精品解析：福建省泉州第五中学2025-2026学年下学期八年级期中考试数学试卷

泉州五中2025-2026学年下学期初二年期中考试 数学试卷 （全卷满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题（单项选择，每小题4分，共40分） 1. 要使分式有意义，需满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 2. 华为Mate70于2024年11月开售，该款手机搭载的是华为自主研发的麒麟9100芯片，该款芯片采用等效7纳米工艺，1纳米米，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解： 故选：D． 3. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，需依据“只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程”这三个核心条件逐一判断各选项． 【详解】解： A选项：只含一个未知数，但未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合一元二次方程定义； B选项：只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程定义； C选项：中含有分式，不是整式方程，不符合一元二次方程定义； D选项：只含一个未知数，但未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合一元二次方程定义． 故选B 4. 如图，四边形是正方形，是等边三角形，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质， 先根据正方形和等边三角形的性质得，可求出，再根据等边对等角得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5. 已知是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再代入已知等式建立关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵、是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， 又∵， ∴， 解得． 6. 如图，矩形中，对角线相交于点，若，，则的长度为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由矩形的性质和含30度角的直角三角形的性质求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 7. 若三角形两边长分别为5和4，第三边的长是方程的根，则此三角形的周长为（ ） A. 16 B. 18 C. 15或17 D. 16或18 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长． 【详解】解：将变形为， 解得：， ， ∵三角形两边长分别为5和4， ∴第三边的边长， 即第三边的边长在1和9之间， ∴第三边的边长为7． ∴这个三角形的周长是． 故选A． 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程、三角形的三边关系，解题的关键在于根据三角形三边关系对一元二次方程的根进行取舍． 8. 如图，在中，交对角线于点E．若，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，再由平行线的性质得，易证，然后由三角形的外角性质即可得，由此即可求解． 【详解】解：， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ∴． 9. 如图，在菱形中，P是对角线上一动点，过点P作于点E，于点F．若菱形的周长为20，面积为24，则的值为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据菱形周长求出菱形的边长，再根据菱形的面积得出，即可求解． 【详解】解：连接，如图， 菱形的周长为20， ， 菱形的面积为24， ， ， ，即， 解得． 10. 若关于的一元一次不等式组，有且仅有个整数解，且关于的分式方程有正数解，则所有满足条件的整数的和为（　　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式组和分式方程得出关于x的范围及x的值，根据不等式组有3个整数解和分式方程的解为正数得出a的范围，继而可得整数a的取值之和． 【详解】解：解不等式组得：≤x＜5， ∵不等式组有且仅有3个整数解， ∴1＜≤2， 解得：2＜a≤6， 解分式方程得x＝， ∵分式方程有正数解， ∴＞0， 解得：a＞1， 又∵x＝≠1， ∴a≠5， 综上，a的取值范围是2＜a≤6，且a≠5， 则所有满足条件的整数a的值之和为3+4+6＝13， 故选：B． 【点睛】本题主要考查分式方程的解和一元一次不等式组的解，熟练掌握解分式方程和不等式组的能力，并根据题意得到关于a的范围是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若是关于的一元二次方程，则的值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据定义得到，求解即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：1． 12. 若平行四边形的周长为，相邻两边的差为，则较短边的长为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质和二元一次方程组的应用，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形周长求出相邻两边之和，再根据差列出方程组求解． 【详解】解：设较长边为，较短边为， 由平行四边形性质，相邻两边之和为周长的一半， 即， 又相邻两边差为，即， 得方程组， 解得， 故较短边长为， 故答案为：． 13. 如图，的对角线，相交于点，且，的周长为27．则______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 由平行四边形的性质可得，，由，可得，由的周长是27，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵的周长是27， ∴， 解得， ，． 故答案为：11． 14. 若关于x的分式方程有增根，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程有增根的问题，先确定分式方程的增根，再将分式方程去分母化为整式方程，把增根代入整式方程即可求出k的值． 【详解】解：原方程可变形为， 两边同乘最简公分母，得， 因为分式方程有增根，所以最简公分母，即增根为， 将代入整式方程，得， 即， 解得． 故答案为：2． 15. 若a是方程的根，则代数式的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的概念，可得，变形可得，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵a是方程的根， ， 当时，不成立， ， ，即， ∴． 16. 如图，菱形中，，点E在边上，点F在边上，且，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查菱形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质得出解答． 延长，相交于点，根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质得出，进而利用勾股定理解答即可． 【详解】解：延长，相交于点，作于点， 四边形是菱形， ，， ， 在与中， ， ， ， ，， ， ， ， 设，，， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：， ， 故答案为：． 三、解答题（共84分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂，注意计算的准确性即可． 【详解】解：原式 18. 解方程． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，直接利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ∴或， ∴， 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；2 【解析】 【分析】本题考查了分式的加法及乘除法运算，分式的化简求值，熟练掌握各运算法则是解题关键． 先利用通分计算括号里的分式加法运算，再计算分式的乘除法，最后将的值代入求解即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 20. 如图，点，分别是平行四边形的边，上的一点，连接，，若．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质．证明，，即可得到结论． 【详解】略 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求m的取值范围； （2）若方程的两个实数根为，且，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，则． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，再根据已知条件得到，解之即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为、， ∴ ∵， ∴， 解得：或（舍）， ∴． 22. 为了缓解茉莉花采摘中的劳动力短缺及降低生产成本，茉莉园引进智能采摘机器人．已知一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍，用一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花比4个工人采摘这些茉莉花要少用1天．设一个工人平均每天可采摘x千克茉莉花． （1）用含x的式子填空：一台智能采摘机器人平均每天可采摘________千克茉莉花；一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花需要________天； （2）求一台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花多少千克． 【答案】（1）； （2）50千克 【解析】 【分析】（1）根据一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍可得一台智能采摘机器人平均每天可采摘千克茉莉花；采摘200千克茉莉花需要的时间=总重量÷每天采摘量，即天； （2）根据“一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花比4个工人采摘这些茉莉花要少用1天”列分式方程解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：一台智能采摘机器人平均每天可采摘千克茉莉花； 采摘200千克茉莉花需要的时间为（天）； 【小问2详解】 解：依题意，得， 解得． 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 智能采摘机器人平均每天采摘量：． 答：这台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花50千克． 23. 我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程．在数学史上，我国及其他国家的数学家还研究过一元二次方程的几何解法． 例：用几何解法求方程即的正根． 方法（Ⅰ）：三国时期数学家赵爽用4个以和为邻边的矩形，用“拼”的方式构造边长为的大正方形（如图1）； （1）根据图1的构造，用不同的方式表示大正方形面积，可以得到新的方程：，解得正根 ； 方法（Ⅱ）：阿拉伯数学家以和为邻边构造一个矩形（如图2），利用“割”、“拼”、“补”的方式构造边长为的正方形（如图3、4）； （2）根据图4的构造，用不同的方式表示大正方形面积，可以得到新的方程： ，解得正根 ； （3）实际上，对关于的方程，可以用方法（Ⅰ）、（Ⅱ）求出方程的正根．若图1是由四个面积为5的相同矩形构成，中间围成的小正方形面积为16，那么，此方程中的 ，求得方程的正根为 ； （4）类比图1、图4，请选择一种方法求方程的正根． ①在图5的正方形中设计构图，并在图上标出相应的线段长度； ②根据①中的构图，可以得到新的方程： ，解得正根为 ． 【答案】（1） （2）； （3）5； （4）①如图5所示， ②； 【解析】 【分析】（1）利用直接开方法解一元二次方程即可； （2）用不同的方式表示大正方形面积得到新的方程，然后求解即可； （3）根据题意求出，然后列出方程求解即可； （4）①根据据图1的方法构造即可； ②根据题意列出方程求解即可． 【小问1详解】 解： 解得， ∴正根为； 【小问2详解】 解：大正方形的面积可以表示为，大正方形的面积还可以表示为， ∴可以得到新的方程：， ∴ 解得， ∴正根为； 【小问3详解】 解：∵若图1是由四个面积为5的相同矩形构成，中间围成的小正方形面积为16， ∴， ∵每个矩形面积是5，小正方形面积面积是16，得出大正方形面积是36， ∴正方形的边长， ∴， ∴方程的正根为； 【小问4详解】 解：①∵， ∴， ∴； ②∵， 根据题意得，， ∴， ， 解得，， ∴正根为． 24. 我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2． （1）已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”； （2）已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是2，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； （3）已知分式，（，，为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，求的值． 【答案】（1）C是D的“雅中式”，，关于的“雅中值”为2； （2），5 （3）7或1． 【解析】 【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，解分式方程，因式分解的应用，方程的整数解问题，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键． （1）先化简，再计算，再根据“雅中值”的定义可得答案； （2）由定义可得：，整理可得：的表达式，再化简 根据为整数，且“雅中式”的值也为整数，得到：是的因数，从而可得答案； （3）由定义可得：，整理可得：，从而可得：，再消去，结合因式分解可得，结合、、为整数，分类讨论后可得答案． 【小问1详解】 解：C是D的“雅中式”，理由如下： ，， 是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2； 【小问2详解】 解：关于的“雅中值”是， ， ， ， 为整数，且“雅中式”的值也为整数， 是2的因数， 可能是：，， 的值为：，0，2，3， 的值为：0，2，3， ； 【小问3详解】 解：是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1， ， 整理得：， 由上式恒成立： ， 消去可得：，即， ， 、、为整数， 为整数， 当时， ， 此时：， ； 当时， ， 此时：， ， 综上：的值为：7或1． 25. 已知，如图点M为的边中点，点D为直线上一个动点（不与点A重合），，连接． （1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，当时，求证：四边形是矩形； （3）如图3，延长交边于点H，过点D作于点F，若，且，求证：四边形是正方形． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点M为中点，且D与M重合， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2） 证明：如图2，过点M作交延长线于点G， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 由（1）同理可证：， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （3） 解：如图3，取线段的中点I，连接，过点M作交于点G， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 由（1）同理可证：， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，即， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形； ∵， ∴是的中位线， ∴，， ∵，且， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】（1）先判断出，进而判断出，即可得出结论； （2）过点M作交延长线于点G，先判断出四边形是平行四边形，借助（1）的结论即可得出四边形是平行四边形，结合，即可证明四边形是矩形； （3）取线段的中点I，连接，过点M作交延长线于点G，先判断出四边形是平行四边形，借助（1）的结论即可证明四边形是平行四边形；再证明四边形是矩形；判断出，，则是等腰直角三角形，进而得出，推出是等腰直角三角形，得到，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州五中2025-2026学年下学期初二年期中考试 数学试卷 （全卷满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题（单项选择，每小题4分，共40分） 1. 要使分式有意义，需满足的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 华为Mate70于2024年11月开售，该款手机搭载的是华为自主研发的麒麟9100芯片，该款芯片采用等效7纳米工艺，1纳米米，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形是正方形，是等边三角形，的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 3 6. 如图，矩形中，对角线相交于点，若，，则的长度为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 7. 若三角形两边长分别为5和4，第三边的长是方程的根，则此三角形的周长为（ ） A. 16 B. 18 C. 15或17 D. 16或18 8. 如图，在中，交对角线于点E．若，则度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，P是对角线上一动点，过点P作于点E，于点F．若菱形的周长为20，面积为24，则的值为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 10. 若关于的一元一次不等式组，有且仅有个整数解，且关于的分式方程有正数解，则所有满足条件的整数的和为（　　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若是关于的一元二次方程，则的值是________． 12. 若平行四边形的周长为，相邻两边的差为，则较短边的长为_______． 13. 如图，的对角线，相交于点，且，的周长为27．则______． 14. 若关于x的分式方程有增根，则________． 15. 若a是方程的根，则代数式的值是______． 16. 如图，菱形中，，点E在边上，点F在边上，且，若，则______． 三、解答题（共84分） 17. 计算：． 18. 解方程． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，点，分别是平行四边形的边，上的一点，连接，，若．求证：四边形是平行四边形． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求m的取值范围； （2）若方程的两个实数根为，且，求m的值． 22. 为了缓解茉莉花采摘中的劳动力短缺及降低生产成本，茉莉园引进智能采摘机器人．已知一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍，用一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花比4个工人采摘这些茉莉花要少用1天．设一个工人平均每天可采摘x千克茉莉花． （1）用含x的式子填空：一台智能采摘机器人平均每天可采摘________千克茉莉花；一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花需要________天； （2）求一台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花多少千克． 23. 我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程．在数学史上，我国及其他国家的数学家还研究过一元二次方程的几何解法． 例：用几何解法求方程即的正根． 方法（Ⅰ）：三国时期数学家赵爽用4个以和为邻边的矩形，用“拼”的方式构造边长为的大正方形（如图1）； （1）根据图1的构造，用不同的方式表示大正方形面积，可以得到新的方程：，解得正根 ； 方法（Ⅱ）：阿拉伯数学家以和为邻边构造一个矩形（如图2），利用“割”、“拼”、“补”的方式构造边长为的正方形（如图3、4）； （2）根据图4的构造，用不同的方式表示大正方形面积，可以得到新的方程： ，解得正根 ； （3）实际上，对关于的方程，可以用方法（Ⅰ）、（Ⅱ）求出方程的正根．若图1是由四个面积为5的相同矩形构成，中间围成的小正方形面积为16，那么，此方程中的 ，求得方程的正根为 ； （4）类比图1、图4，请选择一种方法求方程的正根． ①在图5的正方形中设计构图，并在图上标出相应的线段长度； ②根据①中的构图，可以得到新的方程： ，解得正根为 ． 24. 我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2． （1）已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”； （2）已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是2，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； （3）已知分式，（，，为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，求的值． 25. 已知，如图点M为的边中点，点D为直线上一个动点（不与点A重合），，连接． （1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，当时，求证：四边形是矩形； （3）如图3，延长交边于点H，过点D作于点F，若，且，求证：四边形是正方形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $