2026年中考数学考前20天冲刺讲义（二）

该初中数学中考复习讲义聚焦平面直角坐标系、一次函数、反比例函数、二次函数及函数综合五大中考核心模块，按倒计时15-10天系统编排，通过考情透视把脉命题规律，考点抢分梳理核心知识，真题精研复盘经典题型，终极预测强化压轴实战，构建“考点-方法-真题-预测”完整复习链条。 亮点在于“坐标化几何”“动态问题分段解析”等创新策略，如用“铅垂高×水平宽”公式秒杀二次函数面积最值，通过“k的几何意义面积速算”培养学生几何直观与运算能力。设置基础送分题、中档综合题、压轴探究题分层训练，配合解题妙法口诀与5分钟限时真题演练，助力学生在有限时间内精准突破考点，教师可依托倒计时进度把控复习节奏，提升备考效率。

目 录 倒计时15天 ➤平面直角坐标系……………………………………………………………………………3 是几何与函数的基础工具，常结合函数、几何综合考查，分值稳定、衔接性强。 倒计时14天 ➤一次函数……………………………………………………………………………………25 聚焦图象性质、解析式求解与实际应用，是中考基础必考题型，常结合几何、方案问题综合命题。 倒计时13天 ➤反比例函数…………………………………………………………………………………64 聚焦k的几何意义、图象分布与增减性，多以填空选择及小综合题考查，为中考中档高频考点。 倒计时12天 ➤二次函数…………………………………………………………………………………100 聚焦图象性质、最值、存在性与几何综合探究，是中考压轴核心题型，分值占比高、区分度极强。 倒计时11天 ➤函数综合题………………………………………………………………………………158 融合一次、反比例、二次函数关联考点，结合几何图形、动点与最值设问，是中考数学压轴重难点，区分度高、综合性极强。 倒计时15天 找准坐标定方向，理清思路破难点，放平应试心态，稳扎稳打就能轻松攻克平面直角坐标系题型。 平面直角坐标系 考情透视--把脉命题 直击重点 ►命题解码： 平面直角坐标系作为数形结合的核心载体，是中考必考基础内容，题型覆盖选择、填空与简单解答。命题侧重具象化基础考查，高频考查各象限内点的坐标符号规律、坐标轴上点的特殊特征、点关于坐标轴及原点的对称变换、图形平移旋转的坐标变化规律。同时常结合线段长度、中点坐标、网格图形面积计算命题，频繁联动一次函数、几何图形进行小综合设问。命题注重基础实用性，以基础送分题为主，穿插易错陷阱题型，着重考查学生坐标转化、数形转化的基本解题能力，衔接后续函数与几何大题。 ►中考前沿： 2026年将延续基础+综合的命题思路，基础题聚焦坐标特征、对称平移等易错点，确保覆盖全面。中档题强化坐标与几何综合，如结合特殊图形求点坐标、动态点轨迹与面积最值。创新题可能融入新定义、规律探究或跨情境应用，强化数形结合与逻辑推理，难度梯度更合理，侧重考查知识迁移与综合应用能力。 考点抢分--核心精粹 高效速记 终极考点1   各象限内点的坐标特征（简单） 1、点P(x，y)在第一象限 x＞0，y＞0，即（+，+）； 2、点P(x，y)在第二象限 x＜0，y＞0，即（-，+）； 3、点P(x，y)在第三象限 x＜0，y＜0，即（-，-）； 4、点P(x，y)在第四象限 x＞0，y＜0，即（+，-）。 终极考点2   特殊位置上点的坐标特征（简单） 点M（x，y）所处的位置 坐标特征 坐标轴上的点 点M在x轴上 在x轴正半轴上 M（正，0） 在x轴负半轴上 M（负，0） 点M在y轴上 在y轴正半轴上 M（0，正） 在y轴负半轴上 M（0，负） 点M在原点 M（0，0） 象限角平分线上的点 点M在第一、三象限角平分线上 x＝y 点M在第二、四象限角平分线上 x＝-y 两点连线与坐标轴平行 MN∥x轴（或MN⊥y轴） M、N两点纵坐标相等且横坐标不相等 MN∥y轴（或MN⊥x轴） M、N两点横坐标相等且纵坐标不相等 终极考点3   平面直角坐标系中点的变换坐标规律（简单） 设原点点坐标：P(x, y) 一、平移规律 1、左右平移（变横坐标） 向右平移 a 个单位：(x+a, y) 向左平移 a 个单位：(x-a, y) 2、上下平移（变纵坐标） 向上平移 b 个单位：(x, y+b) 向下平移 b 个单位：(x, y-b) 口诀：右加左减，上加下减 二、轴对称规律 1、关于 x 轴对称：横坐标不变，纵坐标变号(x, -y) 2、关于 y 轴对称：纵坐标不变，横坐标变号(-x, y) 三、中心对称（关于原点对称） 横、纵坐标全都变号(-x, -y) 四、简单旋转（中考高频） 1、绕原点顺时针旋转90°：(y, -x) 2、绕原点逆时针旋转90°：(-y, x) 3、绕原点旋转 180°，等同于原点中心对称：(-x, -y) 终极考点4   平面直角坐标系中的距离（简单） 点到坐标轴及原点的距离 已知点P，则 1）点P到轴的距离为； 2）点P到轴的距离为； 3）点P到原点O的距离为P＝. 平行于坐标轴的直线上两点间的距离 若AB∥x轴，则的距离为； 若AB∥y轴，则的距离为； 拓展 坐标系中有两点M与点N，则M，N两点之间的距离：，MN的中点坐标为 终极考点5   函数的相关概念（重点） 1、变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量. 2、常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量. 3、函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数. 4、函数的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围. 5、函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 6、函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式. 7、函数图象上点的坐标与解析式之间的关系： （1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在. （2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解. 终极考点6   函数自变量的取值范围（重点） 类型 取值范围 举例 自变量的取值范围 整式型 全体实数 全体实数 分式型 分母不能为零 二次根式型 被开方式大于或等于零 负整数(零)指数幂型 底数不能为零 x≠0 分式+根式型 开方式大于零 注意：分母不能为0 终极考点7   函数的表示方法（重点） 表示方法 定义 优点 缺点 解析式法 用含自变量x的式子表示函数y的方法 简单明了,能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的关系 求出对应值时,往往要经过比较复杂的计算,而且有些实际问题不一定能用解析式表示出来 列表法 把一系列自变量值x与对应的函数值y列成一个表格来表示函数关系的方法 一目了然,由表中已有自变量的每一个值,可以直接得出相应的函数值 自变量的值不能一一列出,也不容易看出自变量与函数之间的对应关系 图象法 用图象来表示函数关系的方法 能直观形象地表示函数关系 观察图象只能得到近似的数值 真题精研--复盘经典 把握规律 题型一 写出直角坐标系中点的坐标 （2025·海南·中考真题）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为、，则“强”的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵“少”“年”的坐标分别为、， ∴建立直角坐标系如下： ， ∴“强”的坐标为， 故选：B 题型二 点所在的象限 1．（2025·河北·中考真题）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】解：原方程 展开并整理为标准形式： 其中 ，，． ∴，． ∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限． 故选：C． 2．（2025·江苏宿迁·中考真题）点在第一象限，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【详解】解：点在第一象限， ， 解得， 故答案为： 解题妙法 1、四象限符号口诀：一正正，二负正，三负负，四正负 2、快速秒杀妙法 （1）先看x、y正负，直接套口诀定象限，不用画图。 （2）坐标轴上的点不属于任何象限：x轴上：y=0；y轴上：x=0。 （3）角平分线秒判：一、三象限角平分线：x=y；二、四象限角平分线：x=-y 3、应试小技巧：遇到含参数坐标判断象限，先判断横、纵坐标正负，再对照口诀，不用空想画图，稳准不丢分。 题型三 坐标系中的旋转 （2025·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：令则， ∴，即， 令，则，即， ∵沿轴翻折， ∴沿轴翻折得 设的解析式为， 把，代入 得，∴，则， ∴沿轴翻折不过点， ∴①不符合题意； ②令则，解得，即经过点， 令，则，即经过点， 连接，如图所示： ∵，，， 则，， ∴， ∵，∴，∴是的垂直平分线，∴与关于直线对称， 故沿函数的图像翻折过点， ∴②符合题意； ③ 依题意，点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点， 当点在上，则绕原点按顺时针方向旋转经过点； 当点不在上，则绕原点按顺时针方向旋转不经过点； 过程如下： ∴， 此时点， 把代入， 得 ∴不在， 即绕原点按顺时针方向旋转不经过点， 故③不符合题意； ∵绕点按顺时针方向旋转，且， ∴记为T点，连接， ∴， ∴， 则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合， 故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点， ∴④符合题意． 故选：B． 题型四 坐标与图形结合 （2025·四川雅安·中考真题）如图，平面直角坐标系中，点A在y轴上，点，点在x轴上，且，则m的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】解：，， ，， ，， ， ， 解得． 题型五 点坐标规律探索 （2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 【答案】B 【详解】解：A种瓷砖的位置：， ， B种瓷砖的位置：， ， 由此可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数）； ∴位置是A种瓷砖，故A选项不符合题意； 位置是B种瓷砖，故B选项符合题意； 位置是B种瓷砖，故C选项不符合题意； 位置是A种瓷砖，故D选项不符合题意； 故选：B. 题型六 常量与变量 （2025·北京·中考真题）工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日（T可取0，1，2或3）的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当和时，部分数据如下： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 时y的值 0 7 8 10 12 16 20 23 25 26 时y的值 0 26 37 43 m 48 50 51 52 53 时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变． 对于给定的T，在平面直角坐标系中描出该T值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图所示． (1)观察曲线，当整数x的值为_______时，y的值首次超过35； (2)写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线； (3)新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制． ①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第_______日可获得“优秀学员”证书； ②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行_______日的模拟练习． 【答案】(1)6 (2)；画图见解析 (3)①7；②1 【详解】（1）解：由曲线看出，当整数x的值为6时，y的值首次超过35 故答案为：6 （2）解：∵日的模拟练习时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，在试制阶段的第3日单日制成的合格品43个，第5日单日制成的合格品48个 ∴相差（个）， 把5分成两个接近的数，， ∴第4日增加3个，第5日增加2个， ∴， 画出时的曲线： （3）解：①单日制成不少于45个合格品的只有与， ：日的模拟练习，然后试制阶段第日制成的合格品达到个， ∴； ：日的模拟练习，然后试制阶段第日制成的合格品达到个， ∴， ∵， 故小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书； 故答案为：7； ②当模拟练习日时， 4日内的试制时间日， 4日的合格产品分别是7，8，10，12， ∴合格产品共有； 当模拟练习日时， 4日内的试制时间日， 3日的合格产品分别是12，19，26， ∴合格产品共有； 当模拟练习日时， 4日内的试制时间日， 2日的合格产品分别是20，30， ∴合格产品共有； 当模拟练习日时， 4日内的试制时间日， 1日的合格产品是26； ∵， ∴希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行1日的模拟练习． 故答案为：1． 题型七 函数解析式 （2025·江苏盐城·中考真题）博物馆到小明家的路程为，小明回家所需时间随平均速度的变化而变化，则与的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：依题意，与的函数表达式是． 故选：C． 题型八 求自变量的取值范围 1．（2025·云南·中考真题）已知是常数，函数，记． (1)若，，求的值； (2)若，，比较与的大小． 【答案】(1)的值为； (2)当时，；当时，． 【详解】（1）解：把，代入函数得， ， ∴的值为； （2）解：将，代入函数得， ， 整理得：， 当时，即， ∴， 当时，， 则有，， ， ∴， 综上可知：当时，；当时，． 2．（2025·云南·中考真题）函数的自变量的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵函数的分母为． ∴当分母时，分式无意义， ∴． 解得， 故自变量的取值范围是， 故选：D． 解题妙法 1、四大必考类型+秒杀规则 设自变量为 x （1）整式型（一次、二次多项式）：直接记：全体实数，无任何限制。 （2）分式型（分母含 x） 核心规则：分母≠0 解题：令分母≠0，解不等式即可。 （3）二次根式型（根号下含 x） 核心规则：被开方数≥0 解题：令根号里面整体≥0，求解。 （4）分式+二次根式复合型 同时满足：被开方数≥0 且 分母≠0，联立求解取值范围。 2、特殊实际应用题妙法 实际问题（人数、边长、个数、时间等），在上面式子限制基础上，再加：自变量取正数、整数，符合生活实际。 题型九 从函数的图像获取信息 （2025·广东·中考真题）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（   ） A．电池能量最多可充 B．摩托车每行驶消耗能量 C．一次性充满电后，摩托车最多行驶 D．摩托车充满电后，行驶将自动报警 【答案】C 【详解】由图象可得，当时，， ∴电池能量最多可充，故A错误； ， ∴摩托车每行驶消耗能量，故B错误； 由图象可得，当时，， ∴一次性充满电后，摩托车最多行驶，故C正确； ∴摩托车充满电后，行驶将自动报警，故D错误； 故选：C． 题型十 动点问题的函数图像 （2025·浙江·中考真题）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（   ） A． B． C．点C的纵坐标为240 D．点在该函数图象上 【答案】D 【详解】解：如图，作，当时，动点运动到点的位置，则由题意和图象可知，当点运动到点的时候，最小，即：，， 在中，由勾股定理，得：，解得：，故选项A错误； ∴，， 当时，点运动到点，则，∴， ∵，∴，∴，故选项B错误； ∴当，即点在点时， ∴； ∴点的纵坐标为；故选项C错误； 当时，点运动到点，则：，∴， ∴， ∴点在该函数图象上，故选项D正确； 故选D． 解题妙法 动点与函数图象判断的解题策略 方法一：趋势判断法. 根据几何图形的构造特点，对动点运动进行分段，并判断每段对应函数图象的增减变化趋势； 方法二：解析式计算法. 根据题意求出每段的函数解析式，结合解析式对应的函数图象进行判断； 方法三：定点求值法. 结合几何图形特点，在点运动的拐点、垂直点、特殊点处求出函数值，对选项进行排除； 方法四：范围排除法. 根据动点的运动过程，求出两个变量的变化范围，对选项进行排除． 终极预测--压轴实战 稳拿高分 1．（2026·安徽淮北·二模）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点坐标分别，，． (1)在网格内，以点为位似中心，将放大为原来的2倍，画出（点、、的对应点分别为、、）；点的坐标为________； (2)仅用无刻度的直尺，在线段上找一点，使得线段最短（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)图见解析，点的坐标为 (2)见解析 【详解】（1）解：如图所示；即为所求； 点的坐标为； （2）解：如图所示，点即为所求． 2．（2026·广东江门·一模）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点，若规定以下三种变换： ①； ②； ③， 按照以上变换，例如：，则等于______． 【答案】 【详解】解：先根据变换③计算，得 再根据变换②计算，得． 3．（2026·重庆·模拟预测）已知，其中，，，，，…，为正整数，，，…，为平面直角坐标系内的点．下列说法： ①若，，则的值可能为，； ②若满足，，则由，，三点构成的三角形的面积是； ③若，，，，所构成的图形是四边形，则m的最小值为． 其中正确的个数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：所有为正整数，总和为， 共个正整数，每个，总和初始最小值为，增量和为， ① 当，时，总和为，共个正整数， 若，则，，剩余，可取，，均为正整数，存在； 若，则剩余，可取，，均为正整数，存在；故①正确； ② 当，时，总和为，共个正整数。 举例：取，，，，，，满足总和为， 三点为，，，三点共线，面积为，不是，故②错误； ③当时，共个正整数，总和为，构成四边形需要四个点互不重合，且无三点共线， 若，即增量和小于，总共有最多个坐标大于，最多得到个不同的点，无法得到四个不同的点，无法构成四边形； 当时，取四个点，，，，所有的和为， 四个点可构成四边形，满足条件，最小值为，故③正确； 综上，正确的说法有①和③，共个． 4．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点都在格点上，将四边形绕坐标原点旋转后的关于轴的对称图形为四边形，则点的对应点的坐标为_______． 【答案】 【详解】解：从图中格点可得，点的坐标为， ∵平面直角坐标系中，点绕原点旋转后，坐标变为，∴旋转后得到点， ∵点关于轴对称的点坐标为，∴对称后得到对应点； 如图，点旋转后得到点，点关于轴的对称的点． 5．（2026·陕西西安·三模）七巧板又称七巧图，是中国民间流传的智力玩具，可以阐明若干重要几何关系，其原理便是古算术中的“出入相补原理”它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图，是由七巧板拼成的正方形，若点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为____________ 【答案】 【详解】解：如图所示： ， ∴点P的坐标为． 6．（2026·北京·模拟预测）小刚在研究弹簧的伸长量与所受拉力的关系时，准备了两个弹簧：弹簧A（1号弹簧）和弹簧B（2号弹簧）．弹簧A是均匀的线性弹簧，而弹簧B是根据特殊材料设计的非线性弹簧．小刚分别对两个弹簧施加不同的拉力（单位：），并记录了弹簧的伸长量（单位：），部分数据如下： (1)补全表格（结果保留小数点后一位）． 0 1 2 3 4 5 6 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 0 0.8 1.4 1.9 2.3 2.6 2.9 (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当拉力为时，弹簧B的伸长量与弹簧A的伸长量的差约为________（结果保留小数点后一位）． ②在①的条件下，若将弹簧B的一部分拉力转移到弹簧A上，当两弹簧的伸长量相同时，其伸长量约为________（结果保留小数点后两位）． 【答案】(1) (2)图见解析 (3)①；② 【详解】（1）解：观察表格数据可知拉力每增加，弹簧A的伸长量增加， 因此当时，，故表格填入数据； （2）解：如下图函数图象即为所求： （3）解：①由图象可知， 当拉力为时，弹簧A的伸长量为，弹簧B的伸长量为， 则弹簧B的伸长量与弹簧A的伸长量的差约为； ②由图象可知， 若将弹簧B的一部分拉力转移到弹簧A上，当两弹簧的伸长量相同时，其伸长量约为． 7．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）在函数中，自变量x的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：由题意得： 解得： 8．（2026·广东东莞·一模）若函数有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：若函数有意义，需满足 解得， 因此的取值范围是． 9．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在长方形电子屏中，，．一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点P从点A出发沿边以的速度向点C运动，随着的移动，画面逐渐展开． (1)求展开的画面面积S（单位：）关于点P的运动时间t（单位：s）的函数表达式； (2)当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续5s，求播放结束时展开的画面面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：如图，当时，， 如图，当时，； 综上，（单位：关于点的运动时间（单位：的函数表达式为：； （2）解：， 当时，，， ∴， 当时，，（不符合题意）， 答：播放结束时展开的画面面积是． 倒计时14天 吃透一次函数图象性质与解析式套路，稳住心态、数形结合巧分析，细心计算稳步骤，考场轻松拿下一次函数各类考题。 一次函数 考情透视--把脉命题 直击重点 ►命题解码： 一次函数是中考数学基础核心必考内容，题型涵盖选择题、填空题与解答应用题，分值占比稳定。基础层面常考查正比例函数定义、一次函数解析式求解、图象象限分布、增减性以及与坐标轴交点坐标。常考点还包括直线平移、待定系数法求解析式、比较函数值大小。 中档题型多结合方程、不等式考查，利用一次函数图象解一元一次方程与不等式，数形结合命题突出。高频考查实际应用题，以行程、利润、方案选择、收费问题为背景，建立一次函数模型求解最值与方案决策。同时常与几何图形、平面直角坐标系综合，结合线段、面积设问，侧重考查建模能力、读图能力和运算推理，是中考得分关键板块。 ►中考前沿： 2026年中考一次函数板块将延续“基础稳固、侧重应用、适度综合”的命题趋势，分值稳定在10—15分，覆盖选择、填空、解答题。基础题聚焦待定系数法求解析式、k与b对图象象限及增减性的影响、直线平移规律、坐标轴交点计算，注重概念与运算熟练度。 中档题核心是一次函数与方程、不等式综合，以图象法解不等式恒成立、参数范围求解为高频考向，强调数形结合思维。应用题背景更贴近生活热点，如低碳出行、阶梯收费、电商利润、方案优化等，考查建模能力与自变量取值范围分析。 压轴小问将加强一次函数与几何综合，涉及线段长度、面积最值、动点存在性问题，难度中等偏上，侧重逻辑推理与跨模块整合能力。整体不设偏难怪，重在考查核心素养，熟练掌握图象性质与建模方法即可稳拿高分。 考点抢分--核心精粹 高效速记 终极考点1   一次函数的图像与性质（含正比例函数）（重点） k＞0 k＜0 图像 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 趋势 从左向右看图像呈上升趋势 从左向右看图像呈下降趋势 增减性 y随x增大而增大 y随x增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 经过 的象限 第一、二、三象限 第一、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、四象限 第二、三、四象限 拓展 1）直线与直线平行 2）直线与直线垂直 注意：一次函数的性质主要是指函数的增减性，即y随x的变化情况，它只与k的符号有关，与b的符号无关. 终极考点2   待定系数法求一次函数解析式（重点） 1、一次函数通用解析式：y=kx+b（k≠0，k、b 为常数） 2、核心思路： 设→代→列→解→写 （1）设：先设解析式 y=kx+b （2）代：把已知两个点坐标分别代入 （3）列：得到关于 k、b 的二元一次方程组 （4）解：求出 k、b 的值 （5）写：把 k、b 代回，写出最终解析式 3、特殊情况 若过原点，是正比例函数，直接设：y=kx；只需一个点坐标就能求出 k 终极考点3   一次函数的平移变换（重点） 平移变换 平移方式（m＞0） 函数解析式 向上平移m个单位 向下平移m个单位 向左平移m个单位 向右平移m个单位 平移口诀：左加有减（只改变x），上加下减（只改变y）. 注意：一次函数图象平移后，k值不变因此可求出原函数图象上任意一点平移后得到的点的坐标，再利用待定系数法即可求出平移后的解析式. 终极考点4   一次函数图像解方程、解不等式、比函数值大小（难点） 1、用一次函数图像解一元一次方程 （1）方程 kx+b=0 的解 考点：就是直线 y=kx+b 与x轴交点的横坐标。 （2）方程 k1x+b1=k2x+b2 的解 考点：两条直线 y1=k1x+b1、y2=k2x+b2交点的横坐标。 2、用一次函数图像解一元一次不等式 设两直线 y1=k1x+b1、y2=k2x+b2交点横坐标为 x0 （1）kx+b>0 考点：直线在x轴上方部分对应的 x 取值范围。 （2） kx+b<0 考点：直线在x轴下方部分对应的 x 取值范围。 （3）y1>y2 考点：图像在上方的那一段对应的 x 范围。 （4）y1<y2 考点：图像在下方的那一段对应的 x 范围。 3、利用图像比较函数值大小（高频中考） （1）同一一次函数，看增减性 k>0：y随x增大而增大，x越大y越大 k<0：y随x增大而减小，x越大y越小 （2）不给解析式、只给图像上两点 考点：直接看两点在图像上的高低，位置高y值大。 （3）含参数比较大小（中考易错） 不用求解析式，只看k的正负判断增减，再比横坐标判y大小。 真题精研--复盘经典 把握规律 题型一 正比例函数的图像与性质 （2025·山东潍坊·中考真题）（多选）如图，一次函数经过点，与轴交于点，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（    ） A． B．为的中点 C．方程的解是 D．当时， 【答案】BD 【详解】解：、根据图象可知，，， ∴，原选项不符合题意； 、∵一次函数经过点，点， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为， 当时，，∴， ∴，， ∴， ∴为的中点，原选项符合题意； 、方程的解是，原选项不符合题意； 、当时，，原选项符合题意； 故选：． 解题妙法 对于正比例函数，只要知道比例系数k的正负，不需画出图像就能判断其图像的大致位置以及函数的增减性.反之，若知道正比例函数的增减性，也可以推断出函数的比例系数k的正负. 题型二 探究一次函数经过的象限与系数之间的关系 （2025·江苏扬州·中考真题）已知，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， 当时，，，与矛盾， 当时，，  ，与矛盾， 当时，，，与矛盾， 当时，，，与矛盾， ∴，∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D． 解题妙法 图像如果过第一、三象限，那么k＞0；图像如果过第二、四象限，那么k＜0 题型三 求一次函数自变量或函数值 （2025·广东广州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：依题意，将直线向上平移d个单位长度后得 ∵点，点，且直线向上平移d个单位长度后与线段有交点， ∴把代入得，解得； 把代入得，解得； 则， 故选：D． 题型四 探究一次函数的增减性与系数之间的关系 （2025·安徽·中考真题）已知一次函数的图象经过点M，且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵一次函数过， 把代入得，即． 又随的增大而增大， ． 选项A：点，代入得， 把代入得， 化简得，解得，不满足，舍去． 选项B：点，代入得， 把代入得， 化简得，不满足，舍去． 选项C：点，代入得， 把代入得， 化简得，解得，不满足，舍去． 选项D：点，代入得， 把代入得， 化简得，解得，满足． 综上，只有选项D符合条件， 故选：． 解题妙法 若x增大y也增大，则k＞0；若x增大y反而减小，则k＜0 题型五 一次函数的图像问题 1．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是______．（填写一个值即可） 【答案】6（答案不唯一，大于5均可） 【详解】解：直线经过点， ，即 设直线分别交x轴和y轴与、两点， 当时，；当时，， 即，，∴，， 过点分别作直线轴，直线轴，交x轴于，交y轴于，如图， 则轴，， ∴， ∴ ∴当绕A点顺时针旋转，旋转角为时，在如图所示位置， ∵点在上， ∴当，则点在点的右上方，此时， 故答案为：6（答案不唯一，大于5均可）． 2．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象， ∴向右平移3个单位得， ∴函数与轴的交点坐标为， ∵， ∴结合图象可得：， 故选：C． 3．（2025·青海西宁·中考真题）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．下列结论错误的是（   ） A． B．与的面积相等 C．的面积是 D．当时， 【答案】C 【详解】解：∵反比例函数的图象过点，∴，∴反比例函数为， ∵反比例函数的图象过点，∴，解得，∴， ∵一次函数的图象过点，， ∴，解得， 故A选项正确； ∴一次函数的解析式为． ∵对于一次函数，令，则； 令，则，解得，∴，，∴，， ∴，，， ∴，故B选项正确； ，故C选项错误； ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴由图象可得当时，，故D选项正确． 故选：C． 题型六 求一次函数的解析式 1．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在长方形电子屏中，m，m．一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点从点出发沿边，以的速度向点运动，随着的移动，画面逐渐展开． (1)写出展开的画面面积（单位：）关于点的运动时间（单位：s）的函数表达式； (2)当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续，求播放结束时展开的画面面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：如图1，当时，， 如图2，当时，； 综上，（单位：关于点的运动时间（单位：的函数表达式为：； （2）解：， 当时，，， 当时，（不符合题意）， 答：播放结束时展开的画面面积是． 解题妙法 题型七 一次函数与一元一次不等式 1．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和， ∴，解得； （2）解：由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为， 当时，则， 当时，则， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值， ∴，且， ∴， 当，时，和恒成立，故符合题意； 当时，则且， 当时，则， 解不等式得，解不等式， ∴； 当时，则， 解不等式得，解不等式得，此时不符合题意； 综上所述，． 2．（2025·天津·中考真题）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间 1 6 18 50 小华离家的距离 ②填空：小华从公园返回家的速度为____________； ③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①②③ (2) 【详解】（1）解：①小华去书店的速度为， 1分钟时小华离家的距离为； 由图可知18分钟时，小华离家的距离为； 50分钟时，小华离家的距离为； 故答案为：； ②小华返回家的速度为，故答案为：； ③由①得小华去书店的速度为， ∴当时，； 由图可知，当时，； 当时，假设直线解析式为， 将代入解析式得，解得 ∴； 综上，； （2）解：如图所示，为妈妈的图形， 根据题意可知，小华妈妈的速度为， 所以其直线解析式为， 当时， 令，解得，经验证，符合题意； 令，解得，经验证，符合题意； 结合图形，当时，． 题型八 两直线交点与二元一次方程组的解 （2025·宁夏·中考真题）如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是______． 【答案】 【详解】∵直线与直线交于点， ∴点A的坐标同时满足两个函数的解析式， 即方程组的解为点A的坐标．故答案为：． 题型九 分配方案问题（一次函数的实际应用） （2025·青海西宁·中考真题）西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣——坚韧、顽强、浪漫．某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区．若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元． (1)求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？ (2)该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？ 【答案】(1)50元；80元 (2)购买紫丁香20株，白丁香25株；2850元 【详解】（1）解：设白丁香的单价为x元，紫丁香的单价为y元． 根据题意，列方程组，解方程组得； 答：白丁香的单价为50元，紫丁香的单价为80元； （2）解：设购买紫丁香m株，则购买白丁香株，总费用为w元． 根据题意， ∵∴w随m的增大而增大 又∵，∴当时，． 答：购买紫丁香20株，白丁香25株时，总费用最少，最少费用为2850元． 题型十 最大利润问题（一次函数的实际应用） （2025·西藏·中考真题）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 【答案】(1)生产甲、乙两款服装分别为件，件； (2)生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． 【详解】（1）解：设生产甲、乙两款服装分别为件，件， 根据题意得，解得：， 答：生产甲、乙两款服装分别为件，件； （2）解：设生产甲款服装件，则生产乙款服装件， 根据题意得，解得， 设获得的总利润为元， ∴， ∵，且为正整数，∴当时，最大利润为（元）， 则（件）， 答：生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． 题型十一 行程问题（一次函数的实际应用） 1．（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示． (1)乙步行的速度为___________之间的路程为___________； (2)当时，求关于的函数表达式； (3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为． 【答案】(1)90，3960 (2) (3)当甲出发或时，两人之间的路程为 【详解】（1）解：由图像可知：甲的速度为：， 设乙的速度为，由题意，得：，解得：， 故乙的速度为； 之间的路程为：； 故答案为：90，3960； （2）由图像可知：点的纵坐标为， ∴， 当时，设，把，代入，得： ，解得：， ∴； （3）当时，令，解得：； 当时，，解得：； 综上：当甲出发或时，两人之间的路程为． 2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买、两种型号的芯片．已知购买颗型芯片和2颗型芯片共需要元，购买颗型芯片和颗型芯片共得要元． (1)求购买颗型芯片和颗型芯片各需要多少元． (2)若该公司计划购买、两种型号的芯片共频，其中购买型芯片的数量不少于型芯片数量的倍．当购买型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元． (3)该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地，两车到达地后均停止行驶．如图，、分别是甲、乙两车离地的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题： ①甲车的速度是________． ②当甲、乙两车相距时，直接写出的值________． 【答案】(1)购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 (2)当该公司购买型芯片颗，所需资金最少，最少资金是元 (3)①；②或或 【详解】（1）设：购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 由题意得，解得 答：购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 （2）设购买型芯片颗，则购买型芯片颗，所需资金为元 由题意得： 随的增大而减小 购买型芯片的数量不少于型芯片数量的3倍， 解得 取正整数当时，取最小值，（元） 此时 答：当该公司购买型芯片颗，所需资金最少，最少资金是元 （3）①设的解析式为 将点，代入 得，解得 所以，的解析式为， 当时， 所以，甲车的速度为 ②的解析式为 将点代入，得，解得，所以的解析式为 当函数的图象在函数上方时 可列方程，解得 当函数的图象在函数下方时 可列方程，解得 当甲车到达地，乙离目的地时， 可列方程，解得 综上所述，的值为：或或． 题型十二 一次函数与几何结合 1．（2025·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一张纸片被y轴分成矩形和平行四边形两部分．点A的坐标为，点B，C分别在x轴和y轴上，点D的坐标为．下列结论： ①纸片的面积是； ②点E的坐标为； ③若直线既平分矩形的面积又平分的面积，则直线的解析式为； ④若点M是直线上的一个动点，连接EM，设，点C到的距离为n，则m与n之间的关系式为． 其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：如图，延长交轴于， ∵一张纸片被y轴分成矩形和平行四边形两部分．点A的坐标为，点B，C分别在x轴和y轴上，点D的坐标为， ∴，，，，， ∴，，纸片面积为：，故①符合题意； ∴，故②符合题意； 如图，连接交于点，连接交于点， ∵矩形和平行四边形， ∴直线即直线既平分矩形的面积又平分的面积， ∵，，， ∴，， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为；故③符合题意； 如图，连接，过作于， 由题意可得：，而的面积为， ∴， ∴， ∵当最小时，最大， ∴当时，最小， ∵，∴，解得：， 此时，∴m与n之间的关系式为，故④符合题意； 故选：D 2．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知：在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求直线的解析式； (2)如图①，为轴正半轴上一点，于点，点在线段上（点不与点重合），连接，设点的横坐标为，的长为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图②，在（2）的条件下，点横坐标为，在第一象限内作直角三角形，，，点在轴上，设点的横坐标为，点在上，，在第四象限内作，，连接，，交轴于点，连接并延长交于点，，求点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)与的函数解析式为； (3)点的坐标为． 【详解】（1）解：设直线的解析式为． 将点代入，得，解得， ∴直线的解析式为． （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∵点的横坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与的函数解析式为． （3）解：作轴于点， ∵点的横坐标为，点的横坐标为，点在线段上， ∴，， ∴， 解得， ∴点的横坐标为，，， ∴， ∴， 作轴于点，作轴于点，则，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∵点在轴上，点的横坐标为， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 作，交轴于点，则， 又∵，， ∴， ∴， ∵为轴正半轴上一点，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴，，，， ∴，，点是的中点， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴点的坐标为． 终极预测--压轴实战 稳拿高分 1．（2026·江苏连云港·一模）关于直线（为常数）与直线的交点情况，下列判断一定正确的是（   ） A．有1个交点，且在第一象限 B．有1个交点，且在第二象限 C．有1个交点，且在第三象限 D．有1个交点，但不在第四象限 【答案】D 【详解】解：直线中，，经过一、二、三，不经过第四象限， 因为直线与直线的不相等，所以两直线必有一个交点， 又因为交点必在直线上，所以交点不可能在第四象限， 故选项D符合题意． 2．（2026·江苏扬州·一模）若，为直线上的两点，且，则的取值范围是____________． 【答案】 【详解】解：，是直线 上的两点，且， 随的增大而减小 根据一次函数的性质可得 解得 3．（2026·安徽芜湖·一模）如图1所示，将一个等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，其中直角边在x轴上，点B在第二象限，将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移．设平移过程中该直线被的边截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图像如图2所示，下列结论错误的是（   ） A．点A的坐标为 B．的面积为8 C．边所在直线的表达式为 D．D点坐标为 【答案】D 【详解】解：A、令直线，解得：， ∴点M的坐标为， ∴， 由函数图像可知：当时，直线l经过点A， ∴， ∴ ∴点A的坐标为，故选项A正确； B、由函数图像可知：当时，直线l经过点C， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， ∴， ∴的面积：，即选项B正确； C、∵， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴，即选项C正确； D、∵，， ∴，直线l和x轴正方向的夹角为， ∴， ∵， ∴当l经过点C时， ， ∴， ∴选项D错误，符合题意． 故选：D． 4．（2026·河北邯郸·二模）在平面直角坐标系中，点P从出发，按“上1、右1、下2、右1、上3、右1、下4、右1……”的规律移动（即：第1次向上移动1个单位，第2次向右移动1个单位，第3次向下移动2个单位，第4次向右移动1个单位，以此类推，如图），若第n次移动后，点P恰好落在直线上，则满足条件的所有n的和（   ） A．5 B．8 C．13 D．21 【答案】C 【详解】解：点P第n次移动后记为，结合图形可以发现，点P“每移动4次为一个周期”，按着“上、右、下、右……”的规律移动，这四个位置的点分别用表示，其中k取自然数． 如图，观察的坐标可以发现，后一个点的横坐标总比前一个点的横坐标多2，纵坐标多1，因为，所以的坐标为．若点在直线，则有，解得，此时． 根据同一个周期内四个点的坐标关系，易知的坐标为、的坐标为，的坐标为． 若，，点在直线，则有 ①，解得，此时不是整数，不满足题意； ②，解得，此时不是整数，不满足题意； ③，解得，此时； 综上可知，满足条件的n的值为5和8， 所以满足条件的所有n的和为． 5．（2026·陕西渭南·一模）一次函数（k为常数，且）的图象不经过第三象限．若点N在该一次函数的图象上，则点N的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：令得，， 一次函数与轴交于， 一次函数（）的图象不经过第三象限， ， 选项A、 将代入函数得： ，解得，符合条件； 选项B、 将代入函数得：，解得，符合条件； 选项C、 将代入函数得： ，解得，符合条件； 选项D、 将代入函数得： ，解得，不满足，不符合条件； 则点的坐标不可能为． 6．（2026·广东湛江·一模）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， 令，则；令，则，解得：； ，， ，， 在中，， ． 7．（2026·辽宁大连·一模）甲、乙两支园林队共同完成总面积为的绿化任务，两支园林队每小时绿化的面积保持不变，其中甲园林队休息了一段时间．甲、乙两支园林队绿化的面积（单位：）与甲的工作时间t（单位：）之间的函数关系如图所示． (1)甲园林队休息了__________； (2)求乙园林队绿化的面积与之间的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）． 【答案】(1)； (2)乙园林队绿化的面积与之间的函数表达式为． 【详解】（1）解：由图象可知：甲园林队完成的绿化面积为，甲工作完成的绿化面积为， ∴甲工作后还剩下， 又∵甲园林队每小时绿化的面积保持不变， ∴甲还需完成剩下的绿化面积， 由图象可知：甲园林队休息了， 故答案为：； （2）解：∵由图象可知甲园林队完成的绿化面积为， ∴乙园林队完成的绿化面积为：， 设乙园林队绿化的面积与之间的函数表达式为， ∵图象经过点，， ∴，解得：， ∴乙园林队绿化的面积与之间的函数表达式为． 8．（2026·天津东丽·一模）已知小明家、超市、书店、体育馆依次在同一条直线上，超市、书店、体育馆离小明家的距离分别为，，．周末，小明从书店买完书后出发，先匀速步行到达体育馆，在体育馆停留了，之后匀速骑行到达超市，在超市停留后，再匀速步行返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 小明离开书店的时间 小明离家的距离 ②填空：小明从超市返回家的速度为_________； ③当时，请直接写出小明离家的距离关于时间的函数解析式． (2)当小明离开体育馆时，小明的哥哥小亮从家出发匀速步行直接去体育馆，如果小亮的速度为，那么小亮在去体育馆的途中遇到小明时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①；②；③当时，； 当时，；当时， (2) 【详解】（1）解：①由图可知，离开家，距家的距离为， 由图可知，当时，小明离家的距离关于时间的函数为一次函数， 设此时的函数表达式为：， 由图可知，当时，，当时，， 代入函数表达式，得：，解得：， ∴函数表达式为：， ∴离开家即为当时，， ∴离开家时，距家的距离为， 由图可知，离开家，距家的距离为； ②小明从超市返回家的路程为：，匀速步行返回家， 小明从超市到家的速度为：； ③由图可知，当时，小明离家的距离关于时间的函数分三段组成： 当时，设此时的函数表达式为：， 由图可知，当时，，当时，， 代入函数表达式，得：，解得：， ∴当时，函数表达式为：， 由图可知，当时，， 由①可知，当时，函数表达式为：， ∴小明离家的距离关于时间的函数解析式为： 当时，；当时，；当时，； （2）解：∵小亮从家出发匀速步行直接去体育馆，小亮的速度为， 此时小明从体育馆到超市，小明的骑行时间为：，骑行距离为：， ∴小亮在内的步行距离为：， 又∵， ∴内两人已经相遇，此时小明在从体育馆到超市的途中， 设小亮步行了两人相遇， 则小明骑行的速度为：， ∴根据题意可列方程为：， 解得， ∴小亮在去体育馆的途中遇到小明时离家的距离是． 9．（2026·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，对于图形G、图形R和直线l，给出如下定义：若图形G上存在点T（T在直线l外），使得图形R上至少有个点到直线l的距离与点T到直线l的距离相等，则称图形R为图形G关于直线l的“等距”图形． (1)已知点，，，． ①当时，在线段，，中，线段______为点A关于y轴的“等距”图形，其中k的值为______； ②若线段为线段关于y轴的“等距”图形，则t的取值范围是______； (2)已知直线，的圆心为，半径为1．若存在实数s以及的弦，使得任意以点为中心且边长为的等边均为弦关于直线l的“等距”图形，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)①，1；② (2) 【详解】（1）解：①当时，则点，如图所示： ∴点A到y轴的距离为2， ∵，， ∴线段上的点到y轴的距离最小值为0，最大值为1， ∴线段不是点A关于y轴的“等距”图形， ∵，， ∴线段上的点到y轴的距离最小值为0，最大值为1， ∴线段不是点A关于y轴的“等距”图形， ∵，， ∴线段上的点到y轴的距离最小值为0，最大值为3， ∴线段是点A关于y轴的“等距”图形， 设线段的解析式为， 则，解得， ∴线段的解析式为， 当时，， ∴线段上有1个点到y轴的距离为2， ∴k的值为1． ②∵，， ∴同理①的方法可得，线段的解析式为， 设线段上的点到y轴的距离为，如图所示： 当时，线段有2个点满足， 当或时，线段有1个点满足， 又∵线段为线段关于y轴的“等距”图形， ∴线段存在点T，使得点T到y轴的距离不大于， 又∵在y轴的右侧，且到y轴的距离为3， ∴点在直线上或直线的左侧，如图所示： ∴t的取值范围为． （2）解：∵边长为的等边均为弦关于直线l的“等距”图形， ∴等边上存在3个点到直线的距离等于某个具体数值， ∵是以点为中心的任意一个等边三角形，且均存在3个点到直线的距离等于，如图所示： ∴这个等边三角形的中心点必然经过直线，即，且， ∴任意的弦，上都存在点，到直线l的距离的最大值也要为， 如图所示，点在直线上，作直线，，且， 作与直线相切于点， 若上存在一点到直线的距离达到，则与直线有交点即可， ∵直线，∴，∴、是等腰直角三角形， ∵的半径为1，∴，∴，，∴， 同理，当点在直线的下方时，，，∴， ∵点在第四象限，∴点，即，∴． 10．（2026·天津·一模）已知小明家、民俗馆、人工智能科普馆依次在同一条直线上，民俗馆离家，人工智能科普馆离家．小明从家出发，先匀速骑行了到达民俗馆，在那里参观了后，又匀速骑行了到达人工智能科普馆，在科普馆停留了后，匀速步行返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)填表： 小明离开家的时间 小明离家的距离 填空：小明从人工智能科普馆返回家的速度为__________； 当时，请直接写出小明离家的距离关于时间的函数解析式； (2)当小明离开家时，他的妈妈也从家出发，沿同一路线匀速步行前往人工智能科普馆，全程用时，那么在从民俗馆到人工智能科普馆的途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)，，；；； (2)． 【详解】（1）解：当时，速度为（）， ∴当时，（）， 由图象可知：当时，（）， 由图象可知：当时，（）， 故答案为：，，； 小明从人工智能科普馆返回家的速度为：（），故答案为：； 当时，设， 把代入得：，解得：，∴； 当时，； 当时，设， 把，代入得：，解得：，∴； 综上可得：； （2）解：妈妈的速度为（），设分钟两人相遇， 根据题意得：，解得：，∴两人相遇时离家的距离是． 11．（2026·上海崇明·二模） 背景 我国新能源汽车产销量连续10年全球第一，2025年出口261.5万辆，纯电动汽车占比超六成．凭借环保节能的优势，电动车越来越受到青睐，预计到2035年，纯电动汽车将占据市场绝对主导地位． 素材1 工程师对某品牌的款电动车进行充电测试，用快速充电桩和慢速充电桩分别对剩余电量为的两台款电动车同时充电，充电时，各自的电量与充电时间（小时）的函数图象分别为图中的线段和． 素材2 暑假里，小明一家驾驶某品牌的款电动车从家出发去外地旅游，途中发现电量不足，便驶入服务区充电．此时，车辆剩余电量为，但服务区内的快速充电桩已满，只能先使用慢速充电桩充电．小明一家在慢速充电40分钟后，恰好有快速充电桩空出，立即改为快速充电（切换时间忽略不计）．由于行程安排，他们在服务区最多能停留1.5小时． 问题解决 (1)任务一：根据素材1，试分别对快速充电和慢速充电两种情况，写出关于的函数解析式，并分别指出自变量的取值范围． (2)任务二：当他们离开服务区时，车辆的电量能否充至？请说明理由． 【答案】(1)快速充电的函数解析式为； 慢速充电的函数解析式为； (2)当他们离开服务区时，车辆的电量不能充至，理由见解析 【详解】（1）解：设快速充电的函数解析式为， 把代入得，解得， 快速充电的函数解析式为； 设慢速充电的函数解析式为， 把，代入得，解得， 慢速充电的函数解析式为； （2）解：小时， 把代入得， 把代入得， 解得， 若充到，还需要（小时），， 车辆的电量不能充至，当他们离开服务区时，车辆的电量不能充至. 12．（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，在矩形中，，，点是边上的定点，且．动点从点出发，以的速度沿的方向在矩形的边上匀速运动，最终到达点停止．设点的运动时间为秒，的面积为． (1)当点在边上运动时，求与之间的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (2)求点在整个运动过程中，与之间的函数解析式，并写出对应的自变量的取值范围； (3)当的面积为时，求的值； (4)是否存在某一时刻，使得的面积等于矩形面积的？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)存在， 【详解】（1）解：∵矩形中，∴，， 当点在上运动时，，∴ ， ∵点在上运动，∴自变量的取值范围为，∴； （2）解：当时，； 当时，； 当时，， ∴； 综上，； （3）解：当时，由，解得； 由，解得，∴的值为或； （4）解：存在，理由如下： ∵， ∴当的面积等于矩形面积的时，， ∵时，，∴存在，使得的面积等于矩形面积的． 倒计时13天 掌握反比例函数对应点解题技巧，顺着图象趋势分析坐标变化，稳住心态循序渐进，步步推导就能轻松突破难点、稳拿高分。 反比例函数 考情透视--把脉命题 直击重点 ►命题解码： 反比例函数是中考数学必考核心内容，题型覆盖选择、填空、解答压轴，分值稳定，考查综合性强。基础层面常考查反比例函数解析式求解，利用待定系数法代入图象上点坐标求k值；常结合象限分布、k的几何意义，考查双曲线所在象限、增减性及过双曲线上一点作坐标轴垂线形成的矩形、三角形面积计算。 中档题型多与一次函数综合，考查两函数图象交点坐标求解、利用图象比较函数值大小，求解不等式解集。压轴高频结合几何图形，与三角形、四边形结合，考查存在性问题、面积最值、动点坐标探究，融入数形结合与分类讨论思想。命题侧重灵活运用k的几何意义、坐标转化线段长度，注重和几何知识联动，既考基础概念又考综合推理，是中考拉开分值的重要模块。 ►中考前沿： 2026年中考反比例函数命题将稳基础、强综合、重素养，分值稳定在8-12分，覆盖选择、填空、解答压轴，难度梯度清晰。基础题聚焦解析式求解、k的几何意义、象限与增减性，直接考查核心概念，属于必拿分题。中档题以反比例+一次函数综合为主，考查交点坐标、函数值比较、不等式解集，强化数形结合。 压轴题将深化函数+几何融合，高频考查：①与三角形、特殊四边形结合的存在性问题（等腰/直角三角形、平行四边形）；②动点最值、面积探究；③融入折叠、旋转等几何变换，结合相似、勾股定理。命题贴近教材，无偏题怪题，重点考查坐标与线段转化、分类讨论、建模能力，强调知识迁移与综合应用，是区分高分段的关键模块。 考点抢分--核心精粹 高效速记 终极考点1   反比例函数的图像与性质（简单） k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像位置 图像分别位于第一、第三象限（x、y同号） 图像分别位于第二、第四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 图像特征 1）图像是关于直线y=x和y= -x对称的双曲线； 2）图像是关于原点对称的双曲线； 3）图像无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交. 注意 1） 反比例函数图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提． 2） 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 终极考点2   待定系数法求反比例函数解析式（重点） 1、设：设反比例函数解析式： 2、代：把已知图像上一个点的坐标 (x,y) 代入解析式 3、求：解方程，算出k的值 4、写：把求出的k代回原式，写出完整的反比例函数关系式 一句话口诀：一设、二代、三求、四写。 终极考点3   反比例函数中k的几何意义（难点） 设反比例函数：，图象上任意一点P(x,y) 1、矩形面积 过点P分别作x轴、y轴的垂线，围成矩形面积：S矩形=|k| 2、直角三角形面积 连接原点O，形成直角三角形： 3、核心要点 （1）面积永远是正数，所以必须带绝对值； （2）由面积求k时，还要看图象所在象限判断k正负；一、三象限：k>0；二、四象限：k<0 （3）不管双曲线上取哪个点，围成的矩形、三角形面积都相等。 口诀：一点作两垂，矩形等于|k|；三角折一半，符号看象限。 具体类型如下： 单系数k 一点 一垂直 结论 一点 两垂直 结论 两点一垂直 两点两垂直 双曲线 k符号相同（两条同号k值曲线+平行线） k符号不同（异号k值曲线+平行线） 真题精研--复盘经典 把握规律 题型一 反比例函数的定义 （2025·山东德州·中考真题）已知点在双曲线上，点，在双曲线上，若，则N的坐标为_______． 【答案】或 【详解】解：∵点在双曲线上，∴，∴， ∵点，在双曲线上，∴，，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， 当时，，则， 当时，，则， 故N的坐标为或. 题型二 判断反比例函数的图像 （2025·西藏·中考真题）一个三角形花坛的面积是，它的一边a（单位：m）是这边上的高h（单位：m）的函数，此函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得， ∴a与h的函数关系式为， ∴此函数是一个以为自变量的反比例函数， 边上的高为， ∴， 故选：B． 题型三 判断反比例函数的增减性 （2025·江苏南京·中考真题）已知反比例函数，则当时，的最小值是____________． 【答案】 【详解】解：将反比例函数代入中，可得：， ，当增大时，也随之增大，则随之减小， 因此，在时取得最小值，代入计算，得， 故答案为：． 题型四 判断反比例函数图像所在象限 （2025·广东广州·中考真题）若，反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 【详解】解：确定k的符号： 由题设条件且，根据绝对值的非负性，右边，即．又因，故为负数． ∵反比例函数的图象位置由的符号决定： 当时，图象位于第一、三象限； 当时，图象位于第二、四象限． 因为负数，故图象在第二、四象限． 综上，正确答案为选项C． 故选：C 题型五 比较反比例函数值或自变量的大小 （2025·内蒙古·中考真题）已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】D 【详解】解：对于反比例函数的图象上，在各个象限内，随的增大而增大，且第二象限的函数值大于第四象限的函数值， ∵， 当时，即时，则，当时，即时，则， 当时，即时，则，综上，只有选项D正确， 故选：D． 解题妙法 1、先看k正负 2、判断两个点在不在同一个象限 3、同象限：按增减性直接比 4、跨象限：一、三象限的y值一定>二、四象限的y值 题型六 反比例函数系数K的几何意义 1．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：由题意得，当时，有最小值； ，当时，有最小值； ，当时，有最小值； ； ，当时，有最小值； 故答案为：． 2．（2025·宁夏·中考真题）函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】解：如图，连接， 轴，， ， ． 点A在反比例函数图象上， ， ， 且， ∴， ∴． 故选A． 3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：延长交于点E， 设， ∵，∴， ∵轴，轴，∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴，∴，∴，， ∵反比例函数经过、两点，∴， ∵，∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，∴，即，∴， 故选：D． 解题妙法 妙法1：见面积直接求k 1、先套公式算出 |k| 2、看图象象限定符号：一、三象限 k>0；二、四象限 k<0 口诀：面积得绝对值，象限定正负 妙法2：同双曲线上任意点，面积都相等 同一反比例函数上，不管取哪个点，作坐标轴垂线得到的矩形、三角形面积永远相等。 做题遇到动点、任意点，直接用面积相等秒杀。 妙法3：割补法求不规则图形面积 遇梯形、多边形、斜线围成图形： 1、过双曲线上关键点作x、y轴垂线 2、拆成：矩形+三角形 或 大图形减小图形 3、全部转化为用 |k| 来算，不用求坐标 题型七 求反比例函数解析式 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数的图象经过点A，是等腰直角三角形，，，则k的值为________． 【答案】 【详解】解：一次函数中， 令，得， 令，则，解得， ∴B点坐标为，C点坐标为， 过点A作轴于点D，并延长交直线于点E，如图所示∶ ∵，∴， ∵，，∴， 在和中 ∴， ∴，， ∵，，∴，∴A点坐标为， 将代入反比例函数解得， 故答案为：． 2．（2025·四川·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，D为的中点．反比例函数的图象过点D，交于点E． (1)求点D的坐标和k的值； (2)延长 交x轴于点F，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为， ∴点，∴， ∵D为的中点，∴， ∵反比例函数的图象过点D，∴，∴，∴． （2）解：∵反比例函数的图象交于点E，∴设， ∴，∴ 设直线解析式为， 则，解得， ∴， 令，则， ∴，∴， ∵，∴， ∵，∴． 3．（2025·青海西宁·中考真题）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．下列结论错误的是（   ） A． B．与的面积相等 C．的面积是 D．当时， 【答案】C 【详解】解：∵反比例函数的图象过点，∴， ∴反比例函数为， ∵反比例函数的图象过点，∴，解得，∴， ∵一次函数的图象过点，， ∴，解得， 故A选项正确； ∴一次函数的解析式为． ∵对于一次函数，令，则； 令，则， 解得， ∴，， ∴，， ∴， ， ， ∴，故B选项正确； ，故C选项错误； ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴由图象可得当时，，故D选项正确． 故选：C． 解题妙法 由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对对应值或图像上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式. 题型八 一次函数与反比例函数的交点问题 1．（2025·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． (1)求出直线对应的函数表达式； (2)分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形 (3)或 【详解】（1）解：把代入得，∴点A的坐标为， 把代入得，∴点C的坐标为， 把点和代入得： ，解得， ∴直线对应的函数表达式； （2）解：由作图可得，即， 设点D的坐标为，则，解得， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：令， 解得，， 由图像可得关于的不等式的解集为或． 2．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式； (2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，反比例函数解析式为 (2)点坐标为或或或，解得：， ∴正比例函数表达式为，，∴反比例函数解析式为， ∵点关于原点对称，， 综上，，反比例函数解析式为； （2）解：过作轴，交于点， 设，则，，， 解得：或（舍去），，则， 当为菱形的边时，有如下三种情况： ①如图，点在点左侧， 此时轴，且，； ②如图，此点在点右侧， 此时轴，且，； ③如图，为对角线， 此时点与点关于轴对称，则； 当为菱形的对角线时，如下有一种情况： 过作轴于点， 设，则， 在中，，解得，，， 综上，点坐标为或或或． 3．（2025·海南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、．则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】解：当函数图象都在函数图象的上方时，， 由函数图象可得，当或时，， ∴不等式的解集为或， 故选：D． 解题妙法 一、求交点坐标标准步骤 1、联立两个函数解析式 2、消去y，化成一元二次方程 3、解方程求出x，再代回求y 二、秒杀绝招：原点中心对称（必考） 一次函数过原点、或正反比例相交两点通用规律： 若两函数交于 A(m,n)、B 两点，则B坐标直接写：(-m,-n) 三、判断交点个数（判别式法） 联立整理成：ax2+bx+c=0；用判断： 1、>0：两个不同交点 2、=0：只有一个交点（相切） 3、<0：无交点，图像无相交 四、求两函数围成图形面积（万能套路） 常见：两交点+坐标轴围成三角形、四边形 1、先算出两个交点坐标 2、求一次函数与x轴、y轴交点 3、用两种方法任选其一：割补法：大图形减空白小图形；铅垂高×水平宽÷2（中考最常用） 口诀：找点、描点、分块，拆成直角三角形、梯形好计算。 题型九 实际问题与反比例函数 1．（2025·江苏南通·中考真题）如图，一块砖的，，三个面的面积比是5：3：1．如果面向下放在地上，地面所受压强为，那么面向下放在地上时，地面所受压强为_______________． 【答案】 【详解】解：设这块砖的质量为，与地面的接触面积为，地面所受压强为， 则（定值）， 即与成反比例关系， ∵，∴， ∵面向下放在地上，地面所受压强为， ∴面向下放在地上时，地面所受压强为， 故答案为：． 2．（2025·辽宁·中考真题）在电压不变的情况下，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系．当时，．则电流与电阻之间的函数表达式为___________． 【答案】 【详解】解：设电流与电阻之间的函数表达式为， ∵当时，，∴，∴，∴， 故答案为：． 题型十 反比例函数与几何综合 1．（2025·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和． (1)当时，直接写出的取值范围； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向左平移个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，求的面积． 【答案】(1)或； (2)一次函数和反比例函数的表达式分别为，； (3)的面积为． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和， 当时，或； （2）解：点、点的横坐标分别是和，且点、点在反比例函数与一次函数上， ，，，， 将，代入， 则，解得， 一次函数和反比例函数的表达式分别为，； （3）解：由题意得，平移后的一次函数解析式为， 联立， ，即，解得， 经检验，是原方程的解， 点在第一象限，，，， 过点作轴交于点， ， ， ． 2．（2025·山东淄博·中考真题）如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（   ） A．25 B．26 C． D． 【答案】D 【详解】解：设A点坐标为，点C的坐标为， 则点B的坐标为，点D的坐标为， 又∵点D在反比例函数的图象上，∴， 又∵点E，F在反比例函数的图象上， ∴点F的坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴，解得， ∴， 故选：D． 3．（2025·江苏盐城·中考真题）请根据小明的数学探究活动单，完成下列任务． “变换” 研究内容 提出概念 已知点．如果点满足，那么称点是点的“变换”点． 理解概念 已知点，，求点的“变换”点． 探究性质 如图（1），已知点和点，当时， ①请在图（1）中分别画出点、对应的“变换”点、； ②研究发现：线段可由线段通过一次图形变换得到，点是点的对应点．如果是平移，请写出平移的距离；如果是轴对称或旋转，请用无刻度的直尺和圆规在图（1）中作出对称轴或旋转中心（不写作法，保留作图痕迹） 运用性质 如图（2），在平面直角坐标系中，菱形的顶点、、的坐标分别为，，，曲线是反比例函数（）图像的“变换”线，，交边于点、，直线、分别交边于点、，记、、、的面积分别为、、、，求的值． 【答案】概念理解：；探究性质：①见解析；②线段可由线段通过旋转变换得到，画图见解析；运用性质： 【详解】解：概念理解：，； 探究性质：①根据概念理解可得，， ， 故点、对应的“变换”点、如下图， ②线段经过一次平移或轴对称，不能得到， 线段可由线段通过旋转变换得到， 旋转中心如图所示， ，， 旋转中心为点， ， 为等边三角形，， 线段可由线段以点为中心，逆时针旋转得到， ； 运用性质：设曲线上任意一点为，点的“变换”点， ， ， 在反比例函数图象上， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 当时，解得或， ， ， ， 四边形是菱形， ， ，， ，， 的面积， 的面积， 设点到的距离为， ， ， 解得， 的面积 的面积的面积， 的面积的面积，的面积的面积， ． 终极预测--压轴实战 稳拿高分 1．（2026·湖南益阳·二模）如图，轴表示单词听写的总数量，轴表示正确率．，，，四个点依次描述小明同学连续四次英语单词听写的情况，其中，两点恰好在同一个反比例函数的图象上，则小明听写正确的数量最多的一次是（    ） A．第一次 B．第二次 C．第三次 D．第四次 【答案】C 【详解】解：设反比例函数解析式为且， 由图可知，四次听写正确的数量分别为，，，， 则小明听写正确的数量最多的一次是第三次． 2．（2026·重庆·模拟预测）已知反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．图像与两坐标轴相交 B．图象位于第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．图象经过点 【答案】B 【详解】解：∵ 反比例函数为，， ∴反比例函数的图像位于第二、四象限，故B符合题意； ∵反比例函数中，，∴图像不可能与坐标轴相交，故A不符合题意； ，∴只有在每个象限内，y随x的增大而增大，故C不符合题意； 当时，，∴图像不经过点，故D不符合题意． 3．（2026·河北邯郸·二模）如图，点在反比例函数的图象上， 轴于点，轴于点，，，连接，．若四边形的面积为3，则k的值为（   ）． A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【详解】解：设点坐标为，得到，， 又轴于点，轴于点，则四边形为矩形， 四边形的面积为，，， 根据题意有，，则，， ，， 四边形的面积为， 根据题意有，解得． 4．（2026·天津滨海新区·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴将各点横坐标分别代入解析式得：，，， ∵，∴． 5．（2026·山东临沂·一模）如图，在平面直角坐标系中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点M，与边BC交于点N（M，N不重合）．给出下面五个结论：①与的面积一定相等；②；③与的面积不可能相等；④可能是钝角三角形；⑤可能是等边三角形．上述结论中，所有正确结论的个数有（  ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，即与的面积一定相等，故①正确； 设点C的坐标为，则， ∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴，故②正确； 当与的面积相等时，如图，连接， ∴，∴在直线上，则重合， ∴与的面积不可能相等，故③正确， ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故⑤正确， 如图 当在的同侧时，可能是钝角三角形，故④正确； 综上，正确的有①②③④⑤． 6．（2026·黑龙江绥化·一模）如图，在中，，反比例函数的图象与斜边相交于点C，且与边相交于点D．已知，则的面积为（    ）． A．3 B． C． D．2 【答案】B 【详解】过点作于点，如图： 设，， ，在第二象限， ，，，． ，，，． ，在反比例函数的图象上， ． ，． ，， ． ． ． ， ． ． ． ． 7．（2026·山东济宁·一模）在同一直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当时，反比例函数的图象位于一、三象限，一次函数的图象经过一、三、四象限，B选项符合； 当时，反比例函数的图象位于二、四象限，一次函数的图象经过一、二、四象限，没有符合的选项， 综上，符合题意的选项为B． 8．（2026·黑龙江·一模）如图，一次函数图象上有，两点，点P是反比例函数图象上第一象限内的动点，当点P在第一象限双曲线上移动时总有，则的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点在反比例函数图象上， ∴设， ∵，， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ 整理得：， ∴ 整理得：， ∴， ∴． 9．（2026·甘肃白银·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)是轴上一点，若的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：将点代入，得， ． 将点代入，得， 反比例函数的表达式为． （2）解：联立方程组，解得或， ∴， 在中，令，解得， ∴． 设，如图， ∵，即，，∴或， 或． 10．（2026·湖北荆州·一模）如图，已知点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，经过原点，且． (1)过点分别作轴的垂线，垂足分别为，则___________． (2)若反比例函数的图象过点．则的值为___________； (3)在（2）的条件下，在轴的正半轴上是否存在一点，使为以点为直角顶点的直角三角形，若不存在，请说明理由；若存在，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)16 (3) 【详解】（1）解：∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：∵点， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴； （3）解：设点P的坐标为， ∵，， ∴， ， ； ∵为以点为直角顶点的直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为． 11．（2026·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，经过点、点的直线与反比例函数的图象在第三象限交于点，是以为斜边的直角三角形． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图1，当点在轴的正半轴时，求的面积； (3)如图2，若平分，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为 【详解】（1）解：∵一次函数经过点， ∴， ∴点， ∵反比例函数经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：作轴于点，轴于点， ∴，， ∵直线与双曲线关于原点中心对称， ∴点，点关于原点中心对称， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为且， ∴在中，， ∴， ∴， ∵，是斜边上的中线， ∴， 一次函数，当时，， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：延长交的延长线于点， ∵平分， ∴， ∵为直角三角形，且斜边，点在第二象限， ∴． 在和中，， ∴， ∴，， 即点是的中点， ∵点在直线上， ∴设点， ∵点在第二象限， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， ∴点， ∵点是的中点， ∴点的坐标为． 12．（2026·四川南充·一模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴正半轴交于点A，． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)点C是AB延长线上一点，过点C作轴于点E，交反比例函数的图象于点D，当时，求值． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 (2) 【详解】（1）解：将点代入，得：， ∴反比例函数的解析式为； ∵，∴， 将点，代入，得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）过点B、C分别作轴于N，轴于M， 则， ∴，∴， ∴，∴， ∵轴，∴，， ∴，， ∴． 倒计时12天 二次函数题型虽多变，只要牢记配方、顶点、对称轴三大技巧，沉稳审题、分步拆解，稳住心态就能突破难关，每一步推导都在为满分铺路！ 二次函数 考情透视--把脉命题 直击重点 ►命题解码： 二次函数是中考数学核心重难点，占比约15%-20%，常作为压轴题，区分度高。基础题考查解析式（一般式、顶点式、交点式）、开口、对称轴、顶点、增减性与最值，题型涵盖选择、填空、简单解答。中档题侧重函数与方程、不等式结合，考查交点、判别式、区间最值及参数范围。压轴题以二次函数为载体，融合三角形、四边形、圆等几何图形，考查动点、最值、存在性（等腰/直角三角形、平行四边形）、图形变换（平移、旋转、翻折），强调数形结合、分类讨论、代数推理，梯度分明、综合度强。 ►中考前沿： 2026年中考二次函数命题将延续“基础+综合+创新”风格，紧扣新课标，强化素养立意。基础部分稳定考查解析式、图像性质与简单应用，突出三式互化与核心性质。综合题深化函数与几何融合，重点考查最值（线段、面积）、特殊图形存在性、动态几何与隐圆，加大分类讨论与代数推理力度。创新题融入新定义、跨学科情境（如运动轨迹、利润优化），考查迁移与建模能力。整体难度梯度更合理，注重思维过程与规范表达，强调在复杂情境中活用数形结合、转化与化归思想，稳中求新、重思维轻套路。 考点抢分--核心精粹 高效速记 终极考点1   二次函数解析式的三种形式（简单） 1、一般式：y=ax²+bx+c (a≠0) 适用：已知抛物线上任意3个点坐标；c是抛物线与y轴交点纵坐标，交点(0，c) 2、顶点式：y=a(x-h)²+k (a≠0) 顶点坐标：(h，k) 对称轴：直线x=h 适用：已知顶点、最值、对称轴 平移口诀：左加右减，上加下减 3、交点式（两根式）：y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0) x₁、x₂是抛物线与x轴两个交点横坐标 交点坐标：(x₁，0)、(x₂，0) 适用：已知抛物线与x轴两个交点 终极考点2   二次函数的图象及性质（重点） 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时，y最小值= 当x=–时，y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小 终极考点3   二次函数图像的平移（简单） 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 平移规律：上加下减，左加右减. 终极考点4   二次函数与一元二次方程考点（重点） 1、核心关系 二次函数：y=ax²+bx+c 一元二次方程：ax²+bx+c=0 抛物线与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程的实数根。 2、判别式Δ=b²-4ac Δ＞0：方程有两个不相等实数根，抛物线与x轴有2个交点 Δ=0：方程有两个相等实数根，抛物线与x轴有1个交点（顶点在x轴） Δ＜0：方程无实数根，抛物线与x轴无交点 3、韦达定理（根与系数关系） 方程两根x₁、x₂ x₁+x₂ = -b/a x₁·x₂ = c/a 终极考点5   二次函数图象与系数a、b、c的关系（难点） 1、系数a、b、c的作用 a的特征与作用 b的特征与作用(a与b“左同右异”） c的特征与作用 2、二次函数图象题符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶ （1）a、b、c单个字母的判断，a 由开口判断，b由对称轴判断（左同右异），c由图象与y轴交点判断; （2）含有a、b两个字母时，考虑对称轴; （3）含有a、b、c三个字母，且a 和b系数是平方关系，给x取值，结合图象判断， （4）含有b2和 4ac，考虑顶点坐标，或考虑△. （5）其他类型，可考虑给x取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图象增减性进行判断。 真题精研--复盘经典 把握规律 题型一 二次函数的图像与性质 1．（2025·山东东营·中考真题）二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，…，在y轴的正半轴上，点，，…，，点，，…，在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为______． 【答案】 【详解】解：∵四边形是正方形，∴，是等腰直角三角形． 设的直角边长为，则； 代入抛物线的解析式中得： ，解得（舍去），； 故的直角边长为， 同理可求得等腰直角的直角边长为， … 依此类推，等腰直角的直角边长为， 故正方形的周长为． 故答案是：． 2．（2025·江苏镇江·中考真题）在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与二次函数（、为常数）的图像交于点、（点在点的左侧），点在直线上，当点满足时，我们称点是该二次函数图像的生长点． (1)二次函数的图像如图所示． ①在的不同取值2、、5中，使该函数图像有生长点的的值是_____； ②已知是该函数图像的生长点，猜想的取值范围，并说明理由． (2)二次函数（h、k为常数）的图像经过点，若是该函数图像的生长点，求该函数的表达式． 【答案】(1)①②猜想，理由见解析 (2)或 【详解】（1）解：①当时，，∴，∴， ∴当时，， 此时在线段的延长线上或线段的延长线上，存在点使，满足题意； 当时，，∴当点在线段上时，，满足题意； 当时，，∴直线上不存在点使，不满足题意； 综上：使该函数图像有生长点的的值是； ②猜想，理由如下： ∵点在直线上，∴， 由（1）知：当时，此时， ∴当时，，此时直线上不存在点使，∴； 又∵过点作轴的垂线与的图像交于点， 而的最小值为，∴；∴； （2）∵二次函数（h、k为常数）的图像经过点，∴； ∵是该函数图像的生长点，∴， 当时，则：，∴， ∴，∴， ①当点在线段上时，则：，∴，解得， 把代入，得：或， 当时，，满足题意； 当时，，此时点不在线段上，不符合题意，舍去； ∴； ②当点在点的左侧时，则：， ∴，∴，∴， 把，代入，得：， 此时，符合题意；∴； ③当点在点的右侧时，则：， ∴，∴， 把，代入，得：，∴ 此时，点不在点的右侧，不符合题意，舍去； 综上：或． 3．（2025·山东威海·中考真题）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为，∴离对称轴越近，函数值越大， 点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为． ∵，∴， 故选C． 题型二 二次函数的图像与性质 1．（2025·河南·中考真题）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)；见解析 (3)或 【详解】（1）解：把点代入得： ，解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：， ∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线，∴点关于直线的对称点为， 画出函数图象，如图， （3）解：根据题意得：平移后的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线， 当，即时， 最大值在，最小值在 ，差为： 当时，，当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5，∴解得故舍去 当，即时， 当平移后抛物线的对称轴在y轴和直线左侧时，此时最小值为， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5，∴，解得：或（舍去）； 当，即时，此时最小值为，， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5，∴，解得：或（舍去）， 当平移后抛物线对称轴在直线右侧时，，即， 最小值在，最大值在 ，差为： 当时，，当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5，∴，解得故舍去 综上所述，n的值为或． 2．（2025·江苏南京·中考真题）（1）将函数的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与轴交点的纵坐标是___________； （2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上．设平移后的函数图象的顶点的横坐标为，与轴交点的纵坐标为，随的变化而变化． ①若，当时，求的取值范围． ②设函数的图象与轴、轴的交点分别为，，点在线段上．当取不同值时，下列关于的变化趋势的描述：（a）随的增大而增大；（b）随的增大而减小；（c）随的增大先增大后减小；（d）随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是__________．（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 【答案】 （1） （2）①           ② 【详解】（1）解：由“左加右减”的原则可知，将函数的图象向右平移2个单位长度，所得函数的解析式为， 令，则，即平移后的图象与轴交点的坐标为． （2）解：平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上，设平移后的函数图象的顶点的横坐标为， 则平移后得到的顶点为， 平移后的函数解析式为， 当时，与轴交点的纵坐标， ①若，则， 是关于的二次函数，二次函数的开口向下，对称轴为直线， 时，，时，，当时，的取值范围是； ②函数的图象与轴、轴的交点分别为，，，， ∵点在线段上，当时，， ，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， ，随的增大而减小， ∵点在线段上， 当时，， ，对称轴为直线， ，随的增大而增大， 故可能的序号是． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在中，，，．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中大致反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当点在上时（）：过点作于点． ，，． 又，，．． 这是一个二次函数，开口向下，顶点在处，但此阶段，函数在上图象不断上升，当时，． 当点在上时（）, ∵四边形是平行四边形，，点从到用时秒， 此时在上的运动距离为，方向上的高与上的高相同，即（当时，后续在上时，到的距离不变）． ，． 这是一个一次函数，随的增大而减小，当时，． 综上，当时，是开口向下的二次函数的一部分，图象不断上升；当时，是一次函数，图象不断下降． 故选：A． 解题妙法 1、系数a、b、c符号判断技巧 （1）a的判断：开口向上a＞0，开口向下a＜0；|a|越大，抛物线开口越窄。 （2） b的判断：对称轴x=-b/2a，遵循“左同右异”。对称轴在y轴左侧，a、b同号；对称轴在y轴右侧，a、b异号；对称轴为y轴，b=0。 （3） c的判断：抛物线与y轴交于正半轴，c＞0；交于原点，c=0；交于负半轴，c＜0。 2、特殊值代入秒判正负 （1） x=1时，y=a+b+c，看图像上x=1对应的点，在x轴上方则a+b+c＞0，下方则＜0，在轴上则=0。 （2） x=-1时，y=a-b+c，同理根据图像对应点位置判断正负。 （3） x=2、x=-2等特殊值，直接代入看图像点位即可快速判断。 题型三 二次函数图像与各项系数符号 （2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴相交于点，且抛物线的对称轴为直线．给出以下4个结论：①；②对于任意实数m，的值不小于2；③若P是对称轴上的一点，则的最小值为；④若点在抛物线上，满足且，则一定有．其中，所有正确结论的序号为______． 【答案】②③④ 【详解】解：由图象和题意可知：，当时，， ∴，∴，；故①错误， 当时，函数取得最小值为：， ∴对于任意实数m，， ∴的值不小于2，故②正确； 作点关于对称轴的对称点，连接， 则：，∴当点在上时，的值最小为的长， ∵，∴，∴的最小值为；故③正确； ∵抛物线的开口向上，∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点在抛物线上，满足且，∴，∴点离对称轴远， ∴；故④正确；故答案为：②③④． 题型四 二次函数的最值 1．（2025·江苏淮安·中考真题）若，则的最大值是______． 【答案】 【详解】解：∵，∴， ∴；∴当时，有最大值为； 故答案为：． 2．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得．当面积最大时，的长等于_____． 【答案】2 【详解】解：连接，取的中点，连接并延长交于点， ∵，，是的中点， ∴，，， ∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵为的中点．∴，∵，∴， ∵，∴，∴，， ∴，，∴，即：， ∵，∴为等腰直角三角形，∴， 设，则：，，∴， ∴面积， ∴当时，面积的面积最大；此时；故答案为：2． 解题妙法 三种常见题型解法 1、全体实数范围内求最值：直接用顶点纵坐标求最值 a＞0，有最小值，无最大值；a＜0，有最大值，无最小值。 2、给定自变量取值范围求最值 第一步：求对称轴。 第二步：看对称轴在给定区间内还是区间外。 对称轴在区间内：最值在顶点处，另一个最值在区间两个端点中取。 对称轴在区间左边：整个区间单调增减，最值直接看区间两端点。 对称轴在区间右边：整个区间单调增减，最值直接看区间两端点。 3. 实际应用最值问题 销售利润、面积、拱桥、投篮等。 先列二次函数解析式，再确定自变量实际取值范围。 按区间最值方法求解，最后舍去不符合实际的解。 题型五 待定系数法求二次函数的解析式 1．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，．； (2)． (3)能，边上的顶点的坐标为，或． 【详解】（1）解：中， 令，则，∴；令，则，∴，∴， ∵抛物线经过A，B，C三点， ∴，∴，∴抛物线的解析式为． 令，则，∴，或，∴． ∵∴顶点； （2）∵，，，∴， ∴，，， ∵，∴，∴， 延长至点，使，连接，交直线于点P，如图， 则，B关于直线对称，此时的周长最小，过点作轴于点E， ∵轴，轴，∴ ， ∵，∴为的中位线，∴，∴， 设直线的解析式为，∴，∴， ∴直线的解析式为，∴，∴，∴． （3）在内部能截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． ①如图，顶点E，F，G，H在各边上，设与交于点K， 设， ∵四边形为矩形，，∴四边形，为矩形，，∴， ∵∴，∴，∴，∴， ∴矩形的面积 ∵，∴当时，矩形EFGH的面积取得最大值为．∴， ∵，∴H为的中点，∴． 同理，点G为的中点，∴． ②如图，顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合， 设，∵四边形为矩形，∴，∴，∴，∴， ∴，∴矩形的面积 ∵，∴当时，矩形的面积取得最大值为． ∴，∴点G为的中点， ∵，∴为的中位线，∴∴，∴． 综上，在内部能截出面积最大的矩形(顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． 2．（2025·广东广州·中考真题）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题． 发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置 数学抽象绘制图形 隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图2所示． 图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成． 信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． 实地考察数据采集 斜坡的坡角为，并查得：， ， ． 隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米． 问题解决： (1)如图2，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米）； (2)在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (3)限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到米）． 【答案】(1)米 (2) (3)米 【详解】（1）解：如图，过点M作， ∵斜坡的坡角为，隧道内积水的水深为0.27米，∴， ∵，， 在中，，∴，∴（米）； （2）解：如图所示：以点为坐标原点，建立平面直角坐标系： 依题意，设抛物线的解析式为， ∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．∴， 把代入，得，∴，∴； （3）解：如图所示： ∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． ∴，∴当时，， 则，∴， ∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），∴（米） ∵涉及安全问题，∴（米）． 3．（2025·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线过，，与轴交于点，顶点为． (1)求，的值． (2)设抛物线过点，，且与轴交于点，顶点为． ①求的值； ②当四边形是直角梯形时，求该直角梯形中最小内角的正弦值． 【答案】(1) (2)①3；②或． 【详解】（1）解：∵抛物线过，，∴，∴； （2）解：①由（1）得抛物线得解析式为， ∴点P的坐标为， 在中，当时，，∴点C的坐标为； ∵抛物线过点，，∴，∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 在中，当时，， 当时，，∴，， ∴，，∴； ②∵，，∴轴，即， ∴当四边形是直角梯形时，只有或， 如图2-1所示，当时， ∵点C的坐标为，，∴，∴，∴，∴，∴， ∵，∴， 在中，，∴； 如图2-2所示，当时， ∵，，∴，∴，∴，∴； 如图所示，过点Q作轴于H，则，∴， 在中，由勾股定理得，∴． 综上所述，当四边形是直角梯形时，该直角梯形中最小内角的正弦值为或． 题型六 二次函数图像的平移 （2025·江苏常州·中考真题）如图：在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段上一点，C与B不重合．二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C．将该二次函数的图像平移后得到新抛物线，、分别是B、C的对应点，且点落在x轴正半轴上，点的纵坐标为． (1)______； (2)求点C的坐标； (3)已知新抛物线与y轴交于点，点、在新抛物线上，若对于满足的任意实数，总成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)3 (2) (3)或 【详解】（1）解：∵，∴当时，，∴，∴；故答案为：3； （2）解：∵，点的对应点落在x轴正半轴上，∴点向下平移个单位， ∴点向下平移个单位后，与的纵坐标相同， ∵点的纵坐标为，∴点的纵坐标为； ∵点在线段上，即点在直线上，∴当时，，∴； （3）解：∵，，二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C． ∴，把代入，得：，∴，∴， ∵平移后点的对应点落在x轴正半轴上， ∴设抛物线向右平移个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线， ∴新的抛物线的解析式为：， 把代入，得：，解得：或（舍去）； ∴，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，点关于对称轴的对称点为， ∵对于满足的任意实数，总成立， ∴或， ∴或． 题型七 求抛物线与坐标轴的交点坐标 （2025·四川雅安·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点Q的坐标； (3)点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数解析式为 (2) (3)存在，以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或 【详解】（1）解：二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点， ∴，解得，，∴二次函数解析式为； （2）解：二次函数解析式为，∴当时，， 因式分解得，，解得，，∴，∴， 如图所示，连接， ∵，∴， ∵点Q是抛物线在第三象限上的一点，∴设，过点作轴于点， ∴，， ∵满足，∴，∴，∴， 整理得，， 因式分解得，，解得，，（舍去）， ∴，则，∴； （3）解：二次函数解析式为，∴对称轴直线为， 设，，且， 当四边形是平行四边形时， ∴对角线交点的横坐标相等，即， 解得，，∴，∴； 当四边形是平行四边形时， ∴，解得，，∴，∴； 当四边形是平行四边形时， ∴，解得，，∴，∴； 综上所述，存在以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 题型八 二次函数与一元二次方程 1．（2025·河北·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为．抛物线经过点．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为，． (1)求，的值及点的坐标． (2)点在上，到轴的距离为．判断能否经过点，若能，求的值；若不能，请说明理由． (3)直线交于点，点在线段上，且点的横坐标是点横坐标的一半． ①若点与点重合，点恰好落在上，求的值； ②若点为直线与的唯一公共点，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)不能，理由见解析 (3)①；② 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，顶点为 ∴解得：，∴，∴； （2）∵点在（第一象限）上，到轴的距离为．则，∴当时， 解得：或∴或 ∵抛物线经过点，对称轴为直线 ∴经过点和，∴不能经过点, （3）①∵， 当重合时，则 ∵是的中点，∴, ∵点恰好落在上，经过点 ∴解得：； ②∵直线交于点，，∴，∴直线的解析式为， ∵经过点，∴，∴， ∴ 联立 消去得，，∴，则 ∵点的横坐标是点横坐标的一半．∴即， 将代入，∴①， 整理，得，， 由，则，整理得，，则或， ∵点为直线与的唯一公共点，∴②，则或， 当时，代入②解得， 或， 当时，交点不在公共点不在第一象限，不符合题意， ∴． 当时，代入②解得，不符合题意， 故 2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③； ④． 其中错误的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：二次函数与轴交于点、，图象开口向上， ∴对称轴直线为，，∴， 当时，，∴，即，∴， ∴，故①正确； 图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，函数有最小值，最小值轴的下方， ∴抛物线与直线两个不同的交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故②错误； ∵二次函数与轴交于点，其中， ∴当，，∴， ∵，∴，∴，解得，，故③正确； 当时，函数有最小值，最小值为，， ∴，∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，错误的有②，∴错误的有1个， 故选：A ． 题型九 二次函数与不等式 1．（2025·四川德阳·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）过点，且，该抛物线与直线（k，c是常数，）相交于两点（点A在点B左侧）．下列说法：①；②；③点是点A关于直线的对称点，则；④当时，不等式的解集为．其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：∵抛物线过点和（），∴设抛物线为， ∴，∴，， ∵且，∴，，∴，结论①正确； ∵，∴， ∵，∴，∴，结论②错误； 由题意，第一种情况，若， ∵对称轴直线，∴对称点的横坐标为，∴两点间的横向距离为， ∵，∴，即， 第二种情况，若， ∵该抛物线与直线（k，c是常数，）相交于两点（点A在点B左侧）如图，     ∴，故结论③不正确； 当时，方程的根为和，即， ∵，∴不等式的解集为，结论④正确． 综上，正确结论为①④，共2个， 故选：B． 2．（2025·江苏连云港·中考真题）已知二次函数，为常数． (1)若该二次函数的图像与直线有两个交点，求的取值范围； (2)若该二次函数的图像与轴有交点，求的值； (3)求证：该二次函数的图像不经过原点． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）解：因为二次函数中，，所以二次函数的图像开口向上， 因为二次函数的图像与直线有两个交点，所以函数的最小值小于， 则，即，解得． （2）解：因为二次函数的图像与轴有交点， 所以，所以， 又因为，所以，解得． （3）证明：当时，，所以二次函数的图像不经过原点． 题型十 实际问题与二次函数 1．（2025·四川·中考真题）一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为_____． 【答案】16 【详解】解：设矩形中，（）．   ∵ ，，∴ 是等腰直角三角形．   ∵ 四边形是矩形，∴ ，， ∵ ，∴ ，又是等腰直角三角形， ∴ 为等腰直角三角形，∴ . 则.矩形面积 ∵ 二次函数中，，图象开口向下， 当时，取最大值．  最大值. 故答案为：． 2．（2025·黑龙江大庆·中考真题）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）． (1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本； (2)求当a为何值时，每天的利润W最大． 【答案】(1)每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元 (2) 【详解】（1）解：设每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元， 由题意得：，解得：， 答：每个A纪念品成本元，每个B纪念品的成本元； （2）解：由题意得，， ∵，对称轴为直线，且a为整数，∴当时，取最大值， 答：当时，每天的利润W最大． 3．（2025·四川巴中·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球高度与小球运动时间之间的关系式是．有下列结论： ①小球运动时间是时，高度为； ②小球运动中高度可以是； ③当时，高度h随着时间t的增大而减小． 其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：①当时，，故①正确； ②， ∵，∴当时，有最大值，最大值为，故②错误； ③由②可知，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，高度随着时间的增大而减小，故③正确，∴正确的个数有 2 个， 故选：C． 题型十一 图形运动问题 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【详解】解：如图， 由题意知，，，则， ∴， ①当时， ∵以的速度沿方向匀速运动，∴， ∵，，，∴，即， ； ②当时，； ③当时，如图， 则，同理，， ； 故选：B． 2．（2025·江苏南通·中考真题）如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：是等边三角形，∴， ∵， 即， ， ∴， 过点A作于G点，则， ∴∴，∴，∴， 过点D作于点H，则， ∴，∴， ∴， ∴， ∴'， ∴y关于x的函数图象开口向上，当时，当时，当时y的最小值为， ∴选项A，C，D均不符合题意，选项B符合题意， 故选：B 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【详解】解：当点E在上时，如图， ，，， ，，， 此时图象为开口上的抛物线的一部分，排除C，D选项； 当点E在上且l与相交时，作，如图， ，，， ，， ，此时图象为直线一部分； 当点E在上且l与相交时，如图， ，，，， ， ， 此时图象为开口下的抛物线的一部分，排除B选项； 故选A． 终极预测--压轴实战 稳拿高分 1．（2026·四川宜宾·二模）若时，二次函数的最小值为，则的值是（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【详解】∵二次函数的二次项系数为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， 此时分三种情况讨论： ①当，即时， 在范围内，y随x的增大而增大，当时，y取得最小值， ∴， 解得， ∵，不符合条件，舍去； ②当，即时， 二次函数最小值在对称轴处取得，将代入得： ， 解得，均不在范围内，舍去； ③ 当，即时， 在范围内，y随x的增大而减小，当时，y取得最小值， ， 解得，符合的条件， ∴． 2．（2026·福建泉州·一模）已知抛物线与x轴交于A，B两点，O为原点，点M在抛物线上且不与A，B重合，过点M作交抛物线的对称轴于点N，若，则的长度为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】解：设点，，抛物线对称轴为直线， ∵，由勾股定理得：， 代入坐标得：， 展开化简得：， ∵在抛物线上， ∴， 两边除以得：， 设是抛物线与轴交点， ∴， 两边除以得， ∵， ∴， 代入坐标得： ， 展开化简并代入，得： ， ∴， 把代入得： ， 化简得：， ∵， ∴． 3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在菱形中，，，动点E从点A出发沿边匀速运动，运动到点C时停止，过点E作的垂线l，在点E运动过程中，垂线l扫过菱形（即阴影部分）的面积为y，点E运动的路程为．下列图象能反映y与x之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，，设的垂线l，交于点， 由题意得，，， ∴,， ∴，开口向上； 当时，， 过点B作，交于H， ∵，， 则，， ∵在菱形中，，，是的垂线， ∴四边形是直角梯形， ∴， ∴， ∴， 当时，过点B作，交于H，设的垂线l交于点， ∵在菱形中，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ，开口向下； 选项D符合条件要求． 4．（2026·安徽芜湖·二模）定义：在平面直角坐标系中，对于某函数图象上的一点，先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，若点也在该函数图象上，则称点为该函数图象的“倍平点”．例如，对于上一点，先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，也在图象上，则称点为图象的“倍平点”．则函数图象的“倍平点”的坐标是（   ） A． B． C．或或 D．或 【答案】C 【详解】①当时，设，则， ， 解得， ， ； ②当时，设，则， 若即时，， 解得（不合，舍去）或， ∴， ∴； 若即时， ， 解得， ， ； 综上，函数图象的“倍平点”的坐标是或或． 5．（2026·江苏南通·一模）二次函数的图象过点，，．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可得，二次函数的对称轴为，且开口向下，所以． （Ⅰ）当时，可得 解不等式，得 （不符合题意，舍去）． （Ⅱ）当时，可知且，可得 解不等式组，得 ． 6．（2026·江苏无锡·二模）规定：对于某个函数，若在自变量的取值范围为时，对应的函数值全部满足，其中是时对应的函数值，其中是时对应的函数值，则称为该函数的融值区间．下列结论正确的是（    ） ①是函数的融值区间；     ②函数不存在融值区间； ③是函数的融值区间；     ④若是函数的融值区间，则． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【详解】解：对于①，，函数， ∵ ， ， ∴要求满足 ，即， ∵在上单调递增， ∴的范围是，存在，不满足定义，故①错误； 对于②，假设存在融值区间 ，， ∵，在单调递减， ∴的范围是，要求满足， 整理得 ，左边分子分母都为正，故左边为正数，右边，正数不可能小于等于负数，假设不成立， 若，上式得，与假设矛盾； 故不存在融值区间，②正确； 对于③，，函数， ∵ ， ， ∴要求满足 ，即 ， ∵开口向上，对称轴为，在上单调递增，的范围是，全部满足 ，符合定义，故③正确； 对于④， ，函数， ，要求满足 ， ∵开口向上，顶点在， 当 时，最小值为，可得，解得， 当时，最小值为，要求得，矛盾无解， ∴的范围是，不是 ，故④错误； 综上，正确结论为②③． 7．（2026·江苏宿迁·一模）如图，抛物线的对称轴是直线，其中抛物线图像与x轴负半轴交点横坐标，则以下五个结论中，正确的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：由图象可知：抛物线的开口向下，则，与y轴交于正半轴，即，对称轴为直线，则有， ∴，故①错误；，故②正确； ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴，即，故③正确； 由图象可知当时，则有；当时，则，由可得，故⑤错误； ∴根据二次函数的对称性可知：当和时，其对应的函数值相等， ∴当时，，故④正确； 综上所述：正确的结论有②③④共3个． 8．（2026·江苏苏州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)作直线，点D是直线上方抛物线上的一动点，连接与直线交于点E，求的最大值及此时点D的坐标； (3)将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线，点P是抛物线上一个动点，作以点P为中点的线段，且轴，．设点P的横坐标为m，若线段与抛物线有交点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)的最大值为，点D的坐标为； (3)线段与抛物线有交点，m的取值范围为． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，，三点， ∴设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，过作交于， 设直线的解析式为，将代入解析式得， ，解得 ∴直线的解析式为， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，最大，最大值为， ∴， ∴． （3）解：将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线， ∴， ∴顶点坐标为：， 如图， 设， 当顶点在线段上时， ∴， 解得：，（舍去）， 如图，当在上时， ∴， 解得：， 综上：线段与抛物线有交点，m的取值范围为． 9．（2026·江苏泰州·一模）如图1，已知抛物线交x轴于点，点，交y轴于点C．过点C作，交抛物线于点D． (1)此抛物线对称轴为________；点D坐标为________；________，________； (2)点E是线段上一动点，连接，若平分，则点E的坐标为________； (3)将抛物线图象沿x轴正方向平移m个单位（）得到新抛物线的图象，对于新抛物线图象上的一点，当时，的最小值为． ①求m的值； ②如图2，在（2）的条件下，连接，点M为线段上一动点，过点M作y轴的平行线，交抛物线的图象于点N，当点M从左向右运动时线段的长度逐渐减小，求M的横坐标为t的取值范围． 【答案】(1)，，， (2) (3)①；② 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于点，点， ∴抛物线对称轴为直线， 当时，， ∴， ∵，交抛物线于点D， ∴C、D关于直线对称， ∴， ∵抛物线交x轴于点，点， ∴， 解得； （2）解：∵，， ∴，， ∴， 过E作于F， ∵平分，， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴； （3）解：①由（1）知， ∵抛物线图象沿x轴正方向平移m个单位（）得到新抛物线的图象， ∴， ∴新抛物线的对称轴为， 当，即时， ∵， ∴新抛物线开口向下， ∴到对称轴的距离越大点的函数值越小， ∵，当时，的最小值为， ∴当时，的最小值为， ∴， 解得（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）； 当，即时， ∵， ∴新抛物线开口向下， ∴到对称轴的距离越大点的函数值越小， ∵，当时，的最小值为， ∴当时，的最小值为， ∴， 解得（不符合题意，舍去）或， 综上，； ②设直线解析式为， 则， 解得， ∴， ∵点M为线段上一动点， M的横坐标为t， ∴M的纵坐标为，， 由①知：， ∵轴， ∴， ∴ ， ∴当时，随t的增大而减小， 又， ∴， 即当时，点M从左向右运动时线段的长度逐渐减小． 10．（2026·上海宝山·二模）【问题背景】 图1是一个矿洞，为了使矿洞更牢固，某工程队想要搭建矩形支撑架． 【数据测量】 图2是矿洞横截面的示意图，截面是轴对称图形，外轮廓线由上方抛物线L和下方的矩形组成，矩形的边，，E是抛物线L的顶点，且点E到的距离为，矩形的边为支撑架的架骨，点F、G在边上，点M、N在抛物线L上． 【问题解决】 如图3，工程队以矩形的顶点B为原点，以边所在的直线为x轴，以边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求顶点E的坐标及抛物线L的函数表达式； (2)当支撑架为正方形时，求架骨的长； (3)为满足宽为，高为的矿车能够在支撑架内通行（矿车距离上方、两侧支撑架分别需预留的安全距离），求此时的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵矿洞横截面是轴对称图形，，点E到的距离为， ∴顶点， 设抛物线L的表达式为， 代入得，， 解得， ∴抛物线L的表达式为； （2）解：设正方形的边长为，则， 根据对称性可得，， ∴， 将点代入得，， 解得，（舍去）， ∴正方形边长为，即架骨的长为； （3）解：∵矿车距离上方预留的安全距离， ∴把代入， 则， 解得（舍去）， ∴此时， ∵两侧支撑架需预留的安全距离， ∴此时， ∴为满足宽为，高为的矿车能够在支撑架内通行，． 11．（2026·广东江门·一模）代数推理 我们约定：若一个点的纵坐标是横坐标的一半，则称这个点为“减半点”，若一个函数图象上至少存在一个“减半点”，则称该函数为“减半函数”． (1)函数是“减半函数”吗？如果是，请求出它的一对“减半点”，如果不是，请说明理由； (2)求函数图像上的“减半点”； (3)若抛物线：图像上存在唯一的“减半点”． ①求抛物线的解析式； ②将抛物线向上平移个单位长度，得到新抛物线，作直线交抛物线于点，作直线交抛物线于点，连接，若直线的“减半点”恰好为线段的中点，求的值． 【答案】(1)不是“减半函数”，理由见解析 (2)和 (3)①；． 【详解】（1）解：不是“减半函数”，理由如下： 假设是“减半函数”，则其上至少存在一点， 将点代入得：，即， ∴该方程无解，即该函数图像上不存在 “减半点”， ∴函数不是“减半函数”． （2）解：设函数图像上的“减半点”的坐标为， 将代入得：，解得：或， 当时，，即“减半点”坐标为； 当时，，即“减半点”坐标为． 综上，函数图像上的“减半点”的坐标为和． （3）解：①设抛物线：图像上存在唯一的“减半点”的坐标为， 将代入得：， 整理得：， ∵图像上存在唯一的 “减半点”，所以该方程有唯一解． ∴当时，即，不是抛物线，不符合题意； 当时，，解得：，符合题意； ∴抛物线的解析式 代入抛物线方程：，即． ②抛物线 G 向上平移 个单位得到抛物线 H： ​， ∴直线与 H 的交点A坐标为 直线与 H 的交点B坐标为 ，即， ∴线段 AB 的中点坐标为，即， ∵直线的“减半点”恰好为线段的中点， ∴，解得：． 12．（2026·广东广州·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，若点在抛物线上（异于顶点），且满足，则称点为该抛物线的“点”，为该抛物线的“系数”． (1)写出抛物线的顶点坐标，判断是否为该抛物线的“点”，并说明理由； (2)已知抛物线：过原点． ①当时，求该抛物线的“系数”； ②若抛物线的“系数”为，当时，求的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为，是该抛物线的“点” (2)①6；②或 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为，是该抛物线的“点”，理由如下， 抛物线的顶点式为， 抛物线的顶点坐标为， 当时，， 点在抛物线上，且异于顶点， ，， ，， 满足， 点是抛物线的“点”； （2）解：抛物线过原点， 将代入，得：， 抛物线表达式为：， ， 顶点坐标为， ①当时， 顶点坐标为，，解得：， 抛物线表达式为：， 点为该抛物线的“点”， ，解得：，或， 点异于顶点， 该抛物线的“点”为， “系数”为：； ②当“系数”为时，即， ，即或，即或， 情况一：当时，， ， ，化简得：， ，即， 代入上式得：，解得：， ，，此种情况无解； 情况二：当时，， ， ，化简得：， 将代入上式得：，解得：， ，解得或， 的范围为， 分情况讨论， 当，时，，抛物线表达式为， 抛物线开口向下，对称轴在的取值范围的右侧，y随x增大而增大， 当时，，当时，​， 的取值范围为， 当，时，，抛物线表达式为， 抛物线开口向下，对称轴在的取值范围内，最大值为顶点值，最小值在端点处为​， 的取值范围为， 综上所述，的取值范围为或． 13．（2026·广东·一模）综合与探究 【问题情景】 如图1，抛物线：与轴交于点． 【猜想证明】 (1)请你判断抛物线与轴有几个交点，并说明理由； 【深入探究】 (2)点，在抛物线上，当时，记函数2的最大值和最小值分别为和，且，求的取值范围； 【拓展延伸】 (3)在（2）的条件下，如图2，抛物线由抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得，且与轴分别交于点，，与轴交于点，直线为的对称轴．点为上一点，且点在直线的右侧的第一象限内，过点作于点，作交直线CD于点，过点作于点．当直线将四边形的面积分成的两个部分时，求此时点的坐标． 【答案】(1)抛物线与轴有2个交点，理由见解析 (2) (3)或 【详解】（1）解：抛物线与轴有2个交点，理由如下： 将代入抛物线表达式得： ， 判别式， 则抛物线与轴有2个交点； （2）解：根据题意得，抛物线的对称轴为， 点，在抛物线上， 抛物线的对称轴为， ， 解得， 抛物线的表达式为， 抛物线的顶点坐标为， 当时，， 分情况讨论： ①当时，最大值为， ， ， 令得：， 解得或， 由图象可知，抛物线在时，随增大而增大， ，即时，符合题意； ②当时，抛物线在上，随增大而减小， 在处，取得最大值，即、在处，取得最小值，即， ， 解得， ， 此种情况不符合题意； 综上所述，的取值范围为； （3）解：由（2）知，抛物线的表达式为， 则平移后抛物线的表达式为：， 抛物线的对称轴为， 令得：， 解得或， 、， 令得：， ， 设直线的表达式为， 将和代入得： ，解得：，直线的表达式为， 设，则、、， 分两种情况讨论： ①当点在点的上方时，令直线交直线于点， 将代入得：，， 点在直线的右侧的第一象限内，， 、、、， 、， 直线将四边形的面积分成的两个部分， ， 整理得：，解得：或， ，， 将代入得：，； ②当点在点的上方时，设与交于点， 将代入得：，解得， ，、， 由题意得：，， 整理得：，解得或（不符合题意，舍去）， 将代入得：，， 综上所述，点的坐标为或． 倒计时10天 攻克函数综合题，牢记解析式、图像性质、方程关联三大解题技巧，善用判别式、对称轴、区间最值秒杀方法，步步推导、规范步骤不跳步；考场保持沉稳心态，不畏惧压轴、不慌乱卡题，遇难题拆分考点、循序渐进，遇基础细心审题、稳扎稳打，以平和心态从容作答，用扎实功底稳稳拿分。 函数综合 考情透视--把脉命题 直击重点 ►命题解码： 中考函数综合题以二次函数为核心载体，融合一次函数、反比例函数与几何图形（三角形、四边形），压轴题常见三问梯度设计。第一问基础，求解析式、坐标轴交点或顶点坐标；第二问中等，考线段长、面积最值或动点坐标；第三问高难，侧重特殊图形（等腰、直角三角形、平行四边形）存在性探究，强化数形结合、分类讨论、方程建模思想。命题注重代数运算与几何直观结合，步骤规范与逻辑严密，是区分高分段的关键题型。 ►中考前沿： 2026年中考函数综合题将延续基础扎实、综合创新、素养导向风格。二次函数仍为压轴核心，强化与几何、实际情境融合，新增跨模块综合（如函数+相似+圆），降低纯计算难度，提升思维深度。动点、动线、图形变换（折叠、旋转）成热点，侧重最值、存在性与路径规划问题。命题贴近生活（校园规划、经济应用），强调建模与解题过程，步骤分占比提高，鼓励一题多解，考查知识迁移与创新能力。 考点抢分--核心精粹 高效速记 终极考点1   函数综合（难点） 1、先定函数解析式：用待定系数法，三点、顶点、交点任选合适形式，先把函数式子求出来。 2、坐标化一切：把所有点都设成坐标，线段、面积、角度全部转化为坐标计算，少用几何肉眼看图。 3、看图定性质：利用开口、对称轴、增减性、与坐标轴交点、判别式判断符号和范围。 4、遇动点先设元：动点设横坐标为x，代入函数表示纵坐标，用含x式子表示所有线段。 5、复杂问题拆分做 压轴分三问： 第一问求解析式、坐标； 第二问求线段、面积、最值； 第三问存在性、特殊图形、最短路径。 一问一问拆解，不整题硬啃。 6、存在性必分类讨论：等腰、直角三角形、平行四边形，按顶点分类，不漏情况、不重解。 7、最后检验取舍：求出坐标一定要检验：是否三点共线、是否在图像上、是否符合自变量范围。 终极考点2    函数与几何综合（难点） 考点1：坐标表示与线段长度计算（基础必考） 1、考法 （1）已知函数解析式，求定点、交点、顶点坐标；（2）抛物线上、直线上设动点，用含字母式子表示动点坐标； （3）求水平、竖直、斜着的线段长度。 2、解题方法 （1）定点坐标：直接代入x求y，或令x=0、y=0求与坐标轴交点； （2）动点设法：设横坐标为x，代入函数式子，直接写出纵坐标，用(x, y)表示动点； （3）线段速算：水平线段：右边x － 左边x；竖直线段：上边y － 下边y；斜线段：用两点间距离公式计算； （4）所有几何边长，全部转化为坐标相减，不用猜图。 考点2：函数几何中的面积问题（中档必考） 1、考法 （1）求坐标系中三角形、四边形面积；（2）动点运动，求面积最大值、最小值；（3）已知面积，反求点的坐标。 2、解题方法 （1）铅垂高、水平宽法（压轴万能）：三角形面积 =×水平宽×铅垂高；不用割补，直接用坐标就能算。 （2）割补法：不规则图形，补成矩形或大三角形，减去周围小三角形面积。 （3）面积最值：列出面积关于x的二次函数，利用顶点、对称轴求最值，一定要注意x的实际取值范围。 考点3：动点最值与最短路径（高频压轴） 1、考法 （1）一条线段的最大、最小值；（2）两条线段之和最小；（3）三角形、四边形周长最小值。 2、解题方法 （1）将军饮马模型：定点找关于对称轴、x轴、y轴的对称点，两点之间线段最短，连线与对称轴交点就是所求动点。 （2）竖直/水平线段最值：利用二次函数增减性、顶点高低直接判断。 （3）周长最小：把周长问题转化为两条线段和最小，用对称法解决。 考点4：特殊三角形存在性问题（重难点） 1、考法：在抛物线上或直线上，是否存在一点，能组成：等腰三角形、直角三角形 2、解题方法 （1）等腰三角形 分三类讨论：① 第一条边为底边 ② 第二条边为底边 ③ 第三条边为底边；用两点距离公式列两边相等方程，解出坐标。 （2）直角三角形 分三类讨论：① 第一个点为直角顶点 ② 第二个点为直角顶点 ③ 第三个点为直角顶点；用勾股定理：两直角边平方和=斜边平方，列方程求解。 （3）最后一定要检验：舍去三点共线、不在图像上的点。 考点5：特殊四边形存在性（中考压轴大题必考） 1、考法：是否存在动点，四点构成：平行四边形、矩形、菱形 2、解题方法 （1）平行四边形（最快方法） 利用对角线中点坐标相同：两条对角线的中点横坐标相等、纵坐标相等，直接列方程求点坐标，不用算边长。 （2）矩形：先满足平行四边形，再加条件：邻边垂直 或 对角线相等。 （3）菱形：先满足平行四边形，再加条件：一组邻边长度相等。 真题精研--复盘经典 把握规律 题型一 坐标表示与线段长度计算 （2025·广西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点A的坐标为，则第三级阶梯的高（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点在双曲线上，∴，∴双曲线， ∵“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且， ∴点的横坐标为，点的横坐标为， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为，∴， 故选：． 题型二 函数几何中的面积问题 （2025·四川广元·中考真题）如图①，有一水平放置的正方形，点D为的中点，等腰满足顶点A，B在同一水平线上且，点B与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（   ） A． B． C．当时， D．的周长为 【答案】D 【详解】解：由的运动可知，等腰与正方形重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶角顶点之后，则重叠部分的图形为四边形，当等腰整体全部运动到正方形内部时，则重叠部分的图形为，此时面积不变． 记中点为， 由函数图象可得，当时，，此时点落在上，如图： 则， 由题意得， ∵，∴，∴∴， ∴此时为等腰直角三角形，∴， ∵，∴，∴，故A、B正确，不符合题意； ∴当时，重叠部分记为， 由题意得：， ∵，∴为等腰直角三角形，∴，∴， 故C正确，不符合题意； 由函数图象可得，当时运动停止，那么的顶点从点运动到点用时，如图： ∴， ∵四边形是正方形，∴， 由题意得：为的中点，∴，∴， ∴的周长为，故D错误，符合题意， 故选：D． 题型三 动点问题 （2025·四川眉山·中考真题）如图1，在中，，点D在上，，动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．在3个时刻，，对应的正方形的面积均相等．下列4个结论：①当时，；②点P在线段上时；③；④．其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：由图2可知当点P运动到B点时，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去）； ∵动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动， ∴当时，点P的运动路程为1，即此时点P在上，∴此时， 在中，由勾股定理得，∴， ∴当时，，故①正确； 当点P在上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为， ∴可设S关于t的函数解析式为， 把代入中得：，解得， ∴S关于t的函数解析式为，故②错误 在中，当时，解得或，∴， 在中，由勾股定理得， ∴，故③错误； ∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动，∴， ∵，，∴，∴； 点P在上运动时， 函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的， 设是函数上的两点，则，是函数上的两点， ∴，∴， ∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等． ∴可以看作，∴，故④正确；综上所述，正确的有2个， 故选：B． 题型四 特殊三角形存在性问题 （2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1) (2)①；②存在，或或 (3) 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，， ∴， ∴解得：， ∴抛物线表达式为； （2）解：①对于抛物线表达式， 当，∴， 设直线表达式为：， 则，解得：， ∴直线：， ∵，∴，， ∴， ∴； ②存在， ，而 当时，，解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：，解得：或（舍）， ，∴； 当时， 整理得：，解得：或（舍）或（舍）， ，∴， 综上：是等腰三角形时，或或； （3）解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接， 由旋转得：， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴点在线段上运动（不包括端点）， ∴当时，最小， ∵，，，∴， ∴，∴，∴当时， ∴，∴， ∴线段长度的最小值． 题型五 特殊四边形存在性问题 （2025·四川雅安·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点Q的坐标； (3)点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数解析式为 (2) (3)存在，以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或 【详解】（1）解：二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点， ∴，解得，，∴二次函数解析式为； （2）解：二次函数解析式为， ∴当时，， 因式分解得，，解得，， ∴，∴， 如图所示，连接， ∵，∴， ∵点Q是抛物线在第三象限上的一点， ∴设，过点作轴于点， ∴，， ∵满足，∴，∴， ∴，整理得，， 因式分解得，，解得，，（舍去）， ∴，则，∴； （3）解：二次函数解析式为，∴对称轴直线为， 设，，且， 当四边形是平行四边形时， ∴对角线交点的横坐标相等，即， 解得，， ∴， ∴； 当四边形是平行四边形时， ∴， 解得，， ∴， ∴； 当四边形是平行四边形时， ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，存在以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 题型六 函数与图形变换综合 （2025·山东济南·中考真题）二次函数的图象经过，两点，顶点为G． (1)求二次函数的表达式和顶点G的坐标． (2)如图1，将二次函数的图象沿x轴方向平移个单位长度得到一个新函数的图象，当时，新函数的最大值是8，求n的值． (3)如图2，将二次函数的图象沿直线平移，点A，G的对应点分别为，，连接，，线段与交于点M．若，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)，顶点G的坐标为 (2)或 (3)或 【详解】（1）解：将，代入， ，解得，， ，当时，取最小值，最小值为，顶点G的坐标为． （2）解：Ⅰ、当抛物线向右平移时： 根据平移规律可得新抛物线解析式为：， 对称轴为直线， ，， 当时，即时，如图： 直线与抛物线交点M纵坐标最大， 将，代入解析式得，解得，与矛盾，不合题意； 当时，即时，如图： 直线与抛物线交点N纵坐标最大， 将，代入解析式得，解得，与矛盾，不合题意； ，符合题意； Ⅱ、当抛物线向左平移时，根据平移规律可得新抛物线解析式为：， 对称轴为直线， ， ， ∴当时，y取最大值8，代入解析式得：， 解得：，（舍），综上可知，或； （3）解： 设直线的解析式为， 将，代入得，，解得， 直线的解析式为， 令，则,∴直线与轴交于， 直线与坐标轴围成的是一个等腰直角三角形， ∴图象沿直线平移时，上下方向与左右方向平移的距离相等， 设向上、向右平移了m个单位，，， 由平移得，，四边形是平行四边形， 线段与交于点M，∴为线段的中点，， Ⅰ、如图，抛物线沿射线平移， ∵，，G， ∴由勾股定理可得， ， ，且， ∵， ∴， ∴四点共圆，是在以为直径的圆上， 中点， 则， ， 即 解得：或（舍） ∴； Ⅱ、如图，抛物线沿射线平移， 作关于点对称点， 则可同理证明，且， ∵， ∴， ∴四点共圆，在以为直径的圆上， 中点， 则， ， 即 解得：或（舍） ∴； 终极预测--压轴实战 稳拿高分 1．（2026·天津滨海新区·一模）四边形中，，，，，．动点M从点B出发，以的速度沿边，边向终点D运动；动点N从点C同时出发，以的速度沿边向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：①当时，；②当时，的最大面积为；③当t为和时，满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【详解】解：当时，， ∵点M的运动轨迹是，以的速度运动，， ∴点M在上的运动时间为， 当时，点M在上， ∴， ∴，故①错误； 当时，，，， ∴， 当时，的面积取得最大值，故②错误； 当时，， 当时，， 而点M此时在上， ∴，故③正确， 综上所述，正确的结论有③，共1个． 2．（2026·河南周口·一模）如图，正方形的边长为4，点P从点A出发，沿匀速运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t秒， 的面积为S，则S与t的函数图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【详解】解：当点P在段运动，此时， 不存在，即此时无图象， 当点P在段运动，此时， 则有， ∴， 函数图象为点（空心）与的连线； 当点P在段运动，此时， ∴； 点P在段运动时，此时， 则有，， ∴， 函数图象为点与（空心）的连线； 则S与t的函数图象大致是： 3．（2026·天津·一模）如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动，运动到终点停止运动，当点出发后，以为边做正方形，使点，始终在边同侧，设点运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为．有下列结论： ①长为； ②当时，关于的函数关系式为； ③当正方形的对称中心与点重合时，． 其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点作于点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； 当点在线段上运动时， ∵动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动，运动到终点停止运动，点运动时间为，四边形是正方形， ∴，，， 当点与点重合时，点与点重合， 此时， ∴； 当点在线段的延长线上运动时，如图，设交于点 此时点在线段上运动，则， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ， ∴当时，关于的函数关系式为，，故结论②正确； 当正方形的对称中心与点重合时，如图， 此时点为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论③不正确； 综上所述，正确结论的个数是． 4．（2026·四川绵阳·一模）如图，是动点，分别位于轴的正半轴上；四边形是矩形，函数的图像与边交于点，与边交于点与不重合．以下四个结论：①与的面积一定相等；②与的面积可能相等；③一定是锐角三角形；④可能是等边三角形．其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，轴，轴， 又∵、是反比例函数图象上的动点， ∴， ∴，即与的面积一定相等，故①正确； 由①可得， 当与的面积相等时，如图，连接， ∴， 即， ∵， ∴假设不成立，故②不正确； 如图所示， 当、在的同侧时，可能是钝角三角形，故③不正确； 如图所示， ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故④正确； 综上所述，正确的结论有2个． 5．（2026·安徽合肥·一模）如图1，在平行四边形中，动点E从点A出发，在平行四边形的边上沿路径A→B→C作匀速运动，运动到点C时停止．设点E的运动路程为x，线段的长度为y，y与x的函数图象如图2所示．则点C到线段的距离为（   ） A． B．4.4 C． D．5.6 【答案】D 【详解】解：连接，过点作于点，如图， 由函数图象得，，， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∴ 解得 ∴， ∴（负值舍去） 6．（2026·河南周口·一模）如图1，实心小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度（单位：）与弹簧被压缩的长度（单位：）之间的函数关系近似看作二次函数，其图象如图2所示．已知为该抛物线的顶点，有一条平行于轴的直线，且．当小球的速度不小于时，弹簧被压缩的长度的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵为该抛物线的顶点， ∴设该抛物线的解析式为， 由图象知，抛物线经过点和， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为， 联立得， 解得， 结合函数图象知弹簧被压缩的长度的取值范围是． 7．（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或或 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设，过点作轴于点， 由抛物线的解析式， 令时，， ∴， ∴， ∵，，且点在第一象限， ∴，，，， ∵ ， ∵， ∴当时，的面积的最大值为． （3）解：设， 当时，如图， ∵，， ∴， ∴， 解得，， ∴或， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴在直线上，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； 当时，如图， 由可知， ∴， 解得， 或； 当时，如图， ∵，，， ∴， 解得， ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 8．（2019·四川巴中·一模）如图，对称轴为直线x＝的抛物线经过点A(6，0)和B(0，4)． (1)求抛物线表达式及顶点坐标； (2)设点E(x，y)是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)在(2)条件下，是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)y＝(x﹣)2﹣；顶点坐标为(，﹣)；(2) S＝﹣4(x﹣)2+25(1＜x<6)；(3)不存在这样的点E，使平行四边形OEAF为正方形． 【详解】解：(1)∵抛物线对称轴为直线x＝， ∴可设抛物线解析式为y＝a(x﹣)2+k， 把A(6，0)，B(0，4)代入可得， 解得 ∴抛物线解析式为， ∴顶点坐标为(，﹣)； (2)∵点E(x，y)在第四象限， ∴y＜0， ∴﹣y表示点E到OA的距离， 令 解得： 即抛物线与轴的另一个交点坐标为：则1＜x＜6； ∵OA是平行四边形OEAF的对角线， ∴S＝2S△OAE＝2××OA•|y|＝﹣6y＝﹣4(x﹣)2+25，其中1＜x＜6； (3)当OA⊥EF且OA＝EF时，四边形OEAF是正方形， 此时E点坐标为(3，﹣3)，而坐标为(3，﹣3)的点不在抛物线上， 故不存在这样的点E，使平行四边形OEAF为正方形． 9．（2026·河南许昌·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若该抛物线经过点，求该抛物线的对称轴及顶点坐标； (2)若点，，抛物线与线段有两个交点，求b的取值范围； (3)在（1）的条件下，，是抛物线上两点，若，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2)且 (3) 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． （2）解：令，则， 解得，， ∵，，抛物线与线段有两个交点， ∴， 解得且． （3）解：由（1）可知，， ∴抛物线的解析式为， ∵，在抛物线上， ∴，， ∵， ∴， 解得． 10．（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图，二次函数图象的顶点在轴上，与轴交于点，二次函数与的对称轴相同，且经过点和点，点的横坐标为，直线与轴交于点． (1)求二次函数的解析式： (2)当时，直线与二次函数的图象从左到右依次交于点，．若，求的值： (3)二次函数与二次函数组成新函数． ①已知点，点，线段与有2个交点时，请直接写出的值或取值范围： ②当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①或；② 【详解】（1）图象与轴交于点， ． 顶点在轴上， ， ， ． 对称轴为 ． 与的对称轴相同，且经过点， ． 把点代入得：， ， ． （2）解：设直线与抛物线的对称轴交于点， 由题可知：， ． ， ， ． 设点， 则点， ， 解得（舍）， ． ． （3）解：①定义为： ① 在部分，代入​得​； 在​部分，代入​得； 在时，​随x的增大而减小； 在时​随x的增大而增大，在​时随x的增大而减小，最大值为3（时），时​。 当时，线段与无交点。 当时，是公共点，线段与​交于和， 共2个交点； 当​时，线段与（）交于1点，与​（）交于2点，共3个交点； 当时，线段与（） 无交点，与​（）交于2点，共2个交点； 当时，线段与交于，与​无交点，仅1个交点； 当时，线段与（） 无交点。 故n的取值为：或 ， ②当时，， 由图可知，当时，有最小值， ， ． 最大值为 ． 在中，当时，， 解得：或（舍）． ． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 目 录 倒计时15天 ➤平面直角坐标系……………………………………………………………………………3 是几何与函数的基础工具，常结合函数、几何综合考查，分值稳定、衔接性强。 倒计时14天 ➤一次函数……………………………………………………………………………………14 聚焦图象性质、解析式求解与实际应用，是中考基础必考题型，常结合几何、方案问题综合命题。 倒计时13天 ➤反比例函数…………………………………………………………………………………29 聚焦k的几何意义、图象分布与增减性，多以填空选择及小综合题考查，为中考中档高频考点。 倒计时12天 ➤二次函数……………………………………………………………………………………43 聚焦图象性质、最值、存在性与几何综合探究，是中考压轴核心题型，分值占比高、区分度极强。 倒计时11天 ➤函数综合题…………………………………………………………………………………61 融合一次、反比例、二次函数关联考点，结合几何图形、动点与最值设问，是中考数学压轴重难点，区分度高、综合性极强。 倒计时15天 找准坐标定方向，理清思路破难点，放平应试心态，稳扎稳打就能轻松攻克平面直角坐标系题型。 平面直角坐标系 考情透视--把脉命题 直击重点 ►命题解码： 平面直角坐标系作为数形结合的核心载体，是中考必考基础内容，题型覆盖选择、填空与简单解答。命题侧重具象化基础考查，高频考查各象限内点的坐标符号规律、坐标轴上点的特殊特征、点关于坐标轴及原点的对称变换、图形平移旋转的坐标变化规律。同时常结合线段长度、中点坐标、网格图形面积计算命题，频繁联动一次函数、几何图形进行小综合设问。命题注重基础实用性，以基础送分题为主，穿插易错陷阱题型，着重考查学生坐标转化、数形转化的基本解题能力，衔接后续函数与几何大题。 ►中考前沿： 2026年将延续基础+综合的命题思路，基础题聚焦坐标特征、对称平移等易错点，确保覆盖全面。中档题强化坐标与几何综合，如结合特殊图形求点坐标、动态点轨迹与面积最值。创新题可能融入新定义、规律探究或跨情境应用，强化数形结合与逻辑推理，难度梯度更合理，侧重考查知识迁移与综合应用能力。 考点抢分--核心精粹 高效速记 终极考点1   各象限内点的坐标特征（简单） 1、点P(x，y)在第一象限 x＞0，y＞0，即（+，+）； 2、点P(x，y)在第二象限 x＜0，y＞0，即（-，+）； 3、点P(x，y)在第三象限 x＜0，y＜0，即（-，-）； 4、点P(x，y)在第四象限 x＞0，y＜0，即（+，-）。 终极考点2   特殊位置上点的坐标特征（简单） 点M（x，y）所处的位置 坐标特征 坐标轴上的点 点M在x轴上 在x轴正半轴上 M（正，0） 在x轴负半轴上 M（负，0） 点M在y轴上 在y轴正半轴上 M（0，正） 在y轴负半轴上 M（0，负） 点M在原点 M（0，0） 象限角平分线上的点 点M在第一、三象限角平分线上 x＝y 点M在第二、四象限角平分线上 x＝-y 两点连线与坐标轴平行 MN∥x轴（或MN⊥y轴） M、N两点纵坐标相等且横坐标不相等 MN∥y轴（或MN⊥x轴） M、N两点横坐标相等且纵坐标不相等 终极考点3   平面直角坐标系中点的变换坐标规律（简单） 设原点点坐标：P(x, y) 一、平移规律 1、左右平移（变横坐标） 向右平移 a 个单位：(x+a, y) 向左平移 a 个单位：(x-a, y) 2、上下平移（变纵坐标） 向上平移 b 个单位：(x, y+b) 向下平移 b 个单位：(x, y-b) 口诀：右加左减，上加下减 二、轴对称规律 1、关于 x 轴对称：横坐标不变，纵坐标变号(x, -y) 2、关于 y 轴对称：纵坐标不变，横坐标变号(-x, y) 三、中心对称（关于原点对称） 横、纵坐标全都变号(-x, -y) 四、简单旋转（中考高频） 1、绕原点顺时针旋转90°：(y, -x) 2、绕原点逆时针旋转90°：(-y, x) 3、绕原点旋转 180°，等同于原点中心对称：(-x, -y) 终极考点4   平面直角坐标系中的距离（简单） 点到坐标轴及原点的距离 已知点P，则 1）点P到轴的距离为； 2）点P到轴的距离为； 3）点P到原点O的距离为P＝. 平行于坐标轴的直线上两点间的距离 若AB∥x轴，则的距离为； 若AB∥y轴，则的距离为； 拓展 坐标系中有两点M与点N，则M，N两点之间的距离：，MN的中点坐标为 终极考点5   函数的相关概念（重点） 1、变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量. 2、常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量. 3、函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数. 4、函数的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围. 5、函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 6、函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式. 7、函数图象上点的坐标与解析式之间的关系： （1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在. （2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解. 终极考点6   函数自变量的取值范围（重点） 类型 取值范围 举例 自变量的取值范围 整式型 全体实数 全体实数 分式型 分母不能为零 二次根式型 被开方式大于或等于零 负整数(零)指数幂型 底数不能为零 x≠0 分式+根式型 开方式大于零 注意：分母不能为0 终极考点7   函数的表示方法（重点） 表示方法 定义 优点 缺点 解析式法 用含自变量x的式子表示函数y的方法 简单明了,能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的关系 求出对应值时,往往要经过比较复杂的计算,而且有些实际问题不一定能用解析式表示出来 列表法 把一系列自变量值x与对应的函数值y列成一个表格来表示函数关系的方法 一目了然,由表中已有自变量的每一个值,可以直接得出相应的函数值 自变量的值不能一一列出,也不容易看出自变量与函数之间的对应关系 图象法 用图象来表示函数关系的方法 能直观形象地表示函数关系 观察图象只能得到近似的数值 真题精研--复盘经典 把握规律 题型一 写出直角坐标系中点的坐标 （2025·海南·中考真题）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为、，则“强”的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型二 点所在的象限 1．（2025·河北·中考真题）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2025·江苏宿迁·中考真题）点在第一象限，则实数的取值范围是___________． 解题妙法 1、四象限符号口诀：一正正，二负正，三负负，四正负 2、快速秒杀妙法 （1）先看x、y正负，直接套口诀定象限，不用画图。 （2）坐标轴上的点不属于任何象限：x轴上：y=0；y轴上：x=0。 （3）角平分线秒判：一、三象限角平分线：x=y；二、四象限角平分线：x=-y 3、应试小技巧：遇到含参数坐标判断象限，先判断横、纵坐标正负，再对照口诀，不用空想画图，稳准不丢分。 题型三 坐标系中的旋转 （2025·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型四 坐标与图形结合 （2025·四川雅安·中考真题）如图，平面直角坐标系中，点A在y轴上，点，点在x轴上，且，则m的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 题型五 点坐标规律探索 （2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 题型六 常量与变量 （2025·北京·中考真题）工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日（T可取0，1，2或3）的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当和时，部分数据如下： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 时y的值 0 7 8 10 12 16 20 23 25 26 时y的值 0 26 37 43 m 48 50 51 52 53 时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变． 对于给定的T，在平面直角坐标系中描出该T值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图所示． (1)观察曲线，当整数x的值为_______时，y的值首次超过35； (2)写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线； (3)新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制． ①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第_______日可获得“优秀学员”证书； ②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行_______日的模拟练习． 题型七 函数解析式 （2025·江苏盐城·中考真题）博物馆到小明家的路程为，小明回家所需时间随平均速度的变化而变化，则与的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 题型八 求自变量的取值范围 1．（2025·云南·中考真题）已知是常数，函数，记． (1)若，，求的值； (2)若，，比较与的大小． 2．（2025·云南·中考真题）函数的自变量的取值范围为（    ） A． B． C． D． 解题妙法 1、四大必考类型+秒杀规则 设自变量为 x （1）整式型（一次、二次多项式）：直接记：全体实数，无任何限制。（2）分式型（分母含 x） 核心规则：分母≠0；解题：令分母≠0，解不等式即可。 （3）二次根式型（根号下含 x） 核心规则：被开方数≥0；解题：令根号里面整体≥0，求解。 （4）分式+二次根式复合型：同时满足：被开方数≥0 且 分母≠0，联立求解取值范围。 2、特殊实际应用题妙法：实际问题（人数、边长、个数、时间等），在上面式子限制基础上，再加：自变量取正数、整数，符合生活实际。 题型九 从函数的图像获取信息 （2025·广东·中考真题）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（   ） A．电池能量最多可充 B．摩托车每行驶消耗能量 C．一次性充满电后，摩托车最多行驶 D．摩托车充满电后，行驶将自动报警 题型十 动点问题的函数图像 （2025·浙江·中考真题）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（   ） A． B． C．点C的纵坐标为240 D．点在该函数图象上 解题妙法 动点与函数图象判断的解题策略 方法一：趋势判断法. 根据几何图形的构造特点，对动点运动进行分段，并判断每段对应函数图象的增减变化趋势； 方法二：解析式计算法. 根据题意求出每段的函数解析式，结合解析式对应的函数图象进行判断； 方法三：定点求值法. 结合几何图形特点，在点运动的拐点、垂直点、特殊点处求出函数值，对选项进行排除； 方法四：范围排除法. 根据动点的运动过程，求出两个变量的变化范围，对选项进行排除． 终极预测--压轴实战 稳拿高分 1．（2026·安徽淮北·二模）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点坐标分别，，． (1)在网格内，以点为位似中心，将放大为原来的2倍，画出（点、、的对应点分别为、、）；点的坐标为________； (2)仅用无刻度的直尺，在线段上找一点，使得线段最短（保留作图痕迹，不写作法）． 2．（2026·广东江门·一模）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点，若规定以下三种变换： ①； ②； ③， 按照以上变换，例如：，则等于______． 3．（2026·重庆·模拟预测）已知，其中，，，，，…，为正整数，，，…，为平面直角坐标系内的点．下列说法： ①若，，则的值可能为，； ②若满足，，则由，，三点构成的三角形的面积是； ③若，，，，所构成的图形是四边形，则m的最小值为． 其中正确的个数是（  ） A． B． C． D． 4．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点都在格点上，将四边形绕坐标原点旋转后的关于轴的对称图形为四边形，则点的对应点的坐标为_______． 5．（2026·陕西西安·三模）七巧板又称七巧图，是中国民间流传的智力玩具，可以阐明若干重要几何关系，其原理便是古算术中的“出入相补原理”它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图，是由七巧板拼成的正方形，若点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为____________ 6．（2026·北京·模拟预测）小刚在研究弹簧的伸长量与所受拉力的关系时，准备了两个弹簧：弹簧A（1号弹簧）和弹簧B（2号弹簧）．弹簧A是均匀的线性弹簧，而弹簧B是根据特殊材料设计的非线性弹簧．小刚分别对两个弹簧施加不同的拉力（单位：），并记录了弹簧的伸长量（单位：），部分数据如下： (1)补全表格（结果保留小数点后一位）． 0 1 2 3 4 5 6 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 0 0.8 1.4 1.9 2.3 2.6 2.9 (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当拉力为时，弹簧B的伸长量与弹簧A的伸长量的差约为________（结果保留小数点后一位）． ②在①的条件下，若将弹簧B的一部分拉力转移到弹簧A上，当两弹簧的伸长量相同时，其伸长量约为________（结果保留小数点后两位）． 7．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）在函数中，自变量x的取值范围是________． 8．（2026·广东东莞·一模）若函数有意义，则x的取值范围是________． 9．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在长方形电子屏中，，．一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点P从点A出发沿边以的速度向点C运动，随着的移动，画面逐渐展开． (1)求展开的画面面积S（单位：）关于点P的运动时间t（单位：s）的函数表达式； (2)当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续5s，求播放结束时展开的画面面积． 倒计时14天 吃透一次函数图象性质与解析式套路，稳住心态、数形结合巧分析，细心计算稳步骤，考场轻松拿下一次函数各类考题。 一次函数 考情透视--把脉命题 直击重点 ►命题解码： 一次函数是中考数学基础核心必考内容，题型涵盖选择题、填空题与解答应用题，分值占比稳定。基础层面常考查正比例函数定义、一次函数解析式求解、图象象限分布、增减性以及与坐标轴交点坐标。常考点还包括直线平移、待定系数法求解析式、比较函数值大小。 中档题型多结合方程、不等式考查，利用一次函数图象解一元一次方程与不等式，数形结合命题突出。高频考查实际应用题，以行程、利润、方案选择、收费问题为背景，建立一次函数模型求解最值与方案决策。同时常与几何图形、平面直角坐标系综合，结合线段、面积设问，侧重考查建模能力、读图能力和运算推理，是中考得分关键板块。 ►中考前沿： 2026年中考一次函数板块将延续“基础稳固、侧重应用、适度综合”的命题趋势，分值稳定在10—15分，覆盖选择、填空、解答题。基础题聚焦待定系数法求解析式、k与b对图象象限及增减性的影响、直线平移规律、坐标轴交点计算，注重概念与运算熟练度。 中档题核心是一次函数与方程、不等式综合，以图象法解不等式恒成立、参数范围求解为高频考向，强调数形结合思维。应用题背景更贴近生活热点，如低碳出行、阶梯收费、电商利润、方案优化等，考查建模能力与自变量取值范围分析。 压轴小问将加强一次函数与几何综合，涉及线段长度、面积最值、动点存在性问题，难度中等偏上，侧重逻辑推理与跨模块整合能力。整体不设偏难怪，重在考查核心素养，熟练掌握图象性质与建模方法即可稳拿高分。 考点抢分--核心精粹 高效速记 终极考点1   一次函数的图像与性质（含正比例函数）（重点） k＞0 k＜0 图像 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 趋势 从左向右看图像呈上升趋势 从左向右看图像呈下降趋势 增减性 y随x增大而增大 y随x增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 经过 的象限 第一、二、三象限 第一、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、四象限 第二、三、四象限 拓展 1）直线与直线平行 2）直线与直线垂直 注意：一次函数的性质主要是指函数的增减性，即y随x的变化情况，它只与k的符号有关，与b的符号无关. 终极考点2   待定系数法求一次函数解析式（重点） 1、一次函数通用解析式：y=kx+b（k≠0，k、b 为常数） 2、核心思路： 设→代→列→解→写 （1）设：先设解析式 y=kx+b （2）代：把已知两个点坐标分别代入 （3）列：得到关于 k、b 的二元一次方程组 （4）解：求出 k、b 的值 （5）写：把 k、b 代回，写出最终解析式 3、特殊情况 若过原点，是正比例函数，直接设：y=kx；只需一个点坐标就能求出 k 终极考点3   一次函数的平移变换（重点） 平移变换 平移方式（m＞0） 函数解析式 向上平移m个单位 向下平移m个单位 向左平移m个单位 向右平移m个单位 平移口诀：左加有减（只改变x），上加下减（只改变y）. 注意：一次函数图象平移后，k值不变因此可求出原函数图象上任意一点平移后得到的点的坐标，再利用待定系数法即可求出平移后的解析式. 终极考点4   一次函数图像解方程、解不等式、比函数值大小（难点） 1、用一次函数图像解一元一次方程 （1）方程 kx+b=0 的解 考点：就是直线 y=kx+b 与x轴交点的横坐标。 （2）方程 k1x+b1=k2x+b2 的解 考点：两条直线 y1=k1x+b1、y2=k2x+b2交点的横坐标。 2、用一次函数图像解一元一次不等式 设两直线 y1=k1x+b1、y2=k2x+b2交点横坐标为 x0 （1）kx+b>0 考点：直线在x轴上方部分对应的 x 取值范围。 （2） kx+b<0 考点：直线在x轴下方部分对应的 x 取值范围。 （3）y1>y2 考点：图像在上方的那一段对应的 x 范围。 （4）y1<y2 考点：图像在下方的那一段对应的 x 范围。 3、利用图像比较函数值大小（高频中考） （1）同一一次函数，看增减性 k>0：y随x增大而增大，x越大y越大 k<0：y随x增大而减小，x越大y越小 （2）不给解析式、只给图像上两点 考点：直接看两点在图像上的高低，位置高y值大。 （3）含参数比较大小（中考易错） 不用求解析式，只看k的正负判断增减，再比横坐标判y大小。 真题精研--复盘经典 把握规律 题型一 正比例函数的图像与性质 （2025·山东潍坊·中考真题）（多选）如图，一次函数经过点，与轴交于点，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（    ） A． B．为的中点 C．方程的解是 D．当时， 解题妙法 对于正比例函数，只要知道比例系数k的正负，不需画出图像就能判断其图像的大致位置以及函数的增减性.反之，若知道正比例函数的增减性，也可以推断出函数的比例系数k的正负. 题型二 探究一次函数经过的象限与系数之间的关系 （2025·江苏扬州·中考真题）已知，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解题妙法 图像如果过第一、三象限，那么k＞0；图像如果过第二、四象限，那么k＜0 题型三 求一次函数自变量或函数值 （2025·广东广州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型四 探究一次函数的增减性与系数之间的关系 （2025·安徽·中考真题）已知一次函数的图象经过点M，且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 解题妙法 若x增大y也增大，则k＞0；若x增大y反而减小，则k＜0 题型五 一次函数的图像问题 1．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是______．（填写一个值即可） 2．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·青海西宁·中考真题）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．下列结论错误的是（   ） A． B．与的面积相等 C．的面积是 D．当时， 题型六 求一次函数的解析式 1．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在长方形电子屏中，m，m．一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点从点出发沿边，以的速度向点运动，随着的移动，画面逐渐展开． (1)写出展开的画面面积（单位：）关于点的运动时间（单位：s）的函数表达式； (2)当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续，求播放结束时展开的画面面积． 解题妙法 题型七 一次函数与一元一次不等式 1．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围． 2．（2025·天津·中考真题）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间 1 6 18 50 小华离家的距离 ②填空：小华从公园返回家的速度为____________； ③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 题型八 两直线交点与二元一次方程组的解 （2025·宁夏·中考真题）如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是______． 题型九 分配方案问题（一次函数的实际应用） （2025·青海西宁·中考真题）西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣——坚韧、顽强、浪漫．某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区．若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元． (1)求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？ (2)该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？ 题型十 最大利润问题（一次函数的实际应用） （2025·西藏·中考真题）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 题型十一 行程问题（一次函数的实际应用） 1．（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示． (1)乙步行的速度为___________之间的路程为___________； (2)当时，求关于的函数表达式； (3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为． 2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买、两种型号的芯片．已知购买颗型芯片和2颗型芯片共需要元，购买颗型芯片和颗型芯片共得要元． (1)求购买颗型芯片和颗型芯片各需要多少元． (2)若该公司计划购买、两种型号的芯片共频，其中购买型芯片的数量不少于型芯片数量的倍．当购买型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元． (3)该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地，两车到达地后均停止行驶．如图，、分别是甲、乙两车离地的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题： ①甲车的速度是________． ②当甲、乙两车相距时，直接写出的值________． 题型十二 一次函数与几何结合 1．（2025·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一张纸片被y轴分成矩形和平行四边形两部分．点A的坐标为，点B，C分别在x轴和y轴上，点D的坐标为．下列结论： ①纸片的面积是； ②点E的坐标为； ③若直线既平分矩形的面积又平分的面积，则直线的解析式为； ④若点M是直线上的一个动点，连接EM，设，点C到的距离为n，则m与n之间的关系式为． 其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知：在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求直线的解析式； (2)如图①，为轴正半轴上一点，于点，点在线段上（点不与点重合），连接，设点的横坐标为，的长为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图②，在（2）的条件下，点横坐标为，在第一象限内作直角三角形，，，点在轴上，设点的横坐标为，点在上，，在第四象限内作，，连接，，交轴于点，连接并延长交于点，，求点的坐标． 终极预测--压轴实战 稳拿高分 1．（2026·江苏连云港·一模）关于直线（为常数）与直线的交点情况，下列判断一定正确的是（   ） A．有1个交点，且在第一象限 B．有1个交点，且在第二象限 C．有1个交点，且在第三象限 D．有1个交点，但不在第四象限 2．（2026·江苏扬州·一模）若，为直线上的两点，且，则的取值范围是____________． 3．（2026·安徽芜湖·一模）如图1所示，将一个等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，其中直角边在x轴上，点B在第二象限，将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移．设平移过程中该直线被的边截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图像如图2所示，下列结论错误的是（   ） A．点A的坐标为 B．的面积为8 C．边所在直线的表达式为 D．D点坐标为 4．（2026·河北邯郸·二模）在平面直角坐标系中，点P从出发，按“上1、右1、下2、右1、上3、右1、下4、右1……”的规律移动（即：第1次向上移动1个单位，第2次向右移动1个单位，第3次向下移动2个单位，第4次向右移动1个单位，以此类推，如图），若第n次移动后，点P恰好落在直线上，则满足条件的所有n的和（   ） A．5 B．8 C．13 D．21 5．（2026·陕西渭南·一模）一次函数（k为常数，且）的图象不经过第三象限．若点N在该一次函数的图象上，则点N的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·广东湛江·一模）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·辽宁大连·一模）甲、乙两支园林队共同完成总面积为的绿化任务，两支园林队每小时绿化的面积保持不变，其中甲园林队休息了一段时间．甲、乙两支园林队绿化的面积（单位：）与甲的工作时间t（单位：）之间的函数关系如图所示． (1)甲园林队休息了__________； (2)求乙园林队绿化的面积与之间的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）． 8．（2026·天津东丽·一模）已知小明家、超市、书店、体育馆依次在同一条直线上，超市、书店、体育馆离小明家的距离分别为，，．周末，小明从书店买完书后出发，先匀速步行到达体育馆，在体育馆停留了，之后匀速骑行到达超市，在超市停留后，再匀速步行返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 小明离开书店的时间 小明离家的距离 ②填空：小明从超市返回家的速度为_________； ③当时，请直接写出小明离家的距离关于时间的函数解析式． (2)当小明离开体育馆时，小明的哥哥小亮从家出发匀速步行直接去体育馆，如果小亮的速度为，那么小亮在去体育馆的途中遇到小明时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）． 9．（2026·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，对于图形G、图形R和直线l，给出如下定义：若图形G上存在点T（T在直线l外），使得图形R上至少有个点到直线l的距离与点T到直线l的距离相等，则称图形R为图形G关于直线l的“等距”图形． (1)已知点，，，． ①当时，在线段，，中，线段______为点A关于y轴的“等距”图形，其中k的值为______； ②若线段为线段关于y轴的“等距”图形，则t的取值范围是______； (2)已知直线，的圆心为，半径为1．若存在实数s以及的弦，使得任意以点为中心且边长为的等边均为弦关于直线l的“等距”图形，直接写出a的取值范围． 10．（2026·天津·一模）已知小明家、民俗馆、人工智能科普馆依次在同一条直线上，民俗馆离家，人工智能科普馆离家．小明从家出发，先匀速骑行了到达民俗馆，在那里参观了后，又匀速骑行了到达人工智能科普馆，在科普馆停留了后，匀速步行返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)填表： 小明离开家的时间 小明离家的距离 填空：小明从人工智能科普馆返回家的速度为__________； 当时，请直接写出小明离家的距离关于时间的函数解析式； (2)当小明离开家时，他的妈妈也从家出发，沿同一路线匀速步行前往人工智能科普馆，全程用时，那么在从民俗馆到人工智能科普馆的途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 11．（2026·上海崇明·二模） 背景 我国新能源汽车产销量连续10年全球第一，2025年出口261.5万辆，纯电动汽车占比超六成．凭借环保节能的优势，电动车越来越受到青睐，预计到2035年，纯电动汽车将占据市场绝对主导地位． 素材1 工程师对某品牌的款电动车进行充电测试，用快速充电桩和慢速充电桩分别对剩余电量为的两台款电动车同时充电，充电时，各自的电量与充电时间（小时）的函数图象分别为图中的线段和． 素材2 暑假里，小明一家驾驶某品牌的款电动车从家出发去外地旅游，途中发现电量不足，便驶入服务区充电．此时，车辆剩余电量为，但服务区内的快速充电桩已满，只能先使用慢速充电桩充电．小明一家在慢速充电40分钟后，恰好有快速充电桩空出，立即改为快速充电（切换时间忽略不计）．由于行程安排，他们在服务区最多能停留1.5小时． 问题解决 (1)任务一：根据素材1，试分别对快速充电和慢速充电两种情况，写出关于的函数解析式，并分别指出自变量的取值范围． (2)任务二：当他们离开服务区时，车辆的电量能否充至？请说明理由． 12．（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，在矩形中，，，点是边上的定点，且．动点从点出发，以的速度沿的方向在矩形的边上匀速运动，最终到达点停止．设点的运动时间为秒，的面积为． (1)当点在边上运动时，求与之间的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (2)求点在整个运动过程中，与之间的函数解析式，并写出对应的自变量的取值范围； (3)当的面积为时，求的值； (4)是否存在某一时刻，使得的面积等于矩形面积的？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 倒计时13天 掌握反比例函数对应点解题技巧，顺着图象趋势分析坐标变化，稳住心态循序渐进，步步推导就能轻松突破难点、稳拿高分。 反比例函数 考情透视--把脉命题 直击重点 ►命题解码： 反比例函数是中考数学必考核心内容，题型覆盖选择、填空、解答压轴，分值稳定，考查综合性强。基础层面常考查反比例函数解析式求解，利用待定系数法代入图象上点坐标求k值；常结合象限分布、k的几何意义，考查双曲线所在象限、增减性及过双曲线上一点作坐标轴垂线形成的矩形、三角形面积计算。 中档题型多与一次函数综合，考查两函数图象交点坐标求解、利用图象比较函数值大小，求解不等式解集。压轴高频结合几何图形，与三角形、四边形结合，考查存在性问题、面积最值、动点坐标探究，融入数形结合与分类讨论思想。命题侧重灵活运用k的几何意义、坐标转化线段长度，注重和几何知识联动，既考基础概念又考综合推理，是中考拉开分值的重要模块。 ►中考前沿： 2026年中考反比例函数命题将稳基础、强综合、重素养，分值稳定在8-12分，覆盖选择、填空、解答压轴，难度梯度清晰。基础题聚焦解析式求解、k的几何意义、象限与增减性，直接考查核心概念，属于必拿分题。中档题以反比例+一次函数综合为主，考查交点坐标、函数值比较、不等式解集，强化数形结合。 压轴题将深化函数+几何融合，高频考查：①与三角形、特殊四边形结合的存在性问题（等腰/直角三角形、平行四边形）；②动点最值、面积探究；③融入折叠、旋转等几何变换，结合相似、勾股定理。命题贴近教材，无偏题怪题，重点考查坐标与线段转化、分类讨论、建模能力，强调知识迁移与综合应用，是区分高分段的关键模块。 考点抢分--核心精粹 高效速记 终极考点1   反比例函数的图像与性质（简单） k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像位置 图像分别位于第一、第三象限（x、y同号） 图像分别位于第二、第四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 图像特征 1）图像是关于直线y=x和y= -x对称的双曲线； 2）图像是关于原点对称的双曲线； 3）图像无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交. 注意 1） 反比例函数图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提． 2） 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 终极考点2   待定系数法求反比例函数解析式（重点） 1、设：设反比例函数解析式： 2、代：把已知图像上一个点的坐标 (x,y) 代入解析式 3、求：解方程，算出k的值 4、写：把求出的k代回原式，写出完整的反比例函数关系式 一句话口诀：一设、二代、三求、四写。 终极考点3   反比例函数中k的几何意义（难点） 设反比例函数：，图象上任意一点P(x,y) 1、矩形面积 过点P分别作x轴、y轴的垂线，围成矩形面积：S矩形=|k| 2、直角三角形面积 连接原点O，形成直角三角形： 3、核心要点 （1）面积永远是正数，所以必须带绝对值； （2）由面积求k时，还要看图象所在象限判断k正负；一、三象限：k>0；二、四象限：k<0 （3）不管双曲线上取哪个点，围成的矩形、三角形面积都相等。 口诀：一点作两垂，矩形等于|k|；三角折一半，符号看象限。 具体类型如下： 单系数k 一点 一垂直 结论 一点 两垂直 结论 两点一垂直 两点两垂直 双曲线 k符号相同（两条同号k值曲线+平行线） k符号不同（异号k值曲线+平行线） 真题精研--复盘经典 把握规律 题型一 反比例函数的定义 （2025·山东德州·中考真题）已知点在双曲线上，点，在双曲线上，若，则N的坐标为_______． 题型二 判断反比例函数的图像 （2025·西藏·中考真题）一个三角形花坛的面积是，它的一边a（单位：m）是这边上的高h（单位：m）的函数，此函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 题型三 判断反比例函数的增减性 （2025·江苏南京·中考真题）已知反比例函数，则当时，的最小值是____________． 题型四 判断反比例函数图像所在象限 （2025·广东广州·中考真题）若，反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 题型五 比较反比例函数值或自变量的大小 （2025·内蒙古·中考真题）已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．当时， D．当时， 解题妙法 1、先看k正负 2、判断两个点在不在同一个象限 3、同象限：按增减性直接比 4、跨象限：一、三象限的y值一定>二、四象限的y值 题型六 反比例函数系数K的几何意义 1．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为______． 2．（2025·宁夏·中考真题）函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D．3 3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 解题妙法 妙法1：见面积直接求k 1、先套公式算出 |k| 2、看图象象限定符号：一、三象限 k>0；二、四象限 k<0 口诀：面积得绝对值，象限定正负 妙法2：同双曲线上任意点，面积都相等 同一反比例函数上，不管取哪个点，作坐标轴垂线得到的矩形、三角形面积永远相等。 做题遇到动点、任意点，直接用面积相等秒杀。 妙法3：割补法求不规则图形面积 遇梯形、多边形、斜线围成图形： 1、过双曲线上关键点作x、y轴垂线 2、拆成：矩形+三角形 或 大图形减小图形 3、全部转化为用 |k| 来算，不用求坐标 题型七 求反比例函数解析式 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数的图象经过点A，是等腰直角三角形，，，则k的值为________． 2．（2025·四川·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，D为的中点．反比例函数的图象过点D，交于点E． (1)求点D的坐标和k的值； (2)延长 交x轴于点F，求的面积． 3．（2025·青海西宁·中考真题）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．下列结论错误的是（   ） A． B．与的面积相等 C．的面积是 D．当时， 解题妙法 由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对对应值或图像上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式. 题型八 一次函数与反比例函数的交点问题 1．（2025·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． (1)求出直线对应的函数表达式； (2)分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 2．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式； (2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2025·海南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、．则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 解题妙法 一、求交点坐标标准步骤 1、联立两个函数解析式 2、消去y，化成一元二次方程 3、解方程求出x，再代回求y 二、秒杀绝招：原点中心对称（必考） 一次函数过原点、或正反比例相交两点通用规律： 若两函数交于 A(m,n)、B 两点，则B坐标直接写：(-m,-n) 三、判断交点个数（判别式法） 联立整理成：ax2+bx+c=0；用判断： 1、>0：两个不同交点 2、=0：只有一个交点（相切） 3、<0：无交点，图像无相交 四、求两函数围成图形面积（万能套路） 常见：两交点+坐标轴围成三角形、四边形 1、先算出两个交点坐标 2、求一次函数与x轴、y轴交点 3、用两种方法任选其一：割补法：大图形减空白小图形；铅垂高×水平宽÷2（中考最常用） 口诀：找点、描点、分块，拆成直角三角形、梯形好计算。 题型九 实际问题与反比例函数 1．（2025·江苏南通·中考真题）如图，一块砖的，，三个面的面积比是5：3：1．如果面向下放在地上，地面所受压强为，那么面向下放在地上时，地面所受压强为_______________． 2．（2025·辽宁·中考真题）在电压不变的情况下，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系．当时，．则电流与电阻之间的函数表达式为___________． 题型十 反比例函数与几何综合 1．（2025·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和． (1)当时，直接写出的取值范围； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向左平移个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，求的面积． 2．（2025·山东淄博·中考真题）如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（   ） A．25 B．26 C． D． 3．（2025·江苏盐城·中考真题）请根据小明的数学探究活动单，完成下列任务． “变换” 研究内容 提出概念 已知点．如果点满足，那么称点是点的“变换”点． 理解概念 已知点，，求点的“变换”点． 探究性质 如图（1），已知点和点，当时， ①请在图（1）中分别画出点、对应的“变换”点、； ②研究发现：线段可由线段通过一次图形变换得到，点是点的对应点．如果是平移，请写出平移的距离；如果是轴对称或旋转，请用无刻度的直尺和圆规在图（1）中作出对称轴或旋转中心（不写作法，保留作图痕迹） 运用性质 如图（2），在平面直角坐标系中，菱形的顶点、、的坐标分别为，，，曲线是反比例函数（）图像的“变换”线，，交边于点、，直线、分别交边于点、，记、、、的面积分别为、、、，求的值． 终极预测--压轴实战 稳拿高分 1．（2026·湖南益阳·二模）如图，轴表示单词听写的总数量，轴表示正确率．，，，四个点依次描述小明同学连续四次英语单词听写的情况，其中，两点恰好在同一个反比例函数的图象上，则小明听写正确的数量最多的一次是（    ） A．第一次 B．第二次 C．第三次 D．第四次 2．（2026·重庆·模拟预测）已知反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．图像与两坐标轴相交 B．图象位于第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．图象经过点 3．（2026·河北邯郸·二模）如图，点在反比例函数的图象上， 轴于点，轴于点，，，连接，．若四边形的面积为3，则k的值为（   ）． A．6 B．9 C．10 D．12 4．（2026·天津滨海新区·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·山东临沂·一模）如图，在平面直角坐标系中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点M，与边BC交于点N（M，N不重合）．给出下面五个结论：①与的面积一定相等；②；③与的面积不可能相等；④可能是钝角三角形；⑤可能是等边三角形．上述结论中，所有正确结论的个数有（  ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 6．（2026·黑龙江绥化·一模）如图，在中，，反比例函数的图象与斜边相交于点C，且与边相交于点D．已知，则的面积为（    ）． A．3 B． C． D．2 7．（2026·山东济宁·一模）在同一直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 8．（2026·黑龙江·一模）如图，一次函数图象上有，两点，点P是反比例函数图象上第一象限内的动点，当点P在第一象限双曲线上移动时总有，则的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 9．（2026·甘肃白银·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)是轴上一点，若的面积为，求点的坐标． 10．（2026·湖北荆州·一模）如图，已知点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，经过原点，且． (1)过点分别作轴的垂线，垂足分别为，则___________． (2)若反比例函数的图象过点．则的值为___________； (3)在（2）的条件下，在轴的正半轴上是否存在一点，使为以点为直角顶点的直角三角形，若不存在，请说明理由；若存在，求出点的坐标． 11．（2026·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，经过点、点的直线与反比例函数的图象在第三象限交于点，是以为斜边的直角三角形． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图1，当点在轴的正半轴时，求的面积； (3)如图2，若平分，求点的坐标． 12．（2026·四川南充·一模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴正半轴交于点A，． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)点C是AB延长线上一点，过点C作轴于点E，交反比例函数的图象于点D，当时，求值． 倒计时12天 二次函数题型虽多变，只要牢记配方、顶点、对称轴三大技巧，沉稳审题、分步拆解，稳住心态就能突破难关，每一步推导都在为满分铺路！ 二次函数 考情透视--把脉命题 直击重点 ►命题解码： 二次函数是中考数学核心重难点，占比约15%-20%，常作为压轴题，区分度高。基础题考查解析式（一般式、顶点式、交点式）、开口、对称轴、顶点、增减性与最值，题型涵盖选择、填空、简单解答。中档题侧重函数与方程、不等式结合，考查交点、判别式、区间最值及参数范围。压轴题以二次函数为载体，融合三角形、四边形、圆等几何图形，考查动点、最值、存在性（等腰/直角三角形、平行四边形）、图形变换（平移、旋转、翻折），强调数形结合、分类讨论、代数推理，梯度分明、综合度强。 ►中考前沿： 2026年中考二次函数命题将延续“基础+综合+创新”风格，紧扣新课标，强化素养立意。基础部分稳定考查解析式、图像性质与简单应用，突出三式互化与核心性质。综合题深化函数与几何融合，重点考查最值（线段、面积）、特殊图形存在性、动态几何与隐圆，加大分类讨论与代数推理力度。创新题融入新定义、跨学科情境（如运动轨迹、利润优化），考查迁移与建模能力。整体难度梯度更合理，注重思维过程与规范表达，强调在复杂情境中活用数形结合、转化与化归思想，稳中求新、重思维轻套路。 考点抢分--核心精粹 高效速记 终极考点1   二次函数解析式的三种形式（简单） 1、一般式：y=ax²+bx+c (a≠0) 适用：已知抛物线上任意3个点坐标；c是抛物线与y轴交点纵坐标，交点(0，c) 2、顶点式：y=a(x-h)²+k (a≠0) 顶点坐标：(h，k) 对称轴：直线x=h 适用：已知顶点、最值、对称轴 平移口诀：左加右减，上加下减 3、交点式（两根式）：y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0) x₁、x₂是抛物线与x轴两个交点横坐标 交点坐标：(x₁，0)、(x₂，0) 适用：已知抛物线与x轴两个交点 终极考点2   二次函数的图象及性质（重点） 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时，y最小值= 当x=–时，y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小 终极考点3   二次函数图像的平移（简单） 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 平移规律：上加下减，左加右减. 终极考点4   二次函数与一元二次方程考点（重点） 1、核心关系 二次函数：y=ax²+bx+c 一元二次方程：ax²+bx+c=0 抛物线与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程的实数根。 2、判别式Δ=b²-4ac Δ＞0：方程有两个不相等实数根，抛物线与x轴有2个交点 Δ=0：方程有两个相等实数根，抛物线与x轴有1个交点（顶点在x轴） Δ＜0：方程无实数根，抛物线与x轴无交点 3、韦达定理（根与系数关系） 方程两根x₁、x₂ x₁+x₂ = -b/a x₁·x₂ = c/a 终极考点5   二次函数图象与系数a、b、c的关系（难点） 1、系数a、b、c的作用 a的特征与作用 b的特征与作用(a与b“左同右异”） c的特征与作用 2、二次函数图象题符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶ （1）a、b、c单个字母的判断，a 由开口判断，b由对称轴判断（左同右异），c由图象与y轴交点判断; （2）含有a、b两个字母时，考虑对称轴; （3）含有a、b、c三个字母，且a 和b系数是平方关系，给x取值，结合图象判断， （4）含有b2和 4ac，考虑顶点坐标，或考虑△. （5）其他类型，可考虑给x取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图象增减性进行判断。 真题精研--复盘经典 把握规律 题型一 二次函数的图像与性质 1．（2025·山东东营·中考真题）二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，…，在y轴的正半轴上，点，，…，，点，，…，在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为______． 2．（2025·江苏镇江·中考真题）在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与二次函数（、为常数）的图像交于点、（点在点的左侧），点在直线上，当点满足时，我们称点是该二次函数图像的生长点． (1)二次函数的图像如图所示． ①在的不同取值2、、5中，使该函数图像有生长点的的值是_____； ②已知是该函数图像的生长点，猜想的取值范围，并说明理由． (2)二次函数（h、k为常数）的图像经过点，若是该函数图像的生长点，求该函数的表达式． 3．（2025·山东威海·中考真题）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 题型二 二次函数的图像与性质 1．（2025·河南·中考真题）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 2．（2025·江苏南京·中考真题）（1）将函数的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与轴交点的纵坐标是___________； （2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上．设平移后的函数图象的顶点的横坐标为，与轴交点的纵坐标为，随的变化而变化． ①若，当时，求的取值范围． ②设函数的图象与轴、轴的交点分别为，，点在线段上．当取不同值时，下列关于的变化趋势的描述：（a）随的增大而增大；（b）随的增大而减小；（c）随的增大先增大后减小；（d）随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是__________．（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 3．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在中，，，．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中大致反映与之间函数关系的是（   ） A．B．C．D． 解题妙法 1、系数a、b、c符号判断技巧 （1）a的判断：开口向上a＞0，开口向下a＜0；|a|越大，抛物线开口越窄。 （2） b的判断：对称轴x=-b/2a，遵循“左同右异”。对称轴在y轴左侧，a、b同号；对称轴在y轴右侧，a、b异号；对称轴为y轴，b=0。 （3） c的判断：抛物线与y轴交于正半轴，c＞0；交于原点，c=0；交于负半轴，c＜0。 2、特殊值代入秒判正负 （1） x=1时，y=a+b+c，看图像上x=1对应的点，在x轴上方则a+b+c＞0，下方则＜0，在轴上则=0。 （2） x=-1时，y=a-b+c，同理根据图像对应点位置判断正负。 （3） x=2、x=-2等特殊值，直接代入看图像点位即可快速判断。 题型三 二次函数图像与各项系数符号 （2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴相交于点，且抛物线的对称轴为直线．给出以下4个结论：①；②对于任意实数m，的值不小于2；③若P是对称轴上的一点，则的最小值为；④若点在抛物线上，满足且，则一定有．其中，所有正确结论的序号为______． 题型四 二次函数的最值 1．（2025·江苏淮安·中考真题）若，则的最大值是______． 2．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得．当面积最大时，的长等于_____． 解题妙法 三种常见题型解法 1、全体实数范围内求最值：直接用顶点纵坐标求最值 a＞0，有最小值，无最大值；a＜0，有最大值，无最小值。 2、给定自变量取值范围求最值 第一步：求对称轴。 第二步：看对称轴在给定区间内还是区间外。 对称轴在区间内：最值在顶点处，另一个最值在区间两个端点中取。 对称轴在区间左边：整个区间单调增减，最值直接看区间两端点。 对称轴在区间右边：整个区间单调增减，最值直接看区间两端点。 3. 实际应用最值问题 销售利润、面积、拱桥、投篮等。 先列二次函数解析式，再确定自变量实际取值范围。 按区间最值方法求解，最后舍去不符合实际的解。 题型五 待定系数法求二次函数的解析式 1．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 2．（2025·广东广州·中考真题）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题． 发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置 数学抽象绘制图形 隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图2所示． 图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成． 信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． 实地考察数据采集 斜坡的坡角为，并查得：， ， ． 隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米． 问题解决： (1)如图2，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米）； (2)在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (3)限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到米）． 3．（2025·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线过，，与轴交于点，顶点为． (1)求，的值． (2)设抛物线过点，，且与轴交于点，顶点为． ①求的值； ②当四边形是直角梯形时，求该直角梯形中最小内角的正弦值． 题型六 二次函数图像的平移 （2025·江苏常州·中考真题）如图：在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段上一点，C与B不重合．二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C．将该二次函数的图像平移后得到新抛物线，、分别是B、C的对应点，且点落在x轴正半轴上，点的纵坐标为． (1)______； (2)求点C的坐标； (3)已知新抛物线与y轴交于点，点、在新抛物线上，若对于满足的任意实数，总成立，求实数m的取值范围． 题型七 求抛物线与坐标轴的交点坐标 （2025·四川雅安·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点Q的坐标； (3)点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 题型八 二次函数与一元二次方程 1．（2025·河北·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为．抛物线经过点．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为，． (1)求，的值及点的坐标． (2)点在上，到轴的距离为．判断能否经过点，若能，求的值；若不能，请说明理由． (3)直线交于点，点在线段上，且点的横坐标是点横坐标的一半． ①若点与点重合，点恰好落在上，求的值； ②若点为直线与的唯一公共点，请直接写出的值． 2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③； ④． 其中错误的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型九 二次函数与不等式 1．（2025·四川德阳·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）过点，且，该抛物线与直线（k，c是常数，）相交于两点（点A在点B左侧）．下列说法：①；②；③点是点A关于直线的对称点，则；④当时，不等式的解集为．其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·江苏连云港·中考真题）已知二次函数，为常数． (1)若该二次函数的图像与直线有两个交点，求的取值范围； (2)若该二次函数的图像与轴有交点，求的值； (3)求证：该二次函数的图像不经过原点． 题型十 实际问题与二次函数 1．（2025·四川·中考真题）一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为_____． 2．（2025·黑龙江大庆·中考真题）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）． (1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本； (2)求当a为何值时，每天的利润W最大． 3．（2025·四川巴中·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球高度与小球运动时间之间的关系式是．有下列结论： ①小球运动时间是时，高度为； ②小球运动中高度可以是； ③当时，高度h随着时间t的增大而减小． 其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型十一 图形运动问题 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（    ） A．B．C． D． 2．（2025·江苏南通·中考真题）如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（   ） A．B．C．D． 终极预测--压轴实战 稳拿高分 1．（2026·四川宜宾·二模）若时，二次函数的最小值为，则的值是（    ） A． B． C． D．5 2．（2026·福建泉州·一模）已知抛物线与x轴交于A，B两点，O为原点，点M在抛物线上且不与A，B重合，过点M作交抛物线的对称轴于点N，若，则的长度为（    ） A．1 B． C．2 D．4 3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在菱形中，，，动点E从点A出发沿边匀速运动，运动到点C时停止，过点E作的垂线l，在点E运动过程中，垂线l扫过菱形（即阴影部分）的面积为y，点E运动的路程为．下列图象能反映y与x之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·安徽芜湖·二模）定义：在平面直角坐标系中，对于某函数图象上的一点，先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，若点也在该函数图象上，则称点为该函数图象的“倍平点”．例如，对于上一点，先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，也在图象上，则称点为图象的“倍平点”．则函数图象的“倍平点”的坐标是（   ） A． B． C．或或 D．或 5．（2026·江苏南通·一模）二次函数的图象过点，，．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·江苏无锡·二模）规定：对于某个函数，若在自变量的取值范围为时，对应的函数值全部满足，其中是时对应的函数值，其中是时对应的函数值，则称为该函数的融值区间．下列结论正确的是（    ） ①是函数的融值区间；     ②函数不存在融值区间； ③是函数的融值区间；     ④若是函数的融值区间，则． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 7．（2026·江苏宿迁·一模）如图，抛物线的对称轴是直线，其中抛物线图像与x轴负半轴交点横坐标，则以下五个结论中，正确的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2026·江苏苏州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)作直线，点D是直线上方抛物线上的一动点，连接与直线交于点E，求的最大值及此时点D的坐标； (3)将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线，点P是抛物线上一个动点，作以点P为中点的线段，且轴，．设点P的横坐标为m，若线段与抛物线有交点，求m的取值范围． 9．（2026·江苏泰州·一模）如图1，已知抛物线交x轴于点，点，交y轴于点C．过点C作，交抛物线于点D． (1)此抛物线对称轴为________；点D坐标为________；________，________； (2)点E是线段上一动点，连接，若平分，则点E的坐标为________； (3)将抛物线图象沿x轴正方向平移m个单位（）得到新抛物线的图象，对于新抛物线图象上的一点，当时，的最小值为． ①求m的值； ②如图2，在（2）的条件下，连接，点M为线段上一动点，过点M作y轴的平行线，交抛物线的图象于点N，当点M从左向右运动时线段的长度逐渐减小，求M的横坐标为t的取值范围． 10．（2026·上海宝山·二模）【问题背景】 图1是一个矿洞，为了使矿洞更牢固，某工程队想要搭建矩形支撑架． 【数据测量】 图2是矿洞横截面的示意图，截面是轴对称图形，外轮廓线由上方抛物线L和下方的矩形组成，矩形的边，，E是抛物线L的顶点，且点E到的距离为，矩形的边为支撑架的架骨，点F、G在边上，点M、N在抛物线L上． 【问题解决】 如图3，工程队以矩形的顶点B为原点，以边所在的直线为x轴，以边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求顶点E的坐标及抛物线L的函数表达式； (2)当支撑架为正方形时，求架骨的长； (3)为满足宽为，高为的矿车能够在支撑架内通行（矿车距离上方、两侧支撑架分别需预留的安全距离），求此时的取值范围． 11．（2026·广东江门·一模）代数推理 我们约定：若一个点的纵坐标是横坐标的一半，则称这个点为“减半点”，若一个函数图象上至少存在一个“减半点”，则称该函数为“减半函数”． (1)函数是“减半函数”吗？如果是，请求出它的一对“减半点”，如果不是，请说明理由； (2)求函数图像上的“减半点”； (3)若抛物线：图像上存在唯一的“减半点”． ①求抛物线的解析式； ②将抛物线向上平移个单位长度，得到新抛物线，作直线交抛物线于点，作直线交抛物线于点，连接，若直线的“减半点”恰好为线段的中点，求的值． 12．（2026·广东广州·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，若点在抛物线上（异于顶点），且满足，则称点为该抛物线的“点”，为该抛物线的“系数”． (1)写出抛物线的顶点坐标，判断是否为该抛物线的“点”，并说明理由； (2)已知抛物线：过原点． ①当时，求该抛物线的“系数”； ②若抛物线的“系数”为，当时，求的取值范围． 13．（2026·广东·一模）综合与探究 【问题情景】 如图1，抛物线：与轴交于点． 【猜想证明】 (1)请你判断抛物线与轴有几个交点，并说明理由； 【深入探究】 (2)点，在抛物线上，当时，记函数2的最大值和最小值分别为和，且，求的取值范围； 【拓展延伸】 (3)在（2）的条件下，如图2，抛物线由抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得，且与轴分别交于点，，与轴交于点，直线为的对称轴．点为上一点，且点在直线的右侧的第一象限内，过点作于点，作交直线CD于点，过点作于点．当直线将四边形的面积分成的两个部分时，求此时点的坐标． 倒计时10天 攻克函数综合题，牢记解析式、图像性质、方程关联三大解题技巧，善用判别式、对称轴、区间最值秒杀方法，步步推导、规范步骤不跳步；考场保持沉稳心态，不畏惧压轴、不慌乱卡题，遇难题拆分考点、循序渐进，遇基础细心审题、稳扎稳打，以平和心态从容作答，用扎实功底稳稳拿分。 函数综合 考情透视--把脉命题 直击重点 ►命题解码： 中考函数综合题以二次函数为核心载体，融合一次函数、反比例函数与几何图形（三角形、四边形），压轴题常见三问梯度设计。第一问基础，求解析式、坐标轴交点或顶点坐标；第二问中等，考线段长、面积最值或动点坐标；第三问高难，侧重特殊图形（等腰、直角三角形、平行四边形）存在性探究，强化数形结合、分类讨论、方程建模思想。命题注重代数运算与几何直观结合，步骤规范与逻辑严密，是区分高分段的关键题型。►中考前沿： 2026年中考函数综合题将延续基础扎实、综合创新、素养导向风格。二次函数仍为压轴核心，强化与几何、实际情境融合，新增跨模块综合（如函数+相似+圆），降低纯计算难度，提升思维深度。动点、动线、图形变换（折叠、旋转）成热点，侧重最值、存在性与路径规划问题。命题贴近生活（校园规划、经济应用），强调建模与解题过程，步骤分占比提高，鼓励一题多解，考查知识迁移与创新能力。 考点抢分--核心精粹 高效速记 终极考点1   函数综合（难点） 1、先定函数解析式：用待定系数法，三点、顶点、交点任选合适形式，先把函数式子求出来。 2、坐标化一切：把所有点都设成坐标，线段、面积、角度全部转化为坐标计算，少用几何肉眼看图。 3、看图定性质：利用开口、对称轴、增减性、与坐标轴交点、判别式判断符号和范围。 4、遇动点先设元：动点设横坐标为x，代入函数表示纵坐标，用含x式子表示所有线段。 5、复杂问题拆分做 压轴分三问： 第一问求解析式、坐标； 第二问求线段、面积、最值； 第三问存在性、特殊图形、最短路径。 一问一问拆解，不整题硬啃。 6、存在性必分类讨论：等腰、直角三角形、平行四边形，按顶点分类，不漏情况、不重解。 7、最后检验取舍：求出坐标一定要检验：是否三点共线、是否在图像上、是否符合自变量范围。 终极考点2    函数与几何综合（难点） 考点1：坐标表示与线段长度计算（基础必考） 1、考法 （1）已知函数解析式，求定点、交点、顶点坐标；（2）抛物线上、直线上设动点，用含字母式子表示动点坐标； （3）求水平、竖直、斜着的线段长度。 2、解题方法 （1）定点坐标：直接代入x求y，或令x=0、y=0求与坐标轴交点； （2）动点设法：设横坐标为x，代入函数式子，直接写出纵坐标，用(x, y)表示动点； （3）线段速算：水平线段：右边x － 左边x；竖直线段：上边y － 下边y；斜线段：用两点间距离公式计算； （4）所有几何边长，全部转化为坐标相减，不用猜图。 考点2：函数几何中的面积问题（中档必考） 1、考法 （1）求坐标系中三角形、四边形面积；（2）动点运动，求面积最大值、最小值；（3）已知面积，反求点的坐标。 2、解题方法 （1）铅垂高、水平宽法（压轴万能）：三角形面积 =×水平宽×铅垂高；不用割补，直接用坐标就能算。 （2）割补法：不规则图形，补成矩形或大三角形，减去周围小三角形面积。 （3）面积最值：列出面积关于x的二次函数，利用顶点、对称轴求最值，一定要注意x的实际取值范围。 考点3：动点最值与最短路径（高频压轴） 1、考法 （1）一条线段的最大、最小值；（2）两条线段之和最小；（3）三角形、四边形周长最小值。 2、解题方法 （1）将军饮马模型：定点找关于对称轴、x轴、y轴的对称点，两点之间线段最短，连线与对称轴交点就是所求动点。 （2）竖直/水平线段最值：利用二次函数增减性、顶点高低直接判断。 （3）周长最小：把周长问题转化为两条线段和最小，用对称法解决。 考点4：特殊三角形存在性问题（重难点） 1、考法：在抛物线上或直线上，是否存在一点，能组成：等腰三角形、直角三角形 2、解题方法 （1）等腰三角形 分三类讨论：① 第一条边为底边 ② 第二条边为底边 ③ 第三条边为底边；用两点距离公式列两边相等方程，解出坐标。 （2）直角三角形 分三类讨论：① 第一个点为直角顶点 ② 第二个点为直角顶点 ③ 第三个点为直角顶点；用勾股定理：两直角边平方和=斜边平方，列方程求解。 （3）最后一定要检验：舍去三点共线、不在图像上的点。 考点5：特殊四边形存在性（中考压轴大题必考） 1、考法：是否存在动点，四点构成：平行四边形、矩形、菱形 2、解题方法 （1）平行四边形（最快方法） 利用对角线中点坐标相同：两条对角线的中点横坐标相等、纵坐标相等，直接列方程求点坐标，不用算边长。 （2）矩形：先满足平行四边形，再加条件：邻边垂直 或 对角线相等。 （3）菱形：先满足平行四边形，再加条件：一组邻边长度相等。 真题精研--复盘经典 把握规律 题型一 坐标表示与线段长度计算 （2025·广西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点A的坐标为，则第三级阶梯的高（   ） A． B． C． D． 题型二 函数几何中的面积问题 （2025·四川广元·中考真题）如图①，有一水平放置的正方形，点D为的中点，等腰满足顶点A，B在同一水平线上且，点B与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（   ） A． B． C．当时， D．的周长为 题型三 动点问题 （2025·四川眉山·中考真题）如图1，在中，，点D在上，，动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．在3个时刻，，对应的正方形的面积均相等．下列4个结论：①当时，；②点P在线段上时；③；④．其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型四 特殊三角形存在性问题 （2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 题型五 特殊四边形存在性问题 （2025·四川雅安·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点Q的坐标； (3)点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 题型六 函数与图形变换综合 （2025·山东济南·中考真题）二次函数的图象经过，两点，顶点为G． (1)求二次函数的表达式和顶点G的坐标． (2)如图1，将二次函数的图象沿x轴方向平移个单位长度得到一个新函数的图象，当时，新函数的最大值是8，求n的值． (3)如图2，将二次函数的图象沿直线平移，点A，G的对应点分别为，，连接，，线段与交于点M．若，请直接写出点的坐标． 终极预测--压轴实战 稳拿高分 1．（2026·天津滨海新区·一模）四边形中，，，，，．动点M从点B出发，以的速度沿边，边向终点D运动；动点N从点C同时出发，以的速度沿边向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：①当时，；②当时，的最大面积为；③当t为和时，满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．（2026·河南周口·一模）如图，正方形的边长为4，点P从点A出发，沿匀速运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t秒， 的面积为S，则S与t的函数图象大致是（    ） A．B．C．D． 3．（2026·天津·一模）如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动，运动到终点停止运动，当点出发后，以为边做正方形，使点，始终在边同侧，设点运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为．有下列结论： ①长为； ②当时，关于的函数关系式为； ③当正方形的对称中心与点重合时，． 其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·四川绵阳·一模）如图，是动点，分别位于轴的正半轴上；四边形是矩形，函数的图像与边交于点，与边交于点与不重合．以下四个结论：①与的面积一定相等；②与的面积可能相等；③一定是锐角三角形；④可能是等边三角形．其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（2026·安徽合肥·一模）如图1，在平行四边形中，动点E从点A出发，在平行四边形的边上沿路径A→B→C作匀速运动，运动到点C时停止．设点E的运动路程为x，线段的长度为y，y与x的函数图象如图2所示．则点C到线段的距离为（   ） A． B．4.4 C． D．5.6 6．（2026·河南周口·一模）如图1，实心小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度（单位：）与弹簧被压缩的长度（单位：）之间的函数关系近似看作二次函数，其图象如图2所示．已知为该抛物线的顶点，有一条平行于轴的直线，且．当小球的速度不小于时，弹簧被压缩的长度的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 7．（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（2019·四川巴中·一模）如图，对称轴为直线x＝的抛物线经过点A(6，0)和B(0，4)． (1)求抛物线表达式及顶点坐标； (2)设点E(x，y)是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)在(2)条件下，是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（2026·河南许昌·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若该抛物线经过点，求该抛物线的对称轴及顶点坐标； (2)若点，，抛物线与线段有两个交点，求b的取值范围； (3)在（1）的条件下，，是抛物线上两点，若，直接写出m的取值范围． 10．（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图，二次函数图象的顶点在轴上，与轴交于点，二次函数与的对称轴相同，且经过点和点，点的横坐标为，直线与轴交于点． (1)求二次函数的解析式： (2)当时，直线与二次函数的图象从左到右依次交于点，．若，求的值： (3)二次函数与二次函数组成新函数． ①已知点，点，线段与有2个交点时，请直接写出的值或取值范围： ②当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $