专题一 几何阴影部分面积求解 练习2026年备数学考中考第二轮复习

微专题二：几何阴影部分面积求解聚焦中考 求阴影部分的面积，在近几年中考题中成了新的热点。在求阴影部分的面积试题中，图形一般都是一些不规则的图形或者没有公式可以直接套用的，在计算由圆、扇形、三角形、四边形等组成的图形面积时，要注意观察和分析图形，学会分解和组合图形，将要求的阴影部分的图形转化为可求解的规则图形的组合。 考点1 和差法及割补法求解 提分秘籍 和差法：所求面积的图形是一个不规则图形，可将其转化变成多个规则图形面积的和或差，进行求解． ①直接和差法.（阴影部分是几个常见图形组合而成，即S阴影=S常见图形±S常见图形） 图形 面积计算方法 图形 面积计算方法 S阴影=S△ACB−S扇形CAD S阴影=S扇形BAB′+S半圆AB′−S半圆AB S阴影=S△AOB−S扇形COD S阴影=S半圆AC+S半圆BC−S△ACB ②构造和差法 图形 公式 S阴影=S扇形AOC+S△BOC S阴影=S△ODC-S扇形DOE 割补法：直接求面积较复杂或无法计算时，把不规则阴影 “割开” 拆成规则图形，或 “补全” 成规则图形再减补的部分，可通过割补等方法，对图形进行转化，为利用公式法或和差法创造条件，从而求解．利用割补法把不规则图形分割或补全为规则图形是关键。 典型例题 1．（2025·山东·中考真题）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在正六边形中，，连接，，以点D为圆心、的长为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积是______． 3．（2025·江苏徐州·中考真题）如图，为正三角形的外接圆，直线经过点C，． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积． 4．（2025·山东东营·中考真题）如图，是的直径，、是上的两点，，于点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，求图中阴影部分的面积． 5．（2024·江苏南通·中考真题）如图，中，，，，与相切于点D．    (1)求图中阴影部分的面积； (2)设上有一动点P，连接，．当的长最大时，求的长． 6．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在中心为的正六边形中，点G，H分别在边，上，且不同于正六边形的顶点，． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)若正六边形的边长为4，以点为圆心，为半径的扇形与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积． 考点2 全等与等面积法求解提分秘籍 全等法 图形 公式 S阴影=S△AOB 等面积法 图形 公式 S阴影=S扇形COD 典型例题 1．（2024·青海西宁·中考真题）如图，在中，，，D是的中点，分别以B，C为圆心，长为半径作弧，交于点E，交于点F，则图中阴影部分的面积是______． 2．（2025·江苏南通·中考真题）如图，与相切于点，为的直径，点在上，连接，且． (1)连接，求证：； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 3．（2024·四川乐山·中考真题）如图，是的外接圆，为直径，过点C作的切线交延长线于点D，点E为上一点，且． (1)求证：； (2)若垂直平分，，求阴影部分的面积． 4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在中，，平分交于点D，点E是斜边上一点，以为直径的经过点D，交于点F，连接．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 考点3 平移、旋转及对称求解 提分秘籍 平移法 图形 公式 S阴影=S正方形BCFE 旋转法 图形 公式 S阴影=S扇形BOE 对称法 图形 公式 S阴影=S△ACD S阴影=S扇形CDE 典型例题 1．（2024·宁夏·中考真题）如图，在边长为2的正方形中，点在上，连接，．则图中阴影部分的面积是________． 2．（2024·浙江·中考真题）如图，分别以为边长作正方形，已知且满足，．    （1）若，则图1阴影部分的面积是__________； （2）若图1阴影部分的面积为，图2四边形的面积为，则图2阴影部分的面积是__________． 3．（2024·青海·中考真题）如图，正方形ABCD的边长是4，分别以点A，B，C，D为圆心，2为半径作圆，则图中阴影部分的面积是______（结果保留）.    4．（2024·江苏连云港·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与轴交于点C，点A的横坐标为2． (1)求的值； (2)利用图像直接写出时的取值范围； (3)如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点D，与轴交于点E，再将函数的图像沿平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积． 考点4 容斥原理提分秘籍 在计算阴影面积时，我们可以将物体划分为若干个子区域，然后利用容斥原理来计算阴影面积. 方法：我们需要将物体划分为不同的部分，每个部分都是由一个或多个对象组成的.然后，我们计算每个部分的面积，并相加得到总面积.但是，这样计算得到的总面积中可能包含了重复计算的部分，即重叠区域.为了避免重复计算，我们需要减去重叠区域的面积. 容斥原理的核心思想是先计算每个部分的面积，并相加得到总面积，然后再减去重叠区域的面积，最后得到的结果就是阴影面积. 典型例题 1．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，矩形内接于，分别以为直径向外作半圆．若，则阴影部分的面积是（    ）    A． B． C． D．20 2．（2024·山东泰安·中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，点在上，是直径，，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线． (2)若，求图中阴影部分的面积． 4．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点在上，点在外，线段与交于点，过点作的切线交直线于点，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，内接于，为的直径，于点D，将沿所在的直线翻折，得到，点D的对应点为E，延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 6．（2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，的平分线交于点D，点O是边上一点，以点O为圆心、长为半径作圆，恰好经过点D，交于点E． (1)求证：直线是的切线； (2)若点E为的中点，，求阴影部分的面积； (3)连接，若，求的值． 微专题二：几何阴影部分面积求解答案 1．（2025·山东·中考真题）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的内切圆、外切圆、勾股定理等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 如图：连接相交于O，由正方形的内切圆的半径是2，，，再运用勾股定理可得，则，最后根据圆的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接相交于O， ∵正方形的内切圆的半径是2， ∴，， ∴，， ∴图中阴影部分的面积是． 故选D． 2．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在正六边形中，，连接，，以点D为圆心、的长为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，扇形面积的计算，连接，根据多边形的内角求出扇形的圆心角，然后根据30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出长，再根据解答即可． 【详解】解：连接， ∵是正六边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025·江苏徐州·中考真题）如图，为正三角形的外接圆，直线经过点C，． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）由正三角形的性质可得，由平行线的性质可得，求出，可证直线与相切； （2）由圆周角定理得，根据阴影部分的面积等于，即可求解． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 如图，连接， 是正三角形， ， 为正三角形的外接圆的圆心， ∴也是正三角形的内接圆的圆心， 平分， ， ， ， ， 是半径， 直线与相切； （2）解：如图，连接，作于点H， ， ， ． ，， ，， ， ， ． 图中阴影部分的面积为：． 4．（2025·山东东营·中考真题）如图，是的直径，、是上的两点，，于点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线判定定理、扇形面积与三角形面积的计算，利用弧相等推导圆心角相等，结合直角三角形性质分析线段与角度关系是解题的关键． （1）连接，，由得圆心角，进而得，由得，由得，可得，即可得，又因是的半径即可证明； （2）由，结合得，由勾股定理可得，由即可得出． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵是的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（2024·江苏南通·中考真题）如图，中，，，，与相切于点D．    (1)求图中阴影部分的面积； (2)设上有一动点P，连接，．当的长最大时，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，扇形的面积公式等知识，解题的关键是： （1）连接，利用勾股定理的逆定理判定得出，利用切线的性质得出，利用等面积法求出，然后利用求解即可； （2）延长交于P，连接，则最大，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解∶连接，    ∵，，， ∴， ∴， ∵与相切于D， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解∶延长交于P，连接，此时最大，    由（1）知：，， ∴． 6．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在中心为的正六边形中，点G，H分别在边，上，且不同于正六边形的顶点，． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)若正六边形的边长为4，以点为圆心，为半径的扇形与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】本题考查正多边形的概念，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，扇形面积的计算，根据正六边形的概念确定相等的角和线段，以及角的大小是解题关键． （1）根据正六边形的概念，得到正六边形的每个内角相等，每条边相等，从而证明三角形全等，再利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）根据正六边形的概念，确定的度数，进而确定的度数和的长，再通过作差法计算阴影部分的面积即可． 【详解】（1）证明：∵六边形是正六边形， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接，，， ∵是正六边形的中心， ∴，， ∴， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积为． 考点2 全等与等面积法求解提分秘籍 全等法 图形 公式 S阴影=S△AOB 等面积法 图形 公式 S阴影=S扇形COD 典型例题 1．（2024·青海西宁·中考真题）如图，在中，，，D是的中点，分别以B，C为圆心，长为半径作弧，交于点E，交于点F，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】阴影部分的面积等于两个扇形的面积的和，根据扇形的面积公式计算即可． 此题主要考查了扇形面积的计算，正确熟记扇形的面积公式是解此题的关键． 【详解】解：， ∴， ，D是的中点， ， 图中阴影部分的面积是 故答案为： 2．（2025·江苏南通·中考真题）如图，与相切于点，为的直径，点在上，连接，且． (1)连接，求证：； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）利用切线性质得，再通过证明，从而推出； （2）先结合已知角度推出相关角的度数，确定为等边三角形，求出圆的半径，再根据平行线间面积关系，将阴影部分面积转化为扇形的面积进行计算． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵与相切， ∴， ∴， 在和中 ∴ ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴为等边三角形， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（2024·四川乐山·中考真题）如图，是的外接圆，为直径，过点C作的切线交延长线于点D，点E为上一点，且． (1)求证：； (2)若垂直平分，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图1，连接．则，即．由为直径，可得，即．则．由，可得．由，可得．则．进而可证． （2）如图2，连接．由垂直平分，可得．则为等边三角形．，．由，可得．由，可得．．证明为等边三角形．则，．．则．．．．，再根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：如图1，连接．          图1 ∵为的切线， ∴，即． 又∵为直径， ∴，即． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：如图2，连接．           图2 ∵垂直平分， ∴． 又∵， ∴为等边三角形． ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴为等边三角形． ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴阴影部分的面积为． 4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在中，，平分交于点D，点E是斜边上一点，以为直径的经过点D，交于点F，连接．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，由角平分线的定义可得，从而可得，再根据平行线的判定可得 ，从而可得，再根据切线的判定即可得出结论； （2）连接，，由，，可得，，再由直角三角形的性质可得，再由圆周角定理可得，根据角平分线的定义可得，利用锐角三角函数求得，再由直角三角形的性质可得 ，证明是等边三角形，可得，从而证明是等边三角形，可得垂直平分，再由，可得，从而可得，再利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：连接，    ∵，是的半径， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴于点D， 又∵为的半径， ∴是的切线． （2）解：连接，， ∵在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， 在中，， ∴， ∴ ， ∵平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∵，， ∴， ∴， ∴．    考点3 平移、旋转及对称求解 提分秘籍 平移法 图形 公式 S阴影=S正方形BCFE 旋转法 图形 公式 S阴影=S扇形BOE 对称法 图形 公式 S阴影=S△ACD S阴影=S扇形CDE 典型例题 1．（2024·宁夏·中考真题）如图，在边长为2的正方形中，点在上，连接，．则图中阴影部分的面积是________． 【答案】2 【分析】根据正方形的，，边长为2，阴影部分面积等于与面积的和，运用三角形面积公式，即可求解． 【详解】∵四边形为正方形， ∴，， ∵正方形的边长为2， ∴ ． 故答案为：2． 2．（2024·浙江·中考真题）如图，分别以为边长作正方形，已知且满足，．    （1）若，则图1阴影部分的面积是__________； （2）若图1阴影部分的面积为，图2四边形的面积为，则图2阴影部分的面积是__________． 【答案】 【分析】（1）根据正方形的面积公式进行计算即可求解； （2）根据题意，解方程组得出，根据题意得出，进而得出，根据图2阴影部分的面积为，代入进行计算即可求解． 【详解】解：（1） ，图1阴影部分的面积是， 故答案为：． （2）∵图1阴影部分的面积为3，图2四边形的面积为， ∴，，即 ∴（负值舍去） ∵，． 解得： ∵① ∴， ∴， ∴② 联立①②解得：（为负数舍去）或 ∴， 图2阴影部分的面积是 故答案为：． 3．（2024·青海·中考真题）如图，正方形ABCD的边长是4，分别以点A，B，C，D为圆心，2为半径作圆，则图中阴影部分的面积是______（结果保留）.    【答案】/ 【分析】分析出阴影面积正方形面积圆的面积，再利用相应的面积公式计算即可． 【详解】解：由图得，阴影面积正方形面积个扇形面积， 即阴影面积正方形面积圆的面积， ． 故答案为：． 4．（2024·江苏连云港·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与轴交于点C，点A的横坐标为2． (1)求的值； (2)利用图像直接写出时的取值范围； (3)如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点D，与轴交于点E，再将函数的图像沿平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)8 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用： （1）先求出点坐标，再将点代入一次函数的解析式中求出的值即可； （2）图像法求不等式的解集即可； （3）根据平移的性质，得到阴影部分的面积即为的面积，进行求解即可． 【详解】（1）点在的图像上， 当时，． ∴， 将点代入，得． （2）由（1）知：， 联立，解得：或， ∴； 由图像可得：时的取值范围为：或． （3）∵， ∴当时，， ∴， ∵将直线沿轴向下平移4个单位， ∴，直线的解析式为：，设直线与轴交于点H ∴当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， 如图，过点作，垂足为， ∴． 又，， ． 连接， ∵平移， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴阴影部分面积等于的面积，即． 考点4 容斥原理提分秘籍 在计算阴影面积时，我们可以将物体划分为若干个子区域，然后利用容斥原理来计算阴影面积. 方法：我们需要将物体划分为不同的部分，每个部分都是由一个或多个对象组成的.然后，我们计算每个部分的面积，并相加得到总面积.但是，这样计算得到的总面积中可能包含了重复计算的部分，即重叠区域.为了避免重复计算，我们需要减去重叠区域的面积. 容斥原理的核心思想是先计算每个部分的面积，并相加得到总面积，然后再减去重叠区域的面积，最后得到的结果就是阴影面积. 典型例题 1．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，矩形内接于，分别以为直径向外作半圆．若，则阴影部分的面积是（    ）    A． B． C． D．20 【答案】D 【分析】根据阴影部分面积为2个直径分别为的半圆的面积加上矩形的面积减去直径为矩形对角线长的圆的面积即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，         ∵矩形内接于， ∴ ∴阴影部分的面积是 ， 故选：D． 2．（2024·山东泰安·中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用等知识点，熟练掌握扇形的面积公式是关键． 如图：连接，作于点B，得三角形是等边三角形，求出，再根据，即可解答． 【详解】解：如图：连接，作于点B， ∵， ∴三角形是等边三角形， ∴， ∴ ∴, ∴． 故选：A． 3．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，点在上，是直径，，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线． (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，求不规则图形的面积，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理，得到，根据平行线的性质，得到，即可得证； （2）作于点，易得四边形为正方形，解，求出的长，再利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，作于点， 由（1）知：， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 4．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点在上，点在外，线段与交于点，过点作的切线交直线于点，且． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析； (2)． 【分析】（）连接，，由直线与相切，可得，证明，则，然后通过切线的判定方法即可求证； （）由（）得，，则，，所以，通过直角三角形性质得，由勾股定理得，最后通过即可求解． 【详解】（1）解：直线与相切，理由， 如图，连接，， ∵直线与相切， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴直线与相切； （2）解：由（）得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，内接于，为的直径，于点D，将沿所在的直线翻折，得到，点D的对应点为E，延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由折叠的性质得，，再证明，推出，据此即可证明是的切线； （2）先求得，在中，求得，再利用扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵沿直线翻折得到， ∴，， ∵是的半径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴于点C， 又∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，的平分线交于点D，点O是边上一点，以点O为圆心、长为半径作圆，恰好经过点D，交于点E． (1)求证：直线是的切线； (2)若点E为的中点，，求阴影部分的面积； (3)连接，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了求不规则图形面积，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，切线的判定，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）连接，由角平分线的定义得到，再由等边对等角得到，则，据此可证明，得到，由此可证明是的切线； （2）根据线段之间的关系证明，解直角三角形可得，则可求出，再根据列式计算即可； （3）由直径所对的圆周角是直角得到，解得到，设，由勾股定理可得；证明，进而证明，得到，则，，进而可求出，再根据余弦的定义可得答案． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得， 在中，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵是的直径， ∴， 在中，， 设， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，． 学科网（北京）股份有限公司 $