专题05 平行线的拐点模型（几何模型讲义）数学新教材人教版七年级下册

专题05 平行线的拐点模型 本专题包含猪蹄模型（M型）与锯齿模型、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、蛇形模型（5字模型）等。 1．（24-25七年级下·福建漳州·期中）在一个由工程车搭建的创意展览场景中，小明站在工程车旁边观察，发现从某个角度看，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过的顶点作直线，将分成和， ∵，∴，∴，，∴，故选：A． 2．（2025·河南安阳·模拟预测）汽车前灯的反光装置相当于凹面镜，如图，是汽车灯的剖面图，从位于O点的灯泡发出光照射到凹面镜上反射出的光线，都是水平线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点作， ∵，∴，∵∴， ∴，故选：B． 3．（24-25七年级下·山东泰安·期末）某公司研发了一款新型护眼台灯，其侧面结构示意图如下（台灯底座高度忽略不计）．如图所示，，经光学测试发现，当，时，光线效果最佳，求此时灯臂与底座的夹角的度数为（   ）     A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过C作， ，，，， ∵，，∴，， 故选：A 4．（24-25下·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，已知AB//CD，则，，之间的等量关系为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图，        ∵AB∥EF∥CD，∴∠γ+∠FED=180°， ∵∠ABE+∠FEB=180°，∠ABE=∠α，∠FED+∠FEB=∠β， ∴∠γ+∠FED+∠ABE+∠FEB=360°，∴∠α+∠β+∠γ=360°，故选：C． 5．（24-25下·辽宁鞍山·七年级阶段练习）如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于（   ） A．180° B．360° C．540° D．720° 【答案】C 【详解】解：作EM∥AB，FN∥AB， ∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥CD．∴∠A+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠C=180°， ∴∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°．故选：C． 6．（2025·河北·模拟预测）如图，将等腰直角三角形纸片的直角顶点C放置在刻度尺的边上，点B落在尺子内部，的中点O刚好在尺子的边上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点作， ， ，，，， 为等腰直角三角形，，，故选：C． 7．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）如图，在中，，为延长线上一点，过点作．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，， 是的外角，，－．故选：C． 8．（25-26上·安徽淮南·八年级校考阶段练习）如图，直线，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，∵，∴， ∵，∴，故选：B．    9．（2024·陕西·中考真题）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，， ，，，．故选B． 10．（25-26七年级下·山东临沂·培优）如图，,，那么图中角x，y，z的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示，过C作，延长交于N， 则，即， ∵，，∴，∴，， ∵，∴，∴，∴，故选D． 11．（25-26上·贵州六盘水·八年级校考阶段练习）如图，，，，则的度数为 ． 【答案】/度 【详解】解：过C作， ∵，，∴，∴，， ∵，，∴，， ∴，故答案为：； 12．（24-25下·江苏淮安·七年级统考期中）为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，小聪把它抽象成图数学问题：已知，，，则 ．    【答案】/30度 【详解】解：如图，过点作，    ，，， ，，，， ，， ，故答案为． 13．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，，已知，，则 ． 【答案】45 【详解】解：过点作，如图， ∵，∴， ∵，，∴，∴， ∴，故答案为：45． 14．（25-26下·广东梅州·七年级校考期中）某街道要修建一条管道，如图，管道从A站沿北偏东方向到B站，从B站沿北偏西方向到C站，为了保持水管与方向一致，则为 °．    【答案】100 【详解】解：如图所示，    为了保持水管与方向一致，则，由题可得，， ∵，∴，∴， ∴， 又∵，∴，故答案为：100． 15．（25-26上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，，，，则 ． 【答案】/65度 【详解】解：过点作，    ∵，∴，∴， ∴；故答案为：． 16．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）已知：，点E在直线，外，连接，．探究，，之间的数量关系． (1)如图1，过点E作，∵，∴，∴，，则，，之间的数量关系为______； (2)如图2，过点E作，猜想，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，过点E作，直接写出，，之间的数量关系为______． 【答案】(1)(2)，证明见解析(3) 【详解】（1）解：∵，，∴， ∴，，∴； （2）解：，证明如下： 同理（1）可得，，∴， ∴，∴； （3）解：∵，，∴，∴，， ∵，∴． 17．（24-25七年级下·山东德州·期中）如图1，，是直线、间的一条折线． (1)猜想、、的数量关系，并说明理由． (2)如图2，将折一次改为折二次，若，，，则 (3)如图3，若改为折多次，直接写出，，，…，，之间的数量关系： ． 【答案】(1)，证明见解析(2)(3) 【详解】（1）解：猜想：．理由：如图，过点O作． ∵，∴，∴，， ∴，即． （2）解：如图，过作，由（1）得：， ∵，，，∴，， ∵，，∴，∴； （3）解：．　 理由：如图，过点K作，同理可得：， 过点L作，同理可得：， ∵，，，∴，∴， ∴，∴． 18．（24-25七年级下·新疆哈密·期中）【引入】在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，如图是一个“美味”的模型—“猪蹄模型”．如图1所示，，点在直线与之间，连接、，嘉琪想到了过点作，证明：． 【思考】（1）当点在如图2所示的位置时，其他条件不变．写出，，三者之间的数量关系并说明理由． 【应用】（2）如图3，延长线段交直线于点，已知，，求的度数． 【提升】（3）点、、在直线与之间，连接、、和，其他条件不变，如图4．若，则______．（直接写出答案） 【答案】（1），理由见解析（2）（3） 【详解】解：（1），理由如下：如图，过点作， ，，，， ，即； （2）由（1）可知：，， ，； （3）如图，过点作，则， 由（1）的结论得：， ， ，， ，，． 19．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）【问题初探】（1）数学活动课上，李老师给出如下问题：如图①，，点E在之间且点E在点A右侧，求证：； 【类比分析】（2）李老师将图①进行了变换并提出了下面问题请你解答：如图②，，点E在之间且点E在点A左侧，猜想之间的数量关系，并证明； 【学以致用】（3）如图③是超市的购物车，图④是其侧面示意图，已知，通过测量得知，求的度数．    【答案】（）证明见解析；（）；（） 【详解】（）证明：如图，过点作，则，      ∵，∴，∴， ∵，∴； （）如图，过点作，则， ∵，∴，∴， ∴，即； （）如图，过点作，过点作， ∴，， ∵，∴， ∴， ∵， ∴， ∵，∴，∴，∴． 20．（24-25七年级下·广东·期中）如图1所示，，点E是两平行线内部一点，交直线于点F，且； (1)求和的数量关系．(2)若其他条件不变，点E在上方(如图2)，则（1）中的关系是否还成立？若成立，说明理由，若不成立，请写出正确的数量关系并解释．(3)若其他条件不变，点E在下方(如图3)，则（1）中的关系是否还成立？若成立，说明理由，若不成立，请写出正确的数量关系并解释． 【答案】(1)(2)不成立，，见解析(3)不成立，结论应为 【详解】（1）解：证明：如图，过点作，∴， 又∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴． （2）解：结论不成立，．证明：如图， 过点作，则． 又∵，∴，则，∴， ∵，∴，∴． （3）解：结论不成立，．证明：如图， 过点作，则．又∵， ∴，则，∴， ∵，∴，∴． 21．（24-25七年级下·北京通州·期末）如图1， ，点E是直线和直线之间内一点，连结，，求证：． 沐沐同学的证明思路是：如图2，过点E作，这样把分成与，然后分别证明，，因此可以证明． 解答下列问题：(1)请选择与沐沐不同的解题思路，证明． (2)如图3，已知，平分，平分，如果，求的度数． (3)如图4， ，点A，B是直线上两个定点，点C、D是直线上两个定点，点M、N分别是直线上动点，连结，，，直接写出，，，四个角之间所有的等量关系． 【答案】(1)详见解析(2) (3)或或或． 【详解】（1）证明：过点B，作交于点N． ∵，∴，∵，∴，， ∴，∴，即． （2）解：过点E作，∴ ∵，∴∴， ∵平分，平分∴，，，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，即． （3）解：分下列4种情况：情况1 ：如图1，根据题意可知：， ∴，，， ∴ 即 情况2：如图2，根据题意可知：， ∴，，，， ∴，∴， ∴，∴， 情况3：如图3，根据题意可知：， ∴，，， ∴， ，∴ 情况4：如图4，根据题意可知：， ∴，，， ∵，， ∴ 22．（24-25七年级下·河北沧州·期末）点A，C，E在直线l上，点B不在直线l上，把线段沿直线l向右平移得到线段． (1)如图1，若点E在线段上，求证：； (2)若点E不在线段上，试猜想并证明，，之间的等量关系； (3)在（1）的条件下，如图2所示，过点B作，在直线，之间有点M，使得，，同时点F使得，，其中，设，直接写出的度数（用含m，n的代数式表示）． 【答案】(1)详见解析(2)当点E在的延长线上时，；当点E在的延长线上时，；(3) 【详解】（1）证明：如图1中，过点E作．由平移可得， ∵，∴，∴， ∴； （2）解：当点E在的延长线上时，；当点E在的延长线上时，，理由如下：如图中，当点E在的延长线上时，过点E作． ∵，∴，∴， ∴． 如图中，当点E在的延长线上时，过点E作． ∵，∴，∴， ∴， 综上所述：当点E在的延长线上时，；当点E在的延长线上时，； （3）解：如图，设， ∵，∴与（1）同理可得：， ∴，∴，∵， ∴，， 又与（1）同理可得：， ∴． 23．（24-25七年级下·山西大同·期末）综合与探究 问题情境：如图1，已知，点的位置在平行线，之间，连接，，试探究与，之间的数量关系． 探究发现：（1）以下是小宇的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空． 解：如图1，过点作． （已知），．，（   ）． _______+_____（等量代换）． 即，，之间的数量关系是_________． （2）如图2，若与的平分线相交于点，请直接写出与之间的数量关系． 拓展延伸：（3）如图3，已知，若点的位置在直线的上方，与的平分线相交于点，请问（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 【答案】（1）两直线平行，内错角相等，，；（2）；（3）第（2）问中的结论仍然成立．理由见解析 【详解】解：（1）解：如图1，过点作． （已知），．，（两直线平行，内错角相等）． （等量代换）． 即，，之间的数量关系是． 故答案为：两直线平行，内错角相等，，． （2）如答图，过点，点分别作， ，分别平分和，，． ，，．，． ． ，，．． ．，． （3）第（2）问中的结论仍然成立．理由如下：如答图，过点，点分别作，． ，分别平分和，，． ，，．，． ． ，，．． ．，． 24．（24-25七年级下·陕西延安·期末）某学习小组发现一个结论：已知直线，若直线，则．他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题： 已知直线，点P、Q分别在直线、上，连接、． (1)如图1，点E在、之间，运用上述结论，探究、和之间的数量关系，并说明理由；(2)如图2，点E在、之间，平分，平分，当时，求出的度数；(3)如图3，平分，平分，延长交于点F，当时，求出的度数． 【答案】(1)，理由见解析；(2)(3) 【详解】（1）解：，理由如下： 过点E作 ， ，， ，． （2）过点E作，过点F作，如图， 由（1）同理可得，，， ∵，∴， ∵平分平分 ∴ ∴，∴． （3）过点E作，过点F作，如图， 由（1）同理可得，， 有，设，∴，， ∵平分，∴，∴， ∵，，∴ ∵平分 ∴，∴． 25．（24-25七年级下·山东日照·期末）综合与实践 【问题情境】在数学综合与实践课上，同学们以“一副直角三角板和两条平行线”为背景开展数学活动．已知直线，在直角三角板与中，，，． 【操作发现】（1）如图1，直角三角板的顶点B在和之间，在绕点B转动三角板的过程中，两直角边分别与，交于点M，N，且夹角分别是和，经过反复操作，发现和之间存在固定的数量关系，这个数量关系是______． 【深入探究】（2）如图2所示，将图1中的三角板的直角顶点B放在上，与交于点P，与的夹角为，与的夹角为，试探究和的数量关系并说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，固定三角板，使边与直线重合，将三角板固定点C（点C在的延长线上），且在两条平行线，之间任意摆放，设的度数为，试探究：在摆放的过程中，当x为何值时，三角板的边与三角板的一条边平行？直接写出所有符合条件的x的值． 【答案】（1）；（2）；（3）x的值为30，75，120 【详解】解：（1）数量关系为：，过点作， ∵，∴，∴， ∴，∴数量关系为：； （2）数量关系为：，过点作， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴数量关系为：； （3）①当时，∵，即， ∵，∴，又∵点C在的延长线上 ∴点C，B，E，D在同一条直线上， ∴，∴； ②当时，∵∴， 又∵，∴， ∴， ， ∴， ∴； ③当时，∴， ∴，∴； 综上，在摆放的过程中，当或或时，三角板的边与三角板的一条边平行． 26．（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）综合与实践 【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题． 归纳模型：若，如图1“M”型和如图2铅笔型．试猜想，，之间的数量关系． 【独立思考】（1）如图1，，，之间的数量关系是_______． （2）如图2，，，之间的数量关系是_______． 【问题迁移】（3）如图3，，分别是，的角平分线，探索，之间的数量关系是________． 【联想拓展】如图4，已知直线，将一个含的直角三角板，使顶点P落在直线上，过点Q作直线，且满足． （4）请你探索直线与具有怎样的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【详解】解：（1）如图1，过E作， ∵，∴，∴， ∴，故答案为：； （2）如图2，过E作， ∵，∴，∴， ∴， ∴，故答案为：； （3）如图3，∵分别是的角平分线，∴， 由（1）得，由（2）得， ∴，则，故答案为：； （4），理由：如图4，过C作，则， ∵，∴， 又，∴，∴，∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 平行线的拐点模型 本专题包含猪蹄模型（M型）与锯齿模型、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、蛇形模型（5字模型）等。 1．（24-25七年级下·福建漳州·期中）在一个由工程车搭建的创意展览场景中，小明站在工程车旁边观察，发现从某个角度看，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南安阳·模拟预测）汽车前灯的反光装置相当于凹面镜，如图，是汽车灯的剖面图，从位于O点的灯泡发出光照射到凹面镜上反射出的光线，都是水平线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·山东泰安·期末）某公司研发了一款新型护眼台灯，其侧面结构示意图如下（台灯底座高度忽略不计）．如图所示，，经光学测试发现，当，时，光线效果最佳，求此时灯臂与底座的夹角的度数为（   ）     A． B． C． D． 4．（24-25下·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，已知AB//CD，则，，之间的等量关系为（    ）    A． B． C． D． 5．（24-25下·辽宁鞍山·七年级阶段练习）如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于（   ） A．180° B．360° C．540° D．720° 6．（2025·河北·模拟预测）如图，将等腰直角三角形纸片的直角顶点C放置在刻度尺的边上，点B落在尺子内部，的中点O刚好在尺子的边上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）如图，在中，，为延长线上一点，过点作．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26上·安徽淮南·八年级校考阶段练习）如图，直线，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 9．（2024·陕西·中考真题）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·山东临沂·培优）如图，,，那么图中角x，y，z的关系是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26上·贵州六盘水·八年级校考阶段练习）如图，，，，则的度数为 ． 12．（24-25下·江苏淮安·七年级统考期中）为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，小聪把它抽象成图数学问题：已知，，，则 ．    13．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，，已知，，则 ． 14．（25-26下·广东梅州·七年级校考期中）某街道要修建一条管道，如图，管道从A站沿北偏东方向到B站，从B站沿北偏西方向到C站，为了保持水管与方向一致，则为 °．    15．（25-26上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，，，，则 ． 16．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）已知：，点E在直线，外，连接，．探究，，之间的数量关系． (1)如图1，过点E作，∵，∴，∴，，则，，之间的数量关系为______； (2)如图2，过点E作，猜想，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，过点E作，直接写出，，之间的数量关系为______． 17．（24-25七年级下·山东德州·期中）如图1，，是直线、间的一条折线． (1)猜想、、的数量关系，并说明理由． (2)如图2，将折一次改为折二次，若，，，则 (3)如图3，若改为折多次，直接写出，，，…，，之间的数量关系： ． 18．（24-25七年级下·新疆哈密·期中）【引入】在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，如图是一个“美味”的模型—“猪蹄模型”．如图1所示，，点在直线与之间，连接、，嘉琪想到了过点作，证明：． 【思考】（1）当点在如图2所示的位置时，其他条件不变．写出，，三者之间的数量关系并说明理由． 【应用】（2）如图3，延长线段交直线于点，已知，，求的度数． 【提升】（3）点、、在直线与之间，连接、、和，其他条件不变，如图4．若，则______．（直接写出答案） 19．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）【问题初探】（1）数学活动课上，李老师给出如下问题：如图①，，点E在之间且点E在点A右侧，求证：； 【类比分析】（2）李老师将图①进行了变换并提出了下面问题请你解答：如图②，，点E在之间且点E在点A左侧，猜想之间的数量关系，并证明； 【学以致用】（3）如图③是超市的购物车，图④是其侧面示意图，已知，通过测量得知，求的度数．    20．（24-25七年级下·广东·期中）如图1所示，，点E是两平行线内部一点，交直线于点F，且； (1)求和的数量关系．(2)若其他条件不变，点E在上方(如图2)，则（1）中的关系是否还成立？若成立，说明理由，若不成立，请写出正确的数量关系并解释．(3)若其他条件不变，点E在下方(如图3)，则（1）中的关系是否还成立？若成立，说明理由，若不成立，请写出正确的数量关系并解释． 21．（24-25七年级下·北京通州·期末）如图1， ，点E是直线和直线之间内一点，连结，，求证：． 沐沐同学的证明思路是：如图2，过点E作，这样把分成与，然后分别证明，，因此可以证明． 解答下列问题：(1)请选择与沐沐不同的解题思路，证明． (2)如图3，已知，平分，平分，如果，求的度数． (3)如图4， ，点A，B是直线上两个定点，点C、D是直线上两个定点，点M、N分别是直线上动点，连结，，，直接写出，，，四个角之间所有的等量关系． 22．（24-25七年级下·河北沧州·期末）点A，C，E在直线l上，点B不在直线l上，把线段沿直线l向右平移得到线段． (1)如图1，若点E在线段上，求证：； (2)若点E不在线段上，试猜想并证明，，之间的等量关系； (3)在（1）的条件下，如图2所示，过点B作，在直线，之间有点M，使得，，同时点F使得，，其中，设，直接写出的度数（用含m，n的代数式表示）． 23．（24-25七年级下·山西大同·期末）综合与探究 问题情境：如图1，已知，点的位置在平行线，之间，连接，，试探究与，之间的数量关系． 探究发现：（1）以下是小宇的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空． 解：如图1，过点作． （已知），．，（   ）． _______+_____（等量代换）． 即，，之间的数量关系是_________． （2）如图2，若与的平分线相交于点，请直接写出与之间的数量关系． 拓展延伸：（3）如图3，已知，若点的位置在直线的上方，与的平分线相交于点，请问（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 24．（24-25七年级下·陕西延安·期末）某学习小组发现一个结论：已知直线，若直线，则．他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题： 已知直线，点P、Q分别在直线、上，连接、． (1)如图1，点E在、之间，运用上述结论，探究、和之间的数量关系，并说明理由；(2)如图2，点E在、之间，平分，平分，当时，求出的度数；(3)如图3，平分，平分，延长交于点F，当时，求出的度数． 25．（24-25七年级下·山东日照·期末）综合与实践 【问题情境】在数学综合与实践课上，同学们以“一副直角三角板和两条平行线”为背景开展数学活动．已知直线，在直角三角板与中，，，． 【操作发现】（1）如图1，直角三角板的顶点B在和之间，在绕点B转动三角板的过程中，两直角边分别与，交于点M，N，且夹角分别是和，经过反复操作，发现和之间存在固定的数量关系，这个数量关系是______． 【深入探究】（2）如图2所示，将图1中的三角板的直角顶点B放在上，与交于点P，与的夹角为，与的夹角为，试探究和的数量关系并说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，固定三角板，使边与直线重合，将三角板固定点C（点C在的延长线上），且在两条平行线，之间任意摆放，设的度数为，试探究：在摆放的过程中，当x为何值时，三角板的边与三角板的一条边平行？直接写出所有符合条件的x的值． 26．（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）综合与实践 【问题情境】在数学活动课上探索了平行线中的“拐点”问题． 归纳模型：若，如图1“M”型和如图2铅笔型．试猜想，，之间的数量关系． 【独立思考】（1）如图1，，，之间的数量关系是_______． （2）如图2，，，之间的数量关系是_______． 【问题迁移】（3）如图3，，分别是，的角平分线，探索，之间的数量关系是________． 【联想拓展】如图4，已知直线，将一个含的直角三角板，使顶点P落在直线上，过点Q作直线，且满足． （4）请你探索直线与具有怎样的位置关系，并说明理由． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $