·江苏南通·月考）如图，直线c与直线a相交于点A，与直线b交于点B，，，直线a绕点A逆时针旋转，使，则直线a至少旋转（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质；根据题意得到才能使，即可求出结果． 【详解】解：∵要使 ∴，才能平行， ∵此时， ∴直线a至少旋转使， 故选：D． 2．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，根据，点在射线上，可求出，根据，即可求解． 【详解】解：∵，点在射线上，， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 3．（25-26七年级上·山西临汾·期末）转角式布局的玻璃浴室隔断是浴室常见的干湿分离设施，具有适配性强，通透感好，可以有效阻挡淋浴水花外溅等特点．小明观察玻璃浴室的地面布局，从中抽象出一道数学问题：如图，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是通过作辅助线构造平行线，利用“两直线平行，同旁内角互补”的性质进行角度计算． 【详解】解：如图，过点作，    ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； 故选：B． 4．如图，有一条长方形纸带，按图折叠，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质和折叠的性质，解题的关键是合理的利用折叠的两个角相等；由图形可得，可得，由于翻折可得两个角是重合的，于是利用平角的定义列出方程可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵为折痕， ∴， 即， 解得． 故选：A． 5．（2024·广东·模拟预测）如图， 一束光线先后经平面镜， 反射后， 反射光线与入射光线平行， 如果， 那么等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质、平角定义，掌握知识点的应用是解题的关键． 由题意得，，则有，又，则，从而求得，然后由即可求解． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 6．（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）将直角三角板与直尺按如图方式摆放，则等于 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了平行线的性质； 过点E作，则，可得，，然后计算即可． 【详解】解：如图，由题意知：, 过点E作，则， ∴，， ∴， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射，光线与平面镜的夹角相等．若，则的度数为 ． 【答案】/110度 【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出．由平行线的性质推出，得到，由平角定义即可求出的度数． 【详解】解：两个平面镜是平行的， ， ， ． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使点与点重合，点落在的位置上．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查折叠的性质、平行线的性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，属于常考题型． 根据平行线的性质可得，利用折叠的性质可得，再利用平角的定义即可解决问题． 【详解】解：∵由题意可知：， ∴， 根据折叠的性质得，， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·辽宁盘锦·月考）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数 ． 【答案】90 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点构造平行线． 过点D作，过点E作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点D作，过点E作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：90． 10．如图，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，当点E落在射线的反向延长线上时，即停止旋转．设的旋转速度为/秒，旋转时间为t，若当它的一边与的边平行时（不含重合情况），则t的值为 ． 【答案】5秒或35秒或50秒 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，设旋转过程中，与，与是对应点，再分三种情况：当时，当时，当时，分别计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：设旋转过程中，与，与是对应点， 如图，当时， ， ∵， ∴， ∴， ∴（秒）； 如图，当时， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）； 如图，当时， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）， 综上所述，t的值为5秒或35秒或50秒， 故答案为：5秒或35秒或50秒． 11．（24-25七年级下·吉林·期末）一种躺椅及其侧面简化结构示意图如图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架和后支架分别与交于点G和点D，与交于点N．当人躺着最舒服时，测得，，求此时和的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．（25-26八年级上·广西贺州·期中）探究题：已知：． (1)如图1，点E在与之间，问与有什么关系？请说明理由． (2)如图2，点E在与之间，问与有什么关系？请说明理由． (3)如图3，点E在与之间，问与又有什么关系？直接写出结论． (4)如图4，与之间有何关系？直接写出结论． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 (4)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质以及角的计算，根据平行线的性质得出相等或互补的量是解题的关键． （1）根据平行线的性质即可解决问题； （2）根据平行线的性质即可解决问题； （3）根据平行线的性质即可解决问题； （4）根据平行线的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点E作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点E作， ∵， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图所示， ∵， ∴．， ∵， ∴； （4），理由如下： 过点F作， 由（1）知，， ∴， ∴． 13．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，在笔直且平行的长江两岸河堤，上安装了两盏激光探照灯如图所示．光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转；光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转． (1)若两灯同时旋转，灯发出的光线顺时针旋转到，然后回转到时，两灯同时停止旋转． ① 当两灯旋转秒时，判断光线所在直线与光线所在直线的位置关系，并说明理由； ② 除①中情况之外，两灯发出光线所在直线还能否形成与①相同的位置关系？若能，请求出此时灯的旋转时间；若不能，请说明理由． (2)如果灯先旋转秒，灯才开始旋转．在灯发出的光束第一次到达之前，请直接写出灯旋转多少秒时，光线所在直线与光线所在直线平行． 【答案】(1)①，理由见解析；②能，秒或秒 (2)秒或秒或秒或秒 【分析】（）①设与相交于点，过点作，可得，利用平行线的性质可得，即可求解；②设灯的旋转时间为秒，分回转时和回到时两种情况解答即可求解； （）设灯旋转秒，光线所在直线与光线所在直线平行，分四种情况，利用平行线的性质列出方程解答即可； 本题考查了平行线的判定和性质，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①，理由如下： 如图，设与相交于点，过点作， ∵， ∴， 两灯旋转秒时，，， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②能．设灯的旋转时间为秒， 如图，当回转时，，设与相交于点，过点作， ∵， ∴， 由题意可得，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得； 当回到时，如图， ， ∴，此时； 综上，除①中情况之外，当灯的旋转秒或秒时，两灯发出光线所在直线还能垂直； （2）解：设灯旋转秒，光线所在直线与光线所在直线平行， 如图，当到达前与平行，设与相交于点， 由题意得，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得； 如图，当到达后回转时与平行，设与相交于点， 则，， 同理上可得，， 即， 解得； 如图，当回转到后再次往旋转与平行，设与相交于点， 则，， 同理可得，， 即， 解得； 如图，当再次到达后回转与平行，设与相交于点， 则，， 同理可得，， 即， 解得； 综上，灯旋转秒或秒或秒或秒时，光线所在直线与光线所在直线平行． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平行线性质的综合运用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、折叠问题 1 题型二、“Σ”型平行线模型及变形（难点） 4 题型三、反射问题（常考点） 10 题型四、折射问题与折线问题（常考点） 18 题型五、旋转使得平行的问题探究（难点） 24 题型六、其他实际引用（重点） 32 B综合攻坚・能力跃升 题型一、折叠问题 1．图1是长方形纸条，，将纸条沿折叠成折叠成图2，则图中的的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折党，折痕分别为若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3．将一张长方形纸片折叠成如图所示的图形．若，则 ． 4．如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点分别落在的位置，再沿折叠成图，若，则 °． 5．如图（1）是长方形纸带，，将纸带沿折叠图（2），则的度数是 ，再沿折叠成图（3），则图（3）中的的度数是 ． 题型二、“Σ”型平行线模型及变形 1．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，，点在与之间，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）如图，，，，则（     ） A． B． C． D． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，直线，点和点在两直线之间，且，则，与之间的数量关系为 ． 4．（25-26八年级上·山东青岛·期末）（1）基础问题：如图（1），若，，，则的度数为____________°． （2）问题迁移：如图（2），若，点P在的上方，问：、、之间有什么数量关系？请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，，的角平分线和的平分线交于点G，则____________°（用含有、的代数式表示）． 5．（25-26八年级上·山西晋中·期末）【基础模型】 （1）如图1，若，点为拐点，则的数量关系为___________；若将拐点左移，如图2，此时的数量关系为___________． 【深入探究】 （2）如图3，，平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，若点在点的左侧，，，且，平分平分，请你直接用含的式子表示． 题型三、反射问题 1．（2025·广东深圳·一模）平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜a上，被平面镜a反射后的光线为n，则．如图2，一束光线先后经平面镜反射后，反射光线与平行．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东·模拟预测）如图是敏敏绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面分别为与，入射光线m与反射光线n平行，若入射光线m与镜面的夹角，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·吉林松原·模拟预测）两面镜子按如图所示的位置摆放，入射光线经过镜子两次反射后的反射光线平行于，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，两面平面镜，形成，从上一点射出的一条光线经平面镜上一点反射，反射光线恰好与平行，已知．若，则 °． 5．（24-25七年级下·北京·期中）一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面上的点A滚向桌边，碰着上的点后便反弹而滚向桌边，碰着上的点便反弹而滚向点．已知，，，，都是直线，且的平分线垂直于，的平分线垂直于，则 ． 6．当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，例如：在图①、图②中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α． （1）如图①，若入射光线EF与反射光线GH平行，则α＝________°． （2）如图②，若90°＜α＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．探索α与β的数量关系，并说明理由． （3）如图③，若α＝120°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝γ（90°＜γ＜180°），入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝m（0°＜m＜90°），已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示） 7．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角，这就是光的反射定律． (1)如图2，入射光线经镜面反射后的光线与墙相交于点，若，求的度数； (2)如图3，将支架平面镜（可调节角度）放置在水平地面上，激光笔发出的光束射到镜面上，经反射后与天花板形成的点记为，激光笔与水平天花板所夹的锐角为30°，支架平面镜与地面的夹角． ①若，求反射光束与天花板所形成的角的度数； ②若，请直接写出反射光束与天花板所形成的角的度数（可用含的式子表示）． 题型四、折射问题与折线问题 1．（2025—2026学年第一学期学业水平监测九年级数学试题）当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示），图中，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，某市二环路修到长虹家电城区时，需拐弯绕城区而过．如果第一次拐的角A是，第二次拐的角B是，而第三次拐的角是C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C等于（　　） A． B． C． D． 3．光线在不同的介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，，则图中 ， ． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）如图①，已知，，，则的度数为 °． （2）如图②，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角，第二次拐角．第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则 °． 5．（24-25七年级下·全国·期中）（新素材）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．光线在同种介质中传播，发生反射时，入射角等于反射角． (1)如图①，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成．若，，求的度数； (2)如图②，水面与水杯下沿平行，水杯上盖上一块镜子，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，接触镜子发生反射，光线变成，遇水杯边沿反射，光线变成，猜想和的位置关系，并说明理由． 6．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）综合与实践： (1)创设情境：在一次露营观星活动中，图1小明同学从营地A点出发，要到C地去，先沿北偏东方向到达B地，然后再沿北偏西方向到达目的地C．已知三个营地夹角，此时小明在营地A的__________方向； (2)问题解决：夜晚观星活动开始，图2为观察北斗星时所拍摄，绘制北斗七星的位置图时将北斗七星：瑶光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为A，B，C，D，E，F，G，并连接，在绘制过程中（图3）若摇光、开阳所在的直线与天机星、天璇星所在的直线平行，，，求的度数； (3)问题迁移：如图4，已知直线，E、F为两直线间的定点，且点F在点E的上方，，，连接，则的平分线与的平分线所在直线交于点G，则的度数为__________． 题型五、旋转使得平行的问题探究 1．如图，分别将木条a，b与固定的木条c钉在一起，，，顺时针转动木条a，下列选项能使木条a与b平行的是（    ）    A．旋转30° B．旋转50° C．旋转80° D．旋转130° 2．一副直角三角板叠放如图所示，现将含角的三角板固定不动，把含角的三角板绕直角顶点按每秒的速度沿逆时针方向匀速旋转一周，当两块三角板的斜边平行时，则三角板旋转运动的时间为（    ） A．5秒或7秒 B．5秒或19秒 C．5秒或17秒 D．7秒或19秒 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如下图，点，，，在同一直线上，现将绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，旋转一周后与同时停止转动，设旋转时间为秒，下列的值，不能满足的是（   ） A．18 B．36 C．45 D．54 4．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，当点E落在射线的反向延长线上时停止旋转．设的旋转速度为/秒，旋转时间为t，若它的一边与的某一边平行（不含重合情况）， ． 5．如图，点A、B分别在直线上，，，平分，将射线绕点B以每秒的速度顺时针方向旋转，射线绕点A以每秒的速度顺时针方向旋转，设旋转时间为，当与平行时，旋转时间t的值为 ． 6．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）将一副三角板按如图①放置．在中，，，在中，，，点C、A、E在同一条直线上．现保持不动，将绕点A以每秒钟作顺时针旋转，旋转时间为t秒．    (1)如图①， ，如图②，当时， (2)在旋转过程中，若，当时，求t的值； (3)在绕点A旋转过程中，若同时以每秒的速度绕点A顺时针旋转，且，当时，请直接写出t的值． 题型六、其他实际引用 1．（25-26七年级上·四川遂宁·期末）如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图1是某品牌共享单车放在水平地面的 实物图，图2是其示意图，其中，都与地面平行，与平行，若平分，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·全国·周测）某小区车库门口的曲臂直杆道闸可抽象为如图所示的模型．已知AB垂直于水平地面AE，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（CD与AE始终平行），在该运动过程中，的度数始终等于 ． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为 ． 5．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，． 　　 (1)求证：； (2)若平分，，求扶手与靠背的夹角度数； (3)当前支架与后支架正好垂直，时，人躺着最舒服，求此时扶手与支架的夹角． 1．（24-25七年级下·江苏南通·月考）如图，直线c与直线a相交于点A，与直线b交于点B，，，直线a绕点A逆时针旋转，使，则直线a至少旋转（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·山西临汾·期末）转角式布局的玻璃浴室隔断是浴室常见的干湿分离设施，具有适配性强，通透感好，可以有效阻挡淋浴水花外溅等特点．小明观察玻璃浴室的地面布局，从中抽象出一道数学问题：如图，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 4．如图，有一条长方形纸带，按图折叠，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 5．（2024·广东·模拟预测）如图， 一束光线先后经平面镜， 反射后， 反射光线与入射光线平行， 如果， 那么等于（    ）    A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）将直角三角板与直尺按如图方式摆放，则等于 ． 7．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射，光线与平面镜的夹角相等．若，则的度数为 ． 8．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使点与点重合，点落在的位置上．若，则的度数为 ． 9．（24-25七年级下·辽宁盘锦·月考）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数 ． 10．如图，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，当点E落在射线的反向延长线上时，即停止旋转．设的旋转速度为/秒，旋转时间为t，若当它的一边与的边平行时（不含重合情况），则t的值为 ． 11．（24-25七年级下·吉林·期末）一种躺椅及其侧面简化结构示意图如图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架和后支架分别与交于点G和点D，与交于点N．当人躺着最舒服时，测得，，求此时和的度数． 12．（25-26八年级上·广西贺州·期中）探究题：已知：． (1)如图1，点E在与之间，问与有什么关系？请说明理由． (2)如图2，点E在与之间，问与有什么关系？请说明理由． (3)如图3，点E在与之间，问与又有什么关系？直接写出结论． (4)如图4，与之间有何关系？直接写出结论． 13．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，在笔直且平行的长江两岸河堤，上安装了两盏激光探照灯如图所示．光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转；光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转． (1)若两灯同时旋转，灯发出的光线顺时针旋转到，然后回转到时，两灯同时停止旋转． ① 当两灯旋转秒时，判断光线所在直线与光线所在直线的位置关系，并说明理由； ② 除①中情况之外，两灯发出光线所在直线还能否形成与①相同的位置关系？若能，请求出此时灯的旋转时间；若不能，请说明理由． (2)如果灯先旋转秒，灯才开始旋转．在灯发出的光束第一次到达之前，请直接写出灯旋转多少秒时，光线所在直线与光线所在直线平行． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 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