精品解析：重庆市2026年春梁山初中教共体七年级期中数学试卷

2026年春梁山初中教共体七年级期中数学试卷 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确选项，请将答题卡中对应题目的正确答案标号涂黑．） 1. 在、、、、、这六个数中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列各点中，位于第二象限的点是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在下列条件中，能判断直线的是（ ） A. B. C. D. 4. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 5. 如图，直线，一块含角的直角三角板按如图所示放置．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中的真命题是（ ） A. 两点之间直线最短 B. 不相交的两条直线，叫做平行线 C. 过一点有且只有一条直线平行于已知直线 D. 若两条直线被第三条直线所截得的内错角相等，则同位角也相等 7. 在平面直角坐标系中，若将点A向右平移可得到点，若将点A向上平移可得点，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形为长方形纸片，点分别为边上一点，小巴将这张纸片沿着折叠，使点分别落在点的位置，的对应边交于点，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按如图所示的路线移动，依次经过点，，，按照此规律，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 已知M，N都为整式 ①若，且，则或； ②若，，当，时，则； ③若（，，为非负整数），且，则所有满足条件的整式M的和为； 其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．） 11. 的算术平方根是______． 12. 如图，一艘船从点出发，沿东北方向航行至点，再从点出发沿南偏东方向航行至点，则_____． 13. 如图，已知，将沿方向平移5cm，得到，连接，若的周长为27cm，则阴影部分的周长为______cm． 14. 在平面直角坐标系中，已知点在第四象限，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标为______． 15. 如图①是一打孔器的实物图，如图②是使用打孔器的侧面示意图，．使用打孔器时，分别移动到，此时，若，．则__________． 16. 如果一个四位自然数，满足各个数位上的数字均不相等，且千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字所组成的两位数，则称这个数为“和序数”．如：，因为，所以3129是一个“和序数”； ，因为，所以7235不是一个“和序数”，则最大的四位“和序数”为______；对于一个“和序数”，记，当为整数时，则M的最大值与最小值的差为______． 三、解答题：（本大题个2小题，每小题8分，共16分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程写在答题卡中对应的位置上．） 17. 计算： （1） （2） 18. 阅读题目，完成下面推理过程： 问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图是一个“互”字． 如图是由图抽象的几何图形，其中，，点，，在同一直线上，点，，在同一直线上，且． 求证：． 证明：如图，延长交于点， ∵（已知）， ∴（______）， 又∵（已知）， ∴______（______）， ∴（______）， ∴______（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵______（已知）， ∴（______） ∴（______）． 四、解答题：（本大题共7小题，每小题10分，共70分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程写在答题卡中对应的位置上．） 19. 小丽有一块长宽之比为，面积为的长方形纸片，她想沿着长方形边的方向裁出一块面积为的正方形纸片，她不知能否裁得出来，正在发愁．小亮见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．” （1）这个长方形纸片的周长是多少？ （2）你同意小亮的说法吗？请通过计算进行说明． 20. 物流公司为提高包裹分拣效率，引进了自动分拣流水线（如图1），直观观察发现传送带a与传送带b互相垂直．该流水线的示意图如图2所示，请根据下列条件，补充完成证明及依据． 已知：如图2，，与相交于点E，分别平分和，且．求证：． 21. 完成下列各题： （1）若，则的值为_______． （2）已知，是的整数部分．求的平方根和立方根． 22. 将一副三角尺中的两块直角三角尺按如图方式叠放在一起，其中，．若三角尺不动，将三角尺绕顶点转动一周，当三角尺的一条直角边与平行时，求的度数． 23. 如图，在三角形中，点D、F在边上，点E在边上，点G在边上，与的延长线交于点H，，． （1）求证：； （2）若，且，求的度数． 24. 如图，已知的三个顶点的坐标分别是，，，现将先向右平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度，得到（点A对应点D，点B对应点O，点C对应点E）． （1）在图中画出； （2）若为内一点，则点P在内的对应点Q的坐标是______； （3）过点D作直线轴，在直线l上存在点M，使得，求出点M的坐标． 25. 已知，，点E在上方，为钝角，连接，． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，过点E作交的延长线于点F，求的值； （3）如图3，若的边交直线于点N，点G为线段上一点，连接，使，连接并延长至点H，若，请你直接写出和之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春梁山初中教共体七年级期中数学试卷 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确选项，请将答题卡中对应题目的正确答案标号涂黑．） 1. 在、、、、、这六个数中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，无理数的定义：无限不循环小数为无理数，据此进行逐个分析，即可作答． 【详解】解： ∴，，是无限不循环小数，即无理数 故选：C． 2. 下列各点中，位于第二象限的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标系中各象限点的坐标特征．根据第二象限内点的横坐标为负、纵坐标为正的特点，逐一判断选项即可． 【详解】在平面直角坐标系中，第二象限的点的坐标符号为， 选项A：，横坐标为负，纵坐标为正，符合第二象限的特征； 选项B：，横、纵坐标均为负，属于第三象限； 选项C：，横坐标为正，纵坐标为负，属于第四象限； 选项D：，横、纵坐标均为正，属于第一象限． 综上，位于第二象限的点是选项A． 故选：A． 3. 如图，在下列条件中，能判断直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了行线的判定方法，熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键．平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行； ②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行于同一直线的两条直线互相平行；同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行． 根据平行线的判定方法逐项分析即可． 【详解】A．∵和是一组邻补角， ∴不能判断直线； B．∵与是一对同旁内角， ∴由不能判断直线；        C．∵与是一对同位角， ∴由不能判断直线； D．∵与是一对内错角， ∴由能判断直线． 故选D． 4. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，估算出的取值范围是解题的关键． 先估算出的取值范围，再由不等式的性质求出的取值范围． 【详解】解：， ∴， ∴的值在4和5之间， 故选：C． 5. 如图，直线，一块含角的直角三角板按如图所示放置．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与三角形外角的性质，解题的关键是利用平行线的性质将转化为与三角板内角相关的角，再结合三角形外角性质计算角度． 利用两直线平行，内错角相等，得到；利用对顶角相等，得到；根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，计算出，进而得到． 【详解】解：如图，直线， （两直线平行，内错角相等）， ，（对顶角相等）， （三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）， 故选 6. 下列命题中的真命题是（ ） A. 两点之间直线最短 B. 不相交的两条直线，叫做平行线 C. 过一点有且只有一条直线平行于已知直线 D. 若两条直线被第三条直线所截得的内错角相等，则同位角也相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题的真假，平行线的性质及判定，熟练掌握有关平行线的概念、公理、性质及判定是解题的关键． 由线段的性质可判断A，由平行线的定义可判断B，由平行线公理可判断C，由平行线的判定与性质可判断D，则可求得答案． 【详解】A．两点之间线段最短，故A不正确； B．在同一平面内，不相交的两条直线，叫平行线，故B不正确； C．过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线，故C不正确； D．若两条直线被第三条直线所截得的内错角相等，则可知这两条直线平行，则同位角也相等，故D正确， 故选D． 7. 在平面直角坐标系中，若将点A向右平移可得到点，若将点A向上平移可得点，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系内点的平移，向右平移时，纵坐标不变，向上平移时，横坐标不变，由此可解． 【详解】解：将点A向右平移可得到点， 点A的纵坐标为2， 将点A向上平移可得点， 点A的横坐标为3， 点A的坐标为， 故选B． 8. 如图，四边形为长方形纸片，点分别为边上一点，小巴将这张纸片沿着折叠，使点分别落在点的位置，的对应边交于点，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、多边形内角和以及折叠问题，根据折叠的性质以及内角和公式计算出，再利用补角即可得． 【详解】五边形的内角和为： 故选：C． 9. 如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按如图所示的路线移动，依次经过点，，，按照此规律，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先观察平面直角坐标系中坐标的数据，分别总结出横、纵坐标的变化规律，即可得解． 【详解】解：根据平面直角坐标系中坐标的数据，可得出： 、的横坐标为，、的横坐标为，、的横坐标为，， 的横坐标为； 的纵坐标为，的纵坐标为，的纵坐标为，， 的纵坐标为， 的纵坐标为； 点的坐标为． 10. 已知M，N都为整式 ①若，且，则或； ②若，，当，时，则； ③若（，，为非负整数），且，则所有满足条件的整式M的和为； 其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】对于①，由题意，，即，根据绝对值意义得出，求出，进而得出，最后根据，进行求解即可； 对于②，联立方程组，由第二个方程解出，代入第一个方程得：，再化简求解； 对于③，由于为非负整数且，所有可能的取值及所有可能整式为：若和为0：则；若和为1：则或或；若和为2：或或或或或，再进行合并同类项计算． 【详解】解：对于①，由题意，，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴不符合题意， ∴原方程无解，故①错误； 对于②，联立方程组， 由得：， 代入得：， 化简得，即，故②正确； 对于③，为非负整数且， 所有可能的组合整式为： 若：则； 若：则或或； 若：或或或或或， 则所有满足条件的整式M的和为：，故③正确； 综上，正确的有2个，故B正确． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．） 11. 的算术平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：， ∴的算术平方根是， 故答案为：． 12. 如图，一艘船从点出发，沿东北方向航行至点，再从点出发沿南偏东方向航行至点，则_____． 【答案】60 【解析】 【分析】该题考查了方向角问题和平行线的性质，解本题需注意两点：（1）东北方向是指北偏东方向；（2）在同一平面内，从一个点引出的表示正北方向的射线和从另一个点引出的表示正南方向的射线是互相平行的．由题意可知，根据平行线的性质得出，再结合即可求解． 【详解】解：如图， 由题意可知， ， ， 故答案为：60． 13. 如图，已知，将沿方向平移5cm，得到，连接，若的周长为27cm，则阴影部分的周长为______cm． 【答案】27 【解析】 【分析】证明阴影部分的周长为的周长即可． 【详解】由平移可得：，， ∵的周长为27cm， ∴， ∴阴影部分的周长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查平移的性质，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型． 14. 在平面直角坐标系中，已知点在第四象限，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，第四象限内的点的坐标特点，点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，据此可得，再由第四象限内的点横坐标为正，纵坐标为负得到，据此去绝对值并解方程即可得到答案． 【详解】解：∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， ∵点在第四象限， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 15. 如图①是一打孔器的实物图，如图②是使用打孔器的侧面示意图，．使用打孔器时，分别移动到，此时，若，．则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线性质和判定，根据题意证得，进而得到，结合推出，再结合平行线性质求解，即可解题． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如果一个四位自然数，满足各个数位上的数字均不相等，且千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字所组成的两位数，则称这个数为“和序数”．如：，因为，所以3129是一个“和序数”； ，因为，所以7235不是一个“和序数”，则最大的四位“和序数”为______；对于一个“和序数”，记，当为整数时，则M的最大值与最小值的差为______． 【答案】 ①. 9178 ②. 8113 【解析】 【分析】根据“和序数”的定义给出最大值及最小值的推断即可； （1）千位最大为：9，当个位最大且与千位不同，则个位最大为：8，依次可推断其他数位的值； （2）M的最大值：千位最大为：9；且因为百位为千位与个位之和，所以百位只能是：1，依次推断其他数位的值；M的最小值：千位最小为1，为使得值最小，百位只能为：0，依次推断其他数位的值. 【详解】解：（1）最大的四位“和序数”为9178， ∵各个数位上的数字均不相等，千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字所组成的两位数，则称这个数为“和序数” ∴千位最大为：9；当个位最大且与千位不同，则个位最大为：8 ∴ ∴这个四位最大数为：9178； （2）对于一个“和序数”，记，当为整数时， M的最大值：千位最大为：9；且因为百位为千位与个位之和，所以百位只能是：1； 设个位为： ，十位为： ∴ ∵ ，则 ∴ 又∵，则当满足条件； ∴ 同理：M的最小值：千位最小为1，为使得值最小，百位只能为：0， 设个位为： ，十位为： ∴ ∵ ， ∴ 又∵，则当满足条件； ∴ ∴M的最大值与最小值的差为：. 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，一元一次方程和整除的特征．理解新定义，正确推理计算是解题关键． 三、解答题：（本大题个2小题，每小题8分，共16分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程写在答题卡中对应的位置上．） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式性质，算术平方根定义，立方根定义，绝对值意义，进行计算即可； （2）根据算术平方根定义，立方根定义，乘方运算法则，进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 阅读题目，完成下面推理过程： 问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图是一个“互”字． 如图是由图抽象的几何图形，其中，，点，，在同一直线上，点，，在同一直线上，且． 求证：． 证明：如图，延长交于点， ∵（已知）， ∴（______）， 又∵（已知）， ∴______（______）， ∴（______）， ∴______（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵______（已知）， ∴（______） ∴（______）． 【答案】两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；；；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等． 【解析】 【分析】延长交于点，然后根据平行线的判定与性质求证即可． 【详解】证明：如图，延长交于点， ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等） 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∴（同角的补角相等）． 四、解答题：（本大题共7小题，每小题10分，共70分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程写在答题卡中对应的位置上．） 19. 小丽有一块长宽之比为，面积为的长方形纸片，她想沿着长方形边的方向裁出一块面积为的正方形纸片，她不知能否裁得出来，正在发愁．小亮见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．” （1）这个长方形纸片的周长是多少？ （2）你同意小亮的说法吗？请通过计算进行说明． 【答案】（1） （2） 不同意，理由如下： 要裁出面积为的正方形纸片， 正方形纸片的边长为， ，即正方形纸片的边长大于长方形纸片的宽， 不能裁出一块面积为的正方形纸片． 【解析】 【分析】此题考查的是算术平方根的应用，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根． （1）利用长方形的面积公式列出方程，求解即可； （2）利用正方形的面积公式求得正方形的边长，求解即可 【小问1详解】 解：设长方形纸片的长和宽分别为和， 则可得， 解得（负值舍去）， 长方形纸片的长和宽分别为和， 长方形的周长为； 【小问2详解】 略 20. 物流公司为提高包裹分拣效率，引进了自动分拣流水线（如图1），直观观察发现传送带a与传送带b互相垂直．该流水线的示意图如图2所示，请根据下列条件，补充完成证明及依据． 已知：如图2，，与相交于点E，分别平分和，且．求证：． 【答案】 证明：∵ ∴， ∵分别平分和， ∴，， ∴， 在中，， ∴ ∵， ∴ ∴． 【解析】 【分析】先根据得到，再根据角平分线证出，最后根据性质推出即可求证． 【详解】略 21. 完成下列各题： （1）若，则的值为_______． （2）已知，是的整数部分．求的平方根和立方根． 【答案】（1）或4 （2）的平方根为，立方根为4 【解析】 【分析】（1）根据平方根和立方根的定义解方程求出a、b的值即可得到答案； （2）根据非负数的性质求出a、b的值，再根据无理数的估算方法求出的取值范围，进而求出c的值，据此求出的值，最后根据平方根和立方根的定义可得答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴或； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴的整数部分为2， ∴， ∴， ∴的平方根为，立方根为． 22. 将一副三角尺中的两块直角三角尺按如图方式叠放在一起，其中，．若三角尺不动，将三角尺绕顶点转动一周，当三角尺的一条直角边与平行时，求的度数． 【答案】或或或． 【解析】 【分析】分4种情况讨论：E点在直线上方时，分和两种情况．E点在直线下方时，分和两种情况．根据平行线的性质和角的和差关系分别求得的度数即可． 【详解】解：当E点在直线上方时： 如图1，当时，设与交于点F， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图2，当时，则， ∴． 当E点在直线下方时： 如图3，当时，延长交于点F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图4，当时，则， ∴， ∴， 综上，的度数为或或或． 23. 如图，在三角形中，点D、F在边上，点E在边上，点G在边上，与的延长线交于点H，，． （1）求证：； （2）若，且，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，根据平行线得到角度关系是解题的关键． （1）首先根据得到，再根据进行角度转化计算即可得到，进而证明； （2）首先根据得到，进行角度转化得到进而得到，再结合即可求出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 24. 如图，已知的三个顶点的坐标分别是，，，现将先向右平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度，得到（点A对应点D，点B对应点O，点C对应点E）． （1）在图中画出； （2）若为内一点，则点P在内的对应点Q的坐标是______； （3）过点D作直线轴，在直线l上存在点M，使得，求出点M的坐标． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了平移变换，画平移图形，由平移方式确定点的坐标，三角形的面积等知识点，掌握平移变换的性质是解题的关键． （1）先由点和点O的坐标，确定平移的方式，再由平移方式得到点D和点E的坐标，据此即可作图； （2）根据平移方式即可求解； （3）先由割补法求出的面积，再由即可求出的面积，再由三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵将先向右平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度，得到，点B对应点O， ∴平移方式为向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度， ∴ 【小问2详解】 解：由题意得，向右平移了3个单位，向上平移了2个单位得到， ∴点Q的坐标为，即； 【小问3详解】 解：如图： ∵， ∴， ∵过点作直线轴， ∴， ∴， ∵， ∴或 即或． 25. 已知，，点E在上方，为钝角，连接，． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，过点E作交的延长线于点F，求的值； （3）如图3，若的边交直线于点N，点G为线段上一点，连接，使，连接并延长至点H，若，请你直接写出和之间的数量关系． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）如图，过作，证明，再利用平行线的性质与角的和差运算可得答案； （2）如图，过作，设，可得，结合，证明，可得，进一步可得答案； （3）如图，过作，过作，而，可得，设，，，，，，再结合平行线的性质与三角形的内角和定理解答即可. 【小问1详解】 解；如图，过作，而， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过作，设， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过作，过作，而， ∴， 设，，， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴，，， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查的是平行线的性质，角的和差运算，平行公理的应用，三角形的内角和定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $