学易金卷：高二数学下学期第三次月考02（全国通用，范围：人教A版选择性必修第二册和选择性必修第三册全部）

**基本信息** 本试卷全面覆盖人教A版选择性必修第二、三册内容，以数学眼光观察现实问题（如乡村振兴定价、边缘计算节点修复），用数学思维解决综合问题（如导数应用、数列推理），体现知识与素养的深度融合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|二项式定理、概率、数列、导数等|结合晚会节目安排（排列组合）、正态分布比较（统计应用）| |填空题|3题/15分|数列求和、计数原理|融入《九章算术》文化背景（方程章问题）| |解答题|5题/77分|线性回归、数列、导数、概率期望|乡村振兴定价（线性回归建模）、边缘计算节点修复（概率期望应用），多问设计体现分层能力要求|

2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册和选择性必修第三册全部。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的展开式中的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的展开式中含的项为， 所以所求系数为. 2．一袋中有大小相同的3个红球和2个白球，若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到白球”为事件B，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意得，， 故. 3．数列的一个通项公式（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对数列的前几项变形，找出规律，从而写出数列的一个通项公式. 【详解】数列， 所以数列的一个通项公式. 4．设是的导函数，已知，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】由已知， . 5．某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻且第一个节目不能是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（    ）种. A．144 B．288 C．480 D．672 【答案】B 【详解】先排 4 个歌舞节目，有种排法，排好后会产生 5 个空位（包括两端）， 然后将 2 个机器人表演节目插入除第一个以外的空位，有种排法， 所以满足条件的排法有种. 6．已知公比为整数的等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设的公比为，由得，所以. 当时，，解得或. 又是整数，所以； 当时，，解得，此时不是整数， 所以，A，B错误； ，所以C错误，D正确. 7．已知甲､乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩，乙班成绩，其密度曲线如图所示，则有（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】C 【详解】正态密度曲线关于对称，对称轴位置对应均值；且越大，曲线越矮胖，越小曲线越瘦高 从图中可知：的对称轴为，的对称轴为，因此；曲线更矮胖，因此，故选项A、B错误； 由正态分布的对称性：，，C正确； ，而，所以，因此，D错误 8．已知函数在存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】考虑问题的否定，函数在上不存在单调递增区间， 则对于，恒成立， 分离参数得在上恒成立，则. 令，求导得， 当，，单调递增， 所以，所以 所以原命题成立的条件为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（新背景）下列命题中正确的是( ) A．决定系数越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好 B．若回归方程为，则变量y与x成负相关 C．某校高三年级男生的身高(单位：cm)近似服从，随机选择一名该校高三年级的男生，则(若，则，) D．样本相关系数的取值范围为，刻画了样本点集中于某条直线的程度，当时，只表明成对样本数据间没有线性相关关系 【答案】ABD 【详解】决定系数越大，对应分式越小，分母为定值(对已知数据而言，与经验回归方程无关)，则分子残差平方和越小，模型拟合效果越好，故A正确； 由回归方程可知，两个变量呈现线性相关，且随着x的增大，y减小，所以变量y与x成负相关，所以B正确； 因为学生身高近似服从正态分布，故均值为，标准差为，而范围在均值170的右侧距离到之间的区间，所以根据正态分布对称性可知：，所以可得 ，故C错误； 样本相关系数的取值范围为，刻画了样本点集中于某条直线的程度(线性相关性)，当时，只表明成对样本数据间没有线性相关关系，但是不排除其他相关关系，故D正确. 10．已知数列的前项和为，且，则（    ） A．数列是等差数列 B． C．数列的前项的和为 D．的前项的和小于 【答案】ACD 【详解】对于A：根据题意，，当时，， 所以满足，所以数列是等差数列，正确； 对于B：，显然，不正确； 对于C：因为，所以，所以其前项的和为，正确； 对于D：因为，所以， 所以的前项的和为，正确. 11．已知函数f（x）= lnx-ax，直线 则下列说法正确的是（    ） A．若f（x）的极大值点为1，则a=1 B．若f（x）=-2在定义域上有唯一解，则a≤0 C．当a=2时，曲线y=f（x）恒在直线l的下方 D．若点 P 是曲线y=f（x）上任意一点，点Q 是直线l上任意一点.设点 P，Q间的距离为d，则当a=2时，d的最小值为 【答案】ACD 【详解】，的定义域为 对于A，的极大值点为1，，即，解得 当时， 当时，，单调递增；当时，，单调递减 是的极大值点，故A选项正确. 对于B，由可得，可求得 设，则 令，则，解得 当时，，单调递增；当时，，单调递减 在处取得极大值，也是最大值， 当时，；当时， 当在定义域上有唯一解时，或，故选项B错误. 对于C，当时， 设 则 令,解得 当时，，单调递增；当时，，单调递减 当在处取得极大值，也是最大值， ，即 曲线恒在直线l的下方，故选项C正确. 对于D，当时， ，则 直线 的斜率为 令，即，解得 当时，，则曲线在点处的切线与直线l平行 直线 ，直线 ， 则点到直线l的距离 的最小值为，故选项D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在数列中，，且，则它的前30项和________． 【答案】 【分析】将递推关系进行变形，通过累乘法推导出通项公式，再利用裂项相消法求和即可. 【详解】因为，则可以变形为：， 所以时，， 又，所以， 所以. 13．（新考法）《九章算术》是中国古代数学的经典著作，其中“方程章”主要研究线性方程组问题，其核心思想与现代线性代数中的矩阵初等变换有异曲同工之妙.现有问题：三人共募捐100文钱，已知每个人捐钱数量不少于1文且最小单位为1文，则三人捐钱数量的所有情况种数为__________. 【答案】4851 【详解】问题相当于将100个相同的元素分给3个人，每人至少1个， 只需用隔板法，用2块板将100个元素隔成3份即可，所以共有种情况. 14．若关于的方程仅有一个实数根，则实数的取值范围为______． 【答案】 【详解】由，可得， 令，则，即，所以或， 令，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，当时，且时，时， 则的图象如下所示： 因为关于的方程仅有一个实数根， 所以或有且仅有一个实数根， 显然无解，所以有且仅有一个实数根， 即与有且仅有一个交点，所以或， 即实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）实现乡村振兴，开发本地资源，提高村民的收入，某村办企业研发了一种新手工产品，为确定合适的定价，统计了不同定价x（元）与网上月销量y（万件）的数据如下： x 10 12 14 16 18 y 8 7 6 5 4 (1)求相关系数r，并说明其意义； (2)建立y关于x的线性回归方程； (3)若月销量不低于5万件可保证盈利，根据回归方程预测定价最高可定为多少元？（取整数） （参考数据：，，，，） （参考公式：，） 【答案】(1)，与完全负相关(2)(3)16元 【详解】（1），， 故， 故与完全负相关． （2）， 故，回归方程为． （3）由题设，此时，故，故定价最高为16元． 16．（15分）已知数列的前项和为，且满足 (1)求数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：由数列的前项和为，且， 当时，可得，可得， 当时，， 即，可得，即， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，所以. （2）解：由（1）知：， 可得， 所以 . 17．（15分）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，判断的单调性，并求出的极值； (3)若，求的最大值. 【答案】(1)(2)的单调递减区间为，单调递增区间为；时，取得极小值 (3)2. 【详解】（1）当时，， 则， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由（1）知. 令，则， 所以在上单调递增. 又，所以当时，，即 所以在区间上单调递减； 当时，，即， 所以在区间上单调递增， 所以当时，取得极小值. （3），即恒成立，等价于恒成立， 即恒成立. 令，令， 易知在上单调递增，且， 所以存在，使得，即. 当时，，当时， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以. 又在上单调递减，所以， 即，所以， 又因为，所以的最大值为2. 18．（17分）某智慧城市在主干道部署了个独立边缘计算节点．初始时有个节点在线（假设在线的不再宕机），个为宕机（停摆，不能正常工作）．每个月系统随机等概率地巡查个节点：若该节点为宕机，则修复，修复后该节点转为在线，不再宕机，已知每个宕机节点修复成功的概率均为；若该节点已在线，则仅进行维护．用表示第个月后在线节点数，表示其数学期望． (1)当时，求； (2)证明：； (3)已知每个宕机节点每个月会造成万元的经济损失，初始月份不考虑损失，求从第个月开始的个月内的经济损失的总期望． 【答案】(1)(2)证明见解析(3)（万元） 【详解】（1）初始状态，即个在线、个宕机． 第个月选中在线节点的概率为，此时； 选中宕机节点的概率为，其中修复成功的概率为，此时； 修复失败的概率为，此时． 所以，． ，． 所以 ， 故当时，． （2）由题意知的可能取值有、、、， 所以， ， ， ， 所以 ． 因为， 所以， 所以 ， 所以． （3）因为，设， 所以， 所以，，， 所以是以为公比的等比数列， ，，, 故， 所以， 所以， 第个月的期望宕机节点数的期望为． 每台宕机节点每月损失万元，故第个月的经济损失的期望为． 设从第个月开始的个月的经济损失的总期望为， 故（万元）. 19．（17分）已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的值； (2)讨论的单调性； (3)若存在两个极值点，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在和上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减. (3) 【详解】（1）由求导得， 依题意，，解得 （2）因函数的定义域为， ， 当时，，当时，，当时，， 即此时函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，若，恒成立，则，即函数在上单调递减； 若，由解得， 由可得，由可得或， 即函数在上单调递增，在和上单调递减； 当时，由可得，由可得， 即函数在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在和上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （3）由（2）分析可知，存在两个极值点，则 此时是方程的两个实根，则. 由 ， 设，则，将代入，化简得，， 则，， 设，则，故函数在上单调递增， 由题意，，且，即有，故可得， 又因，函数在上单调递增，故， 又因，故得. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D B D D B D C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD ACD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．4851 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1），， 故， 故与完全负相关．（5分） （2）， 故，回归方程为．（10分） （3）由题设，此时，故，故定价最高为16元．（13分） 16．（15分） 【解析】（1）解：由数列的前项和为，且， 当时，可得，可得， 当时，， 即，可得，即， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，所以.（7分） （2）解：由（1）知：， 可得， 所以 .（15分） 17．（15分） 【解析】（1）当时，， 则， 所以曲线在点处的切线方程为.（4分） （2）由（1）知. 令，则， 所以在上单调递增. 又，所以当时，，即 所以在区间上单调递减； 当时，，即， 所以在区间上单调递增， 所以当时，取得极小值.（9分） （3），即恒成立，等价于恒成立， 即恒成立. 令，令， 易知在上单调递增，且， 所以存在，使得，即. 当时，，当时， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以. 又在上单调递减，所以， 即，所以， 又因为，所以的最大值为2.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）初始状态，即个在线、个宕机． 第个月选中在线节点的概率为，此时； 选中宕机节点的概率为，其中修复成功的概率为，此时； 修复失败的概率为，此时． 所以，． ，． 所以 ， 故当时，．（5分） （2）由题意知的可能取值有、、、， 所以， ， ， ， 所以 ． 因为， 所以， 所以 ， 所以．（10分） （3）因为，设， 所以， 所以，，， 所以是以为公比的等比数列， ，，, 故， 所以， 所以， 第个月的期望宕机节点数的期望为． 每台宕机节点每月损失万元，故第个月的经济损失的期望为． 设从第个月开始的个月的经济损失的总期望为， 故（万元）.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）由求导得， 依题意，，解得（4分） （2）因函数的定义域为， ， 当时，，当时，，当时，， 即此时函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，若，恒成立，则，即函数在上单调递减； 若，由解得， 由可得，由可得或， 即函数在上单调递增，在和上单调递减； 当时，由可得，由可得， 即函数在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在和上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（10分） （3）由（2）分析可知，存在两个极值点，则 此时是方程的两个实根，则. 由 ， 设，则，将代入，化简得，， 则，， 设，则，故函数在上单调递增， 由题意，，且，即有，故可得， 又因，函数在上单调递增，故， 又因，故得.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ ■■ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A]B][C]D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][CID] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册和选择性必修第三册全部。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的展开式中的系数为（   ） A． B． C． D． 2．一袋中有大小相同的3个红球和2个白球，若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到白球”为事件B，则（   ） A． B． C． D． 3．数列的一个通项公式（   ） A． B． C． D． 4．设是的导函数，已知，则（    ） A． B．1 C． D．2 5．某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻且第一个节目不能是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（    ）种. A．144 B．288 C．480 D．672 6．已知公比为整数的等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 7．已知甲､乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩，乙班成绩，其密度曲线如图所示，则有（    ） A．且 B．且 C． D． 8．已知函数在存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（新背景）下列命题中正确的是( ) A．决定系数越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好 B．若回归方程为，则变量y与x成负相关 C．某校高三年级男生的身高(单位：cm)近似服从，随机选择一名该校高三年级的男生，则(若，则，) D．样本相关系数的取值范围为，刻画了样本点集中于某条直线的程度，当时，只表明成对样本数据间没有线性相关关系 10．已知数列的前项和为，且，则（    ） A．数列是等差数列 B． C．数列的前项的和为 D．的前项的和小于 11．已知函数f（x）= lnx-ax，直线 则下列说法正确的是（    ） A．若f（x）的极大值点为1，则a=1 B．若f（x）=-2在定义域上有唯一解，则a≤0 C．当a=2时，曲线y=f（x）恒在直线l的下方 D．若点 P 是曲线y=f（x）上任意一点，点Q 是直线l上任意一点.设点 P，Q间的距离为d，则当a=2时，d的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在数列中，，且，则它的前30项和________． 13．（新考法）《九章算术》是中国古代数学的经典著作，其中“方程章”主要研究线性方程组问题，其核心思想与现代线性代数中的矩阵初等变换有异曲同工之妙.现有问题：三人共募捐100文钱，已知每个人捐钱数量不少于1文且最小单位为1文，则三人捐钱数量的所有情况种数为__________. 14．若关于的方程仅有一个实数根，则实数的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）实现乡村振兴，开发本地资源，提高村民的收入，某村办企业研发了一种新手工产品，为确定合适的定价，统计了不同定价x（元）与网上月销量y（万件）的数据如下： x 10 12 14 16 18 y 8 7 6 5 4 (1)求相关系数r，并说明其意义； (2)建立y关于x的线性回归方程； (3)若月销量不低于5万件可保证盈利，根据回归方程预测定价最高可定为多少元？（取整数） （参考数据：，，，，） （参考公式：，） 16．（15分）已知数列的前项和为，且满足 (1)求数列； (2)设，求数列的前项和. 17．（15分）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，判断的单调性，并求出的极值； (3)若，求的最大值. 18．（17分）某智慧城市在主干道部署了个独立边缘计算节点．初始时有个节点在线（假设在线的不再宕机），个为宕机（停摆，不能正常工作）．每个月系统随机等概率地巡查个节点：若该节点为宕机，则修复，修复后该节点转为在线，不再宕机，已知每个宕机节点修复成功的概率均为；若该节点已在线，则仅进行维护．用表示第个月后在线节点数，表示其数学期望． (1)当时，求； (2)证明：； (3)已知每个宕机节点每个月会造成万元的经济损失，初始月份不考虑损失，求从第个月开始的个月内的经济损失的总期望． 19．（17分）已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的值； (2)讨论的单调性； (3)若存在两个极值点，且，求的取值范围. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册和选择性必修第三册全部。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的展开式中的系数为（   ） A． B． C． D． 2．一袋中有大小相同的3个红球和2个白球，若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到白球”为事件B，则（   ） A． B． C． D． 3．数列的一个通项公式（   ） A． B． C． D． 4．设是的导函数，已知，则（    ） A． B．1 C． D．2 5．某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻且第一个节目不能是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（    ）种. A．144 B．288 C．480 D．672 6．已知公比为整数的等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 7．已知甲､乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩，乙班成绩，其密度曲线如图所示，则有（    ） A．且 B．且 C． D． 8．已知函数在存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（新背景）下列命题中正确的是( ) A．决定系数越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好 B．若回归方程为，则变量y与x成负相关 C．某校高三年级男生的身高(单位：cm)近似服从，随机选择一名该校高三年级的男生，则(若，则，) D．样本相关系数的取值范围为，刻画了样本点集中于某条直线的程度，当时，只表明成对样本数据间没有线性相关关系 10．已知数列的前项和为，且，则（    ） A．数列是等差数列 B． C．数列的前项的和为 D．的前项的和小于 11．已知函数f（x）= lnx-ax，直线 则下列说法正确的是（    ） A．若f（x）的极大值点为1，则a=1 B．若f（x）=-2在定义域上有唯一解，则a≤0 C．当a=2时，曲线y=f（x）恒在直线l的下方 D．若点 P 是曲线y=f（x）上任意一点，点Q 是直线l上任意一点.设点 P，Q间的距离为d，则当a=2时，d的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在数列中，，且，则它的前30项和________． 13．（新考法）《九章算术》是中国古代数学的经典著作，其中“方程章”主要研究线性方程组问题，其核心思想与现代线性代数中的矩阵初等变换有异曲同工之妙.现有问题：三人共募捐100文钱，已知每个人捐钱数量不少于1文且最小单位为1文，则三人捐钱数量的所有情况种数为__________. 14．若关于的方程仅有一个实数根，则实数的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）实现乡村振兴，开发本地资源，提高村民的收入，某村办企业研发了一种新手工产品，为确定合适的定价，统计了不同定价x（元）与网上月销量y（万件）的数据如下： x 10 12 14 16 18 y 8 7 6 5 4 (1)求相关系数r，并说明其意义； (2)建立y关于x的线性回归方程； (3)若月销量不低于5万件可保证盈利，根据回归方程预测定价最高可定为多少元？（取整数） （参考数据：，，，，） （参考公式：，） 16．（15分）已知数列的前项和为，且满足 (1)求数列； (2)设，求数列的前项和. 17．（15分）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，判断的单调性，并求出的极值； (3)若，求的最大值. 18．（17分）某智慧城市在主干道部署了个独立边缘计算节点．初始时有个节点在线（假设在线的不再宕机），个为宕机（停摆，不能正常工作）．每个月系统随机等概率地巡查个节点：若该节点为宕机，则修复，修复后该节点转为在线，不再宕机，已知每个宕机节点修复成功的概率均为；若该节点已在线，则仅进行维护．用表示第个月后在线节点数，表示其数学期望． (1)当时，求； (2)证明：； (3)已知每个宕机节点每个月会造成万元的经济损失，初始月份不考虑损失，求从第个月开始的个月内的经济损失的总期望． 19．（17分）已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的值； (2)讨论的单调性； (3)若存在两个极值点，且，求的取值范围. / 学科网（北京）股份有限公司 $