福建省泉州第五中学2025-2026学年下学期八年级期中考试数学试卷

泉州五中2025-2026学年下学期初二年期中考试 数学试卷 （全卷满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题（单项选择，每小题4分，共40分） 1. 要使分式有意义，需满足的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 华为Mate70于2024年11月开售，该款手机搭载的是华为自主研发的麒麟9100芯片，该款芯片采用等效7纳米工艺，1纳米米，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形是正方形，是等边三角形，的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 3 6. 如图，矩形中，对角线相交于点，若，，则的长度为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 7. 若三角形两边长分别为5和4，第三边的长是方程的根，则此三角形的周长为（ ） A. 16 B. 18 C. 15或17 D. 16或18 8. 如图，在中，交对角线于点E．若，则度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，P是对角线上一动点，过点P作于点E，于点F．若菱形的周长为20，面积为24，则的值为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 10. 若关于的一元一次不等式组，有且仅有个整数解，且关于的分式方程有正数解，则所有满足条件的整数的和为（　　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若是关于的一元二次方程，则的值是________． 12. 若平行四边形的周长为，相邻两边的差为，则较短边的长为_______． 13. 如图，的对角线，相交于点，且，的周长为27．则______． 14. 若关于x的分式方程有增根，则________． 15. 若a是方程的根，则代数式的值是______． 16. 如图，菱形中，，点E在边上，点F在边上，且，若，则______． 三、解答题（共84分） 17. 计算：． 18. 解方程． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，点，分别是平行四边形的边，上的一点，连接，，若．求证：四边形是平行四边形． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求m的取值范围； （2）若方程的两个实数根为，且，求m的值． 22. 为了缓解茉莉花采摘中的劳动力短缺及降低生产成本，茉莉园引进智能采摘机器人．已知一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍，用一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花比4个工人采摘这些茉莉花要少用1天．设一个工人平均每天可采摘x千克茉莉花． （1）用含x的式子填空：一台智能采摘机器人平均每天可采摘________千克茉莉花；一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花需要________天； （2）求一台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花多少千克． 23. 我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程．在数学史上，我国及其他国家的数学家还研究过一元二次方程的几何解法． 例：用几何解法求方程即的正根． 方法（Ⅰ）：三国时期数学家赵爽用4个以和为邻边的矩形，用“拼”的方式构造边长为的大正方形（如图1）； （1）根据图1的构造，用不同的方式表示大正方形面积，可以得到新的方程：，解得正根 ； 方法（Ⅱ）：阿拉伯数学家以和为邻边构造一个矩形（如图2），利用“割”、“拼”、“补”的方式构造边长为的正方形（如图3、4）； （2）根据图4的构造，用不同的方式表示大正方形面积，可以得到新的方程： ，解得正根 ； （3）实际上，对关于的方程，可以用方法（Ⅰ）、（Ⅱ）求出方程的正根．若图1是由四个面积为5的相同矩形构成，中间围成的小正方形面积为16，那么，此方程中的 ，求得方程的正根为 ； （4）类比图1、图4，请选择一种方法求方程的正根． ①在图5的正方形中设计构图，并在图上标出相应的线段长度； ②根据①中的构图，可以得到新的方程： ，解得正根为 ． 24. 我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2． （1）已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”； （2）已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是2，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； （3）已知分式，（，，为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，求的值． 25. 已知，如图点M为的边中点，点D为直线上一个动点（不与点A重合），，连接． （1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，当时，求证：四边形是矩形； （3）如图3，延长交边于点H，过点D作于点F，若，且，求证：四边形是正方形． 泉州五中2025-2026学年下学期初二年期中考试 数学试卷 （全卷满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题（单项选择，每小题4分，共40分） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】B 二、填空题（每小题4分，共24分） 【11题答案】 【答案】1 【12题答案】 【答案】5 【13题答案】 【答案】11 【14题答案】 【答案】2 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】 三、解答题（共84分） 【17题答案】 【答案】 【18题答案】 【答案】 ， 【19题答案】 【答案】；2 【20题答案】 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【21题答案】 【答案】（1） （2） 【22题答案】 【答案】（1）； （2）50千克 【23题答案】 【答案】（1） （2）； （3）5； （4）①如图5所示， ②； 【24题答案】 【答案】（1）C是D的“雅中式”，，关于的“雅中值”为2； （2），5 （3）7或1． 【25题答案】 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点M为中点，且D与M重合， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2） 证明：如图2，过点M作交延长线于点G， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 由（1）同理可证：， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （3） 解：如图3，取线段的中点I，连接，过点M作交于点G， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 由（1）同理可证：， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，即， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形； ∵， ∴是的中位线， ∴，， ∵，且， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $