精品解析：山东德州市天衢新区2025--2026学年第二学期学业质量阶段验收 八年级数学·试题

2025-2026学年第二学期学业质量阶段验收 八年级数学・试题 一、选择题：本大题共10小题，共40分． 1. 下面是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：、不含二次根号，不是二次根式，该选项不符合题意； 、的根指数是，不是二次根式，该选项不符合题意； 、是二次根式，该选项符合题意； 、被开方数，根式无意义，不是二次根式，该选项不符合题意． 2. 下列各组数据中，是勾股数的是（ ） A. 6，8，9 B. 7，24，26 C. ，， D. 8，15，17 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、∵， ∴不是勾股数； B、∵， ∴不是勾股数； C、∵，， ∴不是勾股数； D、∵， ∴是勾股数； 故选：D ． 3. 下列各图表示的是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意是的函数依据函数的概念可知对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，以此进行分析判断即可． 【详解】解：根据函数的定义：在一个变化的过程中有两个变量和，对于每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说是的函数， 因此B选项中的图象表示是的函数，其他三个选项均不表示是的函数． 4. 如图，小明从点出发，沿直线前进后向左转，又向左转，照这样走下去回到原点，共走路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用多边形的外角和求出边数，进而即可求解． 【详解】解：由题意可知，小明每次向左转的角度为，这相当于正多边形的一个外角， ∵多边形的外角和为，  ∴该正多边形的边数 ， ∵每次前进的距离为，  ∴共走路程为 ． 5. 新能源电动车的电池续航里程受温度影响，随着温度降低，电池中的化学物质活性降低，续航里程减少．在这个变化过程中，自变量是（ ） A. 温度 B. 电池 C. 化学物质的活性 D. 续航里程 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，温度变化导致续航里程变化，因此温度是自变量． 【详解】解：题目中明确描述“随着温度降低，续航里程减少”，说明温度是主动变化的量（自变量），而续航里程是受温度影响而变化的量（因变量）．选项A“温度”符合自变量的定义，选项D“续航里程”是因变量，选项B“电池”是名词，不是变量；选项C“化学物质的活性”是受温度影响的中间变量，不是整个变化过程的自变量． 6. 在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ）． A. ①有一个角是直角 B. ②对角线互相垂直 C. ③对角线互相平分 D. ④对角线相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊平行四边形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：有一个角是直角的平行四边形是矩形，故A选项条件正确，不符合题意； 对于选项B：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B选项条件正确，不符合题意； 对于选项C：矩形本身对角线互相平分，仅添加对角线互相平分不能推出矩形是正方形，故C选项条件错误，符合题意； 对于选项D：对角线相等的菱形是正方形，故D选项条件正确，不符合题意． 7. 若二次根式与能够合并，则m的值可能为（ ） A. 9 B. 16 C. 46 D. 52 【答案】C 【解析】 【分析】先化简得到其最简被开方数，再根据能合并的二次根式是同类二次根式，即化简后被开方数相同的二次根式，逐一验证各选项即可得到答案． 【详解】解：∵能够合并的二次根式是同类二次根式，同类二次根式化简后被开方数相同， 又∵， ∴化简后被开方数为3，因此化简后被开方数也应为3． A 、当时，，被开方数为，不符合题意； B、 当时，，被开方数为，不符合题意； C、 当时，，被开方数为，符合题意； D 、当时，，被开方数为，不符合题意． 8. 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何．意思是：现有一根竹子，原高一丈（10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面的高度尺．根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设竹子折断处离地面的高度尺．根据图形并结合勾股定理即可得解，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：设竹子折断处离地面的高度尺． 由题意可得：， 故选：C． 9. 血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，药物在血浆内的浓度随着时间的变化而变化．如图为一名成人患者在单次口服1个单位某药物后，体内血药浓度与时间的关系图，下列说法错误的是（ ） A. 血药浓度在时达到最高 B. 当血药浓度小于时，药物无效 C. 每间隔服用该药物1单位，可以使药物持续发挥治疗作用 D. 首次服用该药物1单位时，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查函数图象．根据函数图象提供的信息逐项判断即可． 【详解】解：A、血药浓度在时达到最高，本选项不符合题意； B、当血药浓度小于时，此时药物无效，本选项不符合题意； C、每间隔服用该药物1单位，可以使药物持续发挥治疗作用，本选项不符合题意； D、由图象，首次服用该药物1单位时，血药浓度会增高，又首次服用该药物1单位时，血药浓度高于，故再次服用该药物1单位，血药浓度会高于，则会发生药物中毒，本选项符合题意； 故选：D． 10. 如图，四边形和是两个不全等的正方形，连接交于，如果面积为，则面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接、，由正方形的性质可得，，则，，结合等量代换可得． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 11. 要使代数式有意义，则的值可以是____． 【答案】2026（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，得到被开方数为非负数，据此列出不等式求解得到的取值范围，在范围内任取一个值即可． 【详解】解：要使二次根式有意义，根据二次根式的定义，被开方数必须是非负数， 因此列不等式得： 解得， 因此可以取任意大于或等于的数，此处取． 12. 如图，在平行四边形中，对角线、交于点，，，，则的长为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质求出的长度，然后根据勾股定理求解即可. 【详解】解：∵在平行四边形中，对角线、交于点，， ∴， 又，， ∴. 13. 声音在空气中传播的速度（简称音速）与气温之间的关系如下表： 气温 0 5 10 15 20 音速（米/秒） 331 334 337 340 343 在气温为的一天召开运动会，某人看到发令枪的烟0.2秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发令枪的地点有____________． 【答案】68 【解析】 【分析】根据表中数据可列出音速与时间的关系式，进而求出答案． 【详解】当气温为时，音速为340米/秒，而该人是看到发令枪的烟0.2秒后，听到了枪声． 则由此可知，这个人距发令地点米， 故答案为：68． 【点睛】本题考查了函数的表示方法.能够利用表格的数据计算距离是解题的关键． 14. 在平面直角坐标系中，已知等边三角形的两个顶点的坐标为和，那么点C的坐标为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况：点C在x轴上方和点C在x轴下方，过点C作于点H，求出的长，利用等边三角形的性质得到的长，则可求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当点C在x轴上方时，过点C作于点H， ∵，， ∴，， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理得， ∴点C的坐标为； 同理可求出当点C在x轴下方时点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或． 15. 如图①，底面积为的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②，若“几何体”的下方圆柱的底面积为，求“几何体”上方圆柱体的底面积为______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了函数图像的应用：把分段函数图像中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题是解决本题的关键． 根据图像，分三个部分：满过“几何体”下方圆柱需，漫过“几何体”上方圆柱需，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需，再设匀速注水的水流速度为，根据圆柱的体积公式列方程可得匀速注水的水流速度；设“几何体”下方圆柱的高为，根据圆柱的体积公式得，解得，于是得到“几何体”上方圆柱的高为，设“几何体”上方圆柱的底面积为，根据圆柱的体积公式得，再解方程即可求解． 【详解】解：根据函数图像得到圆柱形容器的高为，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为， 水从刚漫过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：， 这段高度为：， 设匀速注水的水流速度为，则， 解得， 即匀速注水的水流速度为； “几何体”下方圆柱的高为，则， 解得， 所以“几何体”上方圆柱的高为， 设“几何体”上方圆柱的底面积为， 根据题意得， 解得， 即“几何体”上方圆柱的底面积为， 故答案为：24． 三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则求解即可． （2）先计算二次根式乘除法，最后计算加减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，在矩形中，点是上一点，于，． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，进一步即可得到结论； （2）根据线段的和差计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ∴， ∵，， ∴． 18. 请根据函数相关知识，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题． ①列表；②描点；③连线． … … … … （1）表格中：_________，_________． （2）在直角坐标系中画出该函数图像． （3）观察图象： ①根据函数图象可得，该函数的最小值是_________； ②观察函数的图像，写出该图像的两条性质． 【答案】（1）， （2） 根据表格数轴，运用描点，连线方法画函数图像，如图所示， ∴图示即为所求函数的图像． （3）①；②关于对称，即对称轴为；当时，函数值随自变量的增大而减小，当时，函数值随自变量的增大而增大（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）观察表格可知，当，，时，函数值的变化规律，由此即可求解； （2）利用描点，连线的方法即可求解函数图像； （3）①从（2）中图像可求解；②根据图像，对称性，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，；当时，；当时，， ∴函数关系的图像关于对称， ∴的函数值与的函数值相等，的函数值与的函数值相等， ∴， 故答案为：，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据函数图像可得，函数的最小值是； 故答案为：； ②观察函数的图像，该图像的性质有：关于对称，即对称轴为；当时，函数值随自变量的增大而减小，当时，函数值随自变量的增大而增大（答案不唯一）． 【点睛】本题是函数以绝对值的综合运用，掌握绝对值的性质，观察列表中的数，并找出规律，用描点，连线的方法画函数图像是解题的关键． 19. 如图，是内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接，得到四边形． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）如果，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理，是的中位线， ∴，， ∴，且， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）判断是的中位线，是的中位线，则，，，，因此，且，命题得证； （2）作，垂足为，判断是等腰直角三角形，则，根据含角的直角三角形的性质可得，，由勾股定理可得，因此，结合即可计算出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，作，垂足为， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵在中，，且， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， ∴． 20. 某海域有一小岛，在以为圆心，半径为海里的圆形海域内有暗礁，一海监船自西向东航行，它在处测得小岛位于北偏东的方向上，当海监船行驶海里后到达处，此时观测小岛位于处北偏东方向上． （1）若过点作于点，则___________； （2）求的距离； （3）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由． 【答案】（1） （2）80海里 （3）海监船由B处继续向东航行有触礁危险． 【解析】 【分析】（1）设，则，，据此求解即可； （2）设海里，根据等腰直角三角形的性质用x表示出，再用x表示出，根据题意列出方程，解方程求出x，进而求出； （3）比较与半径的大小，得到答案． 【小问1详解】 解：如图，在中，， 设，则，， ∴； 【小问2详解】 解：在中，， 设海里，则海里，海里， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴海里， ∵海里， ∴， 解得， ∴海里， ∴的距离为80海里； 【小问3详解】 解：海监船由B处继续向东航行有触礁危险， 理由如下：∵， ∵， ∴海监船由B处继续向东航行有触礁危险． 21. 阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方的形式． 例如：①； ②． （1）【类比归纳】填空： ①； ② （2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方的形式； （3）【拓展提升】如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，剩余部分的面积为_________． 【答案】（1）①，（或）；②， （2） ． （3） 【解析】 【分析】（1）①根据完全平方公式解答即可； ②根据完全平方公式解答即可； （2）结合，利用完全平方公式解答即可； （3）先求出两个小正方形的边长，再利用长方形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：① （或）； ② ． 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：由题意得：小正方形的边长为， 小正方形的边长为 ， 则剩余部分的面积为 ， 即剩余部分的面积为． 22. 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． 【经历体验】 （1）已知，均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示 ，用含的代数式表示 ； ②据此写出的最小值是 ； 【类比应用】 （2）根据上述的方法，代数式的最小值是 ； 【感悟探索】 （3）①求的最大值； ②若，为正数，求出以，，为边的三角形的面积．（用含，的式子表示） 【答案】（1）①，；②5 （2）20 （3）①的最大值；②，，为边的三角形的面积为 【解析】 【分析】（1）①利用勾股定理可得和的长； ②利用三角形三边的关系得到（当且仅当、、共线时取等号），作交的延长线于，易得四边形为矩形，利用勾股定理计算出，从而得到结论； （2）利用（1）中的方法画出图形，设，，，，则，利用勾股定理得到，，；根据三角形三边的关系得到而（当且仅当、、共线时取等号），作交的延长线于，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出即可得到代数式的最小值； （3）①设，，，，则，作点D关于的对称点，，而（当且仅当C、E、共线且E在的延长线上即点时等号成立时取等号），再利用三角形三边关系即可得出结论； ②画出边长，的矩形，利用勾股定理构图解答即可． 【小问1详解】 解：①在中，，，， ∴， ∵在中，，，， ∴， ②连接， 由①得， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，如图1， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，， ∴的最小值为5， 即的最小值是5； 【小问2详解】 解：如图，，设，，，，则， 在中，， 在中，； ∴， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，易得四边形为矩形，如图， ∴，， ∴， 在中，， ∴的最小值为20， 即的最小值为20； 【小问3详解】 解：①如图，，设，，，，则， 作点D关于的对称点，作于点， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，； 在中，， ∴， 而（当且仅当C、E、共线且E在的延长线上即点时，等号成立）， 在中，， 即的最大值为； ②分别以，为边长作出矩形，则，，上取一点E，使，则，取的中点为F，连接，，，如图， ∴，，，，， ∴， ， ， ∴以，，为边的三角形的面积， ∵ ， ∴以，，为边的三角形的面积为． 23. 【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转． 【问题发现】 （1）①线段，之间的数量关系是________． ②在①的基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕点旋转．当时，请直接写出线段的长． 【答案】 （1）①； ②在中，， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：三线段，，间的数量关系为：； 证明如下： ∵四边形、四边形均为矩形，矩形的中心为O， ∴，， ， ∴； 在与中， ， ∴， ∴，； ∵， ∴； 在中，由勾股定理得：， ∴； （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）①证明，由全等三角形的性质即可得到，从而可得；②由①的结论及勾股定理即可得到三线段间的数量关系； （2）由矩形的性质可证明，则有；再由矩形的性质及线段垂直平分线的性质可得；在中，由勾股定理及等量代换可得 ； （3）分两种情况：点E在边上；点E在延长线上；由（2）的结论及勾股定理即可解决． 【详解】解：（1）①∵四边形、四边形均为正方形， ∴，，，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； 故答案为：； 略 ② （2） 略 （3）解：①当点E在边上时； 由（2）的结论知：； 另一方面，在中，由勾股定理得：， 即； 设，则，而， ∴， 解得：， 即； ②当点E在延长线上时，如图； 把补成矩形，延长交延长线于点P，连接， 与（2）证法相同，同样有， 另一方面，在中，由勾股定理得：， 即； 设，则，而， ∴， 解得：， 即； 综上，的长为或． 【点睛】本题是四边形的综合，考查了矩形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，旋转的性质等知识，证明三角形全等是问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期学业质量阶段验收 八年级数学・试题 一、选择题：本大题共10小题，共40分． 1. 下面是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数据中，是勾股数的是（ ） A. 6，8，9 B. 7，24，26 C. ，， D. 8，15，17 3. 下列各图表示的是的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，小明从点出发，沿直线前进后向左转，又向左转，照这样走下去回到原点，共走路程为（ ） A. B. C. D. 5. 新能源电动车的电池续航里程受温度影响，随着温度降低，电池中的化学物质活性降低，续航里程减少．在这个变化过程中，自变量是（ ） A. 温度 B. 电池 C. 化学物质的活性 D. 续航里程 6. 在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ）． A. ①有一个角是直角 B. ②对角线互相垂直 C. ③对角线互相平分 D. ④对角线相等 7. 若二次根式与能够合并，则m的值可能为（ ） A. 9 B. 16 C. 46 D. 52 8. 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何．意思是：现有一根竹子，原高一丈（10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面的高度尺．根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，药物在血浆内的浓度随着时间的变化而变化．如图为一名成人患者在单次口服1个单位某药物后，体内血药浓度与时间的关系图，下列说法错误的是（ ） A. 血药浓度在时达到最高 B. 当血药浓度小于时，药物无效 C. 每间隔服用该药物1单位，可以使药物持续发挥治疗作用 D. 首次服用该药物1单位时，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒 10. 如图，四边形和是两个不全等的正方形，连接交于，如果面积为，则面积为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 11. 要使代数式有意义，则的值可以是____． 12. 如图，在平行四边形中，对角线、交于点，，，，则的长为__________． 13. 声音在空气中传播的速度（简称音速）与气温之间的关系如下表： 气温 0 5 10 15 20 音速（米/秒） 331 334 337 340 343 在气温为的一天召开运动会，某人看到发令枪的烟0.2秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发令枪的地点有____________． 14. 在平面直角坐标系中，已知等边三角形的两个顶点的坐标为和，那么点C的坐标为_______． 15. 如图①，底面积为的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②，若“几何体”的下方圆柱的底面积为，求“几何体”上方圆柱体的底面积为______． 三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，在矩形中，点是上一点，于，． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 18. 请根据函数相关知识，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题． ①列表；②描点；③连线． … … … … （1）表格中：_________，_________． （2）在直角坐标系中画出该函数图像． （3）观察图象： ①根据函数图象可得，该函数的最小值是_________； ②观察函数的图像，写出该图像的两条性质． 19. 如图，是内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接，得到四边形． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）如果，，，求的长． 20. 某海域有一小岛，在以为圆心，半径为海里的圆形海域内有暗礁，一海监船自西向东航行，它在处测得小岛位于北偏东的方向上，当海监船行驶海里后到达处，此时观测小岛位于处北偏东方向上． （1）若过点作于点，则___________； （2）求的距离； （3）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由． 21. 阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方的形式． 例如：①； ②． （1）【类比归纳】填空： ①； ② （2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方的形式； （3）【拓展提升】如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，剩余部分的面积为_________． 22. 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． 【经历体验】 （1）已知，均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示 ，用含的代数式表示 ； ②据此写出的最小值是 ； 【类比应用】 （2）根据上述的方法，代数式的最小值是 ； 【感悟探索】 （3）①求的最大值； ②若，为正数，求出以，，为边的三角形的面积．（用含，的式子表示） 23. 【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转． 【问题发现】 （1）①线段，之间的数量关系是________． ②在①的基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕点旋转．当时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $