7.2 平行线 讲义 -2025-2026学年人教版数学七年级下册

7.2 平行线 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】平行线概念的理解 4 【题型2】平行线的基本事实及其推论 5 【题型3】平行线的判定 7 【题型4】平行线的性质 11 【题型5】平行线的性质与判定综合 14 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 1．平行线的概念： 在同一平面内，当直线a，b不相交时，我们说直线a与b互相平行（parallel），记作“a//b”．读作：直线a平行于直线b． 2．平行线的画法 一落：把三角尺一边落在已知直线上； 二靠：用直尺紧靠三角尺的另一边； 三推：沿直尺推动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点； 四画：沿三角尺过已知点的边画直线． 3．平行线的基本事实Ⅰ及其推论 （1）基本事实Ⅰ：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． （2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 4．平行线的判定 （1）判定方法1（基本事实Ⅱ）： 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：同位角相等，两直线平行． （2）判定方法2： 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行． （3）判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． （4）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 5．平行线的性质 （1）性质1： 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等． 符号语言为：如果a∥b，那么∠1=∠4，如图． （2）性质2： 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 符号语言为：如果a∥b，那么∠2=∠4，如图． （3）性质3： 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 符号语言为：如果a∥b，那么∠2+∠3=180°，如图． xix   提升方法技能 思 维 进 阶 1．平行线： （1）平行线没有公共点． （2）在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行，应特别注意“在同一平面内”这一条件，重合的直线视为一条直线． （3）平行线定义满足三个条件：一是在同一平面内，二是两条直线，三是不相交，三者缺一不可． （4）线段或射线平行是指它们所在的直线平行． 2．平行线的判定和性质的区别 平行线的性质是由两条直线的位置关系（平行）得出角的数量关系； 平行线的判定是由角的数量关系得出两条直线的位置关系（平行）． xix   触类方能旁通 举 一 反 三 【题型1】平行线概念的理解 　（2025春•甘孜州期末）在同一平面内，两直线可能的位置关系是（　　）典例 A．相交 B．平行 C．相交或平行 D．相交、平行或垂直 【答案】C 【分析】根据平面内两直线的位置关系，作出判断． 【解答】解：平面内，两直线的位置关系是相交或平行（其中，垂直是相交的特例）． 故选：C． 方法点拨 （1）在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行． （2）线段或射线平行是指它们所在的直线平行． 【变式1】　（2024春•肇源县月考）下列说法正确的是（　　） A．同一个平面内，不相交的两条线段是平行线 B．同一个平面内，两条直线不相交就重合 C．同一个平面内，没有公共点的两条直线是平行线 D．不相交的两条直线是平行线 【答案】C 【分析】根据平行线的定义选择． 【解答】解：A、应该是不相交的两条直线，故错误； B、还有平行的情况，故错误； C、正确； D、应该是在同一平面内，故错误． 故选：C． 【变式2】　（2025春•锡林郭勒盟月考）下列生活实例中：①交通道路上的斑马线；②天上的彩虹；③百米跑道线；④一段平直的火车铁轨线．其中属于平行线的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平行线的定义即可确定． 【解答】解：属于平行线的有：①③④，共3个， 故选：C． 【变式3】　（2024春•招远市期末）同一平面内不重合的两条直线的位置关系有（　　） A．相交、垂直 B．相交、平行 C．垂直、平行 D．相交、垂直、平行 【答案】B 【分析】根据同一平面内的直线有相交与平行两种位置关系即可解答． 【解答】解：同一平面内的两直线只有相交与平行两种位置关系． 故选：B． 【题型2】平行线的基本事实及其推论 　（2025春•泸县校级期中）下列说法正确的是（　　）典例 A．经过一点有一条直线与已知直线平行 B．经过一点有无数条直线与已知直线平行 C．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【分析】平行线公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【解答】解：根据平行线公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可判断只有D选项正确． 故选：D． 方法点拨 强调“经过直线外一点”，而非直线上的点；“有且只有”强调直线的存在性和唯一性． 【变式1】　（2025春•玉田县期中）如图，过点A画直线l的平行线，能画（　　） A．两条以上 B．2条 C．1条 D．0条 【答案】C 【分析】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【解答】解：因为经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 所以如图，过点A画直线l的平行线，能画1条． 故选：C． 【变式2】　（2025春•安达市校级期中）如图，AB∥CD，过点E画EF∥AB，则EF与CD的位置关系是EF∥CD ，理由是　平行于同一直线的两直线互相平行　 ． 【答案】EF∥CD；平行于同一直线的两直线互相平行 【分析】根据平行公理解答． 【解答】解：EF与CD的位置关系是EF∥CD， 理由是：平行于同一直线的两直线互相平行． 故答案为：EF∥CD；平行于同一直线的两直线互相平行． 【变式3】　（2025春•博兴县期末）如图所示是我们常见的马路标线，工人师傅在画线时要保证中间的线与两边的线保持平行，小明认为我们已知马路两边的线是互相平行的，只要中间的线与两边中任意一条线平行，那么它就一定与另一条线平行，这其中的数学原理是 　平行于一条直线的两条直线互相平行　 ． 【答案】平行于一条直线的两条直线互相平行． 【分析】根据平行公理解答即可． 【解答】解：中间的线与两边其中任意一条线平行，那么它就一定与另一条线平行，这其中的数学原理是平行于一条直线的两条直线互相平行， 故答案为：平行于一条直线的两条直线互相平行． 【题型3】平行线的判定 　（2025秋•江都区期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（　　）典例 A．∠A＝∠3 B．∠A+∠2＝180° C．∠1＝∠4 D．∠1＝∠A 【答案】D 【分析】利用平行线的判定定理，逐一判断，容易得出结论． 【解答】解：A、因为∠A＝∠3，所以AB∥DF（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意． B、因为∠A+∠2＝180，所以AB∥DF（同旁内角互补，两直线平行），故本选项不符合题意． C、因为∠1＝∠4，所以AB∥DF（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意． D、因为∠1＝∠A，所以AC∥DE（同位角相等，两直线平行），不能证出AB∥DF，故本选项符合题意． 故选：D． 方法点拨 判定平行线的思路： （1）定：确定已知条件是位置关系还是数量关系； （2）选：若已知条件是位置关系，则用平行公理的推论证明；若已知条件是数量关系，则选用平行线的3个判定方法证明． 【变式1】　（2025秋•秦淮区期末）如图，下列条件中：①∠1＝∠C，②∠2＝∠C，③∠BAC+∠C＝180°，④∠ABE+∠2＝180°．能判断AB∥CD的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可． 【解答】解：①由同位角相等，两直线平行判定AB∥CD，故①符合题意； ②由同位角相等，两直线平行判定AC∥DE，不能判定AB∥CD，故②不符合题意； ③由同旁内角互补，两直线平行判定AB∥CD，故③符合题意； ④由对顶角的性质得到∠2和∠ABE的对顶角互补，由同旁内角互补，两直线平行判定AB∥CD，故④符合题意． 故能判断AB∥CD的有3个． 故选：C． 【变式2】　（2025春•广饶县期中）AB⊥BC，∠1+∠2＝90°，∠2＝∠3．BE与DF平行吗？为什么？ 解：BE∥DF．理由如下： ∵AB⊥BC，（ 　已知　 ） ∴∠ABC＝ 　90　 °， 即∠3+∠4＝ 　90　 °， 又∵∠1+∠2＝90°，（ 　已知　 ） 且∠2＝∠3， ∴　∠1　 ＝ 　∠4　 ，（ 　等角的余角相等　 ） ∴BE∥DF．（ 　同位角相等，两直线平行　 ） 【答案】已知；90；90；已知；∠1；∠4；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行． 【分析】由垂直的定义可得出∠ABC＝90°，进而可得出∠3+∠4＝90°，结合∠1+∠2＝90°，且∠2＝∠3可得出∠1＝∠4，再利用“同位角相等，两直线平行”可得出BE∥DF． 【解答】解：BE∥DF．理由如下： ∵AB⊥BC（已知）， ∴∠ABC＝90°， 即∠3+∠4＝90°， 又∵∠1+∠2＝90°（已知）， 且∠2＝∠3， ∴∠1＝∠4（等角的余角相等）， ∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：已知；90；90；已知；∠1；∠4；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行． 【变式3】　（2025春•茂名期中）如图，已知∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，∠1＝∠3，试说明：AB∥DC． 【答案】见试题解答内容 【分析】由条件∠ABC＝∠ADC和角平分线的定义，可求得∠2＝∠3，可证明AB∥CD． 【解答】证明：∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC， ∴∠ABC＝2∠1，∠ADC＝2∠2， ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠1＝∠2， ∵∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴AB∥CD． 【题型4】平行线的性质 　（2025秋•建邺区期末）一张长方形纸条折成如图的形状，若∠1＝50°，则∠2＝　　 °．典例 【答案】80°． 【分析】由折叠可得，∠3＝∠1+2，再根据平角的定义，即可得到∠2的度数． 【解答】解：如图， 由折叠可知：∠3＝∠1+∠2， ∵∠1+∠3＝180°， ∴2∠1+∠2＝180°， ∵∠1＝50°， ∴∠2＝80°， 故答案为80． 方法点拨 只有在“两条平行线被第三条直线所截”的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论，这是平行线特有的性质． 【变式1】　（2025秋•都昌县期末）如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°．求∠AGD的度数． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据平行线的性质与判定即可求出答案 【解答】解：∵EF∥AD， ∴∠2＝∠3， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3 ∴DG∥AB， ∴∠BAC+∠AGD＝180°， ∴∠AGD＝110° 【变式2】　（2025秋•鲁山县期末）已知：如图，∠BAP+∠APD＝180°，∠1＝∠2．求证：∠E＝∠F． 【答案】见试题解答内容 【分析】已知∠BAP与∠APD互补，根据同旁内角互补两直线平行，可得AB∥CD，再根据平行线的判定与性质及等式相等的性质即可得出答案． 【解答】证明：∵∠BAP与∠APD互补， ∴AB∥CD．（同旁内角互补两直线平行）， ∴∠BAP＝∠APC（两直线平行，内错角相等）， ∵∠1＝∠2（已知） 由等式的性质得： ∴∠BAP﹣∠1＝∠APC﹣∠2， 即∠EAP＝∠FPA， ∴AE∥FP（内错角相等，两直线平行）， ∴∠E＝∠F（由两直线平行，内错角相等）． 【变式3】　（2025秋•长清区期末）如图，若AB∥CD，CE平分∠DCB，且∠B+∠DAB＝180°．证明：∠E＝∠3． 【答案】见试题解答内容 【分析】由角平分线的性质和平行线的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】证明：∵CE平分∠DCB， ∴∠1＝∠2， ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠3， ∵∠B+∠DAB＝180°， ∴DE∥BC， ∴∠E＝∠1， ∴∠E＝∠3． 【题型5】平行线的性质与判定综合 　（2025春•江岸区校级月考）如图，已知∠BDC＝∠FEC，∠DBE+∠AFE＝180°．典例 （1）求证：AF∥BE； （2）若BE平分∠FEC，FA⊥MC于点A，且∠BDC＝64°，求∠C的度数． 【答案】（1）见解析； （2）58°． 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行可判定BD∥EF，得到∠DBE＝∠BEF，等量代换得出∠BEF+∠AFE＝180°，即可根据同旁内角互补，两直线平行得解； （2）由FA⊥MC于A，AF∥BE得出∠C+∠BEC＝90°，再根据角平分线的定义及外角性质即可得解． 【解答】（1）证明：∵∠BDC＝∠FEC， ∴BD∥EF， ∴∠DBE＝∠BEF， ∵∠DBE+∠AFE＝180°， ∴∠BEF+∠AFE＝180°， ∴AF∥BE； （2）解：∵FA⊥MC于A， ∴∠FAB＝90°， 由（1）知AF∥BE， ∴∠EBC＝∠FAB＝90°， ∴∠C+∠BEC＝90°， ∵BE平分∠FEC，∠DBE＝∠BEF， ∴∠DBE＝∠BEF＝∠BEC， ∵∠DBE+∠BED＝∠BDC＝64°， ∴∠BEC＝32°， ∴∠C＝90°﹣32°＝58°． 方法点拨 平行线的性质是由两条直线的位置关系（平行）得出角的数量关系；平行线的判定是由角的数量关系得出两条直线的位置关系（平行）． 【变式1】　（2025春•酒泉期末）如图，已知BE⊥AC，FG⊥AC，垂足分别为E，G，∠1＝∠2，你能判定∠ADE与∠ABC的大小关系吗？并请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】结论：∠ADE＝∠ABC，理由为：由BE与FG都与AC垂直，利用垂直定义得到一对直角相等，利用同位角相等两直线平行得到FG与BE平行，再利用两直线平行同位角相等得到∠2＝∠3，而∠1＝∠2，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到DE与BC平行，再利用两直线平行同位角相等即可得证． 【解答】解：结论是∠ADE＝∠ABC，理由为： ∵BE⊥AC，FG⊥AC（已知）， ∴∠CGF＝∠CEB， ∴FG∥BE（同位角相等，两直线平行）， ∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）， 又∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠1＝∠3（等量代换）， ∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）， ∴∠ADE＝∠ABC（两直线平行，同位角相等）． 【变式2】　（2025春•黄梅县校级月考）若两条平行线被第三条直线所截，一组内错角的平分线互相平行．如图，已知AB∥CD，MN平分∠BMH，GH平分∠CHM，求证：MN∥GH． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据角平分线的定义得∠1∠BMH，∠2∠CHM，再由两直线平行，内错角相等得∠BMH＝∠CHM，则∠1＝∠2，然后根据平行线的判定方法即可得到MN∥GH． 【解答】证明：∵MN平分∠BMH，GH平分∠CHM， ∴∠1∠BMH，∠2∠CHM， ∵AB∥CD， ∴∠BMH＝∠CHM， ∴∠1＝∠2， ∴MN∥GH． 【变式3】　（2025春•新民市期末）完成下列证明： 如图1，在四边形ABCD中．点E为AB延长线上一点，点F为CD延长线上一点，连接EF，交BC于点G，交AD于点H，若∠1＝∠2，∠A＝∠C，求证：∠E＝∠F． 证明：∵∠1＝∠3（ 　对顶角相等　 ） 又∵∠1＝∠2（已知）． ∴　∠2＝∠3　 （ 　等量代换　 ）． ∴AD∥BC（ 　同位角相等，两直线平行　 ）． ∴∠A+∠4＝180°（ 　两直线平行，同旁内角互补　 ）． ∵∠A＝∠C（已知）， ∴∠C+∠4＝180°（等量代换）． ∴AB∥CD （同旁内角互补，两直线平行）． ∴　∠E＝∠F （ 　两直线平行，内错角相等　 ） 【答案】对顶角相等；∠2＝∠3；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；AB∥CD；∠E＝∠F；两直线平行，内错角相等． 【分析】结合对顶角相等可求得∠2＝∠3，则可判定AD∥BC，从而得∠A+∠4＝180°，即有∠C+∠4＝180°，可判定AB∥CD，即有∠E＝∠F． 【解答】证明：∵∠1＝∠3（对顶角相等）， 又∵∠1＝∠2（已知）． ∴∠2＝∠3（等量代换）． ∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）． ∴∠A+∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∵∠A＝∠C（已知）， ∴∠C+∠4＝180°（等量代换）． ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）． ∴∠E＝∠F（两直线平行，内错角相等）． 故答案为：对顶角相等；∠2＝∠3；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；AB∥CD；∠E＝∠F；两直线平行，内错角相等． 第1页（共18页） 学科网（北京）股份有限公司 $