6.4.2 第2课时 平面与平面平行的判定-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（北师大版2019）

第2课时　平面与平面平行的判定 (教师独具内容) 课程标准：借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面平行的关系，归纳出平面与平面平行的判定定理，并加以证明． 教学重点：1.平面与平面平行的判定定理的内容.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述平面与平面平行的判定定理.3.能运用平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题． 教学难点：平面与平面平行的判定定理的运用． 知识点　平面与平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，a∥β，b∥β⇒α∥β 图形语言 1．对平面与平面平行的判定定理的理解 (1)用该定理判定平面α和平面β平行时，必须具备： ①一个平面内有两条直线平行于另一个平面； ②这两条直线必须相交． (2)判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循“先找后作”的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线． (3)要证明平面与平面平行，由平面与平面平行的判定定理知，需在一平面内寻找两条相交且与另一平面平行的直线．要证明线面平行，又需根据直线与平面平行的判定定理，在平面内找与已知直线平行的直线，即： 2．判定定理的推论 自然语言 图形语言 符号语言 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行 a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，a′⊂β，b′⊂β，a′∩b′＝P′，a∥a′，b∥b′⇒α∥β 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．(　　) (2)若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．(　　) (3)两个平面同时与第三个平面相交，若两交线平行，则这两个平面平行．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)× 2．做一做 (1)若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是(　　) A．一定平行 B．一定相交 C．平行或相交 D．以上判断都不对 (2)圆柱的两个底面的位置关系是(　　) A．相交 B．平行 C．平行或异面 D．相交或异面 (3)下列命题正确的是(　　) A．若直线a⊂平面α，直线a∥平面β，则α∥β B．若直线a∥直线b，直线a∥平面α，则直线b∥平面α C．若直线a∥直线b，直线b⊂平面α，则直线a∥平面α D．若直线a与直线b是异面直线，直线a⊂α，则直线b有可能与α平行 答案：(1)C　(2)B　(3)D 题型一　面面平行判定定理的理解 　α，β是两个不重合的平面，在下列条件下，可判定α∥β的是(　　) A．α，β都平行于直线l，m B．α内有三个不共线的点到β的距离相等 C．l，m是α内的两条直线且l∥β，m∥β D．l，m是异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β [解析]　对于A，当l∥m时，不能推出α∥β；对于B，当α∩β＝a且在平面α内同侧有两点，另一侧有一个点，三点到平面β的距离相等时，不能推出α∥β；对于C，当l∥m时，不能推出α∥β；对于D，∵l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，∴α内存在两条相交直线与平面β平行，故可得α∥β. [答案]　D 【感悟提升】　 (1)在判定两个平面是否平行时，一定要强调一个平面内的“两条相交直线”这个条件，线不在多，相交就行． (2)借助于常见几何体(如正方体)进行分析． 【跟踪训练】 1．(1)如果一个锐角的两边与另一个角的两边分别平行，下列结论一定成立的是(　　) A．这两个角相等 B．这两个角互补 C．这两个角所在的两个平面平行 D．这两个角所在的两个平面平行或重合 答案：D 解析：这两个角相等或互补．若两个角在同一平面内，即两平面重合；若两个角不在同一平面内，由面面平行判定定理的推论知这两个平面平行．故选D. (2)已知a，b表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列命题： ①若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥β； ②若a，b相交且都在α，β外，a∥α，b∥β，则α∥β； ③若a∥α，a∥β，则α∥β； ④若a⊂α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b. 其中正确命题的序号是______． 答案：④ 解析：①错误，α与β也可能相交；②错误，α与β也可能相交；③错误，α与β也可能相交；由线面平行的性质定理可知，④正确． 题型二　平面与平面平行的判定 　如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1. (1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C； (2)若E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD. [证明]　(1)因为B1B綊DD1， 所以四边形BB1D1D是平行四边形， 所以B1D1∥BD， 又BD⊄平面B1D1C，B1D1⊂平面B1D1C， 所以BD∥平面B1D1C. 同理A1D∥平面B1D1C. 又A1D∩BD＝D， 所以平面A1BD∥平面B1D1C. (2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1. 取BB1的中点G，连接AG，GF， 易得AE∥B1G， 又因为AE＝B1G， 所以四边形AEB1G是平行四边形， 所以B1E∥AG. 易得GF∥AD， 又因为GF＝AD， 所以四边形ADFG是平行四边形， 所以AG∥DF，所以B1E∥DF， 所以DF∥平面EB1D1. 又因为BD∩DF＝D， 所以平面EB1D1∥平面FBD. 【感悟提升】　平面与平面平行的判定方法 (1)定义法：两个平面没有公共点． (2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面． ①要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面即可； ②判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线． (3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β. (4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 【跟踪训练】 2．在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，A1B1＝a，AB＝2a，AA1＝a，E，F分别是AD，AB的中点．证明：平面EFB1D1∥平面BDC1. 证明：连接A1C1交B1D1于M，连接AC，分别交EF，BD于N，P，连接MN，C1P. 由题意，BD∥B1D1. ∵BD⊄平面EFB1D1，B1D1⊂平面EFB1D1， ∴BD∥平面EFB1D1. 又A1B1＝a，AB＝2a， ∴MC1＝A1C1＝a. ∵E，F分别是AD，AB的中点， ∴NP＝AC＝a.∴MC1＝NP. 又AC∥A1C1，∴MC1∥NP. ∴四边形MC1PN为平行四边形． ∴PC1∥MN. ∵PC1⊄平面EFB1D1，MN⊂平面EFB1D1， ∴PC1∥平面EFB1D1， ∵PC1∩BD＝P，PC1，BD⊂平面BDC1， ∴平面EFB1D1∥平面BDC1. 题型三　平行关系的综合应用 　如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l. (1)求证：l∥BC； (2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论． [解]　解法一：(1)证明：因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， 所以BC∥平面PAD. 又因为BC⊂平面PBC，平面PAD∩平面PBC＝l， 所以l∥BC. (2)平行．如图，取PD的中点E，连接AE，NE， 可以证得NE∥AM且NE＝AM. 可知四边形AMNE为平行四边形． 所以MN∥AE， 又MN⊄平面PAD，AE⊂平面PAD， 所以MN∥平面PAD. 解法二：(1)证明：因为AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC， 所以AD∥平面PBC. 又因为AD⊂平面PAD，平面PBC∩平面PAD＝l， 所以l∥AD∥BC. (2)平行．设Q是CD的中点，连接NQ，MQ，如图，则MQ∥AD. 又MQ⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， 所以MQ∥平面PAD. 同理，由NQ∥PD，可得NQ∥平面PAD，而MQ∩NQ＝Q，所以平面MNQ∥平面PAD. 又MN⊂平面MNQ，所以MN∥平面PAD. 【感悟提升】　在空间平行的判断与证明时要注意线线、线面、面面平行关系的转化过程： 【跟踪训练】 3.如图所示，设AB，CD为夹在两个平行平面α，β之间的线段，且直线AB，CD为异面直线，M，P分别为AB，CD的中点．求证：直线MP∥平面β. 证明：过点A作AE∥CD交平面β于E，连接DE，BE， ∵AE∥CD， ∴AE，CD确定一个平面，设为γ， 则α∩γ＝AC，β∩γ＝DE. ∵α∥β，∴AC∥DE(面面平行的性质定理)． 取AE的中点N，连接NP，MN， ∵M，P分别为AB，CD的中点， ∴NP∥DE，MN∥BE. 又NP⊄β，DE⊂β，MN⊄β，BE⊂β， ∴NP∥β，MN∥β. 又NP∩MN＝N， ∴平面MNP∥β. ∵MP⊂平面MNP， ∴直线MP∥平面β. 1．下列四个说法中正确的是(　　) A．平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β B．α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β C．平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β D．平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则 α∥β 答案：C 解析：由面面平行的定义、性质得C正确． 2．(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列直线或平面与平面ACD1平行的是(　　) A．直线A1B B．直线BB1 C．平面A1DC1 D．平面A1BC1 答案：AD 解析：对于A，由于A1B∥D1C，且A1B⊄平面ACD1，可得直线A1B∥平面ACD1；对于B，由于B1B∥D1D，且D1D∩平面ACD1＝D1，可得直线B1B不平行于平面ACD1；对于C，由于A1D与AD1相交，A1D⊂平面A1DC1，可得平面A1DC1不与平面ACD1平行；对于D，由于A1B∥D1C，C1B∥D1A，A1B，C1B⊂平面A1BC1，可得平面A1BC1∥平面ACD1. 3．已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是________(填“平行”或“相交”)． 答案：平行 解析：若α∩β＝l，则在平面α内，与l相交的直线a，设a∩l＝A，对于β内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即β内不存在直线b∥a，与题干矛盾．故α∥β. 4．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列结论： ①BM∥平面DE； ②CN∥平面AF； ③平面BDM∥平面AFN； ④平面BDE∥平面NCF. 其中正确结论的序号是________． 答案：①②③④ 解析：将展开图还原成如图1所示的正方体． 如图2，在正方体中，∵BM∥AN，∴BM∥平面DE，∵CN∥BE，∴CN∥平面AF，∴①②正确．∵BM∥AN，BD∥FN，∴BM∥平面AFN，BD∥平面AFN，又BM∩BD＝B，∴平面BDM∥平面AFN，∵BE∥CN，DE∥CF，∴BE∥平面NCF，DE∥平面NCF，又BE∩ DE＝E，∴平面BDE∥平面NCF，所以③④正确． 5.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E. 求证：EC∥A1D. 证明：因为BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D，所以BE∥平面AA1D. 因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D，BC⊄平面AA1D，所以BC∥平面AA1D. 因为BE∩BC＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE， 所以平面BCE∥平面AA1D. 又因为平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D. 课后课时精练 一、选择题 1．α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则下列命题中不正确的是(　　) ①⇒a∥b；②⇒a∥b；③⇒α∥β；④⇒α∥β；⑤⇒α∥a；⑥⇒a∥α. A．④⑥ B．②③⑥ C．②③⑤⑥ D．②③ 答案：C 解析：由基本事实4及平行平面的传递性知①④正确．举反例知②③⑤⑥不正确．②中a，b可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交；⑤中a可以在α内；⑥中a可以在α内． 2．经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作(　　) A．1或2个 B．0或1个 C．1个 D．0个 答案：B 解析：①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β使β∥α.②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面与平面α至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相交，不能作出与平面α平行的平面．故满足条件的平面有0或1个． 3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q为CC1上的点，要使平面D1BQ∥平面PAO，则点Q(　　) A．与C重合 B．与C1重合 C．为CC1的三等分点 D．为CC1的中点 答案：D 解析：当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.证明如下：因为Q为CC1的中点，P是DD1的中点，所以QB∥PA，又QB⊄平面PAO，所以QB∥平面PAO.连接DB，因为P，O分别为DD1，DB的中点，所以D1B∥PO.因为D1B⊄平面PAO，所以D1B∥平面PAO.又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO. 4.已知在如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为BB1的中点，G为CC1的中点，则在该长方体的6个表面中，与平面EFG平行的平面有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：B 解析：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，∵E为AA1的中点，F为BB1的中点，G为CC1的中点，∴EF∥AB，FG∥BC，又EF⊄平面ABCD，FG⊄平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，FG∥平面ABCD.又EF∩FG＝F，∴由平面与平面平行的判定定理得平面EFG∥平面ABCD.同理，平面EFG∥平面A1B1C1D1.因为点E既在平面EFG上，又在平面ADD1A1上，所以平面EFG与平面ADD1A1不平行．同理可得平面EFG与平面CDD1C1，平面BCC1B1，平面ABB1A1都不平行．故在该长方体的6个表面中，与平面EFG平行的平面有2个． 5.(多选)如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，点E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，则在原四棱锥中，下列说法正确的是(　　) A．平面EFGH∥平面ABCD B．BC∥平面PAD C．AB∥平面PCD D．平面PAD∥平面PAB 答案：ABC 解析：把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EH∥AB，又EH⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以EH∥平面ABCD.同理可证EF∥平面ABCD，又EF∩EH＝E，EF，EH⊂平面EFGH，所以平面EFGH∥平面ABCD，故A正确；因为AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AB∥平面PCD，同理BC∥平面PAD，故B，C正确；平面PAD∩平面PAB＝PA，故D错误． 二、填空题 6．已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a⊂α，b，c⊂β，则α与β的关系是________． 答案：相交或平行 解析：b，c⊂β，a⊂α，a∥b∥c，若α∥β，满足要求；若α与β相交，交线为l，b∥c∥l，a∥l，满足要求，故答案为相交或平行． 7.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH的边上及其内部运动，则点M满足________时，有MN∥平面B1BDD1. 答案：M在线段FH上 解析：连接HN，HF，FN.∵HN∥DB，HF∥DD1，HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，HN，HF⊂平面FHN，DB，DD1⊂平面B1BDD1，∴平面FHN∥平面B1BDD1.∵点M在四边形EFGH的边上及其内部运动，∴M在线段FH上时，有MN∥平面B1BDD1. 8．已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，G是A1C1的中点，过点G的截面与侧面ABB1A1平行，若侧面ABB1A1是边长为4的正方形，则截面的周长为________． 答案：12 解析：如图，取B1C1的中点M，BC的中点N，AC的中点H，连接GM，MN，HN，GH，则GM∥HN∥AB，MN∥GH∥AA1，所以有GM∥平面ABB1A1，MN∥平面ABB1A1，又GM∩MN＝M，所以平面GMNH∥平面ABB1A1，即四边形GMNH为过点G且与侧面ABB1A1平行的截面．易得此截面的周长为4＋4＋2＋2＝12. 三、解答题 9．如图所示，点P是△ABC所在平面外一点，A′，B′，C′分别是△PBC，△PCA，△PAB的重心． (1)求证：平面A′B′C′∥平面ABC； (2)求的值． 解：(1)证明：如图，分别连接PA′，PB′，PC′并延长，其延长线分别交BC，AC，AB于点M，N，Q，再连接MN，QN. 因为A′，B′分别是△PBC，△PAC的重心， 所以＝＝2， 所以A′B′∥MN. 同理，由B′，C′分别是△PAC，△PAB的重心， 可知B′C′∥QN. 因为A′B′∥MN，MN⊂平面ABC，A′B′⊄平面ABC， 所以A′B′∥平面ABC. 同理B′C′∥平面ABC. 又A′B′⊂平面A′B′C′，B′C′⊂平面A′B′C′，A′B′∩B′C′＝B′， 所以平面A′B′C′∥平面ABC. (2)由(1)知A′B′∥MN，且＝＝. 又MN＝AB，所以＝. 10．如图，四边形ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点． 求证：(1)BE∥平面DMF； (2)平面BDE∥平面MNG. 证明：(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O， 连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO， 又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF. (2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点， 所以DE∥GN， 又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG， 所以DE∥平面MNG. 又M为AB的中点， 所以MN为△ABD的中位线， 所以BD∥MN， 又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG， 所以BD∥平面MNG， 又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线， 所以平面BDE∥平面MNG. 11．在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC. 证明：设FC的中点为I，连接GI，HI. 在△CEF中，因为G是CE的中点， 所以GI∥EF. 又EF∥OB，所以GI∥OB， 在△CFB中，因为H是FB的中点， 所以HI∥BC， 又HI∩GI＝I，OB∩BC＝B，HI，GI⊂平面GHI，OB，BC⊂平面ABC， 所以平面GHI∥平面ABC， 因为GH⊂平面GHI， 所以GH∥平面ABC. 12．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点． (1)求证：B，C，H，G四点共面； (2)求证：平面EFA1∥平面BCHG； (3)若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D. 证明：(1)∵GH是△A1B1C1的中位线， ∴GH∥B1C1. 又B1C1∥BC，∴GH∥BC， ∴B，C，H，G四点共面． (2)∵E，F分别为AB，AC的中点， ∴EF∥BC. ∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. ∵A1G∥EB，A1G＝EB， ∴四边形A1EBG是平行四边形， ∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG. ∵A1E∩EF＝E，且A1E⊂平面EFA1，EF⊂平面EFA1， ∴平面EFA1∥平面BCHG. (3)如图所示，连接A1C，设A1C与AC1的交点为M. ∵四边形A1ACC1是平行四边形， ∴M是A1C的中点．连接MD， ∵D为BC的中点， ∴A1B∥DM. ∵DM⊄平面A1BD1，A1B⊂平面A1BD1， ∴DM∥平面A1BD1. 又由三棱柱的性质， 知D1C1∥BD，D1C1＝BD， ∴四边形BDC1D1为平行四边形， ∴DC1∥BD1. 又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1， ∴DC1∥平面A1BD1. 又DC1∩DM＝D，DC1⊂平面AC1D，DM⊂平面AC1D， ∴平面A1BD1∥平面AC1D. 16 学科网（北京）股份有限公司 $$