专题09矩形的性质与判定复习讲义(知识梳理+15大题型+突破题型)2025-2026学年沪科版八年级数学下册

专题09矩形的性质与判定复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.吃透矩形定义，牢记：矩形是特殊的平行四边形。 2.熟记矩形独有性质，分清和平行四边形的区别。 3.掌握矩形所有判定方法，熟记判定解题依据。 4.掌握直角三角形斜边中线定理，吃透矩形衍生核心知识点。 1.灵活运用边角、对角线性质，快速计算角度与线段长。 2.会推理证明，熟练完成矩形几何简答、证明题。 3.能辨析易混图形，区分平行四边形、矩形的不同特征。 4.结合勾股定理、中位线，提升几何综合解题能力。 1.熟记定理话术，规范几何答题步骤，少丢步骤分。 2.秒杀选择、填空高频易错题型，避开经典陷阱。 3.掌握矩形折叠、计算、综合大题解题套路。 4.快速审题，精准选择判定方法，高效解题拿高分。 题型01.矩形性质理解 题型02.斜边中线等于斜边的一半 题型03.利用矩形的性质求角度 题型04.由矩形的性质求线段长 题型05.由矩形的性质求面积 题型06.利用矩形的性质证明 题型07.求矩形在坐标系中的坐标 题型08.证明四边形是矩形 题型09.矩形的判定定理理解 题型10.添条件使四边形是矩形 题型11.由矩形的性质与判定求角度 题型12.由矩形的性质与判定求线段长 题型13.由矩形的性质与判定求面积 题型14.矩形与折叠问题 题型15.矩形与动点问题 解答题6题 知识点01:定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 前提：平行四边形 + 一个内角 = 90° 关系：矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质。 知识点02:矩形的性质（必考） 文字语言 几何语言 图示 对边平行且相等 在矩形 ABCD 中：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC 四个角都是直角 ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 互相平分且相等 对角线交于 O：OA=OC，OB=OD；AC=BD 中心对称 + 轴对称 中心对称图形，有 2 条对称轴 知识点03:矩形的判定（满足任一条件 ⇒ 矩形） 知识点04.常用衍生结论（解题神器！） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 如图：Rt△ABC 中，∠B=90°，D为 AC 中点，则BD=AC=AD=DC。 本质：由矩形对角线相等且平分直接推出。 知识点05:矩形与平行四边形性质对比（必考） 性质 平行四边形 矩形 对边平行且相等 ✓ ✓ 对角相等 ✓ ✓ 邻角互补 ✓ ✓ 对角线互相平分 ✓ ✓ 四个角为直角 ✗ ✓ 对角线相等 ✗ ✓ 轴对称 ✗ ✓（2 条） 常见易错点 1.判定矩形时，缺 “平行四边形” 前提直接用 “对角线相等→矩形”（错误）。 2.混淆矩形与菱形：矩形对角线相等，菱形对角线垂直。 3.直角三角形斜边中线定理漏条件：必须是 “直角三角形”+“斜边中线”。 题型01.矩形性质理解 【典例】如图，若将四根木条钉成的平行四边形木框变形为矩形的形状，则矩形的内角的大小为___________． 【跟踪专练1】正方形具有而矩形不一定具有的性质是（） A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角相等 D．对边平行且相等 【跟踪专练2】如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为的形状，并使其面积变为矩形面积的一半，则的最小内角的大小为_____________． 题型02.斜边中线等于斜边的一半 【典例】如图，是的中位线，是的高，若，，则的长度为（   ） A．4 B．5 C．6 D．10 【跟踪专练1】如图，在中，，D是边的中点．已知，则___________°． 【跟踪专练2】如图，已知是的中位线，为上一点，且，若，，则的长为（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 题型03.利用矩形的性质求角度 【典例】如图，在矩形 中，对角线，， 则 的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【跟踪专练1】如图，延长矩形的边到点，使，连接，若，则__________． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，对角线、相交于点，，点在上，若，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 题型04.由矩形的性质求线段长 【典例】如图，矩形的面积为12，，则的长为（   ） A．3 B． C． D． 【跟踪专练1】如图，矩形的对角线交于点O，且，，则的长为__________． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，点不与，重合，且，是五边形内满足且的点．现给出以下结论：①；②点到边，的距离一定相等；③点到边，的距离可能相等；④点到边的距离的最大值为1；其中正确的个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型05.由矩形的性质求面积 【典例】如图，在中，分别是，的中点D，E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成矩形．若，，则的面积为___________． 【跟踪专练1】如图，点是矩形的对角线上的一点，过点作，分别交、于、，连接、．若，，则_______（填“”、“”或“”）；图中阴影部分的面积和是_______． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，是对角线上一点，且，过点分别作．四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 题型06.利用矩形的性质证明 【典例】如图，是一个矩形草坪，对角线，相交于点，是边的中点，连接，且，，则该草坪的面积为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，矩形的对角线相交于点，，，点分别是的中点，连接，若的长为3，则四边形的周长是______． 【跟踪专练2】如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与，交于点E，F，连接交于点M，连接，．若，，则下列结论： ①，； ②； ③四边形是菱形； 其中正确结论的个数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 题型07.求矩形在坐标系中的坐标 【典例】在平面直角坐标系中，矩形的位置如图所示，其中，轴，则顶点D的坐标为___________． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、相交于点，，，如果平行于轴，那么点的坐标为____________________ ． 【跟踪专练2】如图，把矩形放入平面直角坐标系中，使，分别落在轴、轴上，连接，将矩形沿折叠，使点落在点的位置，与轴相交于点，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型08.证明四边形是矩形 【典例】在四边形中，点分别是的中点，与满足（    ）条件时，则四边形是矩形． A．相等 B．互相平分 C．垂直 D．无法确定 【跟踪专练1】已知矩形，E为的中点，F为上一点．若，，，则_____． 【跟踪专练2】如图，为矩形的对角线，分别以、为圆心，大于为半径画弧，交于两点，过这两点作直线，交矩形两边于，连接，则四边形是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 题型09.矩形的判定定理理解 【典例】如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是____________________． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，，点从点出发，向点以的速度匀速运动，点以的速度从点出发，在、两点之间往返匀速运动，两点同时出发，点到达点时停止运动（同时点也停止运动）．设运动时间为，这段时间内，当的值为_____时，以、、、为顶点的四边形是矩形． 【跟踪专练2】下列命题中，假命题是（    ） A．有一组对角是直角且一组对边平行的四边形是矩形； B．有一组对角是直角且一组对边相等的四边形是矩形； C．有两个内角是直角且一组对边相等的四边形是矩形； D．有两个内角是直角且一组对边平行的四边形是矩形． 题型10.添条件使四边形是矩形 【典例】如图，在平行四边形ABCD中，在不添加任何辅助线的情况下，添加以下哪个条件，能使平行四边形ABCD是矩形（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在平行四边形中，对角线与交于点．添加一个条件：________，则可判定四边形是矩形． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，，分别是，，，的中点，要使四边形是矩形，则四边形只需要满足一个条件是（   ） A． B． C． D． 题型11.由矩形的性质与判定求角度 【典例】如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为 ___________． 【跟踪专练1】如图，点D，E，F分别是的中点，，，，则的长为______． 【跟踪专练2】如图，在矩形ABCD中，对角线分得到的两个角的度数之比是，延长至点E，连接交于点，若上有一点，使得，且，则的长为（　　） A．2.5 B． C． D．3 题型12.由矩形的性质与判定求线段长 【典例】如图，点E，F分别在矩形纸片的边上，沿折叠矩形，点A，B的对应点分别为M，N，交于点H，若，，则的长为（   ） A．1 B． C． D．2 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，，点是上一个动点（点与点，不重合），过点分别作于点，交于点，连接，则的最小值为______． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于，为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型13.由矩形的性质与判定求面积 【典例】如图，菱形的面积为6，E，F，G，H分别为边，，，的中点，则四边形的面积为（   ） A．3 B．3.5 C．5 D．5.5 【跟踪专练1】如图，是内部一点，，且，，依次取、、、中点，并顺次连接得到四边形，则四边形的面积是____． 【跟踪专练2】如图，四边形的对角线于点O，点E，F，G，H分别为边和的中点，顺次连接和，得到四边形．若，则四边形的面积等于（　　）． A．30 B．35 C．40 D．60 题型14.矩形与折叠问题 【典例】如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【跟踪专练1】有一张长方形纸片中，点和点分别在边和上，将四边形沿直线翻折，点落在点处，点落在边上点处，连接交于点，已知的长度为___________． 【跟踪专练2】如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为（   ） A． B． C． D．2 题型15.矩形与动点问题 【典例】如图，矩形中，，，点是边上的一动点（点不与点A，重合），连接，把沿所在直线翻折得到，则当点落在矩形的边所在的直线上时，的长为_____． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，点E，F分别为边上的动点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为（   ） A．16 B．15 C． D． 【跟踪专练2】在矩形中，点G为射线上一动点，连接、，取、的中点分别为点E和点F，连接． (1)如图1，当点G与点B重合时，请判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点G在线段上运动时（不与点B、F重合），判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当点G在线段延长线上，，，，求此时的周长． 【解答题】 1．如图，把形状相同的两块矩形铁板和焊接成“L”型工件．请判断的形状，并说明理由． 2．如图，在矩形中，点分别在和上，，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，求的面积． 3．如下图，对于矩形，，，为平面直角坐标系的原点，，，点在第三象限． (1)直接写出点的坐标： __________． (2)点从原点出发，沿着的路线每秒移动2个单位长度． ①当点移动了时，直接写出此时点的坐标：__________； ②当点到轴的距离为4个单位长度时，求出点移动的时间． (3)若过点的直线与矩形的边交于点，且将矩形的面积分为1∶4的两部分，求点的坐标． 4．已知：在直角梯形中，，，将沿直线翻折，点恰好落在腰上的点处． (1)如图，当点是腰的中点时，求证：是等边三角形； (2)延长交线段的延长线于点，连接，如果，请画出符合题意的图形，并证明：四边形是矩形． 5．如图，在中，°，°，M是射线上的一动点，将线段绕点M逆时针旋转得到． (1)如图1，当点M与点C重合时，连接，求证：四边形是平行四边形． (2)如图2，当点M在线段上(与点A，C都不重合时)，连接，过点M作垂直交于点E，连接，求的度数． (3)当点M与点A，C都不重合时，若，，请直接写出的长． 6．解决问题 (1)数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，点为的边上一点，连接BE，CE，请探究的面积与面积的关系？“领航”学习小组在数学活动中发现：的面积等于面积的2倍．请你写出完整的解答过程． (2)如图2，长方形中，点为边上一点，点为右侧一点，，若，求的长； (3)如图3，中，点为边上一点，点为边上一点，连接，交于点，连接，若，证明：平分． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09矩形的性质与判定复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.吃透矩形定义，牢记：矩形是特殊的平行四边形。 2.熟记矩形独有性质，分清和平行四边形的区别。 3.掌握矩形所有判定方法，熟记判定解题依据。 4.掌握直角三角形斜边中线定理，吃透矩形衍生核心知识点。 1.灵活运用边角、对角线性质，快速计算角度与线段长。 2.会推理证明，熟练完成矩形几何简答、证明题。 3.能辨析易混图形，区分平行四边形、矩形的不同特征。 4.结合勾股定理、中位线，提升几何综合解题能力。 1.熟记定理话术，规范几何答题步骤，少丢步骤分。 2.秒杀选择、填空高频易错题型，避开经典陷阱。 3.掌握矩形折叠、计算、综合大题解题套路。 4.快速审题，精准选择判定方法，高效解题拿高分。 题型01.矩形性质理解 题型02.斜边中线等于斜边的一半 题型03.利用矩形的性质求角度 题型04.由矩形的性质求线段长 题型05.由矩形的性质求面积 题型06.利用矩形的性质证明 题型07.求矩形在坐标系中的坐标 题型08.证明四边形是矩形 题型09.矩形的判定定理理解 题型10.添条件使四边形是矩形 题型11.由矩形的性质与判定求角度 题型12.由矩形的性质与判定求线段长 题型13.由矩形的性质与判定求面积 题型14.矩形与折叠问题 题型15.矩形与动点问题 解答题6题 知识点01:定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 前提：平行四边形 + 一个内角 = 90° 关系：矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质。 知识点02:矩形的性质（必考） 文字语言 几何语言 图示 对边平行且相等 在矩形 ABCD 中：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC 四个角都是直角 ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 互相平分且相等 对角线交于 O：OA=OC，OB=OD；AC=BD 中心对称 + 轴对称 中心对称图形，有 2 条对称轴 知识点03:矩形的判定（满足任一条件 ⇒ 矩形） 知识点04.常用衍生结论（解题神器！） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 如图：Rt△ABC 中，∠B=90°，D为 AC 中点，则BD=AC=AD=DC。 本质：由矩形对角线相等且平分直接推出。 知识点05:矩形与平行四边形性质对比（必考） 性质 平行四边形 矩形 对边平行且相等 ✓ ✓ 对角相等 ✓ ✓ 邻角互补 ✓ ✓ 对角线互相平分 ✓ ✓ 四个角为直角 ✗ ✓ 对角线相等 ✗ ✓ 轴对称 ✗ ✓（2 条） 常见易错点 1.判定矩形时，缺 “平行四边形” 前提直接用 “对角线相等→矩形”（错误）。 2.混淆矩形与菱形：矩形对角线相等，菱形对角线垂直。 3.直角三角形斜边中线定理漏条件：必须是 “直角三角形”+“斜边中线”。 题型01.矩形性质理解 【典例】如图，若将四根木条钉成的平行四边形木框变形为矩形的形状，则矩形的内角的大小为___________． 【答案】 【详解】解：矩形的四个内角都是直角， 则的大小为． 【跟踪专练1】正方形具有而矩形不一定具有的性质是（） A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角相等 D．对边平行且相等 【答案】A 【分析】对比正方形和矩形的性质，找出正方形具有而矩形不一定具有的性质即可． 【详解】解：∵正方形和矩形都属于平行四边形，平行四边形共有的性质是对角线互相平分，对角相等，对边平行且相等，因此B，C，D都是正方形和矩形共有的性质，不符合要求； ∵正方形的对角线互相垂直平分且相等，矩形的对角线相等且互相平分，非正方形的矩形对角线不互相垂直，因此对角线互相垂直是正方形具有而矩形不一定具有的性质； ∴A符合题意． 【跟踪专练2】如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为的形状，并使其面积变为矩形面积的一半，则的最小内角的大小为_____________． 【答案】/度 【分析】过点作于点，可知在中，，取中点，连接，可证得为等边三角形，可知，则． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵平行四边形的面积为矩形的一半且同底， ∴平行四边形的高是矩形宽的一半． 在中，， 取中点，连接， 则， ∴，则为等边三角形， ∴， 则． 题型02.斜边中线等于斜边的一半 【典例】如图，是的中位线，是的高，若，，则的长度为（   ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出，再结合直角三角形中，斜边的中线等于斜边一半即可求解． 【详解】解：是的中位线，， 为的中点，为的中点， ， 是的高线， ， ∴， 为的中点， ． 【跟踪专练1】如图，在中，，D是边的中点．已知，则___________°． 【答案】66 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，利用等边对等角求出的度数，再利用角的和差关系求解. 【详解】解：在中，，是边的中点， ∴（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， ∴（等边对等角）， ∵， ∴， ∵ ∴ 故答案为：66. 【跟踪专练2】如图，已知是的中位线，为上一点，且，若，，则的长为（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】利用中位线的性质得到的长，即可求出的长，再由直角三角形斜边上的中线为斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵是的中位线，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∵为的中点， ∴． 题型03.利用矩形的性质求角度 【典例】如图，在矩形 中，对角线，， 则 的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】根据矩形的性质得到，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：∵在矩形 中，对角线，， ∴ ∴． 【跟踪专练1】如图，延长矩形的边到点，使，连接，若，则__________． 【答案】 【分析】利用矩形的性质求得，，得到，再利用三角形内角和定理计算即可求解． 【详解】解：∵矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，对角线、相交于点，，点在上，若，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为边作等边三角形，连接，证明，得到，，进而求出，得到，推出，最后根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：如图，以为边作等边三角形，连接， ，， ， ， 由矩形的性质可得， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的外角性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，构造等边三角形是解题的关键． 题型04.由矩形的性质求线段长 【典例】如图，矩形的面积为12，，则的长为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的面积公式求出，利用二次根式的运算法则求解即可． 【详解】解：矩形的面积为12， ． 【跟踪专练1】如图，矩形的对角线交于点O，且，，则的长为__________． 【答案】 【分析】由矩形的对角线相等且互相平分得到，再证明是等边三角形，即可得到． 【详解】解：∵矩形的对角线交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，点不与，重合，且，是五边形内满足且的点．现给出以下结论：①；②点到边，的距离一定相等；③点到边，的距离可能相等；④点到边的距离的最大值为1；其中正确的个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理等，过点分别作，，，的垂线，垂足分别为点，，，：结合，，判断结论①正误；可证明，判断结论②正误；结合，可判断结论③正误；结合，可判断结论④正误． 【详解】 如图所示，过点分别作，，，的垂线，垂足分别为点，，，． ∵四边形为矩形， ∴． ∴，． ∴． ∴点，，共线． 同理可得点，，共线． ∵， ∴四边形为矩形． ∴． 同理可得． ∵，，， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． 结论①正确． 在和中， ，，， ∴． ∴． ∴点到边，的距离一定相等． 结论②正确． ∵， ∴． ∴． ∴点到边，的距离不相等． 结论③错误． ∵ ∴的最大值为． 结论④错误． 综上所述，结论正确的为①②． 题型05.由矩形的性质求面积 【典例】如图，在中，分别是，的中点D，E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成矩形．若，，则的面积为___________． 【答案】12 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，矩形的性质，熟知三角形中位线定理是解题的关键． 先利用中位线定理求出，再由的面积等于矩形面积进行求解即可． 【详解】解：∵D、E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 由题意得，，， ∴， ∴， 故答案为：12． 【跟踪专练1】如图，点是矩形的对角线上的一点，过点作，分别交、于、，连接、．若，，则_______（填“”、“”或“”）；图中阴影部分的面积和是_______． 【答案】 【分析】作于M，交于N，根据矩形的性质可得 即可求解． 【详解】解：作于M，交于N． 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴ ∴， ∴ 【跟踪专练2】如图，在矩形中，是对角线上一点，且，过点分别作．四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过矩形性质以及已知条件判断四边形为矩形．利用得到，进而求出面积，通过面积求出线段长度. 【详解】解：连接，如图． ，四边形为矩形， ，， 四边形为矩形． ， ． ， ，， ，，即，8， 解得，， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，三角形的面积，解决本题的关键是熟练掌握矩形的判定以及利用面积关系得到线段长度的． 题型06.利用矩形的性质证明 【典例】如图，是一个矩形草坪，对角线，相交于点，是边的中点，连接，且，，则该草坪的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的性质和三角形中位线定理．根据三角形中位线定理得到，根据矩形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵是一个矩形草坪，对角线，相交于点， ∴， ∵是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴矩形的面积为， 故选：C 【跟踪专练1】如图，矩形的对角线相交于点，，，点分别是的中点，连接，若的长为3，则四边形的周长是______． 【答案】24 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定与性质，三角形中位线的性质，先根据中位线得到，再证明四边形是菱形，计算周长即可． 【详解】解：∵点M，N分别是，的中点， ∴， 又∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长为， 故答案为：24． 【跟踪专练2】如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与，交于点E，F，连接交于点M，连接，．若，，则下列结论： ①，； ②； ③四边形是菱形； 其中正确结论的个数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质和菱形的判定是解题关键．连接，先根据矩形的性质可得点共线，，，，再根据等边三角形的判定可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，则垂直平分，由此即可判断①正确；假设成立，根据全等三角形的性质可得，再根据在直角三角形中，斜边大于直角边可得，由此即可判断②错误；先证出，根据全等三角形的性质可得，则可证四边形是平行四边形，再证出，根据全等三角形的性质可得，根据菱形的判定即可得③正确． 【详解】解：如图，连接， ∵在矩形中，为对角线中点， ∴点共线，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴垂直平分， ∴，，则结论①正确； 假设成立，则， 在中，，与矛盾， ∴假设不成立，则结论②错误； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，则结论③正确； 综上，正确结论的个数是2个， 故选：B． 题型07.求矩形在坐标系中的坐标 【典例】在平面直角坐标系中，矩形的位置如图所示，其中，轴，则顶点D的坐标为___________． 【答案】 【分析】由矩形的性质可得，，轴，轴，则可求点D坐标． 【详解】解：四边形ABCD是矩形， ， 且轴， 轴，轴， ， 点C横坐标为3，点A纵坐标为2， 点D坐标为， 【点睛】本题主要考查矩形的性质，坐标与图形性质，熟练运用矩形性质是本题的关键． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、相交于点，，，如果平行于轴，那么点的坐标为____________________ ． 【答案】 【分析】先根据矩形的性质得到，设 ，利用两点间距离公式求出点的坐标，再根据中点公式得到点的坐标． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， 平行于轴，， 纵坐标都是． 设 ， ， ， ， 解得， ∴． ∵， 设， 由中点公式：，， ，， ． 【跟踪专练2】如图，把矩形放入平面直角坐标系中，使，分别落在轴、轴上，连接，将矩形沿折叠，使点落在点的位置，与轴相交于点，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质以及坐标与图形，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，再利用勾股定理列出等式进行求解即可．根据矩形的性质和折叠的性质证明，设，则，利用勾股定理可得进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，， ∵将纸片矩形沿折叠，使点B落在点D的位置， , , ， ∵点B的坐标为， ，， 设，则， 在中，， 解得， ∴点E的坐标为， 故选：C． 题型08.证明四边形是矩形 【典例】在四边形中，点分别是的中点，与满足（    ）条件时，则四边形是矩形． A．相等 B．互相平分 C．垂直 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据三角形中位线定理得到，，得到，，得到四边形是平行四边形；根据矩形的判定定理解答即可．本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、矩形的判定是解题的关键． 【详解】解：当时，四边形矩形，理由如下： ∵点分别是的中点， ∴为的中位线，为的中位线， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； ∵为的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴平行四边形是矩形 故选：C 【跟踪专练1】已知矩形，E为的中点，F为上一点．若，，，则_____． 【答案】或 【分析】本题分两种情况讨论，即点F分别靠近点A和靠近点B两种情况，作辅助线构造直角三角形，利用矩形的性质得到对应边的长度，再结合勾股定理逐步计算即可得到答案． 【详解】解：分两种情况： ①点F靠近点A时，过点F作于G， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形， ， 在中，， 是的中点， ， ， 在中，； ②点F靠近点B时，过点F作于G， 同理可得，，， ， 在中，； 综上所述，的长为或． 【跟踪专练2】如图，为矩形的对角线，分别以、为圆心，大于为半径画弧，交于两点，过这两点作直线，交矩形两边于，连接，则四边形是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，矩形的性质，菱形的判定．根据作图可得是线段的垂直平分线，得到，，，由，得到，利用等角对等边求得，据此即可得到结论． 【详解】解：根据作图可得是线段的垂直平分线， ，， ， 四边形是平行四边形， ∴， ， ， ， ， 四边形是菱形． 故选：C． 题型09.矩形的判定定理理解 【典例】如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是____________________． 【答案】对角线相等的平行四边形是矩形 【分析】本题考查了矩形的判定，解题的关键是掌握矩形的判定．根据已知条件和矩形的判定进行解答即可得． 【详解】解：∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形， ∴测量两组对边的长度是否分别相等，判定四边形是否为平行四边形， ∵对角线相等的平行四边形为矩形， ∴要测量它们的两条对角线是否相等， 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，，点从点出发，向点以的速度匀速运动，点以的速度从点出发，在、两点之间往返匀速运动，两点同时出发，点到达点时停止运动（同时点也停止运动）．设运动时间为，这段时间内，当的值为_____时，以、、、为顶点的四边形是矩形． 【答案】2.4或4或7.2 【分析】首先由矩形得到，，然后得到，则四边形是矩形，然后根据题意分情况讨论，分别列方程求解即可． 【详解】根据题意，当点从点运动到点的过程中，点将按照运动． 四边形是矩形， ，． ． 若，则四边形是矩形． 根据题意，得． 当时，， ∴， 解得． 当时，， ∴， 解得．当时，， ， 解得． 当时，， ， 解得，此时无法构成矩形，故舍去． 综上所述，当或4或7.2时，以、、、为顶点的四边形是矩形． 故答案为：2.4或4或7.2． 【点睛】此题考查了矩形动点问题，矩形的性质和判定，一元一次方程的应用，解题的关键是分情况讨论． 【跟踪专练2】下列命题中，假命题是（    ） A．有一组对角是直角且一组对边平行的四边形是矩形； B．有一组对角是直角且一组对边相等的四边形是矩形； C．有两个内角是直角且一组对边相等的四边形是矩形； D．有两个内角是直角且一组对边平行的四边形是矩形． 【答案】D 【分析】利用矩形的判定定理，通过举反例或推理判断每个命题的真假，即可得到答案． 【详解】A、有一组对角是直角且一组对边平行，可由平行线的性质得到其余两个角也为直角，四个角都是直角的四边形是矩形，故A是真命题，不符合题意； B、如图， ，，， ， ， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形为矩形； 故B是真命题，不符合题意； C、若两个直角是对角，根据B中证明可得四边形是矩形， 如图，若，， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形为矩形； 如图，若，， 假设，过点作于， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ∵在中，， 这与相互矛盾， ， ， ∴四边形是矩形； 故C是真命题，不符合题意； D、直角梯形有两个内角是直角，且有一组对边平行，但直角梯形不是矩形，因此该命题是假命题，符合题意． 题型10.添条件使四边形是矩形 【典例】如图，在平行四边形ABCD中，在不添加任何辅助线的情况下，添加以下哪个条件，能使平行四边形ABCD是矩形（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形；且AD⊥AB ∴四边形ABCD是矩形 故选A 【点睛】本题考查矩形的判定，掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形的概念是解题关键． 【跟踪专练1】在平行四边形中，对角线与交于点．添加一个条件：________，则可判定四边形是矩形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查矩形的判定，熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形的判定定理是解题的关键． 根据矩形的判定定理回答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 若添加条件，则对角线相等，根据矩形的判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”，可得四边形是矩形． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，，分别是，，，的中点，要使四边形是矩形，则四边形只需要满足一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用三角形中位线定理证明四边形是平行四边形，再根据矩形的判定条件寻找使平行四边形有一个角为直角的四边形的条件． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，． 同理，，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴且， ∴四边形是平行四边形． 同理，，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，． 结合图形，要使平行四边形为矩形，需有一个内角为． A选项，若，则，平行四边形为菱形，不符合题意； B选项，若，无法得到的内角为直角，不符合题意； C选项，若，无法得到内角为直角，不符合题意； D选项，若，则，平行四边形为矩形，符合题意； 故选：D． 题型11.由矩形的性质与判定求角度 【典例】如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为 ___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定以及性质，由平行四边形的性质得出，，得出，即可证明四边形.是矩形，根据矩形的性质得出，进一步即可求出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，点D，E，F分别是的中点，，，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线，矩形的判定及性质，勾股定理；由三角形的中位线得，，，由矩形的判定方法得边形是矩形，由勾股定理得，即可求解；掌握三角形的中位线，矩形的判定及性质，能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：点D，E，F分别是的中点， ，，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ； 故答案：． 【跟踪专练2】如图，在矩形ABCD中，对角线分得到的两个角的度数之比是，延长至点E，连接交于点，若上有一点，使得，且，则的长为（　　） A．2.5 B． C． D．3 【答案】D 【分析】由矩形中，对角线分得到的两个角的度数之比是，，且，得，，由，得，，由，得，得，得，即可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵对角线分得到的两个角的度数之比是， ∴设，则， ∴， 解得：， ∴，， ∴，， ∵， ∴设，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，三角形的外角定理，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 题型12.由矩形的性质与判定求线段长 【典例】如图，点E，F分别在矩形纸片的边上，沿折叠矩形，点A，B的对应点分别为M，N，交于点H，若，，则的长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，折叠的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，先根据矩形的性质和折叠的性质证明得到，过点E作于G，则四边形是矩形，可得，再利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， 如图所示，过点E作于G，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，，点是上一个动点（点与点，不重合），过点分别作于点，交于点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，利用勾股定理求出，判断出四边形是矩形；根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】如图，连接． ∵矩形中，，，， ∴， ∵于点E， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得时，线段最短，即的值最小， 此时，， 即， 解得， ∴， 即的最小值为． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于，为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及直角三角形斜边上的中线性质，用勾股定理解三角形等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．证四边形是矩形，得，再由垂线段最短和三角形面积求出的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 是的中点， ， 根据垂线段最短可知，当时，最短，则也最短， 此时，， ， 即最短时，， 的最小值， 故选：C． 题型13.由矩形的性质与判定求面积 【典例】如图，菱形的面积为6，E，F，G，H分别为边，，，的中点，则四边形的面积为（   ） A．3 B．3.5 C．5 D．5.5 【答案】A 【分析】根据三角形中位线定理得，，，，证明四边形是矩形，进而得菱形的面积．四边形面积是，故可得结论． 【详解】解：连接交于O， ∵四边形是菱形， ， ∵点、、、分别是边、、和的中点， ，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ， ∴， ∵，， ， ， ∴四边形是矩形， ∴菱形的面积， ， ， ∴四边形的面积为3． 【跟踪专练1】如图，是内部一点，，且，，依次取、、、中点，并顺次连接得到四边形，则四边形的面积是____． 【答案】 【分析】先根据三角形中位线定理可得，，，从而可得，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，然后根据平行线的性质可得，根据矩形的判定可得平行四边形是矩形，最后利用矩形的面积公式求解即可得． 【详解】解：点分别是，的中点，且， ， 同理可得：，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 又， ， 平行四边形是矩形， ∴四边形的面积是． 【跟踪专练2】如图，四边形的对角线于点O，点E，F，G，H分别为边和的中点，顺次连接和，得到四边形．若，则四边形的面积等于（　　）． A．30 B．35 C．40 D．60 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，根据三角形中位线得到、成为解题的关键． 先根据三角形中位线得到、，再判定平行四边形是矩形，最后根据矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵点E，F分别为边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， 同理可得：，， ∴， 同理可得：， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴矩形的面积为：，即四边形的面积为30． 故选：A． 题型14.矩形与折叠问题 【典例】如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，用勾股定理解三角形，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先根据折叠的性质得出，从而可得，再利用勾股定理列出关于的方程求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， 在中， ∴ 解得：， 故选：B． 【跟踪专练1】有一张长方形纸片中，点和点分别在边和上，将四边形沿直线翻折，点落在点处，点落在边上点处，连接交于点，已知的长度为___________． 【答案】/ 【分析】本题考查的是矩形的性质、翻折的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合运用，关键是灵活运用矩形与翻折的性质，通过证明三角形全等得到对应边相等，再结合勾股定理建立方程求解．根据矩形的性质得到对边相等、四个角都是直角，结合翻折的性质得到对应边、对应角相等，先利用勾股定理求出的长度，再通过证明得到相关线段的长度，最后在中利用勾股定理列方程，进而求出的长度． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ，， 将四边形沿直线翻折，点落在点处，点落在边上点处， ，，，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得，， 解得：， 的长度为． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查矩形的性质、正方形的判定与性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 由第一次折叠可知，，则四边形为正方形，，，由第二次折叠可知，利用平行线的性质得，于是可得，由等边对等角得，以此即可求解． 【详解】解：四边形为矩形， ． 由第一次折叠可知，， 四边形为正方形， ， ． 由第二次折叠可知，， ， ， ， ， ． 故选：D． 题型15.矩形与动点问题 【典例】如图，矩形中，，，点是边上的一动点（点不与点A，重合），连接，把沿所在直线翻折得到，则当点落在矩形的边所在的直线上时，的长为_____． 【答案】2或/或2 【分析】由折叠和矩形的性质可得：，设，则，然后分两种情况讨论：当点落在边所在的直线上时，当点落在边所在的直线上时，则，结合勾股定理，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 设，则， 如图，当点落在边所在的直线上时，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即； 如图，当点落在边所在的直线上时，则， ∴， 在和中， ， 即， ∴， 解得：， 即； 综上所述，的长为或2． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，点E，F分别为边上的动点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为（   ） A．16 B．15 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题、勾股定理、矩形的性质、直角三角形的性质等知识点，熟练运用勾股定理解决问题是解题的关键． 如图，连接，由直角三角形斜边上的中线性质得到，作点A关于的对称点，连接，交于点P，当点、点P、点G、点D共线时，的值最小，最小值为的长；勾股定理求出，减去即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，点为的中点， ∴， 作点A关于的对称点，连接，交于点P，当点、点P、点G、点D共线时，的值最小，最小值为的长； ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 【跟踪专练2】在矩形中，点G为射线上一动点，连接、，取、的中点分别为点E和点F，连接． (1)如图1，当点G与点B重合时，请判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点G在线段上运动时（不与点B、F重合），判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当点G在线段延长线上，，，，求此时的周长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）当G与B重合时，E为中点、F为中点，EF是中位线，故．矩形中，则可得． （2）延长交于H，证得，则为中位线，．再证得，故． （3）证得．由推得四边形为正方形，得，计算、、，最终得的周长． 【详解】（1）解：，理由如下： 连接，如图， 当点与点重合时，， ∵是的中点，. ∴是的中点． 又∵是的中点， ∴是的三角形中位线， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 连接并延长交于点，连接，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，． ∵是的中点， ∴， ∴， ∴，，即是的中点． 又∵是的中点， ∴是的三角形中位线， ∴． ∵， ∴，即． 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接并延长交的延长线于点，延长交于点U，连接交于点V，连接，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，． ∵是的中点， ∴， ∴， ∴，，即是的中点． 又∵是的中点， ∴是的三角形中位线， ∴，且． ∵，， ∴，即． 又∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵F是中点，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵是中点， ∴， 在中，， ∴． ∴的周长． 【点睛】本题解题关键是构造全等三角形与运用三角形中位线定理，将分散的线段关系转化为明确的倍数关系，同时结合矩形、正方形的性质，通过角度与边长推导完成求解． 【解答题】 1．如图，把形状相同的两块矩形铁板和焊接成“L”型工件．请判断的形状，并说明理由． 【答案】的形状是等腰直角三角形；理由见详解． 【分析】根据矩形的性质证，再证即可得结论． 【详解】解：的形状是等腰直角三角形； ∵四边形和四边形是形状相同的两块矩形，、为对角线， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴的形状是等腰直角三角形． 2．如图，在矩形中，点分别在和上，，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）先推导出，继而证明，则四边形是平行四边形，即可解答； （2）先求出，，则，即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， 即：， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵四边形是矩形， ∴的高， ∵， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴ ， ∴． 答：的面积为1． 3．如下图，对于矩形，，，为平面直角坐标系的原点，，，点在第三象限． (1)直接写出点的坐标： __________． (2)点从原点出发，沿着的路线每秒移动2个单位长度． ①当点移动了时，直接写出此时点的坐标：__________； ②当点到轴的距离为4个单位长度时，求出点移动的时间． (3)若过点的直线与矩形的边交于点，且将矩形的面积分为1∶4的两部分，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①  ②或 (3)或． 【分析】（1）根据长方形的性质即可得出点B的坐标； （2）①根据题意，的运动速度与移动的时间，可得运动了个单位，进而结合矩形的长与宽可得答案；②点到轴的距离为4个单位长度，结合图形分两种情况：当在上时，当在上时，分别得出坐标即可； （3）分两种情况：当点在上时；当点在上时，根据直线将矩形的面积分为两部分，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：． ∵矩形，，， ∴，，， ∵点在第三象限， ∴． （2）解：①． 点从原点出发，沿着的路线每秒移动个单位长度． 当点移动了时，移动的距离是个单位长度， ∵， ∴此时点在线段上，坐标为； ②点到轴的距离为4个单位长度， 点在或上． 当点在上时，，此时； 当点在上时，． 综上所述，点移动的时间为或． （3）解：当点在上时，设（）． ， ， 即，解得， ； 当点在上时，设（）． ， ， 即，解得， ． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查坐标与图形、三角形的面积，熟练掌握坐标与图形的性质，采用数形结合的思想以及分类讨论的思想解题是解题的关键． 4．已知：在直角梯形中，，，将沿直线翻折，点恰好落在腰上的点处． (1)如图，当点是腰的中点时，求证：是等边三角形； (2)延长交线段的延长线于点，连接，如果，请画出符合题意的图形，并证明：四边形是矩形． 【答案】(1)证明见解析 (2)画图与证明见解析 【分析】（1）利用翻折性质得，结合为中点证，再由角度关系推，证为等边三角形； （2）过作梯形的高，证得、，结合与，推得且，再由证四边形为矩形． 【详解】（1）证明：将沿直线翻折，点落在腰上的点处， ，，即， 是腰的中点， 垂直平分， ， ，， ， 由翻折性质，， ， （三线合一）， ， 又， ∴， ∴， 又， 是等边三角形． （2）证明：过点作，垂足为，则． ，， 四边形是矩形， ，， 由翻折性质，，， ，且， 在和中：， ， ，， ， ， 又∵， ∴，即， ，即， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是矩形． 5．如图，在中，°，°，M是射线上的一动点，将线段绕点M逆时针旋转得到． (1)如图1，当点M与点C重合时，连接，求证：四边形是平行四边形． (2)如图2，当点M在线段上(与点A，C都不重合时)，连接，过点M作垂直交于点E，连接，求的度数． (3)当点M与点A，C都不重合时，若，，请直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定， 对于（1），先说明，再根据旋转性质得，即可得，，最后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出结论； 对于（2），先根据“边角边”证明，再说明四边形是矩形，即可得出答案； 对于（3），分两种情况：当点M在线段上时，作，交于点M，交于点E，连接，由（2）得是等腰直角三角形，四边形是矩形，可根据勾股定理求出，然后根据得出答案； 当点M在射线上时，作，交于点M，交的延长线于点E，连接，仿照上述根据求出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． 根据旋转，得， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形， ∴； （3）解：或． 当点M在线段上时，作，交于点M，交于点E，连接， 由（2），得是等腰直角三角形，四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． 根据勾股定理，得， ∴； 当点M在射线上时，作，交于点M，交的延长线于点E，连接， 由（2），得是等腰直角三角形，四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． 根据勾股定理，得， ∴． 所以的长为或． 6．解决问题 (1)数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，点为的边上一点，连接BE，CE，请探究的面积与面积的关系？“领航”学习小组在数学活动中发现：的面积等于面积的2倍．请你写出完整的解答过程． (2)如图2，长方形中，点为边上一点，点为右侧一点，，若，求的长； (3)如图3，中，点为边上一点，点为边上一点，连接，交于点，连接，若，证明：平分． 【答案】(1)过程见解析 (2)12 (3)证明见解析 【分析】（1）作，根据可得答案； （2）作，连接，可得四边形是矩形，即得，再根据勾股定理求出，然后求出，接下来根据勾股定理得，再设，则，进而根据可得关于x的方程，求出解可得，最后根据勾股定理得出答案； （3）连接，作，作，先由（1）可得，再根据，可得，最后根据角平分线性质定理的逆定理得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点E作于点F， ∴， ∴； （2）解：过点D作于点G，连接， ∵， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， 设，则， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接，过点A作于点M，作于点N， 由（1）知， ∴，即． ∵， ∴，. ∴点A在的平分线上，即平分． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $