学易金卷：高一数学下学期第三次月考02（全国通用，范围：人教A版必修第二册第6～9章）

**基本信息** 立足人教A版必修第二册第6-9章，以水晶切割、化学晶胞等新背景和步数统计、马拉松面试等实际情境为载体，考查复数、向量、统计、立体几何等知识，注重数学眼光观察、思维推理与语言表达。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数（纯虚数）、向量（夹角模长）、统计（百分位数）、立体几何（线面关系）|第4题步数折线图分析数据意识，第8题水晶切割结合空间几何体| |填空题|3题15分|统计（平均数）、立体几何（晶胞体积）、解三角形（命题判断）|第13题化学晶胞模型考空间观念| |解答题|5题77分|复数（几何意义）、统计（频率分布直方图）、立体几何（面面垂直）、向量（线性运算）|16题马拉松面试数据综合考查数据处理，17题正方体中点线面关系考逻辑推理|

2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册第6章~第9章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数为纯虚数，则（   ） A． B． C．0 D．1 2．已知向量的夹角为，，则（    ） A． B． C．48 D．75 3．一组从小到大排列的数据：，，，，，10，，20，，若它们的百分位数是中位数的两倍，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．中国营养学会把走路称为“最简单、最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等．如图为甲、乙两人在同一星期内每日步数的折线统计图，则下列结论中正确的是（　　） A．这一星期内乙的每日步数的中位数为12970 B．甲的每日步数星期三比星期二增加了1倍以上 C．这一星期内甲的每日步数的平均值大于乙 D．这一星期内甲的每日步数的极差小于乙 5．如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为 6．已知 为三条不同的直线， 为两个不同的平面，则以下选项正确的是（    ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若，则 7．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.某同学为了估算索菲亚教堂的高度，在教堂的正东方找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶、教堂塔尖的仰角分别是和，在楼顶处测得教堂塔尖的仰角为，则该同学计算索菲亚教堂的高度为（   ） A． B． C． D． 8．（新背景）水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人们制作成饰品．如图所示，现有棱长为的正方体水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成饰品，则该饰品的表面积为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某批产品检验后的评分，由统计结果制成如图所示的频率分布直方图，下列说法中正确的是（    ） A．a=0.005 B．评分的众数估值为 70 C．评分的第25百分位数估值为 67.5 D．评分的平均数估值为76 10．已知复数，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则的最小值为 D．若为实数，则也为实数 11．点是所在平面内的一点，下列说法正确的有（   ） A．若，则点为的重心 B．若．则点为的垂心 C．若，则点为的外心 D．在中，且，则为等边三角形 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若一组数据的，，，的平均数为4，则，，，的平均数为________． 13．（新考法）在校园科技节的化学展区，小明的团队制作了一个立方体晶胞框架（棱长的正方体），用来展示晶体中的八面体配位环境：位于立方体的各面中心位置，它们构成一个正八面体包围中心的，则该正八面体配位多面体模型的体积是________. 14．在中，角的对边分别为，则下列命题中正确的序号为：___________ ①若，则． ②若，则一定为等腰三角形． ③P为所在平面内的一点，且，则P为的内心． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知复数. (1)若复数是实数，求实数的值； (2)若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围. 16．（15分）“2026重庆马拉松”成功举行，某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． (1)求a，b的值； (2)若面试成绩前的候选者为优秀候选者，请估计优秀候选者成绩的最低分； (3)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者．若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和40，据此估计这次第二组和第四组这两组的所有面试者的方差． 17．（15分）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． (1)求证：平面； (2)已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 18．（17分）已知在中，角的对边分别为，且． (1)求的值； (2)若的周长为6，内切圆半径为，求的值． 19．（17分）在梯形ABCD中，，，，．，． (1)用，表示． (2)设M是线段EF上一点，且． （ⅰ）求； （ⅰⅰ）若G为AB的中点，H为线段GD上一个动点，求的最小值． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 全解全析 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册第6章~第9章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数为纯虚数，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【详解】因为为纯虚数， 所以，且，解得． 2．已知向量的夹角为，，则（    ） A． B． C．48 D．75 【答案】A 【详解】因为，所以，即，则， 所以，解得， 所以. 3．一组从小到大排列的数据：，，，，，10，，20，，若它们的百分位数是中位数的两倍，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】数据，，，，，10，，20，，已是由小到大的排列，数据共个， 中位数为第个与第个数据的平均值即中位数为， 由， 因此百分位数为第个与第个数据的平均值即， 得， 解得． 4．中国营养学会把走路称为“最简单、最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等．如图为甲、乙两人在同一星期内每日步数的折线统计图，则下列结论中正确的是（　　） A．这一星期内乙的每日步数的中位数为12970 B．甲的每日步数星期三比星期二增加了1倍以上 C．这一星期内甲的每日步数的平均值大于乙 D．这一星期内甲的每日步数的极差小于乙 【答案】C 【详解】对于A，这一星期内乙的每日步数从小到大为：，，，，，，，中位数为，故A错误； 对于B，甲星期三走步，星期二走 步，没有增加倍以上，故B错误； 对于C，甲每日步数的平均值为：， 乙每日步数的平均值为：， 这一星期内甲的每日步数的平均值大于乙，故C正确； 对于D，这一星期内甲的每日步数的极差为：， 这一星期内乙的每日步数的极差为：， 这一星期内甲的每日步数的极差大于乙，故D错误. 5．如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为 【答案】D 【详解】由题设，A错； 由斜二测画法知，，，， 易知原四边形为直角梯形，， 所以， 四边形的周长为，面积为，B、C错，D对． 6．已知 为三条不同的直线， 为两个不同的平面，则以下选项正确的是（    ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若，则 【答案】B 【详解】对于 ，面面平行的判定定理要求相交，若 ，则 可能相交，故错误； 对于 ，过作平面交于，则 ，过作平面交于，则，故， 又不在平面内，又平面，所以，而，故，故，故正确； 对于C，若 ，则 或 ，故 错误； 对于，若， 如果或，则不能判断 ，故错误. 7．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.某同学为了估算索菲亚教堂的高度，在教堂的正东方找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶、教堂塔尖的仰角分别是和，在楼顶处测得教堂塔尖的仰角为，则该同学计算索菲亚教堂的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，，， 故，， 在中，，， ， 由正弦定理得，， 所以. 8．（新背景）水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人们制作成饰品．如图所示，现有棱长为的正方体水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成饰品，则该饰品的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】原正方体棱长为，裁去八个相同的四面体时，切割点应该为正方体各棱的中点， 每个面切掉四个角后，剩余一个边长为的小正方形， 则六个小正方形面的面积和为： 而切掉正方体的个顶点后，每个切口新增一个边长为的正三角形， 则八个正三角形面的面积和为， 所以该饰品的表面积为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某批产品检验后的评分，由统计结果制成如图所示的频率分布直方图，下列说法中正确的是（    ） A．a=0.005 B．评分的众数估值为 70 C．评分的第25百分位数估值为 67.5 D．评分的平均数估值为76 【答案】AC 【详解】对于A，由频率之和为，得，故A正确； 对于B，评分的众数约为，故B错误； 对于C，因为，所以第百分位数在内，第百分位数约为，故C正确； 对于D，评分的平均数约为，故D错误. 10．已知复数，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则的最小值为 D．若为实数，则也为实数 【答案】ABD 【详解】设， 若，则，则， 则， 则， 故，故A正确； ，故B正确； 表示点，两点间的距离， 因为，当时有最小值， 则的最小值为，故C错误； 因为，为实数，所以为实数，故D正确. 11．点是所在平面内的一点，下列说法正确的有（   ） A．若，则点为的重心 B．若．则点为的垂心 C．若，则点为的外心 D．在中，且，则为等边三角形 【答案】ABD 【详解】对于A，如图 因为，所以，取中点， 则有，所以点三点共线，则为三角形中线， 同理所在直线也是中线，所以点为的重心，故A正确. 对于B，因为，所以， 所以，同理，，所以点为的垂心，故B正确 对于C，由B可知，选项C错误. 对于D，因为表示方向上的单位向量，同理表示方向上的单位向量， 由平行四边形法则，在的角平分线上， 又因为，所以的角平分线垂直于，所以为等腰三角形， 又因为， 所以，所以， 所以为等边三角形，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若一组数据的，，，的平均数为4，则，，，的平均数为________． 【答案】 【详解】设一组数据的，，，的平均数为，则， 则，，，的平均数为. 13．（新考法）在校园科技节的化学展区，小明的团队制作了一个立方体晶胞框架（棱长的正方体），用来展示晶体中的八面体配位环境：位于立方体的各面中心位置，它们构成一个正八面体包围中心的，则该正八面体配位多面体模型的体积是________. 【答案】/ 【详解】根据图示正八面体的结构，底面为边长为的正方形，正四棱锥的高为正方体棱长的一半，即， 所以正八面体的体积为. 14．在中，角的对边分别为，则下列命题中正确的序号为：___________ ①若，则． ②若，则一定为等腰三角形． ③P为所在平面内的一点，且，则P为的内心． 【答案】① 【详解】对于①，若，由正弦定理，可得，所以，所以①正确； 对于②，若，由正弦定理得，所以， 因为，所以或，可得或， 所以为等腰三角形或直角三角形，所以②错误； 对于③，由，可得， 又由，可得， 所以，所以点为的垂心，所以③错误. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知复数. (1)若复数是实数，求实数的值； (2)若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围. 【答案】(1)或；(2). 【详解】（1）因为复数是实数， 所以， 解得或； 所以实数的值为或； （2）因为复数表示的点在第四象限， 所以， 即， 解得或， 所以实数的取值范围为. 16．（15分）“2026重庆马拉松”成功举行，某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． (1)求a，b的值； (2)若面试成绩前的候选者为优秀候选者，请估计优秀候选者成绩的最低分； (3)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者．若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和40，据此估计这次第二组和第四组这两组的所有面试者的方差． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由题意可知，，解得； （2）由（1）及图知，， 所以面试成绩前候选者（分数从高到低）的最低分位于区间，设为， 所以，可得. （3）设第二组、第四组的平均数分别为，方差分别为， 且各组频率之比为： ， 所以用分层抽样的方法抽取第二组面试者人， 第四组面试者人， 则第二组和第四组面试者的面试成绩的平均数， 第二组、第四组面试者的面试成绩的方差 ， 故估计第二组、第四组面试者的面试成绩的方差是． 17．（15分）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． (1)求证：平面； (2)已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 【答案】(1)证明见详解(2)证明见详解 【详解】（1）连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得，所以，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）连接，因为点分别为棱的中点，则， 因为，，则， 可得，则， 且平面，平面，则平面， 取的中点，连接， 因为分别为的中点，则， 又因为分别为的中点，则，， 且，，则，， 可知为平行四边形，则，可得， 且平面，平面，则平面， 又因为，平面，所以平面平面. 18．（17分）已知在中，角的对边分别为，且． (1)求的值； (2)若的周长为6，内切圆半径为，求的值． 【答案】(1)(2)4 【详解】（1）在中，由及正弦定理得： ， 则， 整理得：， 即， 由，得，则， 两边平方得， 即 由，得， 解得，故； （2）由的周长为6，内切圆半径为， 得， 解得， 由余弦定理得，即， 整理得， 解得， ，又，解得， 因此． 19．（17分）在梯形ABCD中，，，，．，． (1)用，表示． (2)设M是线段EF上一点，且． （ⅰ）求； （ⅰⅰ）若G为AB的中点，H为线段GD上一个动点，求的最小值． 【答案】(1)；(2)（ⅰ）；（ⅰⅰ）. 【详解】（1）因为，，，所以 所以. （2）（ⅰ）以为原点，所在直线为轴，过点作与垂直的直线为轴建立平面直角坐标系. 因为，，所以点分别是上靠近点的三等分点， 又，，，， 所以， 则， 因为，所以， 又三点共线，所以存在使得， 即，即， 解得，所以， 所以， （ⅰⅰ）因为H为线段GD上一个动点，设， 则， 又 所以 ， 由二次函数性质可知，当时取得最小值. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A]B][C]D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][CID] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) D E M A B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D A C C D B B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC ABD ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．/ 14．① 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）因为复数是实数， 所以， 解得或； 所以实数的值为或；（6分） （2）因为复数表示的点在第四象限， 所以， 即， 解得或， 所以实数的取值范围为.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）由题意可知，，解得；（2分） （2）由（1）及图知，， 所以面试成绩前候选者（分数从高到低）的最低分位于区间，设为， 所以，可得.（7分） （3）设第二组、第四组的平均数分别为，方差分别为， 且各组频率之比为： ， 所以用分层抽样的方法抽取第二组面试者人， 第四组面试者人， 则第二组和第四组面试者的面试成绩的平均数， 第二组、第四组面试者的面试成绩的方差 ， 故估计第二组、第四组面试者的面试成绩的方差是．（15分） 17．（15分） 【解析】（1）连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得，所以，所以， 又平面，平面，所以平面.（6分） （2）连接，因为点分别为棱的中点，则， 因为，，则， 可得，则，（10分） 且平面，平面，则平面， 取的中点，连接， 因为分别为的中点，则， 又因为分别为的中点，则，， 且，，则，， 可知为平行四边形，则，可得， 且平面，平面，则平面， 又因为，平面，所以平面平面.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）在中，由及正弦定理得： ， 则， 整理得：， 即， 由，得，则， 两边平方得， 即 由，得， 解得，故；（9分） （2）由的周长为6，内切圆半径为， 得， 解得， 由余弦定理得，即， 整理得， 解得， ，又，解得， 因此．（17分） 19．（17分） 【解析】（1）因为，，，所以 所以.（4分） （2）（ⅰ）以为原点，所在直线为轴，过点作与垂直的直线为轴建立平面直角坐标系. 因为，，所以点分别是上靠近点的三等分点， 又，，，， 所以， 则， 因为，所以， 又三点共线，所以存在使得， 即，即， 解得，所以， 所以，（10分） （ⅰⅰ）因为H为线段GD上一个动点，设， 则， 又 所以 ， 由二次函数性质可知，当时取得最小值.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册第6章~第9章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数为纯虚数，则（   ） A． B． C．0 D．1 2．已知向量的夹角为，，则（    ） A． B． C．48 D．75 3．一组从小到大排列的数据：，，，，，10，，20，，若它们的百分位数是中位数的两倍，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．中国营养学会把走路称为“最简单、最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等．如图为甲、乙两人在同一星期内每日步数的折线统计图，则下列结论中正确的是（　　） A．这一星期内乙的每日步数的中位数为12970 B．甲的每日步数星期三比星期二增加了1倍以上 C．这一星期内甲的每日步数的平均值大于乙 D．这一星期内甲的每日步数的极差小于乙 5．如图，用斜二测画法画水平放置的四边形ABCD，其直观图为等腰梯形，若，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为 6．已知 为三条不同的直线， 为两个不同的平面，则以下选项正确的是（    ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若，则 7．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.某同学为了估算索菲亚教堂的高度，在教堂的正东方找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶、教堂塔尖的仰角分别是和，在楼顶处测得教堂塔尖的仰角为，则该同学计算索菲亚教堂的高度为（   ） A． B． C． D． 8．（新背景）水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人们制作成饰品．如图所示，现有棱长为的正方体水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成饰品，则该饰品的表面积为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某批产品检验后的评分，由统计结果制成如图所示的频率分布直方图，下列说法中正确的是（    ） A．a=0.005 B．评分的众数估值为 70 C．评分的第25百分位数估值为 67.5 D．评分的平均数估值为76 10．已知复数，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则的最小值为 D．若为实数，则也为实数 11．点是所在平面内的一点，下列说法正确的有（   ） A．若，则点为的重心 B．若．则点为的垂心 C．若，则点为的外心 D．在中，且，则为等边三角形 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若一组数据的，，，的平均数为4，则，，，的平均数为________． 13．（新考法）在校园科技节的化学展区，小明的团队制作了一个立方体晶胞框架（棱长的正方体），用来展示晶体中的八面体配位环境：位于立方体的各面中心位置，它们构成一个正八面体包围中心的，则该正八面体配位多面体模型的体积是________. 14．在中，角的对边分别为，则下列命题中正确的序号为：___________ ①若，则． ②若，则一定为等腰三角形． ③P为所在平面内的一点，且，则P为的内心． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知复数. (1)若复数是实数，求实数的值； (2)若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围. 16．（15分）“2026重庆马拉松”成功举行，某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． (1)求a，b的值； (2)若面试成绩前的候选者为优秀候选者，请估计优秀候选者成绩的最低分； (3)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者．若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和40，据此估计这次第二组和第四组这两组的所有面试者的方差． 17．（15分）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． (1)求证：平面； (2)已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 18．（17分）已知在中，角的对边分别为，且． (1)求的值； (2)若的周长为6，内切圆半径为，求的值． 19．（17分）在梯形ABCD中，，，，．，． (1)用，表示． (2)设M是线段EF上一点，且． （ⅰ）求； （ⅰⅰ）若G为AB的中点，H为线段GD上一个动点，求的最小值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $