数学（湖南省卷）学易金卷：2026年中考考前预测卷

2026年中考考前预测卷 九年级数学 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) : 注意事项： 斯 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 : 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共30分） : 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的“秦汉时期”， 1 的相反数为() 2026 1 A.-2026 B.2026 2026 D. 2026 : 2 下列图案是中心对称图形，又是轴对称图形的是() 3.下列运算中结果正确的是() A.a3=-a3 B.(a-b)2=a2-b2 c.(-a2)=-a6 D.（-2ab)2=2a2b : 4.为精准了解社区居民对周边便民服务（如便利店、生鲜店、快递点等）的满意度情况，下列抽样调查的 拟 : : 方式中最合适的是() A.只抽取社区内60岁以上的老年居民 B.随机抽取社区内某一栋楼的全体居民 : : C.在社区便民服务中心随机抽取20名正在办理业务的居民 : D.将社区所有居民的信息录入社区智慧管理系统，通过系统随机抽取200名居民 5.如图，OO为正八边形的外接圆，AB,BC为正八边形的边，P为优弧AC上一点，连接AP,CP,则 ∠P的度数为() A.30° B.40° C.45° D.60° 6. 下列命题是真命题的是() 试题第1页（共6页） .: .: ©学科网·学易金卷做概德：然限？是鲁普 A.9的算术平方根是3 B.同位角相等 C.点A(2,a)和点B(b,-3)关于x轴对称，则a+b的值为5 D.在一个直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5 ◆y(C) 100--- G 25 04 x分钟) N (第5题) (第7题) (第8题) (第9题) 7.两个直角三角板如图摆放，△ABC是∠A=90°，∠ABC=30°的三角板，△DEF是∠F=90°的等腰三角 板，点B,F均在同一直线上，若DE∥BF,∠PBA=50°，则∠BDF的度数为() A.25° B.30° C.35° D.40° 8.如图，在常温(25C)常压时用电热水壶加热一壶水，水的温度y(C)与时间x(分钟)近似满足一次函 数关系，当水温达到100C时停止加热，将茶叶放入热水壶，在一定时间内，茶水的温度y(°C)与时间x (分钟)近似满足反比例函数关系，己知该种茶水在30℃~50°C时适宜饮用，在40℃时饮用口感最佳.若 按照上述程序冲泡一壶该种茶水，并从开始加热时计时，下列说法错误y(°C)的是() A.加热6分钟时水沸腾 B.加热4分钟时水温上升了50°C C.该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟~第20分钟 D.若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是16分钟 9.如图，在矩形ABCD中，AB=1,AD=2√2，BD为矩形对角线.利用尺规按以下步骤作图：①分别以 点B、D为圆心，以大于二BD的长为半径作弧，两弧相交于两点MN:②连接N交AD于点G,交BC 2 于点E,交BD于点O;③以点O为圆心，以OG的长为半径作弧，交BD于点H、F:那么线段GF的长是 () A.2 B. 2 c D.1 10.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4,动点E从点A出发沿边 AB→BC匀速运动，运动到点C时停止，过点E作AD的垂线I,在点E运动过程 中，垂线1扫过菱形（即阴影部分）的面积为y,点E运动的路程为x(x>O).下列图象能反映y与x之间函 试题第2页（共6页） 可学科网·学易金卷德好德：就限蒙是鲁普 数关系的是() y个 y 8v5 83 85 85 6V3 6V3 65 A. 2V3 2V3 25 6 46X 68 第二部分（非选择题共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.在平面直角坐标系xOy中，将点P(2,-2)先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的 点Q的坐标是 12.“头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如下表： 抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数m 94 194 289 479 769 960 2880 合格头盔的频率心 0.940 0.970 0.963 0.958 0.961 0.960 0.960 若该工厂生产10000个头盔，估计合格的头盔数约有 个 13.在中国传统文化中，数字“9”寓意着吉祥、尊贵与长久.现有如下运算规则：从1,2,3，…，9这九 个数字中任取一个数字，先将选取的数字乘以3，再加上3，最后将结果乘以3. (1)若选取的数字为n(1≤n≤9)，则运算结果为 (2)无论选取的数字是19中的哪个数，按照上述规则运算后，将这些数的个位与十位数字相加，最终得 到的结果恒为 14.如图，点D在圆心角为90°的扇形AOB的半径OA上，矩形OBCD与AB交于 点E,EF⊥OB于点F,若OD=OF=1,则图中阴影部分的面积是 15.对于实数、n定义运算“*"为m*n=n2-2m,例如：1*3=32-2×1=7，若关 于x的方程k*x=2x有两个相等的实数根，则k的值为 16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交 AC、AB于点M、N,再分别以点M、N为圆心，大于N的长为半径作弧， 两弧交于点G,作射线AG交BC于点D,再分别以点A、B为圆心，大于】AB的长 为半径作弧，两弧相交于点P、Q,作直线PQ交AB、AD于点E、F,连接BF, 若AB=10,AC=6,则EF的长为 试题第3页（共6页） 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本感6分)计第：5-斗-) +(2024-元)°-6c0s30°. 18.(本题6分)先化简，再求值： am2-6a+9 a-2 a2-4 ，任选一个a代入，其中a是满足-l<a≤3的整 数 & 19.(本题8分)为了了解某市九年级学生每周课外阅读时长t(单位：小时)的情况，随机抽取了部分九 年级学生进行调查，并将所收集的数据分组整理，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计 图 小频数 米 200F 160 B A:0≤t<1 150 B:1≤t<2 100 D 20% 100 C:2≤t<3 :: 5050 40 C D:3≤t<4 E:4≤t<5 0 1 2345t/小时 游 根据图中信息，解答下列问题： (1)在这次调查活动中，一共抽取了多少名九年级学生？ (2)若该市有102000名九年级学生，请你估计该市九年级学生每周课外阅读时长在“3≤t<4”范围内的人 数 (3)每周课外阅读时长恰好在“2≤t<3”范围内的九年级学生中有甲、乙、丙、丁4人表现特别突出，现从4 ::::0 S 人中随机选出2人分享在线学习心得，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率 20.(本题8分)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交 E脚 BE的延长线于点F. (1)求证：AF=BD: 世 (2)判断四边形ADCF的形状，并说明理由， 21.(本题10分)蓝莓是一种极具营养价值的水果，某水果店以2550元 B D 购进两种不同品种的盒装蓝莓，若按标价出售可获利润1500元（利润=售价一进价），这两种盒装蓝莓的进 价、标价如下表所示： 价格/品种 A品种 B品种 进价（元/盒） 35 60 标价（元/盒) 60 90 (1)求这两个品种的蓝莓各购进多少盒？ 试题第4页（共6页） (2)该店计划下周购进这两种品种的蓝莓共100盒（每种品种至少进1盒），并在两天内将所进蓝莓全部销售完 毕（损耗忽略不计），因B品种蓝莓的销售情况较好，水果店计划购进B品种的盒数不低于A品种盒数的2 O 倍，且A品种不少于20盒，如何安排进货，才能使利润最大，最大利润是多少？ ·: : 22.（本题10分)综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度， 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈180°，图2是其侧面示意图.已知支架AB长 为2.5米，且垂直于地面BC,悬托架AE=DE=0.5米，点E固定在伞面上，且伞面直径DF=2米.当伞面 完全张开时，点D、E、F始终共线.为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变 化，自动调整手柄D沿着AB移动，以保证太阳光线与DF始终垂直. : 图1 图2 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角α（太阳光线与地面的夹角)参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 O O 太阳高度 90 75 60 45 30 15 (度) 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点2. : (1)【任务1】某一时刻测得AD=0.8米， ①请直接写出sin∠ADE= ②请求出此时影子GH的长度： (2)【任务2】这天14点，小明坐在离支架3米处的Q点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说 : 明理由. : : 23.(本题12分)如图1，OO是△ABC的外接圆，AB是OO的直径，点E是AB上一点，连接EC交AB 于点D,过点E作EF⊥CE,交OO于点M,交CA的延长线于点F. (1)求证：∠F=∠ECB: (2)如图2，连接EA,EB,AM, O O ①若AB=10,∠ABC=60°，求AM的长度： : 试题第5页（共6页） ©学科网·学易金卷做概德：然限是鲁普 ②如图3，若点E是AB的中点，过点F作FG‖EC交BA的延长线于点G, 求证：BD2=ED·FG. E E M D B A 图1 图2 图3 24.(本题12分)定义：将函数图象C上的点的横坐标与纵坐标都变换为原来的k倍(k为常数，k≠0， 1),得到新的函数图象C2,则称C,为C的“k倍函数”.例如：对于C1:y=2x+4,求它的“3倍函数”C,的 解析式.求法：设C,上的任意一点P(x,y),则变换之前的点Q x V 3’3 在C的图象上，则)=2x+4,即 33 y=2x+12,所以C,的解析式为y=2x+12 图1 图2 (1)判断下列说法是否正确？对的打“”，错的打“×”； ①C:y=x的"3倍函数"是C2:y=3x;() =2是C:y=3的2倍函数：（) ②C:y= ③若C:y=ar2+bx+G是C:y=a,x2+b,x+c,的“k倍函数，则k（) (2)如图1，若t≠0，且二次函数y=x2-4x+t的顶点为A,与y轴的交点为点B,二次函数y=x2-4x+1的 “-1倍函数"的顶点为C,与y轴的交点为点D.连接AB,BC,CD,DA,当四边形ABCD为矩形时，求 此矩形的面积： (3)如图2，抛物线C：y=-V3x2+2√3x的顶点为M,与x轴的正半轴交于点N,C的“k倍函数”记作 C,C,的顶点为O,点P是C,上一点，若S2M=SM2,且∠MQP=90°，当>1时，求实数k的值. 试题第6页（共6页） 2026年中考考前预测卷 数学·参考答案 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B C D C C C D C D 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11． 12．9600 13． 9 14． 15． 16． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分） 【解答】解： …………………………………2分 …………………………………4分 ． …………………………………6分 18．（6分） 【解答】（ ；…………………………………3分 ∵、、，即且． 结合条件且为整数，符合要求的只能是或．…………………………………4分 若选，代入得：； 若选，代入得：．…………………………………6分 19．（8分） 【解答】（1）解：由题意得：（名）， 答：在这次调查活动中，一共抽取了500名九年级学生；…………………………………2分 （2）解：类的人数为：（名）， 名， 答：估计该市九年级学生每周课外阅读时长在“”范围内的九年级学生共有30600名；…………………………………4分 （3）解：根据题意，画树状图如下： …………………………………6分 共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙的结果有2种， 恰好选中甲和乙的概率为．…………………………………8分 20．（8分） 【解答】（1）证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴，…………………………………2分 在和中， ， ∴， ∴；…………………………………4分 （2）解：四边形是菱形，理由如下： 由（1）可得， ∵，是的中点， ∴， ∴，…………………………………6分 ∵，即， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形．…………………………………8分 21．（10分） 【解答】（1）解：设品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒， 由题意可得，，解之得：，…………………………………4分 答：品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒．…………………………………5分 （2）设品种的蓝莓购进盒，则品种的蓝莓购进盒，利润为元， 水果店计划购进品种的盆数不低于品种盒数的倍，且品种不少于盒， ，解之得：，…………………………………7分 由题意可得，， ， 随的减小而增大， ∴当时，取得最大值，此时，……………………………9分 答：当品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒时，才能使利润最大，最大利润是2900元．…………………………………10分 22．（10分） 【解答】（1）解：①如图，过作于，而， ， ， ， 故答案为：；…………………………………2分 ②如图，过点作于点，过点作于点， 结合题意可得：四边形为矩形， ， ， ， ，…………………………………4分 ， 由条件可知米， 在中，， 又， ， 解得：米， 此时影子的长度为米；…………………………………6分 （2）解：小明会被照射到．理由如下： 如图，过点作交于点， 由条件可知， 是等边三角形， ， 米， ．…………………………………8分 米， 米， 当时，米， 小明刚好被照射到时离点的距离为， 小明会被照射到．…………………………………10分 23．（12分） 【解答】（1）证明：∵是直径， ∴， ∵过点作，即， ∴， ∴；…………………………………2分 （2）解：①∵是直径，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，则， 如图所示，连接， ∵所对圆周角是，所对圆心角， ∴， ∵, ∴是等边三角形， ∴；…………………………………5分 ②∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，，…………………………………7分 由（1）可知，，且， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，，…………………………………8分 如图所示，在上取，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴，…………………………………9分 在中， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，…………………………………10分 ∴， ∴， ∴，即．…………………………………12分 24．（12分） 【解答】（1）解：①设上的任意一点，则变换之前的点在的图象上， 则，即， 所以的解析式为， 故答案为：×；…………………………………1分 ②设上的任意一点为，则变换之前的点在的图象上， 则，即， 故答案为：√；…………………………………2分 ③由于为的“倍函数”， 则， 整理得：， ，即， 故答案为：×；…………………………………3分 （2）解：由题可知，函数， 、， 设的“倍函数”上点为，则在原函数上， 则， 整理得：，…………………………………5分 、， ，， 四边形为矩形， ， ， 解得：，…………………………………6分 、， ，点A、C到轴距离均为2， ；…………………………………7分 （3）解：（）如图，当时， 由题意知，抛物线， 顶点， 令得：， 解得，…………………………………9分 ， 、、， ， 是等边三角形， ， 是的“倍函数”， 设上的点，则在上， 则， 整理得：， 顶点， ， 过点作轴交于点，过点作交于点， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形， 、， ， 轴， ， ， ， 在等边中，， 、， ， 、， 在中，， 、， ， ， 将点P坐标代入表达式得： ， 解得；…………………………………10分 （）如图，当时， 由（）抛物线的解析式为， 由题可知，，，三点共线，且顶点为， 作关于轴对称的，交于点， 同（）可证四边形是矩形、是边长为2的等边三角形， ，，， 在中，，， ， ，， ， 点坐标， 将点P坐标代入表达式得： ， ， 综上所述，的值为．……………………………………………………12分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前预测卷 九年级 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的“秦汉时期”，的相反数为（   ） A．-2026 B．2026 C． D． 【答案】C 【分析】根据相反数的定义：“只有符号不同的两个数互为相反数”即可求解． 【详解】解：的相反数是． 2．下列图案是中心对称图形，又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解： A、是轴对称图形而不是中心对称图形； B、既是轴对称图形也是中心对称图形； C、是轴对称图形而不是中心对称图形； D、是中心对称图形而不是轴对称图形． 3．下列运算中结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C正确； 选项D：，D错误． 4．为精准了解社区居民对周边便民服务（如便利店、生鲜店、快递点等）的满意度情况，下列抽样调查的方式中最合适的是（   ） A．只抽取社区内60岁以上的老年居民 B．随机抽取社区内某一栋楼的全体居民 C．在社区便民服务中心随机抽取20名正在办理业务的居民 D．将社区所有居民的信息录入社区智慧管理系统，通过系统随机抽取200名居民 【答案】D 【详解】解：A、不具有普遍性，故本选项不符合题意； B、不具有普遍性，故本选项不符合题意； C、不具有普遍性，故本选项不符合题意； D、该抽样调查的方式合适，故本选项符合题意； 5．如图，为正八边形的外接圆，，为正八边形的边，P为优弧上一点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正多边形的性质得，由圆周角定理即可求解． 【详解】解：连接、， 为正八边形的外接圆， ， ． 6．下列命题是真命题的是（    ） A．9的算术平方根是 B．同位角相等 C．点和点关于轴对称，则的值为5 D．在一个直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5 【答案】C 【分析】根据算术平方根，平行线的性质，轴对称的性质，勾股定理逐一判断即可． 【详解】解：A．9的算术平方根是，原命题是假命题； B．两直线平行，同位角相等，原命题是假命题； C．点和点关于轴对称，则，，即，原命题是真命题； D．在一个直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为或，原命题是假命题； 故选：C． 【点睛】本题考查了判断命题的真假，求算术平方根，平行线的性质，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 7．两个直角三角板如图摆放，是，的三角板，是的等腰三角板，点，均在同一直线上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：依题意，， ∵， ∴ ∴ 8．如图，在常温常压时用电热水壶加热一壶水，水的温度与时间（分钟）近似满足一次函数关系，当水温达到时停止加热，将茶叶放入热水壶，在一定时间内，茶水的温度与时间（分钟）近似满足反比例函数关系，已知该种茶水在时适宜饮用，在时饮用口感最佳．若按照上述程序冲泡一壶该种茶水，并从开始加热时计时，下列说法错误的是（    ） A．加热6分钟时水沸腾 B．加热4分钟时水温上升了 C．该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟~第20分钟 D．若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是16分钟 【答案】D 【分析】由函数图象可知加热4分钟时，水温上升了，可判断B，设加热一壶水时，水的温度与时间（分钟）的一次函数表达式为，利用待定系数法求出解析式进一步即可判断A，再利用待定系数法求出反比例函数解析式，进一步即可判断选项C和D． 【详解】解：由题图可知，加热4分钟时，水温上升了，故B正确，不符合题意． 设加热一壶水时，水的温度与时间（分钟）的一次函数表达式为， 将和代入， 得，解得 故加热一壶水时，与的函数表达式为． 当时，， 解得．故A正确，不符合题意． 设将茶叶放入热水壶后与的函数关系式为（为常数，且）， 将代入， 得， 解得， ， 当时，， 解得， （分钟）， 若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是9分钟，故D不正确，符合题意． 当时，，解得， 当时，，解得， 该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟~第20分钟， 故C正确，不符合题意． 9．如图，在矩形中，，，为矩形对角线．利用尺规按以下步骤作图：①分别以点B、D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②连接交于点G，交于点E，交于点O；③以点O为圆心，以的长为半径作弧，交于点H、F；那么线段的长是（  ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出的长，作图得到垂直平分，进而得到的长，解直角三角形，求出的长，由作图可知，，勾股定理求出的长即可. 【详解】解：∵在矩形中，，，为矩形对角线， ∴，， ∴， 由作图可知：垂直平分， ∴， ∴， ∴， 由作图可知，， ∴. 10．如图，在菱形中，，，动点E从点A出发沿边匀速运动，运动到点C时停止，过点E作的垂线l，在点E运动过程中，垂线l扫过菱形（即阴影部分）的面积为y，点E运动的路程为．下列图象能反映y与x之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点的运动位置分类讨论，分别画出对应的图形，利用锐角三角函数求出当和时 y与x的函数关系式，即可解答． 【详解】解：当时，，设的垂线l，交于点， 由题意得，，， ∴,， ∴，开口向上； 当时，， 过点B作，交于H， ∵，， 则，， ∵在菱形中，，，是的垂线， ∴四边形是直角梯形， ∴， ∴， ∴， 当时，过点B作，交于H，设的垂线l交于点， ∵在菱形中，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ，开口向下； 选项D符合条件要求． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．在平面直角坐标系中，将点先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的点Q的坐标是______． 【答案】 【详解】解：根据点的平移规则，将点向右平移2个单位长度，横坐标加2，向上平移4个单位长度，纵坐标加4， 可得平移后点的坐标为：． 12．“头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如下表： 抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数m 94 194 289 479 769 960 2880 合格头盔的频率 0.940 0.970 0.963 0.958 0.961 0.960 0.960 若该工厂生产10000个头盔，估计合格的头盔数约有______个． 【答案】9600 【分析】观察表格得到合格头盔频率的稳定值，再用总生产数量乘稳定频率得到估计的合格头盔数． 【详解】解：由表格可知，随着抽查头盔数增大，合格头盔的频率逐渐稳定在， 因此估计生产个头盔，合格头盔数为 （个）． 13．在中国传统文化中，数字“9”寓意着吉祥、尊贵与长久．现有如下运算规则：从1，2，3，，9这九个数字中任取一个数字，先将选取的数字乘以3，再加上3，最后将结果乘以3． （1）若选取的数字为，则运算结果为___________； （2）无论选取的数字是1~9中的哪个数，按照上述规则运算后，将这些数的个位与十位数字相加，最终得到的结果恒为___________． 【答案】 9 【分析】（1）根据题目给出的运算顺序列出代数式，化简即可； （2）根据（1）化简后的代数式，分析结果的个位与十位数字，求和即可得到恒定结果． 【详解】解：（1）根据题意，按照运算顺序列代数式为：； （2）由（1）知，选取的数字为，则运算结果为 ，为整数， ， 设，则 ， 即十位数字为，个位数字为， 将个位与十位相加得：， 因此，最终结果恒为9． 14．如图，点D在圆心角为的扇形的半径上，矩形与交于点E，于点F，若，则图中阴影部分的面积是_________． 【答案】/ 【分析】连接，如图，先证明四边形和四边形都为矩形，再证明四边形为正方形，可知，，，然后利用图中阴影部分的面积进行计算． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形和四边形都为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴由、和弧所围成的图形的面积由、和弧所围成的图形的面积， ∴图中阴影部分的面积． 15．对于实数m、n定义运算“*”为，例如：，若关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 【答案】/ 【分析】根据新的运算法则列出一元二次方程，再根据一元二次方程根的判别式即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， ∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得． 16．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线交、于点、，连接，若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】过作于，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，设，则，由勾股定理得，从而列出方程，求出x的值，再代入，即可求解． 【详解】解：如图，过作于， 由作法得：平分，垂直平分， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， 设，则， ， ， 解得：， ， ∵， ， 解得：． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题6分）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解： ． 18．（本题6分）先化简，再求值：，任选一个a代入，其中a是满足的整数． 【答案】，当时，原式（或 ，当时，原式，任选其一作为答案即可） 【分析】进行通分计算，并把分式除法转化为乘法，然后进行约分简化，所以找出分子分母中的公因式并约去，得到最简分式．因为要选取合适的值代入，所以先根据分式有意义的条件，排除使分母为0的值，再从满足的整数中选取符合条件的代入最简分式计算． 【详解】 ； ∵、、，即且． 结合条件且为整数，符合要求的只能是或． 若选，代入得：； 若选，代入得：． 19．（本题8分）为了了解某市九年级学生每周课外阅读时长（单位：小时）的情况，随机抽取了部分九年级学生进行调查，并将所收集的数据分组整理，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据图中信息，解答下列问题： (1)在这次调查活动中，一共抽取了多少名九年级学生？ (2)若该市有102000名九年级学生，请你估计该市九年级学生每周课外阅读时长在“”范围内的人数； (3)每周课外阅读时长恰好在“”范围内的九年级学生中有甲、乙、丙、丁4人表现特别突出，现从4人中随机选出2人分享在线学习心得，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率． 【答案】(1)500名 (2)30600名 (3) 【分析】（1）利用B类的人数除以所占百分比得到样本总量； （2）利用“样本估计总体”进行计算即可； （3）根据题意画出树状图，得到所有等可能的结果数，再找出符合题意的结果数，利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：（名）， 答：在这次调查活动中，一共抽取了500名九年级学生； （2）解：类的人数为：（名）， 名， 答：估计该市九年级学生每周课外阅读时长在“”范围内的九年级学生共有30600名； （3）解：根据题意，画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙的结果有2种， 恰好选中甲和乙的概率为． 20．（本题8分）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 【分析】（1）由平行线的性质可得，再证明，即可得证； （2）由（1）可得，由直角三角形的性质可得，最后再由菱形的判定定理证明即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：四边形是菱形，理由如下： 由（1）可得， ∵，是的中点， ∴， ∴， ∵，即， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 21．（本题10分）蓝莓是一种极具营养价值的水果，某水果店以元购进两种不同品种的盒装蓝莓，若按标价出售可获利润元（利润售价进价），这两种盒装蓝莓的进价、标价如下表所示： 价格/品种 品种 品种 进价（元/盒） 标价（元/盒） (1)求这两个品种的蓝莓各购进多少盒？ (2)该店计划下周购进这两种品种的蓝莓共盒（每种品种至少进盒），并在两天内将所进蓝莓全部销售完毕（损耗忽略不计），因品种蓝莓的销售情况较好，水果店计划购进品种的盒数不低于品种盒数的倍，且品种不少于盒，如何安排进货，才能使利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒 (2)当品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒时，才能使利润最大，最大利润是元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用问题，一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，正确找出等量关系，列出相对应的方程组和不等式组是解决本题的关键． 【详解】（1）解：设品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒， 由题意可得，，解之得：， 答：品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒． （2）设品种的蓝莓购进盒，则品种的蓝莓购进盒，利润为元， 水果店计划购进品种的盆数不低于品种盒数的倍，且品种不少于盒， ，解之得：， 由题意可得，， ， 随的减小而增大， ∴当时，取得最大值，此时， 答：当品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒时，才能使利润最大，最大利润是2900元． 22．（本题10分）综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度． 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径米．当伞面完全张开时，点D、E、F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点． (1)【任务1】某一时刻测得米， ①请直接写出__________； ②请求出此时影子的长度； (2)【任务2】这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由． 【答案】(1)①；②米 (2)小明会被照射到；理由见解析 【分析】（1）①过作于，结合等腰三角形的性质与勾股定理可得，进一步可得答案； ②先过点作于点，过点作于点，再求出，从而结合，可证，最后利用三角函数即可得出的长度； （2）过点作交于点，在中，米米，可得米，在中，米，在中，米，在中，当时，米，进一步求解即可． 【详解】（1）解：①如图，过作于，而， ， ， ， 故答案为：； ②如图，过点作于点，过点作于点， 结合题意可得：四边形为矩形， ， ， ， ， ， 由条件可知米， 在中，， 又， ， 解得：米， 此时影子的长度为米； （2）解：小明会被照射到．理由如下： 如图，过点作交于点， 由条件可知， 是等边三角形， ， 米， ． 米， 米， 当时，米， 小明刚好被照射到时离点的距离为， 小明会被照射到． 23．（本题12分）如图1，是的外接圆，是的直径，点是上一点，连接交于点，过点作，交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)如图2，连接， ①若，，求的长度； ②如图3，若点是的中点，过点作交的延长线于点， 求证：． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)①；②证明过程见详解 【分析】（1）根据直径所对圆周角为直角得到，根据垂直的定义得到，根据同角的余角相等即可求解； （2）①如图所示，连接，可证是等边三角形，得到，由此即可求解； ②根据题意先证明，得，如图所示，在上取，连接，可证，得，，再证明，得，，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵是直径， ∴， ∵过点作，即， ∴， ∴； （2）解：①∵是直径，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，则， 如图所示，连接， ∵所对圆周角是，所对圆心角， ∴， ∵, ∴是等边三角形， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 由（1）可知，，且， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 如图所示，在上取，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 在中， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题主要考查圆与三角形，四边形的综合，掌握直径所对圆周角为直角，同弧所对弦相等，等腰直角三角形的，等边三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识的综合，数形结合分析是关键． 24．（本题12分）定义：将函数图象上的点的横坐标与纵坐标都变换为原来的倍（为常数，，），得到新的函数图象，则称为的“倍函数”．例如：对于：，求它的“3倍函数”的解析式．求法：设上的任意一点，则变换之前的点在的图象上，则，即，所以的解析式为． (1)判断下列说法是否正确？对的打“√”，错的打“×”； ①：的“3倍函数”是：；（   ） ②：是：的“2倍函数”；（   ） ③若：是：的“倍函数”，则（   ） (2)如图1，若，且二次函数的顶点为，与轴的交点为点，二次函数的“倍函数”的顶点为，与轴的交点为点．连接，，，．当四边形为矩形时，求此矩形的面积； (3)如图2，抛物线：的顶点为，与轴的正半轴交于点，的“倍函数”记作，的顶点为，点是上一点，若，且，当时，求实数的值． 【答案】(1)①×；②√；③× (2)10 (3) 【分析】（1）利用“倍函数”的定义逐一计算判断即可； （2）先求出的“倍函数”，得到点A、B、C、D的坐标，根据矩形的性质得到，据此列出方程，求出的值，再利用求解即可； （3）分情况讨论：当或时，先求出点M、N坐标，进而得到是等边三角形，根据“倍函数”的定义求出的表达式，进而得到点G的坐标，过点作轴交于点，过点作交于点，证得四边形是矩形，进而得到，在中，、，进而求出点坐标，利用点在上，求出的值． 【详解】（1）解：①设上的任意一点，则变换之前的点在的图象上， 则，即， 所以的解析式为， 故答案为：×； ②设上的任意一点为，则变换之前的点在的图象上， 则，即， 故答案为：√； ③由于为的“倍函数”， 则， 整理得：， ，即， 故答案为：×； （2）解：由题可知，函数， 、， 设的“倍函数”上点为，则在原函数上， 则， 整理得：， 、， ，， 四边形为矩形， ， ， 解得：， 、， ，点A、C到轴距离均为2， ； （3）解：（）如图，当时， 由题意知，抛物线， 顶点， 令得：， 解得， ， 、、， ， 是等边三角形， ， 是的“倍函数”， 设上的点，则在上， 则， 整理得：， 顶点， ， 过点作轴交于点，过点作交于点， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形， 、， ， 轴， ， ， ， 在等边中，， 、， ， 、， 在中，， 、， ， ， 将点P坐标代入表达式得： ， 解得； （）如图，当时， 由（）抛物线的解析式为， 由题可知，，，三点共线，且顶点为， 作关于轴对称的，交于点， 同（）可证四边形是矩形、是边长为2的等边三角形， ，，， 在中，，， ， ，， ， 点坐标， 将点P坐标代入表达式得： ， ， 综上所述，的值为． 【点睛】本题考查二次函数的图象性质、矩形的判定与性质、等边三角形的性质、解直角三角函数、勾股定理、“倍函数”的定义，正确理解新的定义，熟练掌握相关性质定理、数形结合和分类讨论的思想方法的运用是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考数学考前预测卷 答题卡 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 口 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[]【1【1小 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AJ[BIICJ[D] 5[A][B][C][D] [AJ[B][C][D] 2[AJ[BJICIID] 6[AJ[BIIC][D] 10.A1[B1[C1ID] 3[A][B][C][D] 7[AJ[B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[AJ][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 12. 14. 5 6 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(6分) 18.(6分) 19.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) E B D 21.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(10分) E E G 图1 图2 23.(12分) M M D B G 图1 图2 图3 24.(12分) 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考考前预测卷 九年级 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的“秦汉时期”，的相反数为（   ） A．-2026 B．2026 C． D． 2．下列图案是中心对称图形，又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．下列运算中结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．为精准了解社区居民对周边便民服务（如便利店、生鲜店、快递点等）的满意度情况，下列抽样调查的方式中最合适的是（   ） A．只抽取社区内60岁以上的老年居民 B．随机抽取社区内某一栋楼的全体居民 C．在社区便民服务中心随机抽取20名正在办理业务的居民 D．将社区所有居民的信息录入社区智慧管理系统，通过系统随机抽取200名居民 5．如图，为正八边形的外接圆，，为正八边形的边，P为优弧上一点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．下列命题是真命题的是（    ） A．9的算术平方根是 B．同位角相等 C．点和点关于轴对称，则的值为5 D．在一个直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5 （第 5题） （第7题） （第8题） （第9题） 7．两个直角三角板如图摆放，是，的三角板，是的等腰三角板，点，均在同一直线上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在常温常压时用电热水壶加热一壶水，水的温度与时间（分钟）近似满足一次函数关系，当水温达到时停止加热，将茶叶放入热水壶，在一定时间内，茶水的温度与时间（分钟）近似满足反比例函数关系，已知该种茶水在时适宜饮用，在时饮用口感最佳．若按照上述程序冲泡一壶该种茶水，并从开始加热时计时，下列说法错误的是（    ） A．加热6分钟时水沸腾 B．加热4分钟时水温上升了 C．该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟~第20分钟 D．若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是16分钟 9．如图，在矩形中，，，为矩形对角线．利用尺规按以下步骤作图：①分别以点B、D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②连接交于点G，交于点E，交于点O；③以点O为圆心，以的长为半径作弧，交于点H、F；那么线段的长是（  ） A． B． C． D．1 10．如图，在菱形中，，，动点E从点A出发沿边匀速运动，运动到点C时停止，过点E作的垂线l，在点E运动过程中，垂线l扫过菱形（即阴影部分）的面积为y，点E运动的路程为．下列图象能反映y与x之间函数关系的是（   ） A．B．C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．在平面直角坐标系中，将点先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的点Q的坐标是______． 12．“头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如下表： 抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数m 94 194 289 479 769 960 2880 合格头盔的频率 0.940 0.970 0.963 0.958 0.961 0.960 0.960 若该工厂生产10000个头盔，估计合格的头盔数约有______个． 13．在中国传统文化中，数字“9”寓意着吉祥、尊贵与长久．现有如下运算规则：从1，2，3，，9这九个数字中任取一个数字，先将选取的数字乘以3，再加上3，最后将结果乘以3． （1）若选取的数字为，则运算结果为___________； （2）无论选取的数字是1~9中的哪个数，按照上述规则运算后，将这些数的个位与十位数字相加，最终得到的结果恒为___________． 14．如图，点D在圆心角为的扇形的半径上，矩形与交于点E，于点F，若，则图中阴影部分的面积是_________． 15．对于实数m、n定义运算“*”为，例如：，若关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 16．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线交、于点、，连接，若，，则的长为_____． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题6分）计算：． 18．（本题6分）先化简，再求值：，任选一个a代入，其中a是满足的整数． 19．（本题8分）为了了解某市九年级学生每周课外阅读时长（单位：小时）的情况，随机抽取了部分九年级学生进行调查，并将所收集的数据分组整理，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据图中信息，解答下列问题： (1)在这次调查活动中，一共抽取了多少名九年级学生？ (2)若该市有102000名九年级学生，请你估计该市九年级学生每周课外阅读时长在“”范围内的人数； (3)每周课外阅读时长恰好在“”范围内的九年级学生中有甲、乙、丙、丁4人表现特别突出，现从4人中随机选出2人分享在线学习心得，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率． 20．（本题8分）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并说明理由． 21．（本题10分）蓝莓是一种极具营养价值的水果，某水果店以元购进两种不同品种的盒装蓝莓，若按标价出售可获利润元（利润售价进价），这两种盒装蓝莓的进价、标价如下表所示： 价格/品种 品种 品种 进价（元/盒） 标价（元/盒） (1)求这两个品种的蓝莓各购进多少盒？ (2)该店计划下周购进这两种品种的蓝莓共盒（每种品种至少进盒），并在两天内将所进蓝莓全部销售完毕（损耗忽略不计），因品种蓝莓的销售情况较好，水果店计划购进品种的盒数不低于品种盒数的倍，且品种不少于盒，如何安排进货，才能使利润最大，最大利润是多少？ 22．（本题10分）综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度． 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径米．当伞面完全张开时，点D、E、F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点． (1)【任务1】某一时刻测得米， ①请直接写出__________； ②请求出此时影子的长度； (2)【任务2】这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由． 23．（本题12分）如图1，是的外接圆，是的直径，点是上一点，连接交于点，过点作，交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)如图2，连接， ①若，，求的长度； ②如图3，若点是的中点，过点作交的延长线于点， 求证：． 24．（本题12分）定义：将函数图象上的点的横坐标与纵坐标都变换为原来的倍（为常数，，），得到新的函数图象，则称为的“倍函数”．例如：对于：，求它的“3倍函数”的解析式．求法：设上的任意一点，则变换之前的点在的图象上，则，即，所以的解析式为． (1)判断下列说法是否正确？对的打“√”，错的打“×”； ①：的“3倍函数”是：；（   ） ②：是：的“2倍函数”；（   ） ③若：是：的“倍函数”，则（   ） (2)如图1，若，且二次函数的顶点为，与轴的交点为点，二次函数的“倍函数”的顶点为，与轴的交点为点．连接，，，．当四边形为矩形时，求此矩形的面积； (3)如图2，抛物线：的顶点为，与轴的正半轴交于点，的“倍函数”记作，的顶点为，点是上一点，若，且，当时，求实数的值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $@学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考考前预测卷 九年级数学 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的“秦汉时期”， 1 的相反数为() 2026 C.-2026 1 1 A.-2026 B.2026 D. 2026 2.下列图案是中心对称图形，又是轴对称图形的是（) 3.下列运算中结果正确的是() A.a3=-a B.(a-b)2=ad2-b2 C.(-a2)}3=-a6 D.（-2ab2）'=2a2b 4.为精准了解社区居民对周边便民服务（如便利店、生鲜店、快递点等）的满意度情况，下列抽样调查 的方式中最合适的是() A.只抽取社区内60岁以上的老年居民 B.随机抽取社区内某一栋楼的全体居民 C.在社区便民服务中心随机抽取20名正在办理业务的居民 D.将社区所有居民的信息录入社区智慧管理系统，通过系统随机抽取200名居民 5.如图，OO为正八边形的外接圆，AB,BC为正八边形的边，P为优弧AC上一点，连接AP,CP,则 ∠P的度数为() 119 @学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B A.30 B.40° C.45° D.60° 6.下列命题是真命题的是() A.9的算术平方根是±3 B.同位角相等 C.点A(2,4和点B(b,-3)关于x轴对称，则a+b的值为5 D.在一个直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5 7.两个直角三角板如图摆放，△ABC是∠A=90°，∠ABC=30°的三角板，△DEF是∠F=90°的等腰三角 板，点B,F均在同一直线上，若DE∥BF,∠PBA=50°，则∠BDF的度数为() D B A.25° B.30° C.35 D.40° 8.如图，在常温(25C)常压时用电热水壶加热一壶水，水的温度y(C)与时间x(分钟)近似满足一次函 数关系，当水温达到100C时停止加热，将茶叶放入热水壶，在一定时间内，茶水的温度y(C)与时间x (分钟)近似满足反比例函数关系，已知该种茶水在30℃~50°C时适宜饮用，在40℃时饮用口感最 佳.若按照上述程序冲泡一壶该种茶水，并从开始加热时计时，下列说法错误y(°C)的是() y(℃) 100 75 3 04 x分钟) A.加热6分钟时水沸腾 B.加热4分钟时水温上升了50°C C.该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟~第20分钟 D.若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是16分钟 9.如图，在矩形ABCD中，AB=1,AD=2√2，BD为矩形对角线.利用尺规按以下步骤作图：①分别以 点B、D为圆心，以大于二BD的长为半径作弧，两弧相交于两点MN②连接MN交AD于点G,交BC 219 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 于点E,交BD于点O:③以点O为圆心，以OG的长为半径作弧，交BD于点H、F:那么线段GF的长 是() G E A. B. 2-3 D.1 10.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4,动点E从点A出发沿边AB→BC匀速运动，运动到点 C时停止，过点E作AD的垂线1，在点E运动过程中，垂线I扫过菱形（即阴影部分）的面积为y,点E 运动的路程为x(x>O).下列图象能反映y与x之间函数关系的是() D y 85 85 6W5 65 25 25 6 8 o 4 8 以 8V5 85 65 D 65 25 25 0 6 8 468x 第二部分（非选择题共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.在平面直角坐标系xOy中，将点P(2,-2)先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到 的点Q的坐标是 12.“头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如下表： 抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000 319 可学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 合格的头盔数m 94 194 289 479 769 960 2880 合格头盔的频率心 0.940 0.970 0.963 0.958 0.961 0.960 0.960 若该工厂生产10000个头盔，估计合格的头盔数约有 个 13.在中国传统文化中，数字9”寓意着吉祥、尊贵与长久.现有如下运算规则：从1,2,3，…，9这九 个数字中任取一个数字，先将选取的数字乘以3，再加上3，最后将结果乘以3. (1)若选取的数字为n(1≤n≤9)，则运算结果为 (2)无论选取的数字是19中的哪个数，按照上述规则运算后，将这些数的个位与十位数字相加，最终 得到的结果恒为 14.如图，点D在圆心角为90°的扇形AOB的半径OA上，矩形OBCD与AB交于点E,EF⊥OB于点F, 若OD=OF=1,则图中阴影部分的面积是 15.对于实数、n定义运算*”为m*n=n2-2,例如：1*3=32-2×1=7，若关于x的方程k*x=2x有 两个相等的实数根，则k的值为一 16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC、AB于点M、 N,再分别以点M、V为圆心，大于N的长为半径作弧，两弧交于点G,作射线AG交BC于点D, 再分别以点A、B为圆心，大于子B的长为半径作弧，两弧相交于点P、Q,作直线2交AB、AD于点 E、F,连接BF,若AB=10,AC=6,则EF的长为· 419 回学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 1.(本题6分)计家：5-斗（④ +(2024-元)°-6c0s30°. 18.(本题6分)先化简，再求值： d2-6a+9 a2-4 ,任选一个a代入，其中a是满足-l<a≤3的 整数. 19.(本题8分)为了了解某市九年级学生每周课外阅读时长t(单位：小时)的情况，随机抽取了部分九 年级学生进行调查，并将所收集的数据分组整理，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计 图 频数 200F A 160 B A:0≤t<1 150 D B:1≤t<2 100 20% 100 C:2≤t<3 50 50 40 D:3≤t<4 E:4≤t<5 0 123 45t/小时 根据图中信息，解答下列问题： (1)在这次调查活动中，一共抽取了多少名九年级学生？ (2)若该市有102000名九年级学生，请你估计该市九年级学生每周课外阅读时长在“3≤t<4”范围内的人 数； (3)每周课外阅读时长恰好在“2≤t<3”范围内的九年级学生中有甲、乙、丙、丁4人表现特别突出，现从4 人中随机选出2人分享在线学习心得，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率. 519 @学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 20.(本题8分)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交 BE的延长线于点F. D (1)求证：AF=BD: (2)判断四边形ADCF的形状，并说明理由. 21.(本题10分)蓝莓是一种极具营养价值的水果，某水果店以2550元购进两种不同品种的盒装蓝莓，若 按标价出售可获利润1500元（利润=售价-进价），这两种盒装蓝莓的进价、标价如下表所示： 价格品种 A品种 B品种 进价（元/盒） 35 60 标价（元/盒） 60 90 (1)求这两个品种的蓝莓各购进多少盒？ (2)该店计划下周购进这两种品种的蓝莓共100盒（每种品种至少进1盒），并在两天内将所进蓝莓全部销售 完毕（损耗忽略不计），因B品种蓝莓的销售情况较好，水果店计划购进B品种的盒数不低于A品种盒数的 2倍，且A品种不少于20盒，如何安排进货，才能使利润最大，最大利润是多少？ 619 @学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 22.(本题10分)综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈180°，图2是其侧面示意图.已知支架AB 长为2.5米，且垂直于地面BC,悬托架AE=DE=0.5米，点E固定在伞面上，且伞面直径DF=2米.当 伞面完全张开时，点D、E、F始终共线.为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度 变化，自动调整手柄D沿着AB移动，以保证太阳光线与DF始终垂直， ■ u入 图1 图2 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角α（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角 90 75 60 45 30 15 (度) 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点2 (1)【任务1】某一时刻测得AD=0.8米， ①请直接写出sin∠ADE= ②请求出此时影子GH的长度： (2)【任务2】这天14点，小明坐在离支架3米处的2点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说 明理由. 719 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 23.(本题12分)如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点E是AB上一点，连接EC交AB 于点D,过点E作EF⊥CE,交OO于点M,交CA的延长线于点F. M D B B B 图1 图2 图3 (I)求证：∠F=∠ECB; (2)如图2，连接EA,EB,AM, ①若AB=10,∠ABC=60°，求AM的长度： ②如图3，若点E是AB的中点，过点F作FG‖EC交BA的延长线于点G, 求证：BD2=ED·FG. 819 @学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 24.(本题12分)定义：将函数图象C上的点的横坐标与纵坐标都变换为原来的k倍(k为常数，k≠0， 1),得到新的函数图象C2,则称C为C的“k倍函数”.例如：对于C:y=2x+4,求它的3倍函数”C2的 解折式.求法：设二，上的任意一点Pk,,则变换之前的点Q售)在C的图象上，则号24，即 3’3 y=2x+12,所以C,的解析式为y=2x+12. A主 图1 图2 (1)判断下列说法是否正确？对的打”，错的打×”： ①C:y=x的3倍函数”是C2:y=3x;() ②C:y= 12是6：y=3的2倍函数”：() ③若C:y=4x2+bx+G,是C,:y=a,x2+b,x+c,的k倍函数，则及=k() a (2)如图1，若t≠0，且二次函数y=x2-4x+t的顶点为A,与y轴的交点为点B,二次函数y=x2-4x+1 的-1倍函数的顶点为C,与y轴的交点为点D.连接AB,BC,CD,DA.当四边形ABCD为矩形 时，求此矩形的面积： (3)如图2，抛物线C:y=-√3x2+2√3x的顶点为M,与x轴的正半轴交于点N,C,的“k倍函数”记作 C2,C,的顶点为Q,点P是C上一点，若Sow=Sa2,且∠MQP=90°，当k>l时，求实数k的值. 9/92026年中考数学考前预测卷 答题卡 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条 考生禁填：缺考标记 ▣ 形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无 选择题填涂样例： 效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1【W][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题3分，共30分） 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A1[BJ[C][D] 2[A][B][C][D] 6.A][B][C]ID1 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.AJ[B][C][D] 4[A][B][C][D] 8.A][B][CJ[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 12 13. 14. 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(6分) 18.(6分) 19.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) E B D 21.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效! 22.(10分) F A E D B G H 图1 图2 23.(12分) E E E M M M F D F F D D A B A B G A B C 图1 图2 图3 24.(12分) 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2026年中考考前预测卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码 2.选择题必须用2B铅笔填涂：填空题和解答题必 须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A][B][C][D] 5][B][CID] 9 [A][B][c][D] 2 [A][B][c][D] 6[A][B][C][D] 10 [A][B][c][D] 3[A][B][C[D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C[D] 8[A][B][C][D] 二、填空题（每小题3分，共18分) 11 13 15. 16. 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(6分) 19.(8分) 频数 200 160 B A:0≤t<1 150 B:1≤t<2 100 100 D 20% C:2≤t<3 50 50 40 D:3≤t<4 E:4≤t<5 0 12345t/小时 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) E B D 21.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.（10分) F E O HC 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) M D 图1 E 6 图2 E M F D B G 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考考前预测卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. ________________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 16. ________________ 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（6分） 19．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前预测卷 九年级 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的“秦汉时期”，的相反数为（   ） A．-2026 B．2026 C． D． 2．下列图案是中心对称图形，又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．下列运算中结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．为精准了解社区居民对周边便民服务（如便利店、生鲜店、快递点等）的满意度情况，下列抽样调查的方式中最合适的是（   ） A．只抽取社区内60岁以上的老年居民 B．随机抽取社区内某一栋楼的全体居民 C．在社区便民服务中心随机抽取20名正在办理业务的居民 D．将社区所有居民的信息录入社区智慧管理系统，通过系统随机抽取200名居民 5．如图，为正八边形的外接圆，，为正八边形的边，P为优弧上一点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．下列命题是真命题的是（    ） A．9的算术平方根是 B．同位角相等 C．点和点关于轴对称，则的值为5 D．在一个直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5 7．两个直角三角板如图摆放，是，的三角板，是的等腰三角板，点，均在同一直线上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在常温常压时用电热水壶加热一壶水，水的温度与时间（分钟）近似满足一次函数关系，当水温达到时停止加热，将茶叶放入热水壶，在一定时间内，茶水的温度与时间（分钟）近似满足反比例函数关系，已知该种茶水在时适宜饮用，在时饮用口感最佳．若按照上述程序冲泡一壶该种茶水，并从开始加热时计时，下列说法错误的是（    ） A．加热6分钟时水沸腾 B．加热4分钟时水温上升了 C．该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟~第20分钟 D．若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是16分钟 9．如图，在矩形中，，，为矩形对角线．利用尺规按以下步骤作图：①分别以点B、D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②连接交于点G，交于点E，交于点O；③以点O为圆心，以的长为半径作弧，交于点H、F；那么线段的长是（  ） A． B． C． D．1 10．如图，在菱形中，，，动点E从点A出发沿边匀速运动，运动到点C时停止，过点E作的垂线l，在点E运动过程中，垂线l扫过菱形（即阴影部分）的面积为y，点E运动的路程为．下列图象能反映y与x之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．在平面直角坐标系中，将点先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的点Q的坐标是______． 12．“头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如下表： 抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数m 94 194 289 479 769 960 2880 合格头盔的频率 0.940 0.970 0.963 0.958 0.961 0.960 0.960 若该工厂生产10000个头盔，估计合格的头盔数约有______个． 13．在中国传统文化中，数字“9”寓意着吉祥、尊贵与长久．现有如下运算规则：从1，2，3，，9这九个数字中任取一个数字，先将选取的数字乘以3，再加上3，最后将结果乘以3． （1）若选取的数字为，则运算结果为___________； （2）无论选取的数字是1~9中的哪个数，按照上述规则运算后，将这些数的个位与十位数字相加，最终得到的结果恒为___________． 14．如图，点D在圆心角为的扇形的半径上，矩形与交于点E，于点F，若，则图中阴影部分的面积是_________． 15．对于实数m、n定义运算“*”为，例如：，若关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 16．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线交、于点、，连接，若，，则的长为_____． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题6分）计算：． 18．（本题6分）先化简，再求值：，任选一个a代入，其中a是满足的整数． 19．（本题8分）为了了解某市九年级学生每周课外阅读时长（单位：小时）的情况，随机抽取了部分九年级学生进行调查，并将所收集的数据分组整理，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据图中信息，解答下列问题： (1)在这次调查活动中，一共抽取了多少名九年级学生？ (2)若该市有102000名九年级学生，请你估计该市九年级学生每周课外阅读时长在“”范围内的人数； (3)每周课外阅读时长恰好在“”范围内的九年级学生中有甲、乙、丙、丁4人表现特别突出，现从4人中随机选出2人分享在线学习心得，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率． 20．（本题8分）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并说明理由． 21．（本题10分）蓝莓是一种极具营养价值的水果，某水果店以元购进两种不同品种的盒装蓝莓，若按标价出售可获利润元（利润售价进价），这两种盒装蓝莓的进价、标价如下表所示： 价格/品种 品种 品种 进价（元/盒） 标价（元/盒） (1)求这两个品种的蓝莓各购进多少盒？ (2)该店计划下周购进这两种品种的蓝莓共盒（每种品种至少进盒），并在两天内将所进蓝莓全部销售完毕（损耗忽略不计），因品种蓝莓的销售情况较好，水果店计划购进品种的盒数不低于品种盒数的倍，且品种不少于盒，如何安排进货，才能使利润最大，最大利润是多少？ 22．（本题10分）综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度． 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径米．当伞面完全张开时，点D、E、F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点． (1)【任务1】某一时刻测得米， ①请直接写出__________； ②请求出此时影子的长度； (2)【任务2】这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由． 23．（本题12分）如图1，是的外接圆，是的直径，点是上一点，连接交于点，过点作，交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)如图2，连接， ①若，，求的长度； ②如图3，若点是的中点，过点作交的延长线于点， 求证：． 24．（本题12分）定义：将函数图象上的点的横坐标与纵坐标都变换为原来的倍（为常数，，），得到新的函数图象，则称为的“倍函数”．例如：对于：，求它的“3倍函数”的解析式．求法：设上的任意一点，则变换之前的点在的图象上，则，即，所以的解析式为． (1)判断下列说法是否正确？对的打“√”，错的打“×”； ①：的“3倍函数”是：；（   ） ②：是：的“2倍函数”；（   ） ③若：是：的“倍函数”，则（   ） (2)如图1，若，且二次函数的顶点为，与轴的交点为点，二次函数的“倍函数”的顶点为，与轴的交点为点．连接，，，．当四边形为矩形时，求此矩形的面积； (3)如图2，抛物线：的顶点为，与轴的正半轴交于点，的“倍函数”记作，的顶点为，点是上一点，若，且，当时，求实数的值． 1 / 2 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