天津市2025-2026学年高二第二学期阶段性检测数学试卷

2025-2026学年度高二第二学期 阶段性检测 一、单选题 1．下列求导结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】导数的乘除法 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误． 2．曲线在点处的切线方程为，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求曲线切线的斜率（倾斜角）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【详解】由题可知， 且曲线在点处的切线方程为，即， 所以，所以 3．已知函数的定义域为，它的导函数的图象如图所示.则下列结论中正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．0是函数的极小值点 C．2是函数的极大值点 D．函数在，上单调递增 【答案】D 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数极值点的辨析、函数（导函数）图像与极值点的关系 【详解】由导函数的图象可知，当，，当，，当，， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减，所以A错误，D正确； 因为函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以0是函数的极大值点，2是函数的极小值点，所以B, C错误. 4．已知的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式各项的二项式系数之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二项式系数的增减性和最值、二项式的系数和 【分析】根据二项式系数的单调性可得，即可由二项式系数和公式求解. 【详解】的展开式中第6项的二项式系数为，由于只有最大，所以，故二项式系数之和为， 故选：B 5．下列说法正确的个数是（    ） ①线性相关系数越接近1，两个变量的线性相关程度越强； ②独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系； ③在回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高； ④甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】独立性检验的概念及辨析、决定系数的计算及分析、残差的计算、相关系数的意义及辨析 【分析】根据线性相关系数，独立性检验，残差图及决定系数的概念分别判断即可． 【详解】线性相关系数越接近1，两个变量的线性相关程度越强，故①正确； 独立性检验并不能100%确定两个变量之间是否具有某种关系，故②错误； 回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，故③正确； 回归分析中，可用判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好，故④正确； 故选：C． 6．为丰富学生的课余活动，学校举办“书香临夏、悦享阅读”的读书朗诵比赛．已知参加比赛的男同学与女同学人数比是3∶2，其中有的男同学和的女同学擅长中华诗词朗诵，现随机选一位同学，这位同学恰好擅长中华诗词朗诵的概率是（    ） A．0.28 B．0.24 C．0.26 D．0.30 【答案】B 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】由题意转化为全概率公式，即可求解. 【详解】设事件为选到一位男同学，事件为选到一位女同学， 事件位擅长中华诗词朗诵， 则，，，, 所以， . 故选：B 7．有5名同学参加唱歌比赛，若不是第1个出场，且出场顺序相邻，则这5人不同的出场顺序种数为（   ） A．36 B．48 C．72 D．120 【答案】A 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、分步乘法计数原理及简单应用、相邻问题的排列问题 【详解】将和视为一个整体（内部有种排列），则总共有个元素：捆绑体、、、， 全排列数为 种， 再排除在第位的情况：此时固定在第位，剩余个元素（捆绑体、、）的全排列为 种， 因此符合条件的排法为 种. 8．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由函数的单调区间求参数、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】函数在区间上单调递增，等价于导函数在此区间恒大于等于0，进而转化成参数小于等于某个函数恒成立，即求函数最值的问题. 【详解】解：由题意知，因为函数在上单调递增， 所以恒成立，即在区间上恒成立. 令，，则，当时，，所以， 因此在上单调递增，则，所以. 9.已知函数，，若函数有5个零点，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、分段函数的性质及应用、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点 【分析】是1个零点，进而得时，函数有4个零点，将问题转化成与有4个交点分析计算求解即可. 【详解】由题意，可知： 当时，，故为的1个零点； 故当时，函数有4个零点，即有4个非0实数根， 即有4个非0实数根， 即与图象有4个交点， 当时，， 当时，则，令得， 所以当时，当时， 则函数在单调递增，在上单调递减， 又，时，时， 且时，时，， 所以图象如图所示：    由图可得，解得. 故选：D. 二、填空题 10．的二项展开式中的常数项为__________. 【答案】60 【知识点】求指定项的系数 【分析】利用二项式的通项公式，得，令，解得，所以展开式中的常数项为. 【详解】的二项展开式的通项为， 令，得，所以展开式中的常数项为. 故答案为：60. 11.函数，则______． 【答案】/ 【知识点】导数的运算法则、简单复合函数的导数、求函数值、求某点处的导数值 【详解】因为，所以， 所以， 所以，所以， 所以. 12．从0，2，4，6中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成个没有重复数字的五位数______． 【答案】1224 【知识点】代数中的组合计数问题、排列组合综合、数字排列问题 【分析】分含0与不含0两类情况进行讨论，由分步乘法计数原理求各类情况下组成没有重复数字的五位数的方法，然后利用分类加法计数原理求和得到答案. 【详解】第一类：从0，2，4，6中任取3个数字不含0， 第一步：把2，4，6都取出，有1种方法； 第二步：从1，3，5中任取2个数字，有种方法； 第三步：把取出的5个数字任意排成一排组成五位数，有种方法； 根据分步乘法计数原理共有：种方法； 第二类：从0，2，4，6中任取3个数字含0， 第一步：把0取出，再从2，4，6中任取2个数字，有种方法； 第二步：从1，3，5中任取2个数字，有种方法； 第三步：先把0不放在首位，然后其余4个数字在其它4个位置上任意排列，有种方法； 根据分步乘法计数原理共有：种方法； 综上所述，共有种方法，即一共可以组成1224个没有重复数字的五位数. 故答案为：1224. 13．从6名男生和4名女生中选出3人参加人工智能技能培训．设事件至少抽到一名女生，事件恰好抽到一名男生，则________． 【答案】/ 【知识点】计算条件概率、计算古典概型问题的概率 【分析】利用古典概型的概率公式求出，，再由条件概率公式计算可得. 【详解】依题意可得，， 所以. 14．甲、乙两射手每次射击击中目标的概率为和，且各次射击的结果互不影响．则甲射击3次，击中目标次数的数学期望为______；甲、乙两射手各射击2次，至少有1人击中目标的概率为______． 【答案】 2 【知识点】独立重复试验的概率问题、独立事件的乘法公式、二项分布的均值、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】利用二项分布的数学期望公式计算即得第一空；利用对立事件的概率公式，计算求解易得. 【详解】设甲射击3次，击中目标次数为，依题意，,则； 再设甲、乙两射手各射击2次，击中目标次数分别为和,则, 因“至少有1人击中目标”的对立事件为“两人都没有击中目标”，故其概率为. 故答案为：2；. 15.若曲线与曲线有相同的切线，则_______． 【答案】4 【知识点】已知切线（斜率）求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、简单复合函数的导数 【分析】先根据直线与曲线相切求得，再结合其与相切求得. 【详解】设直线与曲线相切于点，， 故，解得，， 代入方程，得． 设直线与曲线相切于点，， 故，且，解得 所以． 三、解答题 16．人工智能社团有6位同学，计划对ChatGPT、Sora、GPT-4、Claude这4种人工智能语言模型展开学习调研，要求每类模型至少有一人负责，每人只能选择一种模型． (1)若从社团中选出5人去调研，共有多少种不同的调研安排方案？ (2)若6位同学都同时参与调研，且甲、乙两位同学调研同一种模型，共有多少种不同的安排方案？ 【答案】(1)1440 (2)240 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、排列组合综合、实际问题中的组合计数问题 【分析】（1）从6位同学中选5人，分为：2人，1人，1人，1人四组，再进行全排列即可； （2）将甲、乙两位同学视为一个整体（一个元素），将5个元素分成“2，1，1，1”四组，再进行全排列即可. 【详解】（1）首先，从6位同学中选5人，有种选法， 接下来将5人分配到4种模型，且每类模型至少1人负责， 则5人分为：2人，1人，1人，1人四组，有种方法， 再将这四组对应4种模型进行全排列， 不同的调研安排方案有种. （2）首先将甲、乙两位同学视为一个整体（一个元素）， 此时相当于5个元素分配到4种模型,每类模型至少有一人， 即分成元素个数分别为“2，1，1，1”四组，则有种方法， 再将这四组对应4种模型进行全排列，有种方法， 所以，若6位同学都同时参与调研，且甲、乙两位同学调研同一种模型， 共有种不同的安排方案. 17．已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的单调区间、最值. (3)设在上有两个零点，求a的范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程； （2）应用导数研究函数的单调区间，进而求出最值； （3）根据（2）得到各单调区间的值域，再由零点的个数确定参数范围. 【详解】（1）由题设，则，又， 所以曲线在点处的切线方程， 所求切线方程为； （2）由， 时，，在上单调递增， 时，，在上单调递减， 由，，， 所以在上的增区间为，减区间为， 且最大值、最小值分别为2，. （3）由（2）知，在上值域为，在上值域为， 所以，要使在上有两个零点，只需. 18.甲、乙两人进行射击比赛，每局两人各向目标射击一次，若一人击中而另一人未击中，则击中者获得2分，未击中者得0分；若两人都击中，则两人均得1分；若都未击中，则两人均得0分，每次射击甲击中的概率为，乙击中的概率为，且两人的射击相互独立，每局比赛也相互独立. (1)求在一局比赛中，甲得2分的概率； (2)若比赛共有4局，设为有人得分的局数，求的分布列和数学期望； (3)若比赛共有3局，当比赛结束时，得分多者最终获胜，求乙最终获胜的概率. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【知识点】利用二项分布求分布列、求离散型随机变量的均值、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）根据题意利用独立事件乘法公式求概率； （2）根据对立事件的概率关系求得每局比赛有人得分的概率，可得服从二项分布，进而求出的分布列和期望； （3）由题先求出乙得2分的概率，两人分差为0的概率，乙最终获胜可分为三种情况，①乙3局都得2分；②乙有2局得2分，另1局甲得2分或分差为0；③乙有1局得2分，另外2局分差为0；依次求出概率得解. 【详解】（1）在一局比赛中，甲得2分的概率为. （2）每局比赛“有人得分”的对立事件是“两人均得0分”， 故每局比赛有人得分的概率为. 因为每局比赛相互独立，故服从二项分布. ，， ， ， . 故的分布列为 0 1 2 3 4 的数学期望为. （3）每局比赛甲得2分的概率为，乙得2分的概率为，两人均得1分或均得0分，即两人分差为0的概率为. 乙最终获胜可分为以下三种情况： ①乙3局都得2分，其概率为； ②乙有2局得2分，另1局甲得2分或分差为0，其概率为； ③乙有1局得2分，另外2局分差为0，其概率为. 综上，乙最终获胜的概率为. 19．“五项管理”是“双减”工作的一项具体抓手，是促进学生身心健康､解决群众急难愁盼问题的重要举措.为了在“控量”的同时力求“增效”，提高作业质量，某学校计划设计差异化作业.因此该校对初三年级的400名学生每天完成作业所用时间进行统计，部分数据如下表： 男生 女生 总计 90分钟以上 80 180 90分钟以下 220 总计 160 240 400 (1)求x，y，z的值，并根据题中的列联表，判断是否有95%的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关？ (2)教务处从完成作业所需时间在90分钟以上的学生中用分层抽样的方法抽取9人了解情况，校长再从这9人中选取3人进行访谈，记校长选取的3人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望. 附： 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 2.072 2.076 3.841 5.024 6.635 【答案】(1)，，，列联表答案见解析，没有95%的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关 (2)分布列答案见解析，数学期望： 【知识点】卡方的计算、超几何分布的分布列、完善列联表、超几何分布的均值 【分析】（1）根据给定数表计算x，y，z，完善列联表，再计算观测值与临界值比对作答. （2）根据分层抽样分别求得抽得的男女生人数，再根据超几何分布可求解. 【详解】（1）由表中的数据可得：；；； 所以列联表如下： 男生 女生 总计 90分钟以上 80 100 180 90分钟以下 80 140 220 总计 160 240 400 . 所以没有95%的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关. （2）抽取的9人中，需要抽取男生：人，女生：人， X取值0，1，2，3 ，， ， 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P . 20.已知函数． (1)求的单调区间； (2)若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）；（ii）证明见解析 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数证明不等式、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，从而得函数的单调区间； （2）（i）结合（1）的分析，确定满足的条件，从而求得的取值范围；（ii）通过构造函数证明对数均值不等式，从而证得. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，所以函数在上单调递增；． 当时，令，解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增． 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增． （2）（i）由题意知方程有两个不同的正实根， 由（1）知，且，所以，解得． （ii）由（1）得，所以，两边同时取自然对数， 得，两式相减得，即， 要证，只需证明， 令，只需证明构造函数， 求导得，所以函数在上单调递增， 于是，所以不等式（*）成立，于是原不等式成立． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高二第二学期 阶段性检测 一、单选题 1．下列求导结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．曲线在点处的切线方程为，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 3．已知函数的定义域为，它的导函数的图象如图所示.则下列结论中正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．0是函数的极小值点 C．2是函数的极大值点 D．函数在，上单调递增 4．已知的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式各项的二项式系数之和为（    ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的个数是（    ） ①线性相关系数越接近1，两个变量的线性相关程度越强； ②独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系； ③在回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高； ④甲、乙两个模型的决定系数分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好． A．1 B．2 C．3 D．4 6．为丰富学生的课余活动，学校举办“书香临夏、悦享阅读”的读书朗诵比赛．已知参加比赛的男同学与女同学人数比是3∶2，其中有的男同学和的女同学擅长中华诗词朗诵，现随机选一位同学，这位同学恰好擅长中华诗词朗诵的概率是（    ） A．0.28 B．0.24 C．0.26 D．0.30 7．有5名同学参加唱歌比赛，若不是第1个出场，且出场顺序相邻，则这5人不同的出场顺序种数为（   ） A．36 B．48 C．72 D．120 8．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9.已知函数，，若函数有5个零点，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 10．的二项展开式中的常数项为__________. 11．函数，则______． 12.从0，2，4，6中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成个没有重复数字的五位数______． 13．从6名男生和4名女生中选出3人参加人工智能技能培训．设事件至少抽到一名女生，事件恰好抽到一名男生，则________． 14．甲、乙两射手每次射击击中目标的概率为和，且各次射击的结果互不影响．则甲射击3次，击中目标次数的数学期望为______；甲、乙两射手各射击2次，至少有1人击中目标的概率为______． 15.若曲线与曲线有相同的切线，则_______． 三、解答题 16．人工智能社团有6位同学，计划对ChatGPT、Sora、GPT-4、Claude这4种人工智能语言模型展开学习调研，要求每类模型至少有一人负责，每人只能选择一种模型． (1)若从社团中选出5人去调研，共有多少种不同的调研安排方案？ (2)若6位同学都同时参与调研，且甲、乙两位同学调研同一种模型，共有多少种不同的安排方案？ 17．已知函数(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数在上的单调区间、最值.(3)设在上有两个零点，求a的范围. 18.甲、乙两人进行射击比赛，每局两人各向目标射击一次，若一人击中而另一人未击中，则击中者获得2分，未击中者得0分；若两人都击中，则两人均得1分；若都未击中，则两人均得0分，每次射击甲击中的概率为，乙击中的概率为，且两人的射击相互独立，每局比赛也相互独立. (1)求在一局比赛中，甲得2分的概率； (2)若比赛共有4局，设为有人得分的局数，求的分布列和数学期望； (3)若比赛共有3局，当比赛结束时，得分多者最终获胜，求乙最终获胜的概率. 19．“五项管理”是“双减”工作的一项具体抓手，是促进学生身心健康､解决群众急难愁盼问题的重要举措.为了在“控量”的同时力求“增效”，提高作业质量，某学校计划设计差异化作业.因此该校对初三年级的400名学生每天完成作业所用时间进行统计，部分数据如下表： 男生 女生 总计 90分钟以上 80 180 90分钟以下 220 总计 160 240 400 (1)求x，y，z的值，并根据题中的列联表，判断是否有95%的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关？ (2)教务处从完成作业所需时间在90分钟以上的学生中用分层抽样的方法抽取9人了解情况，校长再从这9人中选取3人进行访谈，记校长选取的3人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望. 附： 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 2.072 2.076 3.841 5.024 6.635 20.已知函数． (1)求的单调区间； (2)若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 试卷第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $