安徽滁州市定远育才学校2025-2026学年高二第二学期期中考试数学试卷

**基本信息** 高二数学期中卷涵盖空间向量、立体几何、数列、圆锥曲线等核心知识，解答题注重综合性与逻辑推理，如立体几何证明及夹角计算、椭圆面积最值探究，考查数学思维与空间观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|空间向量夹角、正方体中点面距离、直线斜率范围|基础概念与空间想象结合| |多选|3/18|圆的弦长与中点、等比数列性质|多选项辨析，考查推理严谨性| |填空|3/15|等比数列求和、异面直线夹角、椭圆焦半径范围|简洁计算，体现数学语言表达| |解答|5/77|数列通项与求和、圆的方程与对称、立体几何证明与夹角、抛物线与面积、椭圆方程与最值|综合应用，如圆锥曲线与面积最值结合，考查模型观念与创新意识|

定远育才学校2025-2026学年第二学期期中考试 高二数学 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1.已知空间向量满足，则向量的夹角为（ ） A.      B.      C.      D. 2.在棱长为2的正方体中，点，分别为平面，平面的中心，则点到平面的距离为（） A. B. C. D. 3.已知点关于直线的对称点为，经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（） A. B. C. D. 4.如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（） A．4 B．5 C．6 D． 5.已知直线，圆，若圆C上存在两点关于直线l对称，则的最小值是（    ） A.5 B. C. D.20 6.已知抛物线的焦点为，斜率为的直线经过点，并且与抛物线交于、两点，与轴交于点，与抛物线的准线交于点，若，则（） A. B. C. D. 7.如图，已知、双曲线的左、右焦点，A、B为双曲线上关于原点对称的两点，且满足则双曲线的离心率为（） A. B. C. D. 8.两个等差数列和，其前项和分别为，，且，则（） A. B. C. D. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.在平面直角坐标系中，圆，直线与圆相交于不同的两点，且弦的中点为，则下列选项正确的有（） A.弦长的最大值为 B.实数的取值范围为 C.若，则 D.存在定点，使得为定值 10.设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，则下列结论不正确的是(　　) A.数列{anan＋1}是公比为q的等比数列 B.数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列 C.数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列 D.数列{}是公比为的等比数列 11.已知棱长为的正方体，点满足，，点是线段的中点，则下列说法正确的是（） A.当时， B.点是底面上的动点，且，则最大值为 C.的中点到平面的距离为 D.与平面所成角的正弦值的取值范围为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12.等比数列{}的各项均为实数，其前项为，已知=，=，则=    ． 13.在长方体中，已知，，为的中点，则异面直线与所成角的大小为                   ． 14.已知椭圆的右焦点为F，P，Q在椭圆上且关于原点对称，则的取值范围是                  ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分) 15.（13分）设等比数列{an}满足a1＋a2＝4，a3－a1＝8. (1)求数列{an}的通项公式； (2)记Sn为数列{log3an}的前n项和．若Sm＋Sm＋1＝Sm＋3，求m. 16. （15分）已知圆C经过点和，且圆心C在直线：上． (1)求圆C的标准方程； (2)已知过点的直线被圆C所截得的弦长为8，求直线的方程； (3)圆C关于直线的对称圆是圆Q，设、是圆Q上的两个动点，点M关于原点的对称点为，点M关于x轴的对称点为，如果直线、与y轴分别交于和，问是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由. 17. （15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，棱，且底面，点，． (1)证明：平面； (2)若点，且，证明：平面； (3)求平面与平面的夹角的大小． 18. （17分）已知抛物线的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与交于A，B两点，（点O为坐标原点）的面积为2. （1）求抛物线C的方程； （2）若过点的两直线 的倾斜角互补，直线与抛物线C交于M，N两点，直线与抛物线交于P，Q两点，与的面积相等，求实数的取值范围. 19. （17分）已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程； (3)直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，求面积的最大值． 高二数学答案 一、单选题 1.D 2.B 3.B 4.F 5.D 6.D 7.A 8.C 二、多选题 9.ABD 10.ABC 11.BD 三、填空题 12.32 13. 14. 四、解答题 15.解　(1)设{an}的公比为q，则an＝a1qn－1.由已知得， 解得 所以{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N*. (2)由(1)知log3an＝n－1. 故Sn＝0+1+2+＝. 由Sm＋Sm＋1＝Sm＋3，得， m(m－1)＋(m＋1)m＝(m＋3)(m＋2)， 即m2－5m－6＝0. 解得m＝－1(舍去)或m＝6. 所以m＝6. 16.解：（1）设圆心，因在直线上. 圆过、，则. ， 解得，圆心. 半径， 故圆标准方程. （2）弦长，圆心到距离. ①斜率不存在时，，距离为，符合. ②斜率存在时，设， 即. 由点到直线距离公式， 解得，. 综上，方程或. （3）关于对称点， 圆.，， 则，，. 因直线不垂直轴，故. 直线：， 令，得. 直线：， 令，得. 、在圆上，，. . 故为定值. 17.(1)证明：由底面,得,; 由底面是正方形，得． 以为原点，直线,,分别为,,轴建立空间直角坐标系, 故,,,． 由,得为中点, 故．,,． 设平面的法向量为, 由得,由得． 令,得,, 故．, 故． 又平面, 故平面． (2)证明：由(1)得， , 故． 由,得, 故． 因,,平面, 故平面． (3)解：由(1)得,． 设平面的法向量为, 由得,由得． 取,得,,故． ,,． ,, 故为平面的一个法向量． ． 设平面与平面的夹角为, 则． 由,得． 18.解：（1）抛物线的焦点. 过点且垂直于轴的直线与交于，两点，其坐标分别为，. ，解得. 所以抛物线的方程为. （2）直线斜率存在且不为， 设，. 联立，得. ，，. ， 则焦点到的距离. . 设， 联立， 得，. 所以. 由，化简得. 因为且，所以或，. ，且，解得且. 所以的取值范围是. 19.解：(1)由,,为直角三角形且斜边上的中线长为, 得,故,即. 由,得. 又,代入,得,故. 联立与,得,解得,故,,. 所以椭圆的标准方程为. (2)由(1)得,设直线的方程为（）,,. 联立与,整理得. 由,得. 由韦达定理，得,. 由,得,其中,, 故. 代入,,得,展开整理得. 将,代入，化简得,解得,满足条件. 故直线的方程为或. (3)由(1)得,设直线的方程为（）, 则直线的方程为. 联立与椭圆方程，整理得, 由韦达定理得,故. 联立与椭圆方程，整理得, 由韦达定理得,故. 得的中点. 的面积, 变形为. 由均值不等式,,当且仅当时取等号，故. 即面积的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $