6.4.2平面与平面平行课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

作课人：廉文杰 北师大版（2019）高中数学 必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第六章 立体几何初步 第4节 平行关系 4.2 平面与平面平行 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、理解平面与平面平行的性质定理的含义. 2、理解平面与平面平行的判定定理的含义. 3、能运用平面与平面平行的性质定理和判定定理证明一些空间中相关的平行问题. 1、能运用平面与平面平行的性质定理和判定定理证明一些空间中相关的平行问题. 1、理解平面与平面平行的性质定理和判定定理的含义. 2 新 知 引 入 1、空间两条直线的位置关系有：________、________、________. 相交 平行 异面 a b P α a b α a b α α β α β m 2、空间两个平面的位置关系有：_________、_________. 相交 平行 3、当平面α∥平面β时，设直线m⊂α，直线n⊂β,那么m与n之间是什么 位置关系呢？ α∥β时，α与β没有公共点，则m与n也没有公共点，所以m与n不可能相交。 所以m与n只能是平行或异面。m与n满足什么条件才能平行呢？ 学 习 新 知 平面与平面平行的性质定理 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行。 已知：α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b，求证：a∥b 证明：∵ α∥β ∴ α∩β=_____ ∵ α∩γ=a,β∩γ=b ∴ a_____α,b_____β ∴ a∩b=_____ 又∵ α∩γ=a,β∩γ=b ∴ a_____γ,b_____γ ∴ a∥b Ø ⊂ ⊂ Ø ⊂ ⊂ 学 习 新 知 平面与平面平行的性质定理 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行。 注意：1、 2、 3、 此定理可简记为“面面平行，线线平行。” 此定理可以作为证明线线平行的依据. 面面平行的其他性质: ① 在两个平行平面中,一个平面内的直线必平行于另一个平面. 这可以作为证明线面平行的一种方法. ② 夹在两个平行平面间的平行线段相等. ③ 两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例. 典 例 引 路 (1)若两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面．(      ) (2)若平面α∥平面β，则平面α内有无数条直线平行于平面β．(       ) (3)若平面α∥平面β，则平面α内任意一条直线都平行于平面β（     ） (4)若平面α∥平面β，l⊂平面β，m⊂平面α，则l∥m．(        ) 例1、判断正误： × √ √ √ 同 步 练 习 （1）若直线a⊂平面α,直线b⊂平面β,且α∥β,则a,b无交点.(　　) （2）夹在两个平行平面间的线段长度相等．(      ) （3）一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交。（     ） （4）若三个平面α,β,γ满足α∥β∥γ,且平面δ与这三个平面相交,交线分别 为a,b,c,则有a∥b∥c成立.(　　) 练1、判断正误： √ √ √ × 典 例 引 路 例2、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E和F分别为BC和BB1的中点． 判断直线EF和直线A1D的位置关系，并说明理由； 解：如图，连接B1C,∵A1B1∥CD，且A1B1=CD， ∴四边形A1B1CD是平行四边形，故可以确定平面A1B1CD. 依题，平面ADD1A1∩平面A1B1CD=A1D,平面BCC1B1∩平面A1B1CD=B1C, 而平面ADD1A1∥平面BCC1B1，故得：A1D∥B1C， 又EF是三角形B1BC的中位线， ∴ EF∥B1C， ∴ A1D∥EF A B C D A1 B1 C1 D1 E F 同 步 练 习 练2、如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N， AC∩平面BC1N=N．求证：NC1∥AM. 证明：∵ 平面AB1M∥平面BC1N 平面AB1M∩平面ACC1A1=AM 平面BC1N∩平面ACC1A1=C1N ∴ NC1∥AM． 典 例 引 路 例3、如图,已知平面α∥平面β,点P是平面α,β外的一点(不在α与β之间),直线PB,PD分 别与α,β相交于点A,B和C,D. (1)求证:AC∥BD; (2)已知PA=4,AB=5,PC=3,求PD的长. (1)证明:∵ PB∩PD=P, ∴ 直线PB和PD确定一个平面γ, 则α∩γ=AC,β∩γ=BD. 又∵α∥β, ∴AC∥BD. (2)由(1)得AC∥BD, ∴ = , ∴ = ， ∴ CD = ∴ PD = PC+CD = 同 步 练 习 练3、如图，已知α∥β，点M,C,F和N,D,E分别是直线AB,AD,BF与α和β的交点，设AM=m,BN=n,MN=p,求△END与△FMC的面积之比。 解：∵ α∥β，平面AND分别交α，β于MC,ND ∴由平面与平面平行的性质定理，得MC∥ND, = = 同理可证MF∥NF, = = ∵∠END与∠FMC的两边分别平行且方向相同，∴∠END=∠FMC S△END= ·NE·ND·sin∠END S△FMC= ·MF·MC·sin∠FMC ∴ = = · = A B C D E F M N α β m n p 新 知 引 入 4、怎么判定平面与平面平行呢？ 根据平面与平面平行的定义，只需判定两个平面没有共同点。 但是，如何保证两个平面没有公共点呢？ 学 习 新 知 平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行。 已知：a⊂α,b⊂α,a∩b=A,a∥β,b∥β。求证：α∥β 证明：假设α与β不平行，即α与β________，设α∩β=l. ∵a∩b=A 则a,b中_________________与直线 l 相交 设a∩l=P , 则a∩β=_____,与_________矛盾 所以假设错误。 α β a b l 相交 至少有一条 P a∥β A 学 习 新 知 注意：1、 2、 3、 4、 平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行。 三个条件缺一不可：①直线a和直线b相交；②a∥α；③b∥α． 此定理可以作为判定或证明两个平面平行依据. 此定理可简记为“线面平行，面面平行”. 如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面内两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行。 典 例 引 路 （1）如果一个平面内的一条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(        ) （2）若一个平面内的两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行．(      ) （3）如果一个平面内有两条平行直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．(     ) （4）若平面α内的两条不平行直线都平行于平面β，则平面α与平面β平行.(     ) （5）若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．(   ) （6）平面α内有无数条直线与平面β平行，则α∥β．(       ) （7）如果一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(    ) （8）平面α内的所有直线与平面β都平行，则α∥β．(       ) 例4、判断正误： × × × √ √ × √ √ 同 步 练 习 练4、判断正误： （1）平行于同一条直线的两条直线平行．(        ) （2）平行于同一条直线的两个平面平行．(        ) （3）平行于同一个平面的两条直线平行．(        ) （4）平行于同一个平面的两个平面平行．(        ) （5）若平面α，β都与平面γ相交，且交线平行，则α∥β．(      ) （6）若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行．(    ) √ × × √ × × 典 例 引 路 例5、如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:平面A1BD∥平面CD1B1. 证明：由正方体性质可知,B1B∥D1D,且B1B=D1D, ∴四边形BB1D1D是平行四边形, ∴D1B1∥DB. 又DB⊂平面A1BD,D1B1⊄平面A1BD, ∴D1B1∥平面A1BD. 同理B1C∥平面A1BD. ∵B1C⊂平面CD1B1,B1D1⊂平面CD1B1,D1B1∩B1C=B1, ∴平面A1BD∥平面CD1B1. 同 步 练 习 练5、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的 中点，求证：平面MNP∥平面A1BD． 证明：如图所示，连接B1D1， ∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点， ∴PN∥B1D1. 又B1D1∥BD， ∴PN∥BD， 又PN⊄平面A1BD，BD⊂平面A1BD， ∴PN∥平面A1BD， 同理可得MN∥平面A1BD， 又∵MN∩PN＝N， ∴平面MNP∥平面A1BD． 典 例 引 路 例6、如图，点P在SA上，从点P处将三棱锥形木块S-ABC锯开，使得截面与 底面ABC平行，怎么在侧面上画线。 解：过点P在侧面SAB上作AB的平行线，交SB于点E，再过点P在侧面 SAC上作AC的平行线，交SC于点F，连接EF.截面PEF就是所求。 下面证明平面PEF∥平面ABC 由于PE∥AB,AB⊂平面ABC,PE⊄平面ABC 故PE∥平面ABC 同理可证PF∥平面ABC 又PE⊂平面PEF,PF⊂平面PEF,PE∩PF=P 所以平面PEF∥平面ABC P A B C S E F 同 步 练 习 练6、如图,在四棱锥P-ABCD中,E,F,G分别是PC,PD,BC的中点,DC∥AB, 求证:平面PAB∥平面EFG. 证明：∵E,G分别是PC,BC的中点,∴EG∥PB. 又∵EG⊄平面PAB,PB⊂平面PAB,∴EG∥平面PAB. ∵E,F分别是PC,PD的中点,∴EF∥CD. 又∵AB∥CD,∴EF∥AB. ∵EF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB, ∴EF∥平面PAB, 又∵EF∩EG=E,EF⊂平面EFG,EG⊂平面EFG, ∴平面EFG∥平面PAB. 学 习 新 知 线线平行 线面平行 面面平行 判定 判定 性质 定义 性质 直线、平面之间位置关系的相互转化是立体几何中的重要思想方法。 同 步 练 习 全 课 总 结 一、平面与平面平行的性质定理 二、平面与平面平行的判定定理 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 23 $