精品解析：成都石室中学2025-2026学年度下期高2028届期中考试数学试卷

成都石室中学2025-2026学年度下期高2028届期中考试 数学试卷 一.选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则复数的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数虚部的定义，可得答案. 【详解】由题意可得复数的虚部为-2. 故选：A. 2. 在所在的平面内，，关于的对称点是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算法则求解即可. 【详解】因为在所在的平面内， 所以，， 又因为关于的对称点是， 所以是中点，， 所以. 3. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象 A. 向右平移个单位 B. 向右平移单位 C. 向左平移单位 D. 向左平移个单位 【答案】C 【解析】 【分析】 将函数转化为，然后根据三角函数图象变换的知识判断出正确选项. 【详解】函数， 所以将函数的图象向左平移单位，即可得到的图象， 即得到函数的图象. 故选：C. 【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，考查辅助角公式，属于基础题. 4. 在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由正弦定理得，再由题设条件得到取值范围，进而得解. 【详解】在中利用正弦定理得，则， 若有且仅有一个，则或，或， 则边长的取值范围是. 故选：C 5. 若平面向量，，若在上的投影向量为，则（ ） A. 或 B. 1 C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由在上的投影向量为， 所以， 因为，， 所以，， 所以，解得或. 6. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，边上的高等于，则（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】由已知，，得. 又由余弦定理可知，则. 7. 已知三个内角的对边分别是是AC边上的一点，且，且，则的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理化简可求得，再利用向量线性运算结合可得到等式，然后利用基本不等式求最值，即可得面积最大值. 【详解】由余弦定理代入已知条件可得：， 即，且，所以， 因为，所以， 即， 又因为，， 所以代入可得，即， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，即的面积的最大值为. 8. 已知函数，在上单调递增，且当时，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，利用正弦函数的图象和性质求解. 【详解】利用辅助角公式化简得： 的单调递增区间为， 当时，，整个区间需落在某个增区间内， 因此：，， 化简得：， 结合： 若，则，若，则，若，不等式无解， 因此， 当时，， 要使恒成立，整个区间需落在， 因此：，化简得：， 结合，分情况讨论： 当时：取，得，交集为， 当时：取，得，交集为（因为）， 综上，的取值范围是. 二.选择题：本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】应用二倍角余弦公式计算求解判断A，再应用余弦定理计算判断B，C，应用二倍角余弦公式计算判断D. 【详解】由二倍角公式， ，A为锐角，，故A正确； 由余弦定理得，解得，故B错误； 由余弦定理得，故C正确； 由二倍角公式可知，故D错误. 10. 如图，函数的图象经过，，则（ ） A. B. 若，则 C. 若为偶函数，则正数的最小值为 D. 方程所有根的和为 【答案】AB 【解析】 【分析】A根据求出，根据周期求出即可求出解析式；B代入解析式中利用诱导公式和倍角公式即可求出；C根据三角函数的性质可求；D利用和图象的对称性可判断. 【详解】依题意，即，又，所以， 设函数的最小正周期为，则， 所以，得， 则， 又函数过点，且为单调递减区间上的对称中心， 所以，则， 解得，又，所以，所以； 对于A：，故A正确； 对于B：若，则 ， 得，故 ，故B正确； 对于C：函数是偶函数， 则，解得， 因此当时，正数取得最小值，故C错误； 对于D：直线过点， 则的图象和直线均关于对称， 因此直线与的图象交点关于点对称，共有个交点， 即方程共有个根，所有根的和为， 因为不存在使得，故D错误. 11. 已知同一平面内的单位向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，夹角为，则 B. 若，夹角为，则最小值为 C. 的最小值是0 D. 若与不共线，，x，y，，，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用向量的模长计算公式和向量的数量积公式进行计算，D选项注意分情况讨论. 【详解】A选项，，，夹角为，， 则，所以选项A正确； B选项，， 当且仅当时取等号，所以选项B正确； C选项，设，的夹角为， ，的夹角为， ， ，， 当，时，，所以选项C错误； D选项，设， ，， 则，所以， 所以，所以， 故或或，其中，故或或， 故共线，或或， 若共线，由可知，则，与题设与不共线矛盾，故或， 若，故，故，因为与不共线， 故不共线，故即，而， 故，故， 同理时，也有，所以选项D正确. 三.填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知对应的复数为，则点A位于第______象限. 【答案】二 【解析】 【分析】根据配方法和正弦函数的值域性质，结合复数的坐标表示性质进行求解即可. 【详解】因为，所以，因此， 又因为， 所以点A位于第二象限. 13. 如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】在，，中，分别用正弦定理及余弦定理计算求解. 【详解】因为，， 则， 因为，， 则 在中，由正弦定理可得， 则． 在中，由正弦定理可得， 则． 在中， 由余弦定理可得， 故. 14. 在中，内角的对边分别为．已知上的中线长为4，则面积的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】由利用由余弦定理得设在中,由余弦定理，得，从而得到,根据万能公式化为，再运用基本不等式即可求得最大值. 【详解】因为 由余弦定理，得得 设, 由余弦定理，得 即 当且仅当即时，等号成立. 故答案为：. 四.解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，． （1）求向量与的夹角； （2）当向量与的模相等时，求实数的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用数量积的性质及运算律求出，再利用夹角公式计算作答； （2）利用向量的模相等，两边同时平方，由数量积的运算律求解的值. 【小问1详解】 因，，， 则有，解得， 因此，而，于是得， 所以向量与的夹角. 【小问2详解】 由，则， 即，得，解得或. 16. 已知向量，．设． （1）求的单调区间; （2）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若，，的面积为，求边a的长． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示公式、降幂公式、辅助角公式化简函数的解析式，结合正弦型函数的单调性进行求解即可； （2）根据余弦定理和三角形面积公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为，， 则， 令，得 故函数的单调递增区间为， 令，得 同理可得：的单调递减区间为． 【小问2详解】 因为，所以， 又，则， 所以，则 ∵，所以 由余弦定理可得：，故. 17. “星空摩天轮”是某游乐园的标志性观光设施，游客乘坐座舱沿圆形轮盘圆心O匀速转动，可俯瞰城市全景.该设施的轮盘最高点距离地面100m，轮盘直径为90m，开启后按逆时针方向匀速转动，游客在距离地面最近的位置进入座舱，转一周需要20min.以轮盘圆心为原点，与地面平行的直线为轴，上下方向的直线为轴建立平面直角坐标系： （1）游客甲坐上座舱后，转动时距离地面的高度为（单位：m)，求转动过程中关于的函数解析式； （2）若游客甲在最低点进入座舱时，游客乙恰好位于x轴负半轴与轮盘的交点A处 （i）转动过程中，两人首次距离地面高度相等的时间是多少？ （ii）当座舱距离地面高度不低于m时，可清晰地看到城市的“灯光秀”这段时间称为“观秀时段”，求游客甲在转动一周过程中，位于“观秀时段”的时长. 【答案】（1），； （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意设，，再结合题意求解对应的参数即可得答案； （2）（i）结合（1）考虑游客乙的初始位置得游客乙距离地面的高度关于的关系为，，再解方程即可得答案； （ii）结合题意，解不等式得，进而求时间差即可得答案. 【小问1详解】 根据题意，设关于的函数解析式为， 由题知，轮盘最高点距地面100m，直径90m，最低点距离地面为10m， 时，游客甲从最低点逆时针匀速转动，即时， 周期， 所以，解得， ，解得， 所以，当，，即，解得， 所以，，整理得，； 所以，关于的函数解析式为：， 【小问2详解】 （i）由（1）知，游客乙距离地面的高度与时间的关系为：， 考虑游客乙的初始位置，当时，游客乙距离地面的高度为55m，且开始后高度降低， 故，即，解得， 即游客乙距离地面的高度关于的关系为，， 即， 所以，时刻时，游客乙距离地面的距离为； 游客甲距离地面的距离为 所以，即， 所以，首次相等对应最小正解,即，即 所以，转动过程中，两人首次距离地面高度相等的时间是. （ii）由题，，即， 所以，解得，时间间隔为：， 所以游客甲在转动一周过程中，位于“观秀时段”的时长. 18. 如图，已知的三边所对的角分别为以为一边作等边，位于边两侧，连结交CB于O点. （1）若，求的值. （2）若，，求： （i）的值; （ii）记，求面积关于的函数表达式，并求的最大值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由C、O、B三点共线的性质得到，解出的值. 从而得到，将此式子整理得到所求； （2）（i）利用向量的数量积公式和余弦定理得到的值；（ii）记，在中，由余弦定理和正弦定理求出，利用正弦函数的图像和性质得到面积的最大值. 【小问1详解】 由C、O、B三点共线知，解得. 代入回原式，知， 故， 故，所以，所以. 【小问2详解】 （i）， 又，则； （ii）记， 在中，由余弦定理得 ① ② 将②代入①得 即③， 由正弦定理④， （将③、④代入） ， 当且仅当，即，也就是时取等号. 所以，面积的最大值为. 19. 若内一点P满足，则称点P为的布洛卡点（Brocard's point），为的布洛卡角．如图，已知中，，，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角． （1）若，时，求的值; （2）在等腰中，为钝角，的外接圆的面积为，求; （3）若平分，求的值. 【答案】（1） （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）直接利用角度关系得到是等腰三角形，再利用余弦定理即可求解； （2）利用角度之间的数量关系建立等式，再利用正弦的差角公式展开即可求解； （3）利用三角形的面积公式和余弦定理，找到等量关系即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，， 在中，由余弦定理得， 所以； 【小问2详解】 由的外接圆的面积为，得外接圆半径， 所以，又为钝角， 则，，， 在中，； 同理， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 则， 整理得， 即，所以； 【小问3详解】 因为， 即， 所以， 在中，分别由余弦定理得： ，， ， 三式相加整理得， ， 将代入得： ， 若平分，则，， 所以③， 又由余弦定理可得：④， 由得：， 所以， 所以，且，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都石室中学2025-2026学年度下期高2028届期中考试 数学试卷 一.选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则复数的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 2. 在所在的平面内，，关于的对称点是，则（ ） A. B. C. D. 3. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象 A. 向右平移个单位 B. 向右平移单位 C. 向左平移单位 D. 向左平移个单位 4. 在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（   ） A. B. C. D. 5. 若平面向量，，若在上的投影向量为，则（ ） A. 或 B. 1 C. 或 D. 6. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，边上的高等于，则（ ） A. B. C. 3 D. 2 7. 已知三个内角的对边分别是是AC边上的一点，且，且，则的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，在上单调递增，且当时，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二.选择题：本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，函数的图象经过，，则（ ） A. B. 若，则 C. 若为偶函数，则正数的最小值为 D. 方程所有根的和为 11. 已知同一平面内的单位向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，夹角为，则 B. 若，夹角为，则最小值为 C. 的最小值是0 D. 若与不共线，，x，y，，，，则 三.填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知对应的复数为，则点A位于第______象限. 13. 如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则______. 14. 在中，内角的对边分别为．已知上的中线长为4，则面积的最大值是______． 四.解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，． （1）求向量与的夹角； （2）当向量与的模相等时，求实数的值． 16. 已知向量，．设． （1）求的单调区间; （2）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若，，的面积为，求边a的长． 17. “星空摩天轮”是某游乐园的标志性观光设施，游客乘坐座舱沿圆形轮盘圆心O匀速转动，可俯瞰城市全景.该设施的轮盘最高点距离地面100m，轮盘直径为90m，开启后按逆时针方向匀速转动，游客在距离地面最近的位置进入座舱，转一周需要20min.以轮盘圆心为原点，与地面平行的直线为轴，上下方向的直线为轴建立平面直角坐标系： （1）游客甲坐上座舱后，转动时距离地面的高度为（单位：m)，求转动过程中关于的函数解析式； （2）若游客甲在最低点进入座舱时，游客乙恰好位于x轴负半轴与轮盘的交点A处 （i）转动过程中，两人首次距离地面高度相等的时间是多少？ （ii）当座舱距离地面高度不低于m时，可清晰地看到城市的“灯光秀”这段时间称为“观秀时段”，求游客甲在转动一周过程中，位于“观秀时段”的时长. 18. 如图，已知的三边所对的角分别为以为一边作等边，位于边两侧，连结交CB于O点. （1）若，求的值. （2）若，，求： （i）的值; （ii）记，求面积关于的函数表达式，并求的最大值. 19. 若内一点P满足，则称点P为的布洛卡点（Brocard's point），为的布洛卡角．如图，已知中，，，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角． （1）若，时，求的值; （2）在等腰中，为钝角，的外接圆的面积为，求; （3）若平分，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $