学易金卷：高二数学下学期第三次月考02（江苏专用）【测试范围：苏教版选择性必修第二册第6～8章】

**基本信息** 以红嘴鸥巡护、马尔科夫链游戏为情境，覆盖排列组合、立体几何、概率统计等核心知识，通过基础公式辨析与动态几何问题设计，考查数学抽象、空间观念与数据意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|排列数公式、立体几何位置关系、概率性质|单选考基础公式判断（如组合数等式），多选考综合推理（如随机事件概率）| |填空题|3/15|正态分布、平行六面体棱长、0-1数列期望|结合抽象情境（如0-1数列）考查数据处理| |解答题|5/77|二项式定理、立体几何证明与计算、概率分布|17题以巡护排班考排列应用，19题以游戏情境构建概率模型，体现模型观念与推理能力|

( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版选择性必修第二册第6章~第8章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列有关排列数、组合数的等式中，错误的是（ ） A． B． C． D． 2．被除的余数是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（　　） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 5．某试卷中1道选择题有6个答案，其中只有一个是正确的．考生不知道正确答案的概率为，不知道正确答案的考生可以猜，设猜对的概率为．现已知某考生答对了，则他猜对此题的概率为（    ） A． B． C． D． 6．已知直三棱柱，在 中，，，，则异面直线与所成角为（    ） A． B． C． D． 7．一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小､质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球.现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为.则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知正方体的棱长为，点是四边形的内切圆上一点，为四边形的中心，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．对于随机事件，若，则下列说法正确的是（    ） A．若与互斥，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．下列说法正确的是（    ） A．将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，那么不同的放法种数是 B．将5个相同的小球放入6个编号不同的盒子中，每个盒子至多放1个小球，而且小球必须全部放入盒中，那么不同的放法种数是 C．将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，每个盒子至少放1个小球，那么不同的放法种数是 D．将6个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，每个盒子放2个小球，那么不同的放法种数是 11．如图，边长均为1的两个正方形和正方形所在的平面互相垂直，动点，分别在正方形对角线和上移动，且，则下列说法正确的是（    ） A．，使 B．线段存在最小值，最小值为 C．直线与平面所成的角恒为 D．，都有，，共面 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在某项测试中，测量结果，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为______. 13．已知平行六面体中，，，，，则的长度为________． 14．数列的每一项为0或1，称此数列为0—1数列．（）表示所有k项0—1数列构成的集合．现从集合中随机取出两个元素，，与，，，定义随机变量，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 已知空间三点，，，以向量，为一组邻边组成平行四边形， (1)求点坐标； (2)求平行四边形的面积. 16．（15分） 已知关于的二项式的二项式系数之和为32，其中. (1)若，求展开式中二项式系数最大的项； (2)若，求展开式中系数最大的项； (3)若展开式中含项系数为40，求展开式中所有有理项的系数之和. 17．（15分） 2026年元宵节以后，银川市兴庆区北塔湖迎来了从远方迁徙而来的大批红嘴鸥，碧水鸥影的生态美景吸引了众多市民前来打卡，为了更好地保护红嘴鸥，部分市民自发组织巡护红嘴鸥.已知甲、乙、丙等七名志愿者计划巡护红嘴鸥七天，每人巡护一天，每天一人(用数字作答)； (1)甲、乙、丙等七名志愿者，一共有多少种不同的排班方法? (2)甲在第四天巡护的不同排法有多少种? (3)7天中，甲在第一天，乙丙不相邻的不同排法有多少种? 18．（17分） 已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，且，，点M是线段中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）线段上是否存在点P，使得与所成的角恰为？若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由. 19．（17分） “马尔科夫链”是一种随机过程，它具有马尔科夫性质，也称为“无记忆性”，即一个系统在某时刻的状态仅与前一时刻的状态有关．为了让学生体验马尔科夫性质，数学老师在课堂上指导学生做了一个游戏．他给小聪和小慧各一个不透明的箱子，每个箱子中都有个红球和1个白球，这些球除了颜色不同之外，其他的物质特征完全一样．规定“两人同时从各自的箱子中取出一个球放入对方的箱子中”为一次操作，假设经过次操作之后小聪箱子里的白球个数为随机变量，且． (1)求x的值； (2)随机变量的分布列和期望； (3)求． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C A C B A A D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC ABD AD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．5 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）设，则，，， 由平行四边形法则：，     所以，，，即点坐标为.（6分） （2）由题意，，， ，所以， 所以.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）由题意可得，故， 若，则对有， 当或时展开式中二项式系数最大， 此时有，， 故展开式中二项式系数最大的项为和；（4分） （2）若，则对有， 令，即， 整理得，解得，即或， 此时有，， 故展开式中系数最大的项为和；（10分） （3）对有， 则，故，即，又，故， 当为有理数时，可为， 有， 故展开式中所有有理项的系数之和为．（15分） 17．（15分） 【详解】（1）甲、乙、丙等七名志愿者计划巡护红嘴鸥七天，每人巡护一天，每天一人， 即对七名志愿者进行全排列，则不同的排班方法有.（4分） （2）甲在第四天巡护，那么只需对其余六名志愿者进行全排列，则不同的排法有.（8分） （3）甲在第一天，那么只需对其余六名志愿者进行排列，乙丙不相邻，可采用插空法， 其余六名志愿者除乙丙之外的四人有种排法，这四人排好后形成5个空，再从这5个空中选2个空排乙丙，有种排法， 根据分步乘法计数原理，不同的排法有.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系: ， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则， 所以，又平面， 所以平面；（5分） （2）易知， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则， 易知， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则， 则， 设二面角的大小为， 易知为锐角，则， 所以；（11分） （3）假设存在点P，有，则 ，， 设与所成的角为， 则， 解得， 所以. 所以线段上存在点P，使得与所成的角恰为，且的长为1.（17分） 19．（17分） 【详解】（1），所以；（3分） （2）随机变量的可能取值为， 易知：， 由分布列性质可知： 所以， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 所以;（10分） （3） ， 又， ， 所以 ， ， .（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版选择性必修第二册第6章~第8章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列有关排列数、组合数的等式中，错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据排列数与组合数的性质与计算公式一一判定即可. 【详解】根据组合数公式可知 ，，显然两式相等，故A正确； 根据排列数公式可知，故B正确； 易知，，显然两式不相等，故C错误； ，，显然两式相等，故D正确. 故选：C. 2．被除的余数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项式定理展开，可得出被除的余数. 【详解】因为 ， 因此，被除的余数是. 故选：A. 3．已知，，是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（　　） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据点线面位置关系及其判定定理和性质定理进行判断即可. 【详解】由，，得或与相交，故A错误； 若，，则或，所以B错误； 若，，则由线面垂直的性质定理知，所以C正确； 若，，则与可能相交，也可能平行，所以D错误. 故选：C. 4．在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解. 【详解】由题知，在正四面体中， 因为平面， 所以是的中心， 连接，则， 所以 .    故选：B 5．某试卷中1道选择题有6个答案，其中只有一个是正确的．考生不知道正确答案的概率为，不知道正确答案的考生可以猜，设猜对的概率为．现已知某考生答对了，则他猜对此题的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设事件为“该考生不知道正确答案”，B事件为“该考生答对了”．表示出，，，再结合条件概率公式，以及互斥事件的概率加法公式，即可求解． 【详解】设事件为“该考生不知道正确答案”，事件为“该考生答对了”． 则，，，， 所以所求概率为. 故选：A. 6．已知直三棱柱，在 中，，，，则异面直线与所成角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦定理求出AC，再由勾股定理得，以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，如图，利用空间向量法求出线线角的余弦值和异面直线夹角的范围，进而得出结果. 【详解】在直三棱柱中，， 由余弦定理，得， 所以，所以， 以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，如图， ， ， 设异面直线所成角的平面角为， 有，又， 所以. 故选：A    7．一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小､质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球.现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为.则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算从中随机地无放回摸出3个球、从中随机地有放回摸出3个球的期望、方差，再做比较可得答案. 【详解】①从中随机地无放回摸出3个球，记白球的个数为的可能取值是， 则， 故随机变量的概率分布列为 0 1 2 3 则数学期望为， 方差为. ②从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到白球的概率为， 则，故，， 故. 故选：D. 8．如图，已知正方体的棱长为，点是四边形的内切圆上一点，为四边形的中心，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用向量加法、相等向量将与分别表示为，，代入数量积运算即可. 【详解】由题意知，， 设正方形的中心为，连接、、，如图所示， 则，，，面，面， ∴， ∴，， 又∵，， ∴ ∵， ∴当时， ， ∴. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．对于随机事件，若，则下列说法正确的是（    ） A．若与互斥，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】对于A，根据互斥事件的定义即可判断；对于BCD，根据条件概率的计算公式以及积事件，和事件的定义进行求解即可. 【详解】对于A，与互斥，则，因此A错误； 对于B，若，则，则，因此B正确； 对于C，若，则，则， 则，因此C正确； 对于D，，则，因此D错误； 故选：BC. 10．下列说法正确的是（    ） A．将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，那么不同的放法种数是 B．将5个相同的小球放入6个编号不同的盒子中，每个盒子至多放1个小球，而且小球必须全部放入盒中，那么不同的放法种数是 C．将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，每个盒子至少放1个小球，那么不同的放法种数是 D．将6个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，每个盒子放2个小球，那么不同的放法种数是 【答案】ABD 【分析】利用分步计数原理判断选项A；结合组合数的定义判断选项B；利用捆绑分组法判断选项C；由平均分组分配法判断选项D. 【详解】对于A，将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中， 由分步乘法计数原理可知，不同的放法种数是，A选项正确； 对于B，将5个相同的小球放入6个编号不同的盒子中，每个盒子至多放1个小球，而且小球必须全部放入盒中， 则需要在6个盒子选出5个放入小球，不同的放法种数是，B选项正确； 对于C，将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，每个盒子至少放1个小球， 将其中2个球捆绑在一起，与另两个球分别放入3 个盒子中，不同的放法种数是，C选项错误 对于D， 将6个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，每个盒子放2个小球， 把6个球平均分成3组，再分别放入3个盒子中，不同的放法种数是，D选项正确. 故选：ABD. 11．如图，边长均为1的两个正方形和正方形所在的平面互相垂直，动点，分别在正方形对角线和上移动，且，则下列说法正确的是（    ） A．，使 B．线段存在最小值，最小值为 C．直线与平面所成的角恒为 D．，都有，，共面 【答案】AD 【分析】以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，写出各点坐标，用空间向量法判断各选项． 【详解】由已知平面，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 在坐标平面上，直线的方程为，，则， 在坐标平面上，直线的方程为，，则, ，， 易知，当时，，A正确； ，所以时，，B错； 平面的一个法向量是，， 所以与平面所成角的正弦值为，这个值不是恒为，因此角的大小不可能恒为，C错； ，， 所以，，共面，D正确， 故选：AD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在某项测试中，测量结果，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为______. 【答案】 【分析】由题意得出，由正态密度曲线的对称性可求得的值. 【详解】，由已知条件得，所以， 因此，. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用正态密度曲线的对称性求概率，考查计算能力，属于基础题. 13．已知平行六面体中，，，，，则的长度为________． 【答案】5 【分析】根据空间向量的线性运算可得，等式两边同时平方，利用空间向量数量积的定义计算即可. 【详解】由题意知，设， 则， 所以， 又， 所以， 即，所以. 故答案为：5. 14．数列的每一项为0或1，称此数列为0—1数列．（）表示所有k项0—1数列构成的集合．现从集合中随机取出两个元素，，与，，，定义随机变量，则________． 【答案】 【分析】由集合中元素的互异性，数列，，与，，对应项不可能完全相同，所以，，中至少有1个1，至多有3个1，即的所有可能取值为1，2，3，利用古典概率求出对应的概率，代入数学期望公式即可求解. 【详解】集合中共有个元素，任取两个元素， 即数列，，与，，， 有4种可能情况：，，，， 即或1．当，此时或者；当， 此时，或，， 由集合中元素的互异性，数列，，与，，对应项不可能完全相同， 所以，，中至少有1个1，至多有3个1， 所以最小值为1，最大值为3， 即的所有可能取值为1，2，3． ，即，，中有1个1，有2个0， 对应的情况共有种， 所以，同理，，， 所以． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 已知空间三点，，，以向量，为一组邻边组成平行四边形， (1)求点坐标； (2)求平行四边形的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据空间向量的线性运算及平行四边形法则求解即可； （2）先根据空间向量求出，进而结合面积公式求解即可. 【详解】（1）设，则，，， 由平行四边形法则：，     所以，，，即点坐标为. （2）由题意，，， ，所以， 所以. 16．（15分） 已知关于的二项式的二项式系数之和为32，其中. (1)若，求展开式中二项式系数最大的项； (2)若，求展开式中系数最大的项； (3)若展开式中含项系数为40，求展开式中所有有理项的系数之和. 【答案】(1)和 (2)和 (3) 【分析】（1）由二项式系数和可计算出，结合二项式系数的性质可得第三及第四项二项式系数最大，结合二项式展开式的通项公式计算即可得； （2）结合题意构造出，计算后，结合二项式展开式的通项公式计算即可得； （3）由二项式展开式的通项公式计算可得，结合有理项定义找出所有有理项，计算对应系数求和即可得. 【详解】（1）由题意可得，故， 若，则对有， 当或时展开式中二项式系数最大， 此时有，， 故展开式中二项式系数最大的项为和； （2）若，则对有， 令，即， 整理得，解得，即或， 此时有，， 故展开式中系数最大的项为和； （3）对有， 则，故，即，又，故， 当为有理数时，可为， 有， 故展开式中所有有理项的系数之和为. 17．（15分） 2026年元宵节以后，银川市兴庆区北塔湖迎来了从远方迁徙而来的大批红嘴鸥，碧水鸥影的生态美景吸引了众多市民前来打卡，为了更好地保护红嘴鸥，部分市民自发组织巡护红嘴鸥.已知甲、乙、丙等七名志愿者计划巡护红嘴鸥七天，每人巡护一天，每天一人(用数字作答)； (1)甲、乙、丙等七名志愿者，一共有多少种不同的排班方法? (2)甲在第四天巡护的不同排法有多少种? (3)7天中，甲在第一天，乙丙不相邻的不同排法有多少种? 【答案】(1)5040 (2)720 (3)480 【详解】（1）甲、乙、丙等七名志愿者计划巡护红嘴鸥七天，每人巡护一天，每天一人， 即对七名志愿者进行全排列，则不同的排班方法有. （2）甲在第四天巡护，那么只需对其余六名志愿者进行全排列，则不同的排法有. （3）甲在第一天，那么只需对其余六名志愿者进行排列，乙丙不相邻，可采用插空法， 其余六名志愿者除乙丙之外的四人有种排法，这四人排好后形成5个空，再从这5个空中选2个空排乙丙，有种排法， 根据分步乘法计数原理，不同的排法有. 18．（17分） 已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，且，，点M是线段中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）线段上是否存在点P，使得与所成的角恰为？若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，由证明； （2）分别求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，由求解； （3）假设存在点P，有，设与所成的角为，由求解. 【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系: ， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则， 所以，又平面， 所以平面； （2）易知， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则， 易知， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则， 则， 设二面角的大小为， 易知为锐角，则， 所以； （3）假设存在点P，有，则 ，， 设与所成的角为， 则， 解得， 所以. 所以线段上存在点P，使得与所成的角恰为，且的长为1. 19．（17分） “马尔科夫链”是一种随机过程，它具有马尔科夫性质，也称为“无记忆性”，即一个系统在某时刻的状态仅与前一时刻的状态有关．为了让学生体验马尔科夫性质，数学老师在课堂上指导学生做了一个游戏．他给小聪和小慧各一个不透明的箱子，每个箱子中都有个红球和1个白球，这些球除了颜色不同之外，其他的物质特征完全一样．规定“两人同时从各自的箱子中取出一个球放入对方的箱子中”为一次操作，假设经过次操作之后小聪箱子里的白球个数为随机变量，且． (1)求x的值； (2)随机变量的分布列和期望； (3)求． 【答案】(1)2 (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）由独立事件的乘法公式求解即可； （2）确定的取值，结合条件概率、全概率公式求得对应概率即可； （3）由全概率公式得到，构造等比数列即可求解. 【详解】（1），所以； （2）随机变量的可能取值为， 易知：， 由分布列性质可知： 所以， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 所以; （3） ， 又， ， 所以 ， ， . 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ ■■■ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 ! 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C]D] 5[A]B][C]D] 2[A][B][C]D] 6[A][B][C]D] 3[A[B][C]D] 7[A][B][C][D] 戡 4[A][B][CD] 8[A]B][C]D] 二、 选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[AB][C]D] 10 [A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、 填空题（每小题5分，共15分） 蕾 12 13 14 ! 探 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) ---B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版选择性必修第二册第6章~第8章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列有关排列数、组合数的等式中，错误的是（ ） A． B． C． D． 2．被除的余数是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（　　） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 5．某试卷中1道选择题有6个答案，其中只有一个是正确的．考生不知道正确答案的概率为，不知道正确答案的考生可以猜，设猜对的概率为．现已知某考生答对了，则他猜对此题的概率为（    ） A． B． C． D． 6．已知直三棱柱，在 中，，，，则异面直线与所成角为（    ） A． B． C． D． 7．一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小､质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球.现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为.则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知正方体的棱长为，点是四边形的内切圆上一点，为四边形的中心，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．对于随机事件，若，则下列说法正确的是（    ） A．若与互斥，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．下列说法正确的是（    ） A．将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，那么不同的放法种数是 B．将5个相同的小球放入6个编号不同的盒子中，每个盒子至多放1个小球，而且小球必须全部放入盒中，那么不同的放法种数是 C．将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，每个盒子至少放1个小球，那么不同的放法种数是 D．将6个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，每个盒子放2个小球，那么不同的放法种数是 11．如图，边长均为1的两个正方形和正方形所在的平面互相垂直，动点，分别在正方形对角线和上移动，且，则下列说法正确的是（    ） A．，使 B．线段存在最小值，最小值为 C．直线与平面所成的角恒为 D．，都有，，共面 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在某项测试中，测量结果，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为______. 13．已知平行六面体中，，，，，则的长度为________． 14．数列的每一项为0或1，称此数列为0—1数列．（）表示所有k项0—1数列构成的集合．现从集合中随机取出两个元素，，与，，，定义随机变量，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 已知空间三点，，，以向量，为一组邻边组成平行四边形， (1)求点坐标； (2)求平行四边形的面积. 16．（15分） 已知关于的二项式的二项式系数之和为32，其中. (1)若，求展开式中二项式系数最大的项； (2)若，求展开式中系数最大的项； (3)若展开式中含项系数为40，求展开式中所有有理项的系数之和. 17．（15分） 2026年元宵节以后，银川市兴庆区北塔湖迎来了从远方迁徙而来的大批红嘴鸥，碧水鸥影的生态美景吸引了众多市民前来打卡，为了更好地保护红嘴鸥，部分市民自发组织巡护红嘴鸥.已知甲、乙、丙等七名志愿者计划巡护红嘴鸥七天，每人巡护一天，每天一人(用数字作答)； (1)甲、乙、丙等七名志愿者，一共有多少种不同的排班方法? (2)甲在第四天巡护的不同排法有多少种? (3)7天中，甲在第一天，乙丙不相邻的不同排法有多少种? 18．（17分） 已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，且，，点M是线段中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）线段上是否存在点P，使得与所成的角恰为？若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由. 19．（17分） “马尔科夫链”是一种随机过程，它具有马尔科夫性质，也称为“无记忆性”，即一个系统在某时刻的状态仅与前一时刻的状态有关．为了让学生体验马尔科夫性质，数学老师在课堂上指导学生做了一个游戏．他给小聪和小慧各一个不透明的箱子，每个箱子中都有个红球和1个白球，这些球除了颜色不同之外，其他的物质特征完全一样．规定“两人同时从各自的箱子中取出一个球放入对方的箱子中”为一次操作，假设经过次操作之后小聪箱子里的白球个数为随机变量，且． (1)求x的值； (2)随机变量的分布列和期望； (3)求． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $