精品解析：山东省郓城县实验中学2024-2025学年高二下学期3月检测数学试题

高二数学第二学期质量检测 一、单项选择题 1. 已知函数，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 2. 下列函数的求导正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 从4名男生与3名女生中选两人去参加一场数学竞赛，则男女各一人的不同的选派方法数为（ ） A. 7 B. 12 C. 18 D. 24 4. 甲乙丙丁戊5名同学坐成一排参加高考调研，若甲不在两端且甲乙不相邻的不同排列方式的个数为（ ） A. 36种 B. 48种 C. 54种 D. 64种 5. 若函数在处取得极值，则函数在区间上的最小值为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 5 6. 将5名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个志愿者去一个社区，每个社区至少1名志愿者，则不同的分配方法数是（ ） A. 300 B. 240 C. 150 D. 50 7. 设，函数的导函数是，若是奇函数，则曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，是的唯一极小值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题： 9. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 为函数的零点 B. 函数在上单调递减 C. 为函数的极小值点 D. 是函数的最小值 10. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ） A. 某学生从中选2门课程学习，共有15种选法 B. 课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法 C. 课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有72种排法 D. 课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有504种排法 11. 已知函数的导函数为，则（ ） A. 函数的极小值点为 B. C. 函数的单调递减区间为 D. 若函数有两个不同的零点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某班联欢会原定3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目不相邻，那么不同的插法种数为_____________. 13. 已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是______. 14. 2024年春耕期间，某农业局将甲、乙、丙等5位农业干部分配到3个村庄去指导农民春耕，要求每人只去一个村庄，且这三个村庄都有人去，甲和乙不去同一个村庄，甲和丙去同一个村庄，则不同的分配方法共有______种（用数字作答）． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某医院有内科医生7名，外科医生5名，现选派4名参加赈灾医疗队，其中. （1）甲、乙有且仅有一人参加，有多少种选法？ （2）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？ 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的极值. 17. 已知函数，曲线在处的切线方程为. （1）求的值； （2）求在区间上的最值. 18. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 19. 已知函数（，e为自然对数的底数）． （1）若在x=0处的切线与直线y=ax垂直，求a的值； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学第二学期质量检测 一、单项选择题 1. 已知函数，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的定义计算可得. 【详解】因为，则. 故选：D 2. 下列函数的求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由初等函数的导数和复合函数的导数公式逐项分析即可. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：D. 3. 从4名男生与3名女生中选两人去参加一场数学竞赛，则男女各一人的不同的选派方法数为（ ） A. 7 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】从4名男生与3名女生中选两人，其中男女各一人， 由分步计数原理，可得不同的选派方法数为种. 故选：B. 4. 甲乙丙丁戊5名同学坐成一排参加高考调研，若甲不在两端且甲乙不相邻的不同排列方式的个数为（ ） A. 36种 B. 48种 C. 54种 D. 64种 【答案】A 【解析】 【分析】利用间接法，先考虑甲乙不相邻的不同排列方式数，再减去甲站在一端且甲乙不相邻的排列方式数，结合排列数运算求解. 【详解】先考虑甲乙不相邻的不同排列方式数，再减去甲站在一端且甲乙不相邻的排列方式数， 所以总数为种， 故选：A. 5. 若函数在处取得极值，则函数在区间上的最小值为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，根据题意列式求出a的值，结合函数的单调性，即可求得答案. 【详解】由，得， 由于函数在处取得极值， 故，则， 故， 则当或时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取得极大值，即适合题意， 由此可知在上单调递减，在上单调递增， 故函数在区间上的最小值为， 故选：B 6. 将5名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个志愿者去一个社区，每个社区至少1名志愿者，则不同的分配方法数是（ ） A. 300 B. 240 C. 150 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】先分组，人员构成可能为、、或、、，再将3组全排列即可得. 【详解】先将5名志愿者分成3组， 若这三组的人员构成为、、，则共有种分组方案， 若这三组的人员构成为、、，则共有种分组方案， 再将这3组志愿者随机分配到三个社区，共有种分配方案， 故共有种分配方法. 故选：C. 7. 设，函数的导函数是，若是奇函数，则曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导函数是奇函数求，再根据导数的几何意义求切线方程. 【详解】， 因为是奇函数，只需偶数次幂的项系数为0即可， 所以， 所以，， 所以，即切点为，且， 所以切线方程为，即， 故选：B. 8. 已知函数，是的唯一极小值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 求导可得，再根据是的唯一极小值点可得恒成立，再根据恒成立问题求解最小值分析即可. 【详解】求导有. 设，则， 故当时，单调递减；时，单调递增. 故若有两个零点，则必有一根，则此时有时；时，故为的极小值点，与题意不符. 故恒成立，故，即，解得. 故选：D 【点睛】本题主要考查了根据导数求解极值点的问题，需要根据极值点满足的关系分析得导函数零点的个数，再求最值求解参数的范围，属于中档题. 二、多项选择题： 9. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 为函数的零点 B. 函数在上单调递减 C. 为函数的极小值点 D. 是函数的最小值 【答案】BC 【解析】 【分析】根据导函数的图象，判断出导数的正负，从而可得函数的单调区间，可判断函数的极值，进而可得答案. 【详解】由的图象可知，当或时，， 当或时，， 所以在和上单调递增，在和上单调递减， 所以在和处取得极小值，在处取得极大值， 正确， 不一定是最小值，D错误， 由条件不能确定为函数的零点，A错误， 故选：. 10. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑假开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ） A. 某学生从中选2门课程学习，共有15种选法 B. 课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法 C. 课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有72种排法 D. 课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有504种排法 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，由分步、分类计数原理和排列数与组合数公式，分别判断各选项即可 【详解】对于A，某学生从中选2门课程学习，共有种选法，A正确； 对于B，课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有种排法，B正确； 对于C，课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有种排法，C错误； 对于D，课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有种排法，D正确； 故选：ABD. 11. 已知函数的导函数为，则（ ） A. 函数的极小值点为 B. C. 函数的单调递减区间为 D. 若函数有两个不同的零点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导数判断ABC；分析函数的性质，作出图象判断D作答. 【详解】由，得，当时，，B正确； 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 因此函数在处取得极小值，递减区间为，A错误，C正确； 函数在上单调递减，且恒有，在上单调递增，，， 函数有两个不同的零点，即函数的图象与直线有两个公共点， 在同一坐标系内作出直线与函数的部分图象，如图， 观察图象知，当时，直线与函数的图象有两个公共点， 所以函数有两个不同的零点时，，D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某班联欢会原定3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目不相邻，那么不同的插法种数为_____________. 【答案】12 【解析】 【分析】根据题意，由排列数公式计算即可. 【详解】根据题意，原来3个节目顺序不变，有4个空位，任选2个即可.有种，即有12种安排方法. 故答案为：12． 13. 已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意先把已知条件转化为有两个不同的根，即，与两函数有两个交点，利用函数导数判断函数的单调性在上单调递增，在上单调递减，从而在处取得极大值，也是最大值，，又当时，恒成立，当时，恒成立，数形结合得出实数a的取值范围. 【详解】定义域为， 故有两个不同的根，即，与两函数有两个交点， 其中， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 从而在处取得极大值，也是最大值， ，且当时，恒成立， 当时，恒成立， 画出的图象如下： 显然要想，与两函数有两个交点， 需要满足. 14. 2024年春耕期间，某农业局将甲、乙、丙等5位农业干部分配到3个村庄去指导农民春耕，要求每人只去一个村庄，且这三个村庄都有人去，甲和乙不去同一个村庄，甲和丙去同一个村庄，则不同的分配方法共有______种（用数字作答）． 【答案】30 【解析】 【分析】分两类，甲、丙两人去同一个村庄与甲、丙和除乙以外的某一人去同一村庄，按照分组分配的方法计算可得. 【详解】分两类考查：第一类，甲、丙两人去同一个村庄，共有种分配方法； 第二类，甲、丙和除乙以外的某一人去同一村庄，共有种分配方法． 故共有种分配方法． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某医院有内科医生7名，外科医生5名，现选派4名参加赈灾医疗队，其中. （1）甲、乙有且仅有一人参加，有多少种选法？ （2）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？ 【答案】（1）240 （2）455 【解析】 【分析】（1）将甲和乙看成一个集合，其他人看成一个集合，分别选取元素，结合组合数公式，即可求解； （2）利用间接法，结合组合数公式，即可求解. 【小问1详解】 共有种选法； 【小问2详解】 由总数中减去四名都是内科医生和四名都是外科医生的选法种数即为队中至少有一名内科医生和一名外科医生的选法数， 则共有种选法. 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的极值. 【答案】（1） （2）极小值为，无极大值 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可. （2）求出函数的极值点（注意定义域），再把极值点代入原函数即可得到极值. 【小问1详解】 的定义域为， ，所以， 又因为，所以切点为， 所以曲线在处的切线方程为 【小问2详解】 ， 当时，， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，取得极小值，且极小值为，无极大值. 17. 已知函数，曲线在处的切线方程为. （1）求的值； （2）求在区间上的最值. 【答案】（1）， （2）最大值为13，最小值为5 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义可求出结果； （2）利用导数判断单调性，根据单调性可求出最值. 【小问1详解】 ， ， 又∵曲线在处的切线方程为. ，，即得：， 解得：， 【小问2详解】 由（1）得：，， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 因为，，所以. 在区间上的最大值为13，最小值为5. 18. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）当时，在上单调递增;当时，在上单调递减，在上单调递增． （2） 【解析】 【分析】（1）求导可得，分，两种情况讨论，由导数与单调性的关系即可得解； （2）由（1）可知，当时，在上单调递增，所以至多有一个零点，当时，求出的最小值，使可求解的范围． 【小问1详解】 因为，所以， 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，解得， 由，得，由，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 由（1）可知，当时，在上单调递增，所以至多有一个零点； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值，， 令，，则， 所以在上单调递减， 又，所以要使，即，则． 又因为， 所以在上有一个零点， 又， 令，，则， 所以在上单调递增， 因为，所以，所以， 所以， 所以在上也有一个零点． 综上所述，要使有两个零点，则的取值范围是． 【点睛】知识点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，已知函数零点个数求出参数范围问题，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题． 19. 已知函数（，e为自然对数的底数）． （1）若在x=0处的切线与直线y=ax垂直，求a的值； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，求证：． 【答案】（1） （2） 时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 时，在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． （3）证明：方法一： 等价于 当时， 令 令，则在区间上单调递增    ∵， ∴存在，使得，即 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增 ∴ ∴，故 方法二： 当时， 令，则， 令，则 当时，；当时， ∴在区间上单调递减，上单调递增． ∴，即 ∴， 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求出切线的斜率，再由直线的位置关系可求解； （2）由于，令，得或，通过比较两个值分类讨论得到单调区间； （3）方法一：通过单调性，根据求最值证明；方法二：运用放缩及同构的方法证明. 【小问1详解】 ，则， 由已知，解得 【小问2详解】 （ⅰ）当时，， 所以，， 则在上单调递增，在上单调递减； （ⅱ）当时，令，得， ①时，， 所以或，， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； ②时，，则在上单调递增； ③时，， 所以或，， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 综上，时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 时，在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 【小问3详解】 略. 【关键点点睛】 解决本题的关键：一是导数几何意义的运用，二是通过导函数等于零，比较方程的根对问题分类讨论，三是隐零点的运用及放缩法的运用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $