专题09分式及其基本性质复习讲义（13大核心题型+重点知识梳理）-2025-2026学年北师大版数学八年级下学期.

专题09分式及其基本性质复习讲义 重点知识◆梳理 1. 理解分式概念，清晰区分整式与分式 2. 牢记分式有意义、无意义、分式值为零的限定条件 3. 熟练运用分式基本性质，准确完成分式约分、通分运算 4. 掌握分式符号变换规律，规范化简格式 5. 会判定最简分式，精准求解多个分式的最简公分母 核心题型◆归纳 题型1分式的判断 题型2分式的规律性问题 题型3按要求构造分式 题型4分式有意义的条件 题型5分式值为零的条件 题型6分式的求值 题型7求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 题型8求使分式值为整数时未知数的整数值 题型9求使分式变形成立的条件 题型10利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型11将分式的分子分母各项系数化为整数 题型12最简分式 题型13提升测试 重点知识◆梳理 知识点一、分式的概念 形如（A、B均为整式，分母B含有字母，且B≠0）的式子叫做分式。 A为分式的分子，B为分式的分母。 判断要点：分母含有字母即为分式，分母不含字母则为整式。 知识点二、分式三大限定条件 分式有意义：分母B≠0 分式无意义：分母B=0 分式值为0：分子A=0，同时分母B≠0 知识点三、分式的基本性质 分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式整体大小不变。 ==(C≠0) 知识点四分式符号法则 分子、分母、分式本身三者符号，任意同时改变其中两个，分式值保持不变。 ==-, = 知识点五、分式约分 理论依据：分式基本性质 运算方法：先对分子、分母因式分解，再约去两者公因式 最终要求：化为最简分式，即分子、分母不再含有公因式 知识点六、分式通分 理论依据：分式基本性质 关键步骤：确定最简公分母 ◆系数部分：取各分母系数的最小公倍数 ◆字母部分：取所有字母因式的最高次幂  ★ 主要作用：统一各分式分母，便于进行分式加减运算 知识点七、解题方法与技巧 判断分式有无意义，只需检验分母取值是否为0。 求解分式值为0，先令分子为0，务必二次验证分母不为0。 分式恒等变形，严禁同加、同减同一个整式。 分式化简运算，坚持先因式分解，后约分通分。 统一整理符号，将负号规范提前至分式前方。 题型解析◆精准备考 题型1分式的判断 1．下列各式是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的定义逐一判断选项，分式的定义：若，是整式，，且中含有字母，则是分式． 【详解】解：选项A．的分母是，不含字母，属于整式； 选项B．的分母是，不含字母，属于整式； 选项C．的分母是，含有字母，符合分式定义； 选项D．是整式，不是分式． 2．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是分式的有_______________，是整式的有__________．（只填序号） 【答案】 ①③④⑤ ②⑥⑦ 【分析】根据整式和分式的定义，即看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则是整式，据此逐个判断即可． 【详解】解：根据整式和分式的定义可知， 是分式的有：，，，， 是整式的有：，，． 故答案为：①③④⑤，②⑥⑦． 3．下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ ，，，，， 【答案】整式有，；分式有，，，． 【分析】本题主要考查了整式与分式的识别，表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，几个单项式的和的形式叫做多项式，整式是单项式和多项式的统称；如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，整式有，； 分式有，，，． 题型2分式的规律性问题 1．在计算分式的值时，若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，，…，，，，再将所得结果相加之和等于（    ） A． B．2026 C．2027 D． 【答案】A 【分析】先求出若x分别取，所得结果相加之和等于，时分式值为，进而计算加法即可． 【详解】解：当（a为正整数）时，，当时，， ∴若x分别取，所得结果相加之和等于， 当时，， ∴若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，，…，，，，所得结果相加之和等于． 2．若是不等于2的有理数，则我们把称为的“友好数”．例如：3的“友好数”是．已知，是的“友好数”，是的“友好数”，是的“友好数”……以此类推，则的值是____________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的规律性问题，通过观察数字，分析，归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．分别求出数列的前5个数，得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得答案．通过计算序列的前几项，发现序列呈现周期性变化，周期为4，然后根据2026在周期中的位置确定其值． 【详解】解：由题意，， ， ， ， ， 即，因此序列每4项循环一次，周期为4． 由于， 故． 故答案为． 3．观察下列各式： (1)求的值． (2)化简．其中，且n为整数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数字类规律探究，并根据规律进行求解；能够根据已知找出规律进行计算是解题的关键． （1）根据已知等式进行拆项，进行消项运算，即可求解； （2）根据已知等式进行拆项，进行消项运算，即可求解； 【详解】（1）解： （2）解： 题型3按要求构造分式 1．甲、乙两地相距千米，高速列车原计划每小时行驶千米，受天气影响，若实际每小时降速50千米，则列车从甲地到乙地所需时间比原来增加（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，找已知量，确定数量关系，列方程是解题关键． 【详解】解：甲、乙两地相距千米，原计划每小时行驶千米， 原计划所需时间为：小时， 实际每小时降速千米， 实际每小时行驶千米， 实际所需时间为：小时， 列车从甲地到乙地所需时间比原来增加：小时． 故选：C． 2．请写出分式所表示的实际意义：________． 【答案】元钱购买单价为元的笔记本的本数 【分析】分式可以表示总量为，单份量为时，所能分成的份数，符合“总量÷单价=数量”等实际场景即可． 【详解】解：元钱购买单价为元的笔记本的本数 3．请你联系生活中的实际问题，列举一个用分式表示的数量关系． 【答案】小明从家到学校的步行速度如果是20米/分，则时间是分钟，从家到学校的步行速度如果是米/分，则时间是分钟．（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式的实际意义． 结合实际生活作答即可． 【详解】解：小明从家到学校的步行速度如果是20米/分，则时间是分钟，从家到学校的步行速度如果是米/分，则时间是分钟．（答案不唯一） 题型4分式有意义的条件 1．函数 中自变量的取值范围是（    ） A．且B．且C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式解答即可求解． 【详解】解：由题意得，且， 解得且． 2．当x______时，分式有意义． 【答案】 【详解】解：由题意得，， 解得：． 3．要使下列式子有意义，的取值必须满足什么条件？ (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数非负，分式有意义的条件是分母不为0． （1）根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列不等式组求解即可； （2）根据二次根式有意义的条件列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得； （2）解：由题意，得， 解得． 题型5分式值为零的条件 1．若分式的值为0，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式值为0时需同时满足分子为0、分母不为0，据此计算即可得到结果． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，且， ∴． 2．当___________时，分式的值为0． 【答案】1 【分析】根据分式值为0时分子为零且分母不为零即可求解． 【详解】解：根据题意，要使分式的值为0，需满足， 由，解得， 当时，， ． 3．已知分式的值为0，求分式的值． 【答案】． 【分析】根据分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零．据此列出关于x的不等式和方程进行解答即可． 【详解】解：因为 所以且x+1≠0， 解得x=1． 代入得： ． 题型6分式的求值 1．如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 2．若，则_______． 【答案】 【分析】根据，设，，代入计算求值即可． 【详解】解：， 设，， 则有． 3．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先对给定的代数式进行化简，再根据已知条件求出化简后代数式的值． 【详解】解：已知，移项可得， ， 将代入可得． 题型7求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 1．若分式的值为正数，则m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的值为正的条件，根据题意列出不等式成为解题的关键． 根据已知得出分式的分子为正数，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴，解得：． 故选C． 2．若分式的值为正数，则x的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据分式值为正数可确定分母为负数，由此求解即可． 【详解】解：因为分式的值为正数， 而分子为是负数，可知分母为负数， 即，解得， 的取值范围是． 3．已知． (1)若y的值为正数，求x的取值范围； (2)若y的值为整数，求整数x的所有可能值． 【答案】(1) (2)或或或或或 【分析】本题考查了分式的值，正确计算是解题的关键． （1）根据分式的值为正数得出，即可求出x的取值范围； （2）根据y的值为整数得出或或或或或，即可求出整数x的所有可能值． 【详解】（1）解：的值为正数， ， ； （2），y的值为整数， 或或或或或， 或或或或或． 题型8求使分式值为整数时未知数的整数值 1．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第n个数记为（n为正整数）．已知，并规定：，如：，，以下结论中，正确的个数为（    ） ①； ②若，则； ③若，则； ④若的值为整数，则满足条件的整数共有6个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先根据递推公式得到数列6个数为一个周期循环的规律，再逐一判断每个结论即可，找到周期规律是解题关键. 【详解】解：∵，，， ∴，，，，，， ∴ 该数列每6个数为一个周期循环. ∵ ， ∴ ，故①正确； ∵，，， ∴，即 ∴，故②正确； ∵ 一个周期内， ∴，解得， ∵， ∴，故③错误； ∵， ∴，， 则 ∵ 原式为整数，为整数， ∴是的约数，即， ∴ 又∵分式的分母不能为0， ∴， ∴， 舍去，共5个满足条件的整数，故④错误； 综上，正确的结论共2个. 2．当正整数________时，分式的值也为整数． 【答案】1 【分析】本题考查分式的值为整数的参数求解，核心方法为分离常数法，将分式拆分为整式和分子为常数的最简分式，解题的关键是利用”除数为被除数的约数”确定参数的可能取值，再结合参数的取值范围筛选出符合题意的解．先对分式进行恒等变形，化为整式与最简分式的和，根据分式的值为整数，得到是2的正约数，结合为正整数的条件求解． 【详解】解：对分式变形： 分式的值为整数，为正整数， 为整数，即是2的正约数． 2的正约数为1,2， 当时，解得, 符合正整数题意： 当时，解得, 不是正整数，舍去． 故答案为：1． 3．已知为整数，求能使分式的值为整数的的值． 【答案】或或或 【分析】先根据分式的性质进行化简，结果为，再结合题意判断出是的因数，计算出结果，同时注意需要让原分式有意义． 【详解】解：∵原分式有意义， ∴， ∴， ， ∵分式的值为整数，且为整数， ∴是的因数， ∴或， ∴或或或． 题型9求使分式变形成立的条件 1．已知，均为非0常数，要使等式成立，则括号内应填入_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质即可求解． 【详解】解：∵，均为非0常数， ∴， 故答案为：． 2．写出下列等式中所缺的分子或分母： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，即分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． （1）根据分式的基本性质，分式的分子与分母都乘以即可； （2）根据分式的基本性质，分式的分子与分母都乘以即可； （3）根据分式的基本性质，分式的分子与分母都除以即可． 【详解】（1）解：， 等式中所缺的分子是； （2）解：， 等式中所缺的分子是； （3）解：， 等式中所缺的分母是． 3．若，则M为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式的基本性质，根据分式的分母的变化确定分子分母都乘以，从而可得答案. 【详解】解：∵，而， ∴， 故选：D 题型10利用分式的基本性质判断分式值的变化 1．如果把分式中的x、y同时扩大到原来的2倍，那么分式的值（   ） A．扩大到原来的2倍 B．缩小到原来的倍 C．不变 D．缩小到原来的倍 【答案】A 【分析】把原分式中的x、y分别用替换，求出新分式的结果即可得到答案． 【详解】解：把分式中的x、y同时扩大到原来的2倍后得到的分式为， ∴新分式的值是原分式的值的2倍，即分式的值扩大到原来的2倍． 2．若分式中x、y均扩大为原来的n倍，分式的值变为原来的5倍，则n的值是 _____． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质解决此题． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴． 3．不改变分式的值，使下列分式中的分子、分母均不含“”号． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的性质，是解题的关键： （1）直接将两个负号消掉即可； （2）将分子的负号移到分数线前面即可； （3）直接将两个负号消掉即可； （4）将分子和分母中的负号消掉即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 题型11将分式的分子分母各项系数化为整数 1．不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，解答此题的关键是要明确：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质，把分式的分子、分母同时乘5，判断出所得结果为多少即可． 【详解】解：， 故选：A． 2．不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1）________； （2）________． 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质的应用．根据分式的基本性质，给分子与分母同乘一个合适的非零整数，将分子、分母中各项系数化为整数，第一问选择乘10，第二问选择乘100后再约分即可． 【详解】解：（1）； （2）． 3．（1）不改变分式的值，将下列分式中分子与分母的各项系数都化为整数． ①    ② （2）约分： ①    ② 【答案】①； ②；（2）①；  ② 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟知分子分母同时扩大（或缩小）相同的倍数，分式的值不变，是解本题的关键． （1）①根据分式的基本性质将分子分母同时乘以10即可；根据分式的基本性质将分子分母同时乘以2即可． （2）①约去分子分母的公因式即可；②约去分子分母的公因式即可. 【详解】解：（1）①； ②； （2）①； ②. 题型12最简分式 1．下列各式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】最简分式是分子与分母没有公因式的分式． 【详解】解：∵选项A中，是整式，不是分式， 选项B中，的分子分母含有公因式，可约分为，不是最简分式， 选项C中，的分子和分母没有公因式，是最简分式． 选项D中，，原分式的分子分母含有公因式，不是最简分式． 2．计算： __________ (结果写成最简分式) 【答案】 【分析】本题主要考查了分式与负指数幂的公式，关键是熟练掌握负指数幂公式，根据负指数幂的公式变形即可得出结果． 首先计算积的乘方，再用同底数幂的除法，最后再化成最简分式即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 3．下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式． (1)； (2)． 【答案】(1)不是最简分式，化简见解析 (2)不是最简分式，化简见解析 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．据此即可求解. 【详解】（1）解：； 则不是最简分式； （2）解：． 则不是最简分式． 【点睛】本题考查了最简分式，利用分式的基本性质对分式进行化简．最简分式判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 过关检测◆提升 一、单选题 1．下列各式中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若A、B为两个整式，且B中含有字母，则为分式，需注意是常数，不是字母，据此逐一判断即可． 【详解】解：由分式的定义可知，四个式子中只有是分式． 2．若分式的值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分式值为0时，分子为0且分母不为0，即可计算得到x的值． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴需要同时满足分子等于0，分母不等于0， 可得，解得， ∴的值为2． 3．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，二次根式被开方数需非负，分式分母不能为，据此列不等式求解即可. 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义 ∴需同时满足二次根式和分式的有意义条件，可得 ， 解不等式，得. 解不等式，得. ∴的取值范围是且． 4．若分式的值是正数，则x的值可能是（   ）． A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的值，根据同号得正列式求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得，， 只有选项A符合条件， 故选：A． 5．设是大于1925的正整数，使得为完全平方数的的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方数的性质，设（N为完全平方数，，1，4，9，16，…，）则，进而得，和都是正整数，都是100的因数，依此即可求解． 【详解】解：设（N为完全平方数，，1，4，9，16，…，） 则， 所以， 即，和都是正整数，都是100的因数，N为完全平方数，，1，4，9，16，…， ∴当时，； 当时，此时不是整数； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，（舍去）； 故使得为完全平方数的n的个数是4． 故选：A． 二、填空题 6．若，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据已知比例关系得到与的关系式，代入所求分式化简求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 7．分式①；②；③；④中，属于最简分式的有______（填序号）． 【答案】② 【分析】根据最简分式的定义逐个分式进行判断，若能约分，则不是最简分式． 本题考查了最简分式的相关知识，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】解：①因为，所以①不是最简分式； ②因为分子分母没有公因式，所以②是最简分式； ③因为，所以③不是最简分式； ④因为，所以④不是最简分式． 故答案为：②． 8．根据分式的基本性质填空： （1）；括号内应填入：_________； （2）；括号内应填入：_________． 【答案】 b 【分析】本题考查分式的基本性质，掌握分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于的整式，分式的值不变是解题的关键，根据分式的变化，利用分式基本性质即可求解． 【详解】解：（1）已知等式右边分母 ，且，根据分式的基本性质，给分子分母同乘，得 因此括号内应填入． （2）对等式左边分子因式分解得，变形后分子为，即分子除以，且，根据分式的基本性质，给分子分母同除以，得 因此括号内应填入． 9．若不改变分式的值，使分子与分母的最高次项的符号为正，则＝______． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质解答． 【详解】原式＝． 【点睛】本题考查分式的应用，熟练掌握分式的基本性质是解题关键． 10．当整数m____时，分式的值也为整数． 【答案】1或或2或 【分析】此题考查分式的值． 先将分式分离常数，根据分式值为整数的条件，确定分母是6的整数约数，再通过解方程求出整数m的值． 【详解】解： ∵m为整数，分式的值也为整数． ∴是整数， ∵是奇数， ∴或， 解得整数1或0或2或， 故答案为：或或2或 三、解答题 11．当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)x取一切实数 (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式被开方数为非负数以及平方的非负性求解； （2）根据二次根式被开方数为非负数求解； （3）根据二次根式被开方数为非负数以及分式分母不为零求解； 【详解】（1）解：依题意有，因为，故x取一切实数； （2）解：依题意得，解这个不等式，得； （3）解：依题意得且，解这个不等式，得． 12．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先根据已知求出，再将所求代数式整理为，进而代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 13．已知，且，．求的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，分式的运算，先对已知等式整理得到，故，将变形为，再结合基本不等式即可求出最小值，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ 则， 当且仅当时，等号成立； 因此； 即的最小值为． 14．（1）当x取什么值时，分式的值为0； （2）当x取什么值时，分式的值为正； （3）当x取什么值时，分式的值为负． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了分式的值为0、分式的值为正数或负数的条件，熟练掌握分式的值为0、分式的值为正数或负数的条件是解决本题的关键，注意讨论分式的值的前提是要使分式有意义． （1）根据分式值为0的条件解答即可； （2）分式的值为正即分子分母同号，由，得，从而得出，解答即可； （3）分式的值为负即分子分母异号，由，得，从而得出，解答即可． 【详解】解：（1）由，得， 当时，； ∴当时，分式的值为0； （2）由分式的值为正，得与同号， ∵， ∴， ∴， 解得： （3）由分式的值为负，得与异号， ∵， ∴， ∴， 解得：， 15．已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)直接写出的值． (2)在（1）的条件下，当分式的值为正整数时，求整数的值． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】本题考查分式有意义的条件以及分式的值，熟练掌握知识点是解题关键； （1）根据分式有意义的条件“分母不为0”列出方程解方程即可得到d的值，再通过分式的值为0时，分子为0，列出方程即可得到c的值； （2）把的值代入分式，然后利用分式的值为正整数进行分情况讨论即可． 【详解】（1）解：当时，分式无意义， ， 解得， 当时，此分式的值为0， ， 解得， （2）把，代入得 因为分式的值为正整数，所以是的正因数，的正因数有、、．当时，；当时，；当时，． 整数的值可能为，，． 16．阅读材料已知下面一列等式： ；；； (1)请用含的等式表示你发现的规律___________； (2)利用等式计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察已知的四个等式，发现等式的左边是两个分数之积，这两个分数的分子都是1，后面一个分数的分母比前面一个分数的分母大1，并且第一个分数的分母与等式的序号相等，等式的右边是这两个分数之差，据此可以写出一般性等式； （2）根据（1）中的结论进行计算即可； （3）先将分母有理化，再合理利用（1）中的结论计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，由规律可得：它的一般性等式为， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题是寻找规律的题型，考查了数字的变化规律，还考查了学生分析问题、归纳问题以及解决问题的能力，总结规律要从整体、部分两个方面入手，防止片面总结出错误结论． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09分式及其基本性质复习讲义 重点知识◆梳理 1. 理解分式概念，清晰区分整式与分式 2. 牢记分式有意义、无意义、分式值为零的限定条件 3. 熟练运用分式基本性质，准确完成分式约分、通分运算 4. 掌握分式符号变换规律，规范化简格式 5. 会判定最简分式，精准求解多个分式的最简公分母 核心题型◆归纳 题型1分式的判断 题型2分式的规律性问题 题型3按要求构造分式 题型4分式有意义的条件 题型5分式值为零的条件 题型6分式的求值 题型7求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 题型8求使分式值为整数时未知数的整数值 题型9求使分式变形成立的条件 题型10利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型11将分式的分子分母各项系数化为整数 题型12最简分式 题型13提升测试 重点知识◆梳理 知识点一、分式的概念 形如（A、B均为整式，分母B含有字母，且B≠0）的式子叫做分式。 A为分式的分子，B为分式的分母。 判断要点：分母含有字母即为分式，分母不含字母则为整式。 知识点二、分式三大限定条件 分式有意义：分母B≠0 分式无意义：分母B=0 分式值为0：分子A=0，同时分母B≠0 知识点三、分式的基本性质 分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式整体大小不变。 ==(C≠0) 知识点四分式符号法则 分子、分母、分式本身三者符号，任意同时改变其中两个，分式值保持不变。 ==-, = 知识点五、分式约分 理论依据：分式基本性质 运算方法：先对分子、分母因式分解，再约去两者公因式 最终要求：化为最简分式，即分子、分母不再含有公因式 知识点六、分式通分 理论依据：分式基本性质 关键步骤：确定最简公分母 ◆系数部分：取各分母系数的最小公倍数 ◆字母部分：取所有字母因式的最高次幂 ★ 主要作用：统一各分式分母，便于进行分式加减运算 知识点七、解题方法与技巧 判断分式有无意义，只需检验分母取值是否为0。 求解分式值为0，先令分子为0，务必二次验证分母不为0。 分式恒等变形，严禁同加、同减同一个整式。 分式化简运算，坚持先因式分解，后约分通分。 统一整理符号，将负号规范提前至分式前方。 题型解析◆精准备考 题型1分式的判断 1．下列各式是分式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是分式的有_______________，是整式的有__________．（只填序号） 3．下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ ，，，，， 题型2分式的规律性问题 1．在计算分式的值时，若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，，…，，，，再将所得结果相加之和等于（    ） A． B．2026 C．2027 D． 2．若是不等于2的有理数，则我们把称为的“友好数”．例如：3的“友好数”是．已知，是的“友好数”，是的“友好数”，是的“友好数”……以此类推，则的值是____________． 3．观察下列各式： (1)求的值． (2)化简．其中，且n为整数． 题型3按要求构造分式 1．甲、乙两地相距千米，高速列车原计划每小时行驶千米，受天气影响，若实际每小时降速50千米，则列车从甲地到乙地所需时间比原来增加（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 2．请写出分式所表示的实际意义：________． 3．请你联系生活中的实际问题，列举一个用分式表示的数量关系． 题型4分式有意义的条件 1．函数 中自变量的取值范围是（    ） A．且B．且C． D． 2．当x______时，分式有意义． 3．要使下列式子有意义，的取值必须满足什么条件？ (1)； (2)． 题型5分式值为零的条件 1．若分式的值为0，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．当___________时，分式的值为0． 3．已知分式的值为0，求分式的值． 题型6分式的求值 1．如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 2．若，则_______． 3．已知，求代数式的值． 题型7求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 1．若分式的值为正数，则m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 2．若分式的值为正数，则x的取值范围是___________． 3．已知． (1)若y的值为正数，求x的取值范围； (2)若y的值为整数，求整数x的所有可能值． 题型8求使分式值为整数时未知数的整数值 1．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第n个数记为（n为正整数）．已知，并规定：，如：，，以下结论中，正确的个数为（    ） ①； ②若，则； ③若，则； ④若的值为整数，则满足条件的整数共有6个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．当正整数________时，分式的值也为整数． 3．已知为整数，求能使分式的值为整数的的值． 题型9求使分式变形成立的条件 1．已知，均为非0常数，要使等式成立，则括号内应填入_____． 2．写出下列等式中所缺的分子或分母： (1)； (2)； (3)． 3．若，则M为（   ） A． B． C． D． 题型10利用分式的基本性质判断分式值的变化 1．如果把分式中的x、y同时扩大到原来的2倍，那么分式的值（   ） A．扩大到原来的2倍 B．缩小到原来的倍 C．不变 D．缩小到原来的倍 2．若分式中x、y均扩大为原来的n倍，分式的值变为原来的5倍，则n的值是 _____． 3．不改变分式的值，使下列分式中的分子、分母均不含“”号． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型11将分式的分子分母各项系数化为整数 1．不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（   ） A． B． C． D． 2．不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1）________； （2）________． 3．（1）不改变分式的值，将下列分式中分子与分母的各项系数都化为整数． ①    ② （2）约分： ①    ② 题型12最简分式 1．下列各式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 2．计算： __________ (结果写成最简分式) 3．下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式． (1)； (2)． 过关检测◆提升 一、单选题 1．下列各式中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 2．若分式的值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（   ） A．且B．C．且 D． 4．若分式的值是正数，则x的值可能是（   ）． A．0 B．1 C． D．2 5．设是大于1925的正整数，使得为完全平方数的的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题 6．若，则的值为__________． 7．分式①；②；③；④中，属于最简分式的有______（填序号）． 8．根据分式的基本性质填空： （1）；括号内应填入：_________； （2）；括号内应填入：_________． 9．若不改变分式的值，使分子与分母的最高次项的符号为正，则＝______． 10．当整数m____时，分式的值也为整数． 三、解答题 11．当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)； (2)； (3)． 12．已知，求代数式的值． 13．已知，且，．求的最小值． 14．（1）当x取什么值时，分式的值为0； （2）当x取什么值时，分式的值为正； （3）当x取什么值时，分式的值为负． 15．已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)直接写出的值． (2)在（1）的条件下，当分式的值为正整数时，求整数的值． 16．阅读材料已知下面一列等式： ；；； (1)请用含的等式表示你发现的规律___________； (2)利用等式计算：； (3)计算：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $