6.4.2 平面与平面平行课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

6.4.2 平面与平面平行 北师大版（2019）必修第二册 学习目标 1.理解并掌握平面与平面平行的性质，并能利用性质解决问题，体现逻辑推理能力（重点） 2.通过具体实例，归纳出平面和平面平行的判定定理，体现逻辑推理能力（重点） 3.掌握平面与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题，体现数学计算能力（难点） 课程引入 由两个平面平行的定义可知，两个平行平面没有公共点，因此其中一个平面内的任一条直线与另一个平面也没有公共点，即平行.于是，这个平面内的任意一条直线与另一个平面内的直线平行或异面.那么，如何找到平行的直线呢？ 新课学习 观察下图中的长方体，上、下两底面ABCD 和A1B1C1D1平行，上底面 A1B1C1D1 的对角线 B1D1 仅和它共面的下底面ABCD的对角线BD平行，而和棱AB，BC，CD，DA 都是异面直线. 新课学习 平面与平面的性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. 符号语言：α∥β α∩γ＝a β∩γ＝b ⇒a∥b 图形表示： α β γ b a 新课学习 思考一下：证明平面与平面平行的性质定理. β α γ b a 因为α∥β，所以α∩β＝∅， 又因为α∩γ＝a，β∩γ＝b， 所以a⊂α，b⊂β，a⊂γ，b⊂γ， 所以a∩b＝∅， 所以a∥b. 新课学习 例5：如图，已知α∥β，点M，C，F和N，D，E分别是直线AB，AD，BF与α和β的交点.设AM=m，BN=n，MN=p，求△END与△FMC的面积之比. 因为α∥β，平面AND分别交α，β于MC，ND， 所以由平面与平面平行的性质定理，得MC∥ND， 同理可证MF∥NE， 因为∠END与∠FMC的两边分别平行且方向相同， 所以∠END＝∠FMC. 新课学习 例5：如图，已知α∥β，点M，C，F和N，D，E分别是直线AB，AD，BF与α和β的交点.设AM=m，BN=n，MN=p，求△END与△FMC的面积之比. 于是△END与△FMC的面积之比为 新课学习 思考交流：如果 α∥β，γ∩α=a，γ∩β=b，c⊂β，那么c和a，b有什么样的位置关系？为什么？ 因为α∥β，γ∩α=a，γ∩β=b所以a∥b． 又因为c⊂β，所以c和b平行或相交． 当b∥c时，因为a∥b，所以c∥a． α β γ b a c 当c和 b相交时，c和a异面． β γ b a c 新课学习 思考下面的两个问题： 1.如果对于平面α和平面β ，在α内取一条直线l ，且l∥β，能说α∥β吗？ 如图，平面 A1BCD1 中的A1D1∥平面ABCD，但平面A1BCD1 与平面ABCD不平行. 2.我们在生活中看到，工人师傅将水平尺在桌面上交叉放置两次，如果水平尺的气泡两次都在中央，就能判断桌面是水平的.这是为什么呢？ 根据平面与平面的判定定理 新课学习 平面与平面的判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. a⊂α b⊂α a∩b=A ⇒α∥β a∥β b∥β 符号语言： 图形表示： β α a b A 新课学习 思考一下：证明平面与平面平行的判定定理. β α a b A c 假设αβ=c，则a，b与c相交或平行， 若a，b与c都相交，所以a，bβ相交，与a∥β，b∥β矛盾， 若a，b中一条与c相交，另一条与c平行，不妨设a与c相交，b∥c， 所以a与β相交，与a∥β矛盾， 综上所述，假设不成立，故a∥β. 新课学习 例6：如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1.求证：平面AB1D1∥平面C1BD. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，易证得BD∥B1D1，又B1D1⊂平面AB1D1，BD⊄平面AB1D1，所以BD∥平面AB1D1. 同理可证BC1∥平面AB1D1. 又BD∩BC1=B，且BD⊂平面C1BD，BC1⊂平面C1BD， 因此由平面与平面平行的判定定理，得平面AB1D1∥平面C1BD. A B C D A1 D1 C1 B1 新课学习 例7：如图，点P在SA上，从点P处将三棱锥形木块S-ABC锯开，使得截面与底面ABC平行，怎么在侧面上画线？ 如图，过点P在侧面SAB上作AB的平行线，交SB于点E；再过点P在侧面SAC上作AC的平行线，交SC于点F，连接EF，截面PEF就是所求. 下面证明平面PEF∥平面ABC. 由于PE∥AB，AB⊂平面ABC，PE⊄平面ABC， E F A B C S P 故PE∥平面ABC. 新课学习 例7：如图，点P在SA上，从点P处将三棱锥形木块S-ABC锯开，使得截面与底面ABC平行，怎么在侧面上画线？ 同理可证PF∥平面ABC. 又PE⊂平面PEF，PF⊂平面PEF，PE∩PF＝P， 所以平面PEF∥平面ABC. E F A B C S P 新课学习 思考交流：“平面α内存在着不共线的三点到平面β的距离均相等”是“α∥β”的什么条件？ 如果三点位于平面β同一边且距离相等，则α∥β， 如果三点位于平面β两边且距离相等，则α与β相交， 所以平面α内存在着不共线的三点到平面β的距离均相等可得出α与β平行或相交，即非充分条件. 因为α∥β，所以α内的所有点到β的距离均相等，可见是必要条件. 综上所述，“平面α内存在着不共线的三点到平面β的距离均相等”是“α∥β”的必要不充分条件. 新课学习 思考一下：直线与直线平行、直线与平面平行和平面与平面平行这三者如何转换？ $