专题01 五大类解三角形题型-2026年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练（全国通用）

专题01 五大类解三角形题型-2026年高考数学大题秒杀技巧及专项训练 【题型1 三角形周长定值及最值】 【题型2 三角形涉及长度最值问题】 【题型3 三角形涉及中线长问题】 【题型4 三角形涉及角平分线问题】 【题型5 三角形面积定值最值问题】 【题型1：三角形周长定值及最值】 一、题型判断 已知三角形一边a，对角A，求三角形周长取值范围、周长最大值 高考解三角形第二问必考压轴，两种通用解法 二、周长定值问题 1. 已知三边长度：周长=a+b+c，直接相加即可 2. 已知两边+两边夹角：先用余弦定理求出第三边，再求和 3. 已知面积+一边一角：先求出bc定值，再配方 特点：边长全部确定，周长唯一固定不变 三、周长最值·方法一：余弦定理+基本不等式（最快秒杀） 1. 余弦定理：a²=b²+c²-2bc cosA 2. 配方变形：a²=(b+c)²-2bc(1+cosA) 3. 均值不等式：b²+c²≥2bc 4. 推出bc最大值，进而得到b+c最大值 5. 周长L=a+b+c，算出周长最大值 核心规律： 当b=c，三角形为等腰三角形时，周长取得最大值 四、周长最值·方法二：正弦定理+三角函数值域（大题标准满分写法） 1. 外接圆直径：2R=a/sinA 2. 边化角：b=2RsinB，c=2RsinC 3. 内角关系：C=π-A-B 4. b+c=2R[sinB+sin(A+B)] 5. 和差公式化简，辅助角公式整理 6. 根据角B范围，求正弦函数值域 7. 直接得出b+c范围，进而得到周长范围 五、周长取值范围万能结论 已知a，角A 1. b+c＞a（三角形两边之和大于第三边） 2. b+c≤最大值（b=c时取等） 3. 周长范围：a+a ＜ L ≤ a+b+c最大值 即：2a ＜ 周长 ≤ 最大值 六、高频特殊角度秒杀结论 1. A=60°，a固定 b+c≤2a，周长最大值=3a，等边三角形取最大 2. A=90°，直角三角形 b+c≤√2 a，等腰直角周长最大 3. A为任意锐角 定边定角，永远等腰时周长最大 七、必考规律总结 1. 定边定角，面积最大 ↔ 周长最大，同一个等腰三角形 2. 一次式边角关系→正弦定理 3. 平方、最值、乘积bc→余弦+基本不等式 4. 范围题优先三角函数，填空选择优先不等式秒杀 八、大题标准答题模板（直接抄写不扣分） 由余弦定理可得 a²=b²+c²-2bccosA 即a²=(b+c)²-2bc(1+cosA) 又b²+c²≥2bc 代入化简可得b+c最大值 因此三角形周长L=a+b+c最大值为…… 已知在中，角的对边分别为，且． (1)求的值； (2)若的周长为6，内切圆半径为，求的值． 在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，，． (1)求c的值； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得为钝角三角形，求边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的周长为18． 已知的内角所对的边分别是，且． (1)求； (2)若的周长为，外接圆的周长为，，，求． 1．在中，内角的对边分别为，且 (1)求角； (2)若，且边上的中线，求的周长． 2．已知函数． (1)写出函数的极大值点构成的集合，以及内所有的严格增区间； (2)在中角所对的边分别是若，且，求的周长． 3．已知中，角，，的对边分别为，，，且 (1)求角； (2)若，的面积为，求的周长． 4．在中，角，，所对的边分别为，，，向量，，且. (1)求角； (2)若，且的面积为，求的周长. 5．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求； (2)若，求的周长． 6．在中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若，，求的周长. 7．在中内角的对边分别为，且． (1)若的平分线交于点的面积为，求长； (2)若，求当周长最小时的值． 【题型2：三角形涉及长度最值问题】 一、题型总归类 已知一边一角（a，A），求：1. 边长b、c最值与范围2. b+c周长类最值3. bc乘积最值 二、bc乘积最值（所有最值根基） 已知 a，角A 由余弦定理：a² = b² + c² - 2bc cosA 由基本不等式 b²+c² ≥ 2bc 代入得：a² ≥ 2bc - 2bc cosA，a² ≥ 2bc(1 - cosA) 推出：bc ≤ a² / [2(1 - cosA)] ，结论：b=c 等腰三角形时，bc取得最大值 三、b+c 周长最值（高频必考） 公式变形：a² = (b+c)² - 2bc(1+cosA) 1、最大值：依旧 b=c 等腰时，b+c最大，周长L=a+b+c最大 2、取值下限;由三角形两边之和：b+c > a 所以：a ＜ b+c ≤ 最大值，2a ＜ 三角形周长 ≤ 周长最大值 四、正弦定理求边长范围（标准大题写法） 2R = a / sinA，b = 2R sinB，c = 2R sinC，C = π - A - B，b+c = 2R[sinB + sin(A+B)] 化简用和差角、辅助角公式，根据 0＜B＜π-A，求出三角函数值域，直接得到边长范围 适用：所有严格大题步骤，不扣分 五、特殊角度秒杀结论 1、A=60°，b+c ≤ 2a，周长最大=3a，等边三角形取最值2、A=90°直角三角形，b+c ≤ √2 a 3、A为任意锐角，永远 b=c 等腰时，所有长度均取最大值 六、中线长度最值 已知a，A，BC边上中线ma，中线公式：4ma²=2b²+2c²-a²，b+c越大，中线越长，同样b=c等腰时，中线最长。 七、高线长度最值 ha = 2S / a，S最大→高最大，依旧等腰三角形高最大 八、角平分线长度最值 角平分线长度随bc增大而增大，依然 b=c 等腰时，角平分线最长 九、通用解题口诀 1、看到平方、乘积bc → 余弦+基本不等式 2、看到边长范围、角度范围 → 正弦定理+三角函数 3、定边定角所有最值：全部b=c等腰取最大 4、两边之和大于第三边，所有范围下限必写 5、周长、面积、中线、高、角平分线，最值条件完全一致 十、大题万能标准步骤（直接抄写） 由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA又b²+c²≥2bc代入整理可得bc最大值进而求出b+c最大值与取值范围 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，△ABC的面积为S，外接圆半径，且． (1)求b； (2)若 ，∠CBA的平分线交AC于D，求BD的长度． 在中，分别为内角的对边，且. (1)求角的大小； (2)若在（1）的条件下，有，求边的最小值. 已知中，内角所对的边分别为，且（其中为的面积）. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 1．在中，内角，，所对的边分别为，，，且． (1)求； (2)若，求的最大值． 2．在中，内角的对边分别为，已知． (1)求角的值； (2)若，且的面积． （i）求； （ii）已知，点分别在边上，且为等边三角形，求的最小值． 3．记的内角，，的对边分别为，，，已知点为线段上的一点，为的平分线，. (1)若，， （i）求角的大小： （ii）求的面积： (2)当时，求的最小值. 4．如图，已知为三个内角的对边，为边上一点，且. (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)求的取值范围. 5．已知的周长为，面积为，内角A、B、C对边分别是a、b、c，且. (1)求角； (2)若边长，求的最小值． 6．在锐角三角形中，角所对的边分别为，且满足： (1)证明：； (2)求的取值范围. 7．在中，角所对的边分别为．满足 (1)求角的大小； (2)设，求的值； (3)设，已知是边的中点，求的最大值． 【题型3：三角形涉及中线长问题】 一、中线长万能公式（必考核心） 三角形ABC中，BC边上中线为AD，4AD² = 2AB² + 2AC² - BC²即：4ma² = 2b² + 2c² - a² 二、公式用法 1. 已知三角形三边，直接求中线长度2. 已知两边+中线，求第三边3. 结合余弦定理，求中线对应角度 4. 结合最值，求中线取值范围、最大值最小值 三、中线与余弦定理关系 中线分割三角形，分成两个小三角形，左右两个三角形共用中线，互补角余弦互为相反数cos∠ADB = -cos∠ADC 四、中线+边长最值问题（高考高频压轴） 已知一边a，对角A，求BC边上中线ma最值 1. 由中线公式：4ma²=2b²+2c²-a²2. 只需要求b²+c²最值，即可求中线最值3. 由余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA 4. 由基本不等式：b²+c²≥2bc可得b²+c²有最小值，无上限最大值 重要结论 1. b=c（三角形等腰）时，b²+c²最小→ 中线ma取得最小值2. 三角形越扁，b+c越大，中线越长，无最大值3. 定边定角：中线只有最小值，没有最大值 五、中线与周长、面积关系 1. 三角形面积固定时，中线越短，三角形越规整2. bc越大，面积越大，中线越长3. 周长越大，中线整体越长 六、正弦定理处理中线范围 1. 2R=a/sinA，b=2RsinB，c=2RsinC 2. b²+c²=4R²(sin²B+sin²C) 3. 降幂扩角化简，利用角范围求值域 4. 代入中线公式，得到中线完整取值范围 七、中线秒杀规律总结 1. 任意三角形，两边平方和越大，中线越长2. 底边固定，顶角固定中线最小值在等腰三角形取得 3. 底边固定，顶角变化顶角越小，中线越长；顶角越大，中线越短4. 直角三角形斜边中线=斜边一半，定值不变 八、大题标准解题步骤（直接抄写） 设BC边上中线为AD，由三角形中线长公式可得4AD²=2b²+2c²-a²由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA结合基本不等式b²+c²≥2bc求出b²+c²范围，代入即可得到中线AD的取值与最值 九、易混易错点 1. 面积最值、周长最值：等腰取最大2. 中线长度最值：等腰取最小，不要记反3. 互补角余弦互为相反数，不要符号出错4. 中线公式不要系数写错，是4倍平方，不是2倍 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，满足. (1)求角C的大小； (2)若，边上的中线的长为，求的面积； (3)若内角C的角平分线交于D点，且，求的面积的最小值. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角C的大小； (2)求b的取值范围； (3)边AB的中点为D，求中线CD的长度的取值范围. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，． (1)求A； (2)若，求中线的长； (3)若的内切圆半径，求的面积S. 1．已知分别为三个内角的对边，且． (1)求角； (2)若为锐角，边上的中线，求的面积最大值． 2．记的内角的对边分别为，已知. (1)求角A； (2)已知边上的两条中线相交于点，且，求的余弦值. 3．在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为. (1)求边所在直线的一般式方程； (2)求的面积. 4．在中，内角的对边分别为，且， (1)求角； (2)若，且边上的中线，求的面积. 5．在中，(为的面积). (1)求； (2)从下面三个条件中选择两个作为已知，使得存在，求的周长.条件①：；条件②：；条件③：边上的中线等于. 6．在中，. (1)求A; (2)若的周长为20，面积为，D是BC边上一点，从条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段AD 的长. 条件①:AD 是BC 边上的中线；条件②:AD 是的平分线. 7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，已知 (1)求 (2)若，，的面积为. ①求; ②设BC，AC边上的两条中线AD，BE相交于点O，求. 【题型4：三角形涉及角平分线问题】 一、角平分线定理（必考基础） 在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于D则 AB/AC = BD/DC即 c/b = m/n 作用：快速分割边长比例，不用求角度 二、三角形内角平分线长度公式 △ABC，角A平分线长 ta ta = 2bc·cos(A/2) / (b+c) 三、角平分线与面积法 S△ABC = S△ABD + S△ACD，1/2 bc sinA = 1/2·c·ta·sin(A/2) + 1/2·b·ta·sin(A/2) 化简直接推出角平分线长公式，大题标准推导写法 四、角平分线+余弦定理推导法 △ABD与△ADC中，两角互补cos∠ADB = -cos∠ADC联立余弦定理，可求角平分线长度、边长 五、角平分线最值问题（高考高频压轴） 已知一边a，对角A，求角A平分线ta取值、最值 1. ta = 2bc cos(A/2) / (b+c) 2. 由基本不等式：b+c ≥ 2√bc 3. 代入得 bc/(b+c) ≤ √bc / 2 结论： 当b=c，△ABC等腰时角平分线长度取得最大值 底边固定，顶角固定，等腰三角形 → 角平分线最长 三角形越扁 → 角平分线越短，无下限 六、角平分线与周长、面积关系 1. bc越大，面积越大，角平分线越长2. b+c越大，角平分线越小3. 定边定角：面积最大时，角平分线同时最大 七、正弦定理求角平分线范围 1. 2R=a/sinA，b=2RsinB，c=2RsinC 2. 代入角平分线公式 3. 利用B+C=π-A，化简三角函数4. 根据角度范围求值域，得到角平分线完整范围 八、高频秒杀结论 1. 等腰三角形顶角平分线=中线=高线，三线合一2. 定边定角：角平分线最大值 ↔ 面积最大值3. 角平分线越长，三角形越对称规整4. 角平分线永远小于夹两边b、c 九、大题标准满分步骤（直接抄写） ∵AD为∠BAC角平分线由三角形面积分割得S△ABC=S△ABD+S△ACD代入面积公式化简结合余弦定理与基本不等式求出bc与b+c范围，进而得到角平分线长度取值及最值 十、易错点总结 1. 不要把角平分线公式系数写错2. 互补角余弦互为相反数，符号不要出错3. 中线最小、角平分线最大，千万不要记反4. 面积拆分法永远比硬套公式更不容易扣分 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)证明：. (2)若，A的角平分线交BC于D，且，求a. 已知中，，，分别为内角，，的对边，且； (1)求角的大小； (2)设点为上一点，是的角平分线，且，，求的长度. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)求B； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． (3)若角B的角平分线交AC于D点，求BD长度的最大值． 1．已知的内角A、B、C的对边分别为，满足． (1)求A； (2)设点D为上一点，是的角平分线，且、，求的长度． 2．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且. (1)求； (2)已知的角平分线CD交AB于点，若，求的面积及CD的长． 3．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，点在BC边上． (1)若AD为的中线，求的值； (2)若AD为的角平分线，求线段AD长． 4．在中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求； (2)若 的面积为，内角 的角平分线交边于，，求 的长. 5．记的内角的对边分别为，已知． (1)求的值； (2)的角平分线交于点 ①证明：； ②若，求的最大值． 6．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求B； (2)若的角平分线交AC于点D，且，求BD． 7．记的内角的对边分别为，已知 (1)求 (2)的角平分线交于点，若，求的周长． 【题型5：三角形面积定值最值问题】 面积定值问题 1、已知三边 → 直接海伦公式 2、已知两边及夹角 → 直接1/2ab sinC 3、已知一边一角+周长/边长关系 → 算出bc定值，带入面积公式 特点：所有边长角度确定，面积唯一固定不变 面积最值问题 技巧：正规方法：面积公式+基本不等式 ① ② ③ 秒杀方法： 在中，已知, 则： 其中 分别是的系数 三角形面积公式 ① ②其中分别为内切圆半径及的周长 推导：将分为三个分别以的边长为底，内切圆与边相交的半径为高的三角形，利用等面积法即可得到上述公式 ③（为外接圆的半径） 推导：将代入可得 将代入 可得 ④ ⑤海伦公式（其中） 推导：根据余弦定理的推论 令，整理得 在中，角的对边分别为，满足. (1)求角的大小； (2)若，，求的周长； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 已知三内角的对边分别为，且． (1)求角的值； (2)若，求面积的最大值． 在中，角的对边分别为．且满足. (1)求角的大小； (2)若的面积，内切圆的半径为，求； (3)若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 1．在中，角的对边分别为．且满足． (1)求角的大小； (2)若的面积，内切圆的半径为，求； (3)若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 2．在中，角的对边分别为，满足. (1)求角的大小； (2)若，求周长的最小值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 3．在中，角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，，求周长. (3)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 4．如图，在平面四边形中，． (1)证明：； (2)已知，的外接圆半径为1，求面积的最大值． 5．已知分别是锐角三个内角的对边，且，． (1)求的值； (2)求面积的取值范围． 6．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求角A的大小； (2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 7．已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，. (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 17 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 五大类解三角形题型-2026年高考数学大题秒杀技巧及专项训练 【题型1 三角形周长定值及最值】 【题型2 三角形涉及长度最值问题】 【题型3 三角形涉及中线长问题】 【题型4 三角形涉及角平分线问题】 【题型5 三角形面积定值最值问题】 【题型1：三角形周长定值及最值】 一、题型判断 已知三角形一边a，对角A，求三角形周长取值范围、周长最大值 高考解三角形第二问必考压轴，两种通用解法 二、周长定值问题 1. 已知三边长度：周长=a+b+c，直接相加即可 2. 已知两边+两边夹角：先用余弦定理求出第三边，再求和 3. 已知面积+一边一角：先求出bc定值，再配方 特点：边长全部确定，周长唯一固定不变 三、周长最值·方法一：余弦定理+基本不等式（最快秒杀） 1. 余弦定理：a²=b²+c²-2bc cosA 2. 配方变形：a²=(b+c)²-2bc(1+cosA) 3. 均值不等式：b²+c²≥2bc 4. 推出bc最大值，进而得到b+c最大值 5. 周长L=a+b+c，算出周长最大值 核心规律： 当b=c，三角形为等腰三角形时，周长取得最大值 四、周长最值·方法二：正弦定理+三角函数值域（大题标准满分写法） 1. 外接圆直径：2R=a/sinA 2. 边化角：b=2RsinB，c=2RsinC 3. 内角关系：C=π-A-B 4. b+c=2R[sinB+sin(A+B)] 5. 和差公式化简，辅助角公式整理 6. 根据角B范围，求正弦函数值域 7. 直接得出b+c范围，进而得到周长范围 五、周长取值范围万能结论 已知a，角A 1. b+c＞a（三角形两边之和大于第三边） 2. b+c≤最大值（b=c时取等） 3. 周长范围：a+a ＜ L ≤ a+b+c最大值 即：2a ＜ 周长 ≤ 最大值 六、高频特殊角度秒杀结论 1. A=60°，a固定 b+c≤2a，周长最大值=3a，等边三角形取最大 2. A=90°，直角三角形 b+c≤√2 a，等腰直角周长最大 3. A为任意锐角 定边定角，永远等腰时周长最大 七、必考规律总结 1. 定边定角，面积最大 ↔ 周长最大，同一个等腰三角形 2. 一次式边角关系→正弦定理 3. 平方、最值、乘积bc→余弦+基本不等式 4. 范围题优先三角函数，填空选择优先不等式秒杀 八、大题标准答题模板（直接抄写不扣分） 由余弦定理可得 a²=b²+c²-2bccosA 即a²=(b+c)²-2bc(1+cosA) 又b²+c²≥2bc 代入化简可得b+c最大值 因此三角形周长L=a+b+c最大值为…… 已知在中，角的对边分别为，且． (1)求的值； (2)若的周长为6，内切圆半径为，求的值． 【答案】(1)(2)4 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦及同角公式求出； （2）利用三角形面积公式、正弦定理、余弦定理即可求解． 【详解】（1）在中，由及正弦定理得： ， 则， 整理得：， 即， 由，得，则， 两边平方得， 即 由，得， 解得，故； （2）由的周长为6，内切圆半径为， 得， 解得， 由余弦定理得，即， 整理得， 解得， ，又，解得， 因此． 在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，，． (1)求c的值； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得为钝角三角形，求边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的周长为18． 【答案】(1)5(2)选择条件①或③时，边上的高为；选择条件②时，不满足题意. 【详解】（1）因为，且，所以， 设外接圆半径为， 由正弦定理得 所以，即：，所以. （2）选择条件①： 由余弦定理，得，代入，，，得，则， 此时，所以，为钝角三角形， 设边上的高为，则 ，即 ，. 选择条件②： 若，则，所以， 由余弦定理得： ， 因为，，，所以，则是直角三角形，不满足题意. 选择条件③： 若周长为18，则， 由余弦定理得：， 联立解得：，， 所以，所以，为钝角三角形， 设边上的高为，则 ，即 ，. 已知的内角所对的边分别是，且． (1)求； (2)若的周长为，外接圆的周长为，，，求． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据已知条件，结合正弦定理、余弦定理及三角形内角关系计算求解； （2）根据已知条件，结合正弦定理及三角形内角关系、和角公式求出及，再利用坐标法求． 【详解】（1）已知，， 则①， 由正弦定理， 代入①化简得， 由余弦定理知， ， ． （2）已知外接圆的周长为，则，解得， 由正弦定理得， 周长为，即， ， 又， 由正弦定理得， 则， 展开得，即 ， ， ，则A为锐角，， ，， ， ， 而，故在的延长线上， 以为原点建立如图所示的坐标系， 则， 角，故，， ，， ， ， ， ． 1．在中，内角的对边分别为，且 (1)求角； (2)若，且边上的中线，求的周长． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）借助正弦定理将角化为边后，利用余弦定理计算即可得； （2）借助平面向量线性运算及模长与数量积关系计算可得，利用余弦定理计算可得，即可得、，从而可计算出，即可得其周长. 【详解】（1）由正弦定理将角化为边可得， 即，即， 由余弦定理可得，即， 故，即，又，故； （2），则 ，即， 由余弦定理可得， 故，， 则， 故的周长为. 2．已知函数． (1)写出函数的极大值点构成的集合，以及内所有的严格增区间； (2)在中角所对的边分别是若，且，求的周长． 【答案】(1)极大值点集合；严格增区间为和(2) 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，再结合正弦函数的性质求出极大值点的集合与内所有的严格增区间； （2）根据题目条件利用余弦定理求出后即可得到的周长. 【详解】（1）已知函数， 由，可得： 由辅助角公式可得：， 极大值点满足，解得， 故极大值点构成的集合为， 严格增区间由得，在内， 取得，取得，故严格增区间为和， （2）由得，结合解得， 由得，即，所以，又， 即或， 由余弦定理，得， 故三角形周长为. 3．已知中，角，，的对边分别为，，，且 (1)求角； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理及辅助角公式可得，根据的范围求解即可； （2）由面积公式可求得，由余弦定理可求得，即可得答案. 【详解】（1）由， 得， ，， ，， ，即，     ，， ，． （2）， ， 由余弦定理     得， ， ， 的周长为. 4．在中，角，，所对的边分别为，，，向量，，且. (1)求角； (2)若，且的面积为，求的周长. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由向量平行的坐标表示和正弦定理边化角得到，再结合，化简求解即可； （2）由三角形面积公式求得，再由余弦定理求得，即可求解. 【详解】（1）由得：， 边化角得：， 在中，， 故， 代入上式得：， 展开化简得：， 因为，， 两边同除以得：​， 又， 因此：； （2）由三角形面积公式， 代入， 得： 由，代入，， 得， 即， 因为，故， 故的周长为​. 5．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求； (2)若，求的周长． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由正弦定理可得，结合，即可求出； （2）由数量积的定义可求出，再由余弦定理求出，即可求出的周长. 【详解】（1）由正弦定理可得：， 因为，所以，即， 又因为，所以. （2）由， 所以，又因为， 由余弦定理可得：， 所以， 所以，所以， 所以的周长为：. 6．在中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若，，求的周长. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理对给定式子合理变形，再结合同角三角函数的基本关系求解即可. （2）结合题意得到，再利用同角三角函数的基本关系得到，最后结合余弦定理与三角形的周长公式求解即可. 【详解】（1）在中，因为， 所以由正弦定理得， 而，则，得到， 结合同角三角函数的基本关系可得. （2）因为，所以， 联立方程组，解得（负根舍去）， 由题意得，，由余弦定理得，解得（负根舍去）， 则的周长为. 7．在中内角的对边分别为，且． (1)若的平分线交于点的面积为，求长； (2)若，求当周长最小时的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）依题意有即 又由余弦定理有 又为中内角 又而 因为的面积为， 在中， （2）由（1）知． 设周长为，则 令， 当且仅当时周长取最小值． 故当周长最小时． 【题型2：三角形涉及长度最值问题】 一、题型总归类 已知一边一角（a，A），求：1. 边长b、c最值与范围2. b+c周长类最值3. bc乘积最值 二、bc乘积最值（所有最值根基） 已知 a，角A 由余弦定理：a² = b² + c² - 2bc cosA 由基本不等式 b²+c² ≥ 2bc 代入得：a² ≥ 2bc - 2bc cosA，a² ≥ 2bc(1 - cosA) 推出：bc ≤ a² / [2(1 - cosA)] ，结论：b=c 等腰三角形时，bc取得最大值 三、b+c 周长最值（高频必考） 公式变形：a² = (b+c)² - 2bc(1+cosA) 1、最大值：依旧 b=c 等腰时，b+c最大，周长L=a+b+c最大 2、取值下限;由三角形两边之和：b+c > a 所以：a ＜ b+c ≤ 最大值，2a ＜ 三角形周长 ≤ 周长最大值 四、正弦定理求边长范围（标准大题写法） 2R = a / sinA，b = 2R sinB，c = 2R sinC，C = π - A - B，b+c = 2R[sinB + sin(A+B)] 化简用和差角、辅助角公式，根据 0＜B＜π-A，求出三角函数值域，直接得到边长范围 适用：所有严格大题步骤，不扣分 五、特殊角度秒杀结论 1、A=60°，b+c ≤ 2a，周长最大=3a，等边三角形取最值2、A=90°直角三角形，b+c ≤ √2 a 3、A为任意锐角，永远 b=c 等腰时，所有长度均取最大值 六、中线长度最值 已知a，A，BC边上中线ma，中线公式：4ma²=2b²+2c²-a²，b+c越大，中线越长，同样b=c等腰时，中线最长。 七、高线长度最值 ha = 2S / a，S最大→高最大，依旧等腰三角形高最大 八、角平分线长度最值 角平分线长度随bc增大而增大，依然 b=c 等腰时，角平分线最长 九、通用解题口诀 1、看到平方、乘积bc → 余弦+基本不等式 2、看到边长范围、角度范围 → 正弦定理+三角函数 3、定边定角所有最值：全部b=c等腰取最大 4、两边之和大于第三边，所有范围下限必写 5、周长、面积、中线、高、角平分线，最值条件完全一致 十、大题万能标准步骤（直接抄写） 由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA又b²+c²≥2bc代入整理可得bc最大值进而求出b+c最大值与取值范围 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，△ABC的面积为S，外接圆半径，且． (1)求b； (2)若 ，∠CBA的平分线交AC于D，求BD的长度． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由已知等式结合三角形的面积公式和余弦定理化简可求出角，再利用正弦定理即可求解； （2）结合条件结合余弦定理化简可求出，的值，再利用等面积法得即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 由余弦定理得 ，所以 ， 又，所以；又因为外接圆半径， 则由正弦定理可得. （2）由（1）知，，，且， 由余弦定理可得，化简得， 所以，， 的平分线交AC于D，则， 在中，由等面积法得， 即， 即 所以. 在中，分别为内角的对边，且. (1)求角的大小； (2)若在（1）的条件下，有，求边的最小值. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，结合两角和的正弦公式计算即可得； （2）借助数量积公式可求出，再利用余弦定理结合基本不等式计算即可得. 【详解】（1）由正弦定理可得， 即， 又，故，故，则； （2）由，故， 由余弦定理可得， 当且仅当时，等号成立， 故边的最小值为. 已知中，内角所对的边分别为，且（其中为的面积）. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由三角形面积公式与向量数量积的定义化简计算即得角的大小； （2）由正弦定理化边为角，结合（1）的结论，利用和角公式与辅助角公式将待求式化成正弦型函数，根据题设条件与正弦函数的性质即可求得. 【详解】（1）因，且， 由，可得，所以， 又，则； （2）设的外接圆半径为，由正弦定理， ， 则 . 由为锐角三角形及，则，则，，     则，则，故， 即的取值范围是 1．在中，内角，，所对的边分别为，，，且． (1)求； (2)若，求的最大值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）首先根据正弦定理得到，再代入计算，再求得. （2）利用余弦定理和基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 即， 由余弦定理得. 因为，所以. （2）已知，由（1）知， 由余弦定理， 得， ，即， 　当且仅当时取等号， . 2．在中，内角的对边分别为，已知． (1)求角的值； (2)若，且的面积． （i）求； （ii）已知，点分别在边上，且为等边三角形，求的最小值． 【答案】(1)(2)（i）;（ii） 【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，利用两角差的余弦公式即可得解. （2）（i）利用三角形的面积公式及余弦定理得到，计算出的值，从而得到的值.（ii）法1：求出为直角三角形，且，设，求出，设，在中，由正弦定理求出，计算，从而得到．法2： 求出为直角三角形， 求出，设，，过点作垂直交于点，求出，由得到，从而得到，利用二次函数的图像和性质得到的范围． 【详解】（1）因为，所以， 所以， 所以； （2）（i）， ， 或（舍）， ,. （ii）法1： 为直角三角形，且，设， ， 设， 在中，由正弦定理得 ． 法2： 为直角三角形，且，设 ，设，， 过点作垂直交于点，， ， ， 又的对称轴为， ． 3．记的内角，，的对边分别为，，，已知点为线段上的一点，为的平分线，. (1)若，， （i）求角的大小： （ii）求的面积： (2)当时，求的最小值. 【答案】(1)（i）（ii）(2) 【分析】（1）（i)可利用正弦定理将边转化为角，再结合三角形内角和定理与两角和的正弦公式化简，进而求出角； (ii)先利用余弦定理求出b，再结合三角形面积公式计算面积; （2）可利用角平分线性质和余弦定理建立、的关系式，再结合基本不等式，即可求出的最小值. 【详解】（1）（i）已知，由正弦定理得 整理得即 左边，因此 因为，，所以，又，故 (ii) 设，在中，已知，，， 由余弦定理得代入得， 整理得，解得（负根舍去） （2）设，是角平分线，，代入面积公式： ，代入，得 由余弦定理，，且， 代入化简得 整理得 令，，得 由基本不等式， ，且，代入得 当且仅当时等号成立，故的最小值为. 4．如图，已知为三个内角的对边，为边上一点，且. (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)求的取值范围. 【答案】(1)2(2)(3) 【分析】（1）根据题意得出角的大小，然后通过计算即可； （2）利用正弦定理的边化角以及三角形三角的关系即可求解； （3）利用正弦定理的边化角以及三角形三角的关系构造新函数，利用函数的单调性即可求解. 【详解】（1）如图所示，，所以， （2）设，则， 所以在中，有， 所以，所以， 又因为，所以 所以， 因为，所以. （3）设，则，设外接圆半径为，则 因为，所以，因此.所以，所以 所以 设，则由已知可知，所以， 所以 任取，则， 所以，所以，所以 又因为，所以 所以，所以在上单调递减， 所以，即的取值范围是. 5．已知的周长为，面积为，内角A、B、C对边分别是a、b、c，且. (1)求角； (2)若边长，求的最小值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式即可求解. （2）由余弦定理可得结合基本不等式求出，即可求解. 【详解】（1）， 由正弦定理得 ， 在中， （2）由余弦定理可得：， 即 ， ， ，当且仅当时取等号 又 ∴当时，取到最小值为 6．在锐角三角形中，角所对的边分别为，且满足： (1)证明：； (2)求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据正弦定理、余弦定理，结合为锐角三角形证明即可. （2）根据为锐角三角形及（1）求出的范围，结合正弦定理对进行化简，进而求范围即可. 【详解】（1）在中，因为，由正弦定理可得，. 由余弦定理知，，则， 所以，即，所以， 所以或. 若，因为，所以，与已知条件矛盾，不满足. 故. （2）当为锐角三角形时，， 即：，所以. . 令，，则. 令，由对勾函数性质可知在上单调增， 所以，则， 所以，即， 所以 7．在中，角所对的边分别为．满足 (1)求角的大小； (2)设，求的值； (3)设，已知是边的中点，求的最大值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用三角恒等变换可得，结合角的范围即可求解； （2）根据余弦定理可得，利用余弦定理，同角关系式及二倍角公式可得，，然后利用和差角公式结合条件即得. （3）根据题意，结合余弦定理得，进而结合基本不等式得，再根据中线公式，结合余弦定理求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 因为，故，则， 又，所以. （2）由（1）知，，且，， 因为，即， 化简，解得（舍），，所以. 由， 则， 则，， 所以. （3）由（1）知，， 所以，由余弦定理得：， 因为，即，当且仅当时等号成立， 因为是边的中点，所以， 所以 ， 所以，即的最大值为. 【题型3：三角形涉及中线长问题】 一、中线长万能公式（必考核心） 三角形ABC中，BC边上中线为AD，4AD² = 2AB² + 2AC² - BC²即：4ma² = 2b² + 2c² - a² 二、公式用法 1. 已知三角形三边，直接求中线长度2. 已知两边+中线，求第三边3. 结合余弦定理，求中线对应角度 4. 结合最值，求中线取值范围、最大值最小值 三、中线与余弦定理关系 中线分割三角形，分成两个小三角形，左右两个三角形共用中线，互补角余弦互为相反数cos∠ADB = -cos∠ADC 四、中线+边长最值问题（高考高频压轴） 已知一边a，对角A，求BC边上中线ma最值 1. 由中线公式：4ma²=2b²+2c²-a²2. 只需要求b²+c²最值，即可求中线最值3. 由余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA 4. 由基本不等式：b²+c²≥2bc可得b²+c²有最小值，无上限最大值 重要结论 1. b=c（三角形等腰）时，b²+c²最小→ 中线ma取得最小值2. 三角形越扁，b+c越大，中线越长，无最大值3. 定边定角：中线只有最小值，没有最大值 五、中线与周长、面积关系 1. 三角形面积固定时，中线越短，三角形越规整2. bc越大，面积越大，中线越长3. 周长越大，中线整体越长 六、正弦定理处理中线范围 1. 2R=a/sinA，b=2RsinB，c=2RsinC 2. b²+c²=4R²(sin²B+sin²C) 3. 降幂扩角化简，利用角范围求值域 4. 代入中线公式，得到中线完整取值范围 七、中线秒杀规律总结 1. 任意三角形，两边平方和越大，中线越长2. 底边固定，顶角固定中线最小值在等腰三角形取得 3. 底边固定，顶角变化顶角越小，中线越长；顶角越大，中线越短4. 直角三角形斜边中线=斜边一半，定值不变 八、大题标准解题步骤（直接抄写） 设BC边上中线为AD，由三角形中线长公式可得4AD²=2b²+2c²-a²由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA结合基本不等式b²+c²≥2bc求出b²+c²范围，代入即可得到中线AD的取值与最值 九、易混易错点 1. 面积最值、周长最值：等腰取最大2. 中线长度最值：等腰取最小，不要记反3. 互补角余弦互为相反数，不要符号出错4. 中线公式不要系数写错，是4倍平方，不是2倍 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，满足. (1)求角C的大小； (2)若，边上的中线的长为，求的面积； (3)若内角C的角平分线交于D点，且，求的面积的最小值. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可； （2）解法一：根据余弦定理结合可求得，进而根据三角形的面积公式求解即可；解法二：根据结合平面向量的数量积的运算律可得，再根据余弦定理求得，进而根据三角形的面积公式求解即可； （3）利用等面积法可得，再根据基本不等式可得，进而根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）由 根据正弦定理，得， 则， 因为，所以，则，故. （2）解法一：因为，N为的中点，则， 由余弦定理可得，即， 在中，， 在中，， 因为，所以， 所以，解得， 故的面积为； 解法二：因为N为的中点，则， 所以， 即， 由余弦定理可得，即，所以， 故的面积为. （3）因为，角C的角平分线交于D点， 所以，又， 则由，得， 所以，由基本不等式可得，则，得， 当且仅当时，等号成立， 所以， 故面积的最小值为. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角C的大小； (2)求b的取值范围； (3)边AB的中点为D，求中线CD的长度的取值范围. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据正弦余弦二倍角公式，结合同角三角函数关系式中的商关系化简已知等式、两角和的正弦余弦公式进行求解即可； （2）根据锐角三角形的性质，结合正弦定理进行求解即可； （3）根据平面向量加法的几何意义、平面向量数量积的运算性质，结合辅助角公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，即 因为，所以， 则，即， 整理可得，即， 所以， 所以. （2）由正弦定理得， 因为锐角，所以， 所以，所以； （3）由余弦定理可得， 又， 则 ， 由正弦定理可得， 所以， 所以 由（2）知，则， 所以， 则， 则， 故中线的长度的取值范围为. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，． (1)求A； (2)若，求中线的长； (3)若的内切圆半径，求的面积S. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由正弦边角关系及三角恒等变换化简条件得，即可得； （2）由余弦定理得，结合列方程求； （3）应用等面积法、余弦定理得到，从而求出，即可求. 【详解】（1）由，可得. ， ，又，则， ，又， （2）在中， ，则， 在中，有，即， 在中，有，即， 又，则， 得 ，解得，得； （3）由， ，即， 由余弦定理得，得， ，即，解得 或（舍）， 所以. 1．已知分别为三个内角的对边，且． (1)求角； (2)若为锐角，边上的中线，求的面积最大值． 【答案】(1)或(2) 【分析】（1）先由正弦定理化简等式，结合两角和的正弦公式和三角形中角的范围计算角的大小； （2）根据平面向量运算以及基本不等式得，再根据三角形面积公式求最值. 【详解】（1）在三角形中，由正弦定理得： ． 中，，， ，， 或． （2）为锐角，， 为的中点，，， ，即， 根据重要不等式知：， ，当且仅当时，等号成立． 因此，的面积最大值为 2．记的内角的对边分别为，已知. (1)求角A； (2)已知边上的两条中线相交于点，且，求的余弦值. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换可得，即可得角A的大小； （2）以为基底向量，求，，利用向量的夹角公式求的余弦值. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 又因为， 即，即， 且，则，可得，即， 且，所以. （2）因为，， 由题意可知：， 又因为，， 则，即； ，即； 且； 可得， 所以的余弦值为. 3．在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为. (1)求边所在直线的一般式方程； (2)求的面积. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由题可得中线，与边所在高线均过A点，据此可得点A坐标，从而可得答案； （2）设，由中点在上，边与其高线垂直，可得C坐标，然后由（其中表示到BC距离）可得答案. 【详解】（1）由题可得中线，与边上的高线均过A点， 则A点坐标满足：，解得. 又，则，从而AB方程为： （2）设，由题可得中点在上， 则.边与其高线垂直，斜率为1， 则.将两方程化简联立：，则. 从而，其中， 表示到BC距离，又BC 方程斜率为，BC方程为：， 则，. 4．在中，内角的对边分别为，且， (1)求角； (2)若，且边上的中线，求的面积. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用余弦定理把角转化成边，再利用余弦定理可得答案； （2）法一：把向量关系式平方，联立余弦定理，解方程可得答案；法二：延长中线至点，使得，解可得答案；法三：利用平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和，以及余弦定理列方程，解方程可得答案；法四：以及余弦定理，列方程，解方程可得答案. 【详解】（1）由余弦定理：， 得：， 即：， 整理得：， 又由余弦定理： 故：. （2）法一：（向量法）由余弦定理，即. 而，得， 即，解得. 故. 法二：（倍长中线法）延长中线至点，使得. 在中，， 由余弦定理得， 即，余下同法一. 法三：（平行四边形法则）平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和. 即，即.余下同法一. 法四：（双余弦法）由，利用余弦定理得， 即，即.余下同法一. 5．在中，(为的面积). (1)求； (2)从下面三个条件中选择两个作为已知，使得存在，求的周长.条件①：；条件②：；条件③：边上的中线等于. 【答案】(1)(2)答案见解析 【分析】（1）利用余弦定理和面积公式代入已知即可求解； （2）选择①②：利用平方关系与和差公式求出，然后结合正弦定理求解即可；选择①③：利用平方关系与和差公式求出，根据正弦定理设出三边，再由余弦定理列方程求解可得；选择②③：此时边上的高大于边上的中线，不符合题意. 【详解】（1）由余弦定理，，又， 所以，得， （2）选条件①②：， ， 则. 由正弦定理得，解得：， 所以的周长为. 选条件①③：， ， 由正弦定理可得， 不妨设，设中点为， 由余弦定理 ， 由得，解得，所以的周长为. (注：若选条件②③，此时边上的高，边上的中线， 由于，不满足三角形中高不大于对应中线的性质，故该组合不成立.) 6．在中，. (1)求A; (2)若的周长为20，面积为，D是BC边上一点，从条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段AD 的长. 条件①:AD 是BC 边上的中线；条件②:AD 是的平分线. 【答案】(1)； (2)选择条件，答案见解析. 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式及和差角的余弦公式化简，再利用正弦定理角化边，余弦定理求解. （2）根据给定条件，利用三角形面积公式，结合（1）中信息求出，选择条件①，利用向量数量积运算律求解；选择条件②，利用三角形面积公式列式求解. 【详解】（1）在中，由， 得， 整理得，由正弦定理得， 由余弦定理得，而，所以. （2）令的内角所对边长分别为， 由的面积为，得，则， 由的周长为20，得，由，得， 即，解得， 选择条件①：AD 是BC 边上的中线，则， 所以. 选择条件②：AD 是的平分线，由， 得，则， 所以. 7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，已知 (1)求 (2)若，，的面积为. ①求; ②设BC，AC边上的两条中线AD，BE相交于点O，求. 【答案】(1)(2)①，；② 【分析】（1）利用和角公式和正弦定理，以及辅助角公式推理计算即得； （2）①利用余弦定理和三角形面积公式即可求得；② 先将分别用表示，再运用向量数量积的运算律和向量夹角的计算公式求出即得答案. 【详解】（1）由，可得， 由正弦定理得 因为， 所以 由于，则，所以. 又，则，故. （2）①由题意，的面积，可得①， 由余弦定理得，，且，所以, 则，因为，所以②， 因为，联立①和②解得，， ② 因为D，E分别是BC，AC的中点，O为AD，BE的交点， 所以，， 因为 ， ， 所以, 由题意，为锐角，则. 【题型4：三角形涉及角平分线问题】 一、角平分线定理（必考基础） 在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于D则 AB/AC = BD/DC即 c/b = m/n 作用：快速分割边长比例，不用求角度 二、三角形内角平分线长度公式 △ABC，角A平分线长 ta ta = 2bc·cos(A/2) / (b+c) 三、角平分线与面积法 S△ABC = S△ABD + S△ACD，1/2 bc sinA = 1/2·c·ta·sin(A/2) + 1/2·b·ta·sin(A/2) 化简直接推出角平分线长公式，大题标准推导写法 四、角平分线+余弦定理推导法 △ABD与△ADC中，两角互补cos∠ADB = -cos∠ADC联立余弦定理，可求角平分线长度、边长 五、角平分线最值问题（高考高频压轴） 已知一边a，对角A，求角A平分线ta取值、最值 1. ta = 2bc cos(A/2) / (b+c) 2. 由基本不等式：b+c ≥ 2√bc 3. 代入得 bc/(b+c) ≤ √bc / 2 结论： 当b=c，△ABC等腰时角平分线长度取得最大值 底边固定，顶角固定，等腰三角形 → 角平分线最长 三角形越扁 → 角平分线越短，无下限 六、角平分线与周长、面积关系 1. bc越大，面积越大，角平分线越长2. b+c越大，角平分线越小3. 定边定角：面积最大时，角平分线同时最大 七、正弦定理求角平分线范围 1. 2R=a/sinA，b=2RsinB，c=2RsinC 2. 代入角平分线公式 3. 利用B+C=π-A，化简三角函数4. 根据角度范围求值域，得到角平分线完整范围 八、高频秒杀结论 1. 等腰三角形顶角平分线=中线=高线，三线合一2. 定边定角：角平分线最大值 ↔ 面积最大值3. 角平分线越长，三角形越对称规整4. 角平分线永远小于夹两边b、c 九、大题标准满分步骤（直接抄写） ∵AD为∠BAC角平分线由三角形面积分割得S△ABC=S△ABD+S△ACD代入面积公式化简结合余弦定理与基本不等式求出bc与b+c范围，进而得到角平分线长度取值及最值 十、易错点总结 1. 不要把角平分线公式系数写错2. 互补角余弦互为相反数，符号不要出错3. 中线最小、角平分线最大，千万不要记反4. 面积拆分法永远比硬套公式更不容易扣分 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)证明：. (2)若，A的角平分线交BC于D，且，求a. 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）由正弦定理得， 得， 得. 因为，，所以，得. （2）由正弦定理，得.① 因为A的角平分线交BC于D，所以，. 在中，得，得. 在中，由正弦定理得， 得.② 由①②得，得（负根舍去）. 已知中，，，分别为内角，，的对边，且； (1)求角的大小； (2)设点为上一点，是的角平分线，且，，求的长度. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）在中，由正弦定理及得： ，化简可得：， 由余弦定理得，又，所以. （2）是的角平分线，则， 由可得 ， 因为，，即有，故. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)求B； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． (3)若角B的角平分线交AC于D点，求BD长度的最大值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由正弦定理可得：， 因为， 所以， 即， 由可得，即， 由，可得. （2）因为， 所以 ， 由三角形为锐角三角形可知，，解得， 所以，， 所以. （3）如图， 由余弦定理，， 即，当且仅当时，等号成立， 又， 化简可得，， 所以，当且仅当时等号成立. 故BD长度的最大值为. 1．已知的内角A、B、C的对边分别为，满足． (1)求A； (2)设点D为上一点，是的角平分线，且、，求的长度． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由正弦定理进行边化角，然后利用正切函数即可得到答案； （2）利用三角形的面积关系解出即可． 【详解】（1）已知， 由正弦定理得， ，， ，即， ，又， ； （2） 是的角平分线， 由（1）知，，则， 因为， 则， 因为，，即有， 故． 2．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且. (1)求； (2)已知的角平分线CD交AB于点，若，求的面积及CD的长． 【答案】(1)(2)， 【分析】（1）由三角恒等变换化简求解即可； （2）利用余弦定理及面积公式解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 又因为，所以，可得， 又因为，所以. （2）由（1）知，又， 利用余弦定理得，可得， 因为，所以， 所以的面积，     又因为的角平分线CD交AB于点， 所以， 可得， 解得. 3．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，点在BC边上． (1)若AD为的中线，求的值； (2)若AD为的角平分线，求线段AD长． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由余弦定理求出，再由进行计算； （2）根据，结合三角形的面积公式即可得解. 【详解】（1）因为，由余弦定理知， 即，解得或（舍去）， 因为AD为的中线， 则； （2）因为为的角平分线， 所以， 即，解得. 4．在中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求； (2)若 的面积为，内角 的角平分线交边于，，求 的长. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式进行化简得到，结合同角的三角函数关系求解即可. （2）根据三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）由及正弦定理，得， 因为，所以， 则有，即， 所以，整理得， 又，所以， 则，即， 由，得，解得， 又，所以. （2） 由，得，又，所以， 又， 因为内角的角平分线交边于，所以， 所以， 解得. 5．记的内角的对边分别为，已知． (1)求的值； (2)的角平分线交于点 ①证明：； ②若，求的最大值． 【答案】(1)2(2)①证明见解析；②． 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦及正弦定理角化边求解. （2）①由结合角平分线，利用三角形面积公式，结合余弦定理推理得证；②由①的信息，利用基本不等式求出最大值. 【详解】（1）在中，由正弦定理及， 得 . （2）①的角平分线交于点，， 即，由，得， 由余弦定理得：， 则，所以. ②由①得， 当且仅当，即时取等号，所以取得最大值. 6．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求B； (2)若的角平分线交AC于点D，且，求BD． 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）已知条件结合余弦定理，求出，可得； （2）根据角平分线性质得，结合余弦定理解出的值，由三角形面积的分割关系列出等式，求解的长度. 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以，因为，所以； （2）因为，所以， 因为BD平分，所以，即， 由（1）知，，解得，， 因为，所以， 整理得. 7．记的内角的对边分别为，已知 (1)求 (2)的角平分线交于点，若，求的周长． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）先利用余弦定理求出，再结合题意建立方程组求出即可. （2）作出符合题意的图形，先利用等角对等边求出，结合两角和的正弦公式求出，利用正弦定理求出，最后求解周长即可. 【详解】（1）因为，所以， 则，由余弦定理得， 因为，所以，则，由题意得， 联立两式，得到，解得 . （2）如图，作出符合题意的图形，    因为的角平分线交于点，所以， 则，得到，故， 而， 而，则在中，由正弦定理知， 解得，故的周长为. 【题型5：三角形面积定值最值问题】 面积定值问题 1、已知三边 → 直接海伦公式 2、已知两边及夹角 → 直接1/2ab sinC 3、已知一边一角+周长/边长关系 → 算出bc定值，带入面积公式 特点：所有边长角度确定，面积唯一固定不变 面积最值问题 技巧：正规方法：面积公式+基本不等式 ① ② ③ 秒杀方法： 在中，已知, 则： 其中 分别是的系数 三角形面积公式 ① ②其中分别为内切圆半径及的周长 推导：将分为三个分别以的边长为底，内切圆与边相交的半径为高的三角形，利用等面积法即可得到上述公式 ③（为外接圆的半径） 推导：将代入可得 将代入 可得 ④ ⑤海伦公式（其中） 推导：根据余弦定理的推论 令，整理得 在中，角的对边分别为，满足. (1)求角的大小； (2)若，，求的周长； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）因为，所以， 由余弦定理可得， 因为，所以解得. （2）由余弦定理可得， 因为，所以解得， 因此的周长为. （3）由正弦定理可得， 所以，， 因为，所以， 则 ， 因为是锐角三角形，所以，即， 解得，即， 所以，即， 因为， 所以，即面积的取值范围是. 已知三内角的对边分别为，且． (1)求角的值； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）根据正弦定理得： 中，因此， 代入上式消去得： 因为，，两边同除以整理得： ， 由得，因此，即， （2）由余弦定理，代入、得： 由基本不等式，得： 即，当且仅当时取等号， 的面积， 代入的最大值得： 因此面积的最大值为. 在中，角的对边分别为．且满足. (1)求角的大小； (2)若的面积，内切圆的半径为，求； (3)若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 因为，则，可得， 又因为，则，， 可得，即， 可得，所以. （2）由（1）知， 则的面积，即， 又因为内切圆的半径为，则， 可得，即， 由余弦定理可得， 即，解得. （3）因为的平分线交于，由（1）知， 则， 又， 可得， 又， 则， 则，可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的面积最小值为. 1．在中，角的对边分别为．且满足． (1)求角的大小； (2)若的面积，内切圆的半径为，求； (3)若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用和角公式及诱导公式化简，借助于同角三角函数式和特殊角的函数值即得答案； （2）由三角形面积公式得，由等面积法得出，结合余弦定理即可求得边； （3）根据等面积法，可得与的关系，再利用基本不等式求得的最小值，继而可得三角形面积最小值． 【详解】（1）由，得， 所以， 所以，即. 因为，所以. （2）由题可知，化简得. 由余弦定理知，即， 所以，解得.    （3）因为的面积为， 所以. 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，所以，即， 所以的面积， 当且仅当时，的面积取得最小值，最小值为.      2．在中，角的对边分别为，满足. (1)求角的大小； (2)若，求周长的最小值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由余弦定理计算即可求解； （2）由题意可得，根据基本不等式计算即可求解； （3）由正弦定理将化为关于角的函数，根据正弦函数性质及三角形面积公式计算求解. 【详解】（1）因为，所以， 由余弦定理可得， 因为，所以； （2）因为， 所以， 由基本不等式可知，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以当时，周长有最小值为； （3）由正弦定理可得，所以，， 因为，所以， 则 ， 因为是锐角三角形，有，即， 所以，，， 因为， 所以，即面积的取值范围是. 3．在中，角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，，求周长. (3)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1)(2)6(3) 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，再结合三角形内角和定理与三角恒等变换公式，推导出角的三角函数值，进而确定角的大小； （2）先利用三角形面积公式求出边的长度，再结合余弦定理求出边的长度，最后将三边相加得到周长； （3）利用正弦定理将另外两边用角表示，再结合锐角三角形的条件确定角的取值范围，最后代入三角形面积公式，利用三角恒等变换与三角函数的性质求出面积的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理，得： ， 代入原等式：， 整理得， 因为， 所以， 由于，所以，所以， 又，所以； （2）因为且，所以， 由余弦定理可得， 则，解得， 所以，即的周长为； （3） ， 因为是锐角三角形，又， 所以，解得， 所以，则， 从而. 4．如图，在平面四边形中，． (1)证明：； (2)已知，的外接圆半径为1，求面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）利用正弦定理和角的关系可证结论； （2）利用正弦定理、余弦定理以及根与系数关系即可得，再利用三角形面积公式得到面积表达式，再求出的范围即可得到最值. 【详解】（1）证明：设， 因为，所以， 在中，由正弦定理得，， 在中，由正弦定理得，， 所以. （2）因为的外接圆半径为1， 由正弦定理，得， 在中，由余弦定理得， 即，① 在中，同理可得，② 由①②可知，是关于的方程的两根， 所以． 的面积为. 由，得到， 又因为，所以， 所以 即面积的最大值为. 5．已知分别是锐角三个内角的对边，且，． (1)求的值； (2)求面积的取值范围． 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根据正弦定理和辅助角公式求出，再由已知条件结合正弦定理求得； （2）先根据正弦定理求出的关系式，然后根据的范围求出的范围，最后利用三角形面积公式即可求得其面积的范围. 【详解】（1）在锐角中，由正弦定理得， 又， ∵， 所以， 则， 在锐角中，， ，即. ， （2）由（1）得， 由正弦定理：，得 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以， 所以， 故面积的取值范围为． 6．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求角A的大小； (2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得； （2）依题意可得，根据数量积的运算律得到，再由均值不等式求出的最大值，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 则， 即， ， ，，则， ，. （2）因为是中点，所以. 两边平方得 . 所以，即， 又由均值不等式得， 当且仅当时等号成立，所以， 所以，即面积的最大值为. 7．已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，. (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3). 【详解】（1）由及正弦定理可得，即， 因为，则，所以，即， 由余弦定理可得，所以， 所以，由正弦定理可得 ， 因为为锐角三角形，故，，所以， 又函数在上单调递增，且，故，即. （2） ， 因为为锐角三角形，故，解得， 又因为，可得，故角的取值范围是， 所以，故， 令，， 任取、且， 则 ， 因为，所以，则，所以， 所以函数在上为增函数，故， 故的取值范围是. （3）由正弦定理可得，所以，， 所以 ， 因为，所以， 令，函数、在上均为减函数， 故函数在上为减函数，所以，即， 因此，即面积的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司2 / 62 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $