精品解析：山东郓城第一中学2025-2026学年高二下学期4月自主评价数学试题

山东郓城一中2026高二4月自主评价数学试题 一、单选题（每题5分） 1. 已知函数，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 据题意，求出函数的导数，将代入可得，变形可得答案． 【详解】解：根据题意，函数，则，， 解得 故选：. 【点睛】本题考查函数的导数计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题． 2. 函数的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，令即可求解函数的单调递增区间. 【详解】函数的定义域为， ∴. 令，解得或， 即函数的单调增区间是. 故选：D. 3. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得，令，求得，得到函数的解析式，进而求得的值，得到答案. 【详解】由函数，可得， 令，可得，解得， 所以，则. 故选：A. 4. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知，通过构造函数，利用导数研究函数的单调性，再利用单调性比较函数值的大小. 【详解】因为，，，所以构造函数， 因为，由有：， 由有：，所以在上单调递减， 因为，，, 因为，所以，故A，B，D错误. 故选：C. 5. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. << B. << C. << D. << 【答案】B 【解析】 【分析】由导数的几何意义即函数图象增长速度越快，其导数值越大，结合图象即可求解. 【详解】由的图象可知，在上单调递增且增长得越来越慢， 所以，即. 故选：B. 6. 已知定义在上的函数的导函数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据求解不等式可构造函数，求导得单调性，把求解不等式变形为，即，利用单调性比大小即可. 【详解】令，则， 所以在上单调递减，因为，所以， 不等式可变形为，即，可得， 故选：B. 7. 某班有9名运动员，其中5人会打篮球，6人会踢足球，现从中选出2人分别参加篮球赛和足球赛，则不同的选派方案有（ ） A. 28种 B. 30种 C. 27种 D. 29种 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得有人既会踢足球又会打篮球，有3人只会打篮球，有4人只会踢足球，则选派的方案有四类：①选派两种球都会的两人；②从两种球都会的选1人踢足球，再从只会打篮球的选1人；③从两种球都会的选1人打篮球，再从只会踢足球的选1人；④选派只会打篮球和踢足球的运动员分别打篮球和踢足球；按照分步乘法计数原理与分类加法计数原理计算可得； 【详解】解：有9名运动员，其中5人会打篮球，6人会踢足球，则有人既会踢足球又会打篮球，有3人只会打篮球，有4人只会踢足球， 所以选派的方案有四类： 选派两种球都会的运动员有2种方案； 选派两种球都会的运动员中一名踢足球，只会打篮球的运动员打篮球，有（种）方案； 选派两种球都会的运动员中一名打篮球，只会踢足球的运动员踢足球，有（种）方案； 选派只会打篮球和踢足球的运动员分别打篮球和踢足球，有（种）方案. 综上可知，共有（种）方案， 故选：A. 8. 已知函数，若对上的任意实数，，恒有成立，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为函数满足对上的任意实数，， 恒有成立， 所以函数在上递减， 所以，即，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 二、多选题（每题6分，部分选对的得部分分） 9. 已知函数在区间上的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 在处取得极小值 D. 在处取得极小值 【答案】BD 【解析】 【分析】根据导函数的图象判断原函数的单调性，以及极值点，即可判断和选择. 【详解】由的图象可知： 在上单调递增，在单调递减， 在单调递增，在单调递减，在单调递增，则正确. 故选：BD． 10. 以下结论正确的是（ ） A. 3个班分别从4个景点中选择一处游览，不同选法的种数是 B. 从4本不同书中选出3本送给3名同学，每人一本，有种不同的送法 C. 60有12个不同的正因数 D. 从2，4，8，14这四个数中任取两个数相减，可以得到12个不相等的差 【答案】AC 【解析】 【分析】根据计数原理等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，3个班分别从4个景点中选择一处游览，根据分步乘法计数原理， 不同选法的种数是，A选项正确. B选项，从4本不同书中选出3本送给3名同学，每人一本， 根据分步乘法计数原理，不同选法的种数是，B选项错误. C选项，，所以正因数有个，C选项正确. D选项，从2，4，8，14这四个数中任取两个数相减， 得到的差有，共个不相等的差，D选项错误. 故选：AC 11. 我们常用以下方法求形如的函数的导数：先两边同取自然对数得：，再两边同时求导得，即，运用此方法可求得函数在下列哪些区间单调递增（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由题意可计算得到函数的导数，令导数大于0即可得到函数的单调递增区间，从而结合选项得到结果. 【详解】由题意得，两边同时求导得， 即，令，即，解得：， 即函数的单调递增区间为. 故选：BD. 三、填空题（每小题5分） 12. 曲线在点处的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出切点，由导数的几何意义求出切点处的导数即可由点斜式求解. 【详解】由题，， 所以切点为，在切点处的切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 13. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】求导，可得，根据导数的定义即可求解. 【详解】，故， 故， 故答案为： 14. 某城市有10个著名的地标建筑，文旅部门要从中选取3个作为城市名片进行特色文化宣传，且甲、乙、丙3个建筑中至少选1个，那么共有________种不同的选法． 【答案】85 【解析】 【分析】先计算从10个地标建筑中选取3个的选法数，再减去甲、乙、丙3个建筑都不选的选法数，即可得答案. 【详解】从10个地标建筑中选取3个，共有种， 若不选甲、乙、丙这3个地标建筑，即从剩下的7个中选3个，有种选法， 所以满足条件的选法有（种）． 故答案为：85 四、解答题（应写出文字说明和演算过程） 15. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若直线与曲线相切于点，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程即可； （2）由题设，结合导数的几何意义有，列方程求得，即可得. 【小问1详解】 ，则，， 因此，曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 直线过原点，则， 由点在曲线上，得， ， 又，所以. ，整理得，， ，则. 16. 已知函数. （1）求函数的单调区间和极值： （2）在坐标系中画出函数的简图（要含有必要的说明和体现必要的图象特征）； （3）若，讨论函数的零点个数. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；极小值为，无极大值 （2） （3） 当时，有唯一零点； 当时，有两个不同零点；当时，无零点. 【解析】 【分析】（1）求导后，根据正负可得单调区间；根据极值点定义可求得极值； （2）分析可知时，，由此可作出函数图象； （3）将问题转化为与的交点个数问题，结合（2）中图象分析可得结果. 【小问1详解】 定义域为，，又恒成立， 当时，；当时，； 的单调递减区间为，单调递增区间为；极小值为，无极大值. 【小问2详解】 当时，，，恒成立， 图象如下： 【小问3详解】 的零点个数等价于与的交点个数； 结合（2）中图象可知： 当时，与有且仅有一个交点； 当时，与有两个不同交点； 当时，与有且仅有一个交点； 当时，与无交点； 综上所述：当时，有唯一零点；当时，有两个不同零点；当时，无零点. 17. 某社团共有学生9名，其中有5名男生和4名女生，现从中选出4人去参加一项创新大赛.（列式表明计算过程，结果用数字表示） （1）如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法？ （2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？ （3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？ （4）如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？ （5）若9名学生排成一列，其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？ 【答案】（1）60； （2）21； （3）91； （4）120； （5）181440 【解析】 【分析】（1）根据要求直接选取即可； （2）在剩下的7人中任选2人即可； （3）利用间接法可求得总的方法数； （4）从所有9人中选4人，去掉只有男生和只有女生的情况； （5）对9人全排列，去掉甲乙两人的排序即可 . 【小问1详解】 如果4人中男生女生各选2人，有种选法； 【小问2详解】 如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，则在剩下的7人中任选2人，有种选法； 【小问3详解】 如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，共有种选法； 【小问4详解】 如果4人中必须既有男生又有女生，先从所有9人中选4人，去掉只有男生和只有女生的情况，故有种选法. 【小问5详解】 根据题意，将9人全排列，有种情况，其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的情况数目相同，则甲在乙的左边有种不同的排法. 18. 已知函数. （1）求函数在点处的切线方程； （2）求的单调区间和极值. 【答案】（1）； （2）递增区间为，递减区间为，极大值，极小值. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，赋值求得，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）由（1）的信息，求出函数的导数，利用导数求出单调区间及极值. 【小问1详解】 函数，求导得， 则，解得，于是，， 所以所求切线方程为：，即. 【小问2详解】 由（1）知，函数，定义域为， 求导得， 当或时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得极大值， 当时，取得极小值， 所以函数的递增区间为，递减区间为， 极大值，极小值. 19. 已知函数. （1）当时，求的极值点； （2）若在上单调递增，求的取值范围. 【答案】（1）极小值点为，极大值点为. （2） 【解析】 【分析】（1）求导得到函数的单调性进而得到的极值点； （2）求导后将问题转化为不等式恒成立问题，分类讨论，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性与相应区间上的最值可得的取值范围. 【小问1详解】 当时，，则. 由得，由得或， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. 故的极小值点为，极大值点为. 【小问2详解】 由题可得在上恒成立， 即在上恒成立. 当时，易得不等式恒成立，所以. 当时，原问题可转化为不等式恒成立， 当时，原问题可转化为不等式恒成立. 令，则， 故在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最小值为，在上的最大值为， 故. 综上，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东郓城一中2026高二4月自主评价数学试题 一、单选题（每题5分） 1. 已知函数，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 函数的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 4. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. << B. << C. << D. << 6. 已知定义在上的函数的导函数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 某班有9名运动员，其中5人会打篮球，6人会踢足球，现从中选出2人分别参加篮球赛和足球赛，则不同的选派方案有（ ） A. 28种 B. 30种 C. 27种 D. 29种 8. 已知函数，若对上的任意实数，，恒有成立，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，部分选对的得部分分） 9. 已知函数在区间上的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 在处取得极小值 D. 在处取得极小值 10. 以下结论正确的是（ ） A. 3个班分别从4个景点中选择一处游览，不同选法的种数是 B. 从4本不同书中选出3本送给3名同学，每人一本，有种不同的送法 C. 60有12个不同的正因数 D. 从2，4，8，14这四个数中任取两个数相减，可以得到12个不相等的差 11. 我们常用以下方法求形如的函数的导数：先两边同取自然对数得：，再两边同时求导得，即，运用此方法可求得函数在下列哪些区间单调递增（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每小题5分） 12. 曲线在点处的切线方程为__________. 13. 已知，则______． 14. 某城市有10个著名的地标建筑，文旅部门要从中选取3个作为城市名片进行特色文化宣传，且甲、乙、丙3个建筑中至少选1个，那么共有________种不同的选法． 四、解答题（应写出文字说明和演算过程） 15. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若直线与曲线相切于点，求的值. 16. 已知函数. （1）求函数的单调区间和极值： （2）在坐标系中画出函数的简图（要含有必要的说明和体现必要的图象特征）； （3）若，讨论函数的零点个数. 17. 某社团共有学生9名，其中有5名男生和4名女生，现从中选出4人去参加一项创新大赛.（列式表明计算过程，结果用数字表示） （1）如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法？ （2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？ （3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？ （4）如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？ （5）若9名学生排成一列，其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？ 18. 已知函数. （1）求函数在点处的切线方程； （2）求的单调区间和极值. 19. 已知函数. （1）当时，求的极值点； （2）若在上单调递增，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $