专题06 五大类导数题型-2026年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练（全国通用）

专题06 五大类导数题型-2026年高考数学大题秒杀技巧及专项训练 【题型1 利用导函数图象研究函数的单调性问题（含参讨论问题）】 【题型2 利用导函数研究恒成立能成立问题】 【题型3 利用导函数研究函数零点问题】 【题型4 利用导函数研究函数切线问题】 【题型5 利用导函数研究函数的极值点偏移问题】 【题型1：利用导函数图象研究函数的单调性问题（含参讨论问题）】 一、核心基础理论 1、函数单调性与导数关系 设函数 y=f(x) 在定义域内可导： f'(x)>0，函数单调递增； f'(x)<0，函数单调递减； f'(x)=0，为驻点，可能是极值点，也可能不是。 2、利用导函数图像判单调性核心逻辑 看导函数图像在x轴上方：对应原函数单调递增； 看导函数图像在x轴下方：对应原函数单调递减； 导函数图像与x轴交点：是原函数单调区间分界点、极值可疑点； 导函数正负改变：原函数有极值；正负不变：无极值。 3、含参导数单调性解题总步骤 第一步：求定义域（优先写，分式、对数、根式必看）； 第二步：求一阶导数 f'(x)，整理因式分解成便于判根形式； 第三步：求导函数对应方程 f'(x)=0 的根； 第四步：含参分类讨论：参数影响根的个数、根的大小、根是否在定义域内； 第五步：画导函数简易图像/列表判符号； 第六步：写出原函数单调递增、递减区间。 二、含参讨论四大核心分类依据（高考必考） 1、按二次项系数分类（导数为二次型） 系数大于0、等于0、小于0，决定抛物线开口方向。 2、 按判别式Δ分类 Δ>0：两个不等实根； Δ=0：一个重根； Δ<0：无实根，导函数恒正或恒负。 3、按根的大小关系分类 两根x1,x2，讨论x1>x2、x1=x2、x1<x2。 4、按根是否在定义域内分类 根在定义域内：参与划分单调区间； 根不在定义域内：直接舍去，只看定义域内导函数符号。 三、常见导数类型+含参讨论模板 类型1：一次型导数 f'(x)=ax+b 1、a=0：f'(x)=b b>0：定义域内单调递增； b<0：定义域内单调递减； b=0：常函数，无单调性变化。 2、a>0：导数单调递增，找零点分区间； 3、a<0：导数单调递减，找零点分区间。 类型2：二次型导数 f'(x)=ax2+bx+c（最高频考点） 分类顺序： 1、先讨论 a=0 退化为一次函数； 2、再讨论 a≠0，看开口 a>0、a<0； 3、计算Δ=b2-4ac： Δ<0：导函数恒正(a>0)或恒负(a<0)，全程单调； Δ=0：唯一驻点，左右导数同号，原函数无极值，全程单调； Δ>0：求出两根x1,x2，比较大小，再看是否在定义域内，划分三段判单调性。 类型3：分式型导数（含对数函数常见） 形式：f'(x)=(二次/一次式)/含x因式 1、先写定义域 x>0 等； 2、分母符号固定恒正/恒负，只需研究分子正负； 3、转化为分子一次/二次含参讨论，同上面模板； 4、分母不能为0，断点单独排除。 类型4：指数型含参导数 f'(x)=exg(x) ex>0恒成立，只需研究g(x)正负，直接降维成一次、二次含参讨论。 四、导函数图像判单调性秒杀技巧 1、不用精确画图，只需草图：开口、零点、与x轴交点； 2、从左到右看图像：上增下减； 3、导函数由负变正：原函数极小值点； 4、导函数由正变负：原函数极大值点； 5、导函数始终在x轴上方：原函数全程递增； 6、导函数始终在x轴下方：原函数全程递减。 五、高考标准答题格式（直接套用） 1、函数定义域：xxx 2、求导得：f'(x)=xxx，整理因式分解 3、令 f'(x)=0，解得根：xxx 4、分类讨论： 情况一：参数取何值时…… 情况二：参数取何值时…… 5、列表/由导函数符号可知： x( , ) 时，f'(x)>0，f(x) 单调递增； x( , ) 时，f'(x)<0，f(x) 单调递减。 六、易错点总结 1、忘记先写定义域，直接求导讨论，扣分； 2、二次含参跳过Δ讨论，直接求根； 3、两根大小不讨论，默认大小固定； 4、求出的根不在定义域内，还强行划分区间； 5、导函数等于0的点，不验证左右符号，直接判定极值； 6、含参分类讨论遗漏边界值（等于0的情况）。 已知函数，. (1)讨论函数的单调性. (2)若存在，使得. （i）求的值； （ii）证明： 【答案】(1)当时，函数在区间上单调递增；当时，函数在区间，上单调递减，在区间上单调递增；当时，函数在区间上单调递减. (2)（i）1；（ii）证明见解析 【详解】（1）因为，， 则， 令，， 当时，，此时函数在区间上单调递增； 当时，函数的对称轴为，， 当时，，， 当时，即时，在区间上恒成立， 此时函数在区间上单调递减； 当时，即时，有两个不等实根分别为，， 此时函数在区间，上单调递减， 在区间上单调递增； 当时，，，此时在区间上恒成立， 所以函数在区间上单调递增. 综上所述，当时，函数在区间上单调递增； 当时，函数在区间，上单调递减， 在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递减. （2）依题意可知，，，为函数的三个零点，由（1）可知，当时，符合题意， 又，且， 则， 又，所以是函数的一个零点，因为，则， 当时，，又， 所以在区间上存在唯一零点， 同理可得，在区间上存在唯一零点， 又因为， 且，所以， 据此可知，当时，有三个零点，，，且，. （i）. （ii）证明：由上可知， 又函数在区间上单调递增， 且， 所以， 又因为，所以，所以， 即成立. 已知函数 (1)当时，求函数的最小值； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若函数存在两个极值点，设为的极小值点，为的零点，证明：． 【答案】(1)最小值为． (2)当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； (3)证明见解析 【详解】（1）当时，，， 所以当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增． 所以，故的最小值为． （2）， 当时，令，得或， 当时，， 所以当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递增； 此时在上单调递增． 当时，， 所以当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增． 当时，， 所以当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增． 综上：当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； （3）由（2）知当时，显然仅有一个极值点， 当时，存在两个极值点， 且，， 又由于且当时，， 所以在存在唯一零点． 若，由（2）知，则成立． 若，则 要证，只需证，即证， 即证，只需证． 设，则， 所以当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以， 设 ，则 ，（），故在上单调递减， 所以，即 当时，， 所以 所以在上恒成立， 故当时，成立． 综上，成立． 已知函数（），. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，对任意，都有； (3)若方程没有实根，求整数的最小值. 【答案】(1)当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减. (2)证明见解析 (3)1 【详解】（1）解：的定义域为，， 当时，恒成立，在区间上单调递增； 当时，令，得， 在区间上单调递增，在区间上单调递减. 综上，当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减. （2）证明：当时，，要证， 即证，即. 设， 则， 令（），则， 故当时，，在区间上单调递增， 当时，，在区间上单调递减. 故， 所以当时，，当时，， 所以在处取最小值， 故恒成立，原不等式得证. （3）解：方程可化为，所以. 记，，则. 记， 则. 记， 则， 故函数在区间，上单调递增，在区间上单调递减， 又，，当时，， 故当时，，即，在区间上单调递减， 由，， 根据零点存在性定理可知存在，使得，即. 且当时，单调递增，当时，单调递减， 故， 且，当时，， 设（），则， 设（），则， 所以， 所以在区间上单调递减， 且，，所以， 所以若没有实数根，则整数的最小值为1. 1．已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减；在上单调递增 (2) 【详解】（1）由题意得， 当时，，在上单调递减， 当时，令，，是增函数， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减；在上单调递增. （2）当时，由（1）知在上单调递减，不合题意， 当时，恒成立， 当时，由（1）知在上单调递减；在上单调递增， ， 即，解得， 综上，实数m的取值范围为. 2．已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)设函数，求函数的极值点的个数； (3)若存在，且，，证明：. 【答案】(1)见解析 (2)1 (3)见解析 【详解】（1）解：定义域为， ， 当时，恒成立， 当时，时，， 时，， 综上：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减， 上单调递增； （2）因为， 所以， 由，得，所以在上单调递增， 又，所以时，时，， 又恒成立， 所以当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 故存在唯一的极小值点，即极值点的个数为； （3）由题得， 即， 由(2)知，在上单调递增， 不妨设，则，即， 所以， 即， 下面证明，即证明， 令，即证，即证， 令， 则， 所以在上单调递减， 即，即， 所以，即， 所以． 3．已知函数. (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若，，讨论的单调性； (3)若对任意的，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增； 当时，增区间为和，减区间为； (3) 【详解】（1）因为，所以， 所以定义域为，， 当时，，而，所以切线方程为； （2）当，时，， 因为，所以， 若，即时，，此时在上单调递增， 若，即时，令，得或， 令，得，所以在和上单调递增， 在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增； 当时，增区间为和，减区间为； （3）因为，对，恒成立，且， 故，即， 所以，对，恒成立，当时满足条件； 当时，，即； 当时，，即，所以， ，令得，，所以 ①当时，，， 则在上单调递增，当时，，不满足题意； ②当时，，令，则， 所以在上单调递增，当时，，不满足题意； ③当时，，令得， 所以在上单调递减，当时，，不满足题意； ④当时，，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以， 令，则， 因此，不满足题意； ⑤当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，故，满足题意. 综上可知，的取值范围为. 4．设函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增； (2)证明见解析. 【详解】（1）函数的导数为， 当时，恒成立，故，所以在上单调递增； 当时，令 ，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上所述：当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增. （2）由（1）知，当时，在处取得最小值， 因此，对任意，有. 只需证明 ，即 令，. 求导得， ，故在上单调递增. 由知，当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增. 所以在处取得最小值. 因此，即成立，等号当且时取得. 5．已知函数． (1)讨论在其定义域上的单调性； (2)当时，若，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）的定义域为求导有， 令，则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以，则有，所以在单调递减； （2）当时，等价于， 即， 令，则， ①若，即，则，在上单调递减，所以，满足题意； ②若，即，令，得， 当时，，在单调递增， 当时，在单调递减， 所以， 令，是减函数， 又，所以，与条件矛盾， 综上，所以． 6．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若有两个极小值点，，且对任意满足条件的，都有恒成立，求符合条件的整数m的最大值． 【答案】(1) (2)当时，，单调递减；当时，，单调递增． (3)2． 【详解】（1）当时，，则， 则，所以曲线在点处的切线方程为． （2）， 令，则， 若，则，所以在上单调递增，所以， 若，则当时，，单调递减；当时，，单调递增，故， 因此当时，，单调递减；当时，，单调递增． （3）由（2）知时不符合题意； 当时，易知在上单调递减，在上单调递增，，且，，当时，，故存在，使，又，故， 则当时，，，单调递减；当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；当时，，，单调递增，故，为的两个极小值点，且满足则令，得 则， 令，则， 令，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减，，，， 故在内存在唯一零点，即，且当时，，，则单调递减；当时，，，则单调递增， 故， 由，得， 故整数的最大值为2． 7．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若对，恒成立，求的值； (3)证明：. 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【详解】（1）函数的定义域为，， 当时，，所以函数在上单调递减， 当时，令，解得：， 当时，时，，时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，时，，时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减. 综上所述：当时，函数在上单调递减, 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）因为，所以由（1）知不符合题意，故， 若，则，由（1）知当时，，不符合题意； 若，则，由（1）知当时，，不符合题意； 所以实数的值为. （3）证明：要证， 即证， ， 即证：， 由（2）知，在上恒成立，其中当且仅当时等号成立， 于是对恒成立， 分别令代入上式， 可得：， 将上述个不等式左右两边分别相加得： ， , 所以， 所以. 【题型2：利用导函数研究恒成立能成立问题】 一、基本概念区分 1、恒成立：对定义域内所有x，不等式都成立。 2、能成立（存在性）：定义域内至少有一个x，不等式成立。 二、四大核心转化口诀 1、恒成立求最值，能成立求最值； 2、大于恒成立：大于最大值； 3、小于恒成立：小于最小值； 4、大于能成立：大于最小值； 5、小于能成立：小于最大值。 三、标准等价转化公式（必背） 设函数 f(x) 在区间 D 上有最值： 1、, f(x)>a 恒成立⇔ f(x)min > a 2、,f(x)≥a 恒成立⇔f(x)min≥a 3、,f(x)<a 恒成立⇔f(x)max < a 4、,f(x)≤a 恒成立⇔f(x)max≤a 5、,f(x)>a 能成立⇔f(x)max > a 6、,f(x)≥a 能成立⇔f(x)max≥a 7、,f(x)<a 能成立⇔f(x)min < a 8、,f(x)≤a 能成立⇔f(x)min≤a 四、解题通用步骤 1、确定函数定义域、给定区间； 2、构造函数，把参数分离到不等式一边； 3、求导，研究函数单调性、极值、最值； 4、套用上面恒成立/能成立最值等价关系； 5、解参数不等式，写出取值范围。 五、两大主流解题方法 方法一：参变量分离法（首选、高考最爱） 适用：容易把参数a单独分到一边的题型 步骤： 1、把含x放一边，含参数a放另一边； 2、变形为 a>g(x)、a<g(x) 形式； 3、求g(x)在区间上的最大/最小值； 4、直接转化为参数范围。 优点：不用分类讨论，计算简单，不易漏情况。 方法二：不分离参数 + 含参单调性讨论 适用：无法分离参数、分离后函数太复杂的题型 步骤： 1、构造 F(x)=f(x)-a 构造新函数； 2、求导，含参讨论单调性（二次型、一次型常规讨论）； 3、求函数在区间上的最值； 4、利用最值满足恒成立/能成立列不等式； 5、解出参数范围。 六、双函数型恒成立、能成立（高频压轴） 已知 f(x),g(x) 同一区间 D 1、,f(x)≥g(x)恒成立⇔ [f(x)-g(x)]min ≥ 0 2、,f(x)≥g(x)能成立⇔ [f(x)-g(x)]max≥0 3、任意x1、存在x2型（双变量） ,,f(x1)≤ g(x2)⇔ f(x)max≤g(x)max ,,f(x1)≥ g(x2)⇔f(x)min≥g(x)min 七、常见易错陷阱 1、混淆恒成立和能成立最值：恒成立看另一边最值，能成立看同侧最值； 2、忽略定义域、区间开闭，最值取不到时等号取舍出错； 3、参变分离后函数在区间无最值，需用极限趋势判断； 4、含参讨论时漏掉二次项系数为0、判别式分类； 5、双变量任意、存在搞反最大最小对应关系。 八、考场标准答题模板 1、由题意，定义域为xxx； 2、不等式等价变形，分离参数得：a > g(x)； 3、令 g(x)=...，求导得 g’(x)=...； 4、列表判断单调性，求出 g(x) 在区间上最值； 5、由恒成立/能成立条件得参数不等式； 6、解得参数取值范围为xxx。 函数. (1)当时，求函数在的单调区间； (2)若存在，使得成立，求的取值范围； (3)若函数有两个零点、，且，求的取值范围. 【答案】(1)单调递减区间是，单调递增区间是 (2) (3) 【详解】（1）解：当时，，可得， 令，可得， 因为和在为单调递增函数，可得在单调递增， 所以，所以在单调递增， 又因为， 所以当时，；时，； 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是. （2）解：由不等式，可得， 即， 因为存在，使得成立，即在上有解， 令，则有解， 构造函数，则， 当时，；当时，， 所以在递减，在递增，所以，即， 又因为函数在单调递增， 所以当时，可得，即， 所以实数的取值范围为. （3）解：函数有两个零点，即有两个不同的解， 即有两个不同的解， 令，且为单调递增函数，可得， 当时，的两个解为，即，则，即， 令，则，且，所以，， 所以， 构造函数，可得， 令， 则， 所以在单调递增，则， 所以恒成立，所以在单调递增， 可得， 又因为时，，所以. 已知，函数. (1)当时，求函数的极小值； (2)证明：当时，对任意，，都有； (3)若存在，，，使得成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由，得. 令，解得，， 当时，；当时，； 当时，. 所以在、上单调递增，在上单调递减， 因此，的极小值为； （2）当时，，其中时取等号， 所以为增函数， 对任意的，，不妨设，则， 又， 所以为增函数，得，即， 故； （3）由题意，不妨设，， 因为，所以， 整理得，， 令，，. ①当时，， 此时. ②当时，令，解得， 因此，在上单调递减，在上单调递增，故， 法一：因为， 又因为，得，即 所以， 记，， 则， 因为，所以， 即， 因此，当时，， 又， 综上，， 法二：求最小值的第二种解法. 令，因为，，所以， 下证：， 因为 ， 只需证：， 只需证：， 令，则， 因为， 所以，即恒成立， 因此，， 令，则，对于，， 所以，当且仅当时，. 所以a的取值范围是. 已知函数 (1)若，求函数的单调区间； (2)若对任意，恒有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间 (2) 【详解】（1）解：当时，函数，且， 可得， 当时，，可得； 当时，，可得， 当时，， 综上可得，当时，恒成立， 所以在区间上单调递增，无单调递减区间. （2）解：函数，定义域为， 若对于任意时，恒成立，即， 可得在上恒成立， 令，可得， 当时，由，可得， 当时，可得， 当时，由，可得， 综上，当时，，所以在上单调递减， 当时，由，此时，所以 因为在上恒成立，即，所以， 经验证： 当时，，可得， 当时，由，可得，单调递减； 当时，由，可得，单调递增， 所以在处取得最小值，且， 此时对于任意，，满足题意； 当时，当时，， 则存在充分接近的，使得，即， 即，此时不满足恒成立， 综上可得，实数的取值范围为. 1．已知函数，为的导函数，曲线关于点对称. (1)求的值； (2)，恒成立. （i）求b的值并探究的零点个数； （ii）若，且，证明：. 【答案】(1) (2)（i），有个零点；（ii）证明见详解. 【详解】（1）对进行求导，得， 又曲线关于点对称，， 即， 即，. （2）（i）由（1）知，，， 若恒成立，即恒成立， 若，取，则，不合题意， 若，，此时，故 b的值为.， 记，则， 当时，单调递增，且， 故存在，使得， 当时，，，无零点； 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 又，时，有一个零点， 由对称性可得时，有一个零点， 综上，有个零点. （ii），， 故的图像关于对称， 由（i）得，当时，，单调递增； 时，，单调递减， 由对称性可知，时，单调递增；时，单调递减， 当时，，下证此时， 设，则， 当时，单调递增，, 即，又，，即， 当时，显然， 当时，显然， 综上，得证. 2．已知函数． (1)已知是曲线的切线，求实数的值； (2)对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)时，函数曲线上存在不关于原点对称的两点，满足，其中为坐标原点，求点横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设切点，， ，消去， （2）对恒成立， 令，对恒成立， ，（必要性）， 下证充分性： 令，则， 令，令， 所以在上单调递增，， 所以在上单调递增，， 所以在上单调递增，，所以， 当，时，恒成立 综上：． （3）， 在上单调递增；上单调递减； 上单调递增，作出大致草图如下： 设，由对称性，不妨先设， 问题转化为与在上至少有两个交点 令或，且在上单调递增；上单调递减； 上单调递增，作出大致图象如下： （其中，，）， 设与的另一个交点为， 设与的另一个交点为， 综上：，为奇函数，由对称性知的横坐标的取值范围为： 3．已知函数. (1)当时，求的单调区间和极值； (2)当时，证明：存在两个零点； (3)若对任意恒成立，求实数的取值范围，并比较与的大小. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为,极小值为0，无极大值 (2)证明见解析 (3)， 【详解】（1）当时，，， 则时，， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，又， 则时，，时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 时，函数取得极小值，无极大值. （2）当时，，， 则， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，， 则存在，使得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，，， 所以根据零点存在性定理可知，函数存在两个零点. （3）由， 即对任意恒成立， 设，， 则， 设，，则， 当时，，，则， 所以函数在上单调递增，则，即， 所以函数在上单调递增，则，即， 所以实数的取值范围为. 由，，， 则， 由（1）知，函数在上单调递增， 且时，，则，即， 所以函数在上单调递增，又， 所以. 4．已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)设函数. （i）证明：恒成立； （ii）若，证明：，. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【详解】（1），     则，， 故在处的切线方程为. （2）（i），. 令，     则， 由，， 故函数在单调递增，在单调递减， 所以，即，     而，所以当时，， 综上，恒成立；     （ii）由（i）可知，， ，     所以 ，     先证，， 令，，则，故在单调递增， 故，故，， 所以， 再证， 设，则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故，故，当且仅当时取等号， 故令，则，故， 因此，     故 ， 综上可知：，. 5．已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，则， 则，又， 故函数在处的切线方程为，即； （2），， 若，，则在上单调递增， 故，符合题意； 若，则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 则， 令，则， 由单调递减，则， 故在上单调递减，故， 即，不符合题意； 综上可得：. 6．已知函数，． (1)求函数的极小值； (2)讨论函数的单调性； (3)若存在实数a，使得在恒成立，求实数b的取值范围． 【答案】(1)极小值为 (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）因为的定义域为，且， 当时，；当时，； 可知在上单调递增，在单调递减， 所以的极小值为． （2）因为的定义域为，且， 令，解得或， 当，即时，则， 可知在上单调递减； 当，即时，令，解得；令，解得或； 可知在上单调递增，在，上单调递减； 当，即时，令，解得；令，解得或； 可知在上单调递增，在，上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在，上单调递减； 当时，在上单调递增，在，上单调递减. （3）因为，即，可得， 令，， ①当时，若，则，不合题意； 若，方程满足， 且，可知方程有一正一负两个实根， 取其正根为，则，不合题意； 综上所述：当时，不存在实数a，使得恒成立； ②当时，不妨取，则， 记，则， 令，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，即， 可知在单调递减，则， 即对，都存在，使得在恒成立， 综上所述：实数b的取值范围为． 7．已知. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)已知是的导函数，若存在，使得对任意成立，求的取值范围； (3)若有两个极值点，且，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）当时，. 因为，所以，. 曲线在点处的切线方程. 即. （2）解法一：因为， 所以， 因为， 当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减 故在处取得最大值，最大值为. 因为存在，对于任意，都有 成立 所以，即 恒成立，等价于 ， 即对任意，恒成立. 设，则 令，则 . ①当时，因为，则显然有， 可知在上单调递减，则， 所以在上单调递减， 所以，即对任意恒成立， 所以 满足题意; ②当时，令，解得：， 当时， ，则单调递增， 此时，则在上单调递增，所以， 即当 时， ，即不恒成立， 可知不合题意. 综上所述， . 解法二：由（1）得，， 所以，因为， 当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减 故在处取得最大值，最大值为. 因为存在，对于任意，都有成立 即恒成立，等价于， 即对任意恒成立. 即恒成立，令 令 ，令 ，因为，所以， 即在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以，即 所以在上单调递增 由洛必达法则（如果直接使用洛必达法则求解且结果正确扣两分）. 所以，即. （3）解法一：由（2）可得，在上单调递增，在上单调递减， 若有2个极值点，需满足，且. 因为有2个极值点， ， 所以等价于方程的两根为，且， 即方程的两根为， 令，则等价于方程的两根为， 所以，即 因为 令，则即证 因为，所以在上单调递增， 下证： ，所以可得 即，即证， 因为，即，因此即证， 令， 则， 因此在上单调递增，，所以得证. 因为，所以， 又发现且在上单调递增， 因此 即得证. 解法二：由（2）问可得，在上单调递增，在上单调递减， 若有2个极值点，需满足，且. 设 则， 令， 因为，所以， 故，即， 所以在上单调递增，故，所以在上单调递增， 故， 下证： 因为，即， 故， 又，所以，即， 因为在上单调递减， 所以， 又因为，所以， 又因为在上单调递增，在上单调递减， 且的两个零点为， 所以在上，即在上单调递增， 所以， 因为，即，且 所以， 故得证. 【题型3：利用导函数研究函数零点问题】 一、核心定义 函数零点：使得 f(x)=0 的实数 x，等价于： 1、函数图像与 x 轴交点横坐标； 2、方程 f(x)=0 的实根； 3、两函数图像 y=f(x) 与 y=0 交点个数。 二、零点存在基本定理 若函数 f(x) 在 [a,b] 上连续，且 f(a)f(b)<0， 则 f(x) 在 (a,b) 内至少有一个零点。 补充：若同时在区间单调，则有且只有一个零点。 三、高考导数零点问题三大核心题型 1、判断零点个数； 2、已知零点个数求参数范围 3、零点存在、零点分布、零点求和与估值。 四、导数研究零点通用解题步骤 1、求函数定义域； 2、求一阶导数 f'(x)，研究单调性、极值、最值； 3、画出函数简易走势图像（增减区间、极大极小值）； 4、取特殊点算函数值（端点、极值点、无穷趋势）； 5、用零点存在定理 + 极值正负 判断零点个数； 6、含参题型：分类讨论，转化为极值正负列不等式求参数。 五、判断零点个数核心判定法则 设函数在区间内单调： 1、单调递增：两端点异号 ⇒ 1个零点；同号 ⇒ 无零点。 2、单调递减：两端点异号 ⇒ 1个零点；同号 ⇒ 无零点。 有极值的非单调函数： 1、极大值＜0：全程在x轴下方，无零点； 2、极小值＞0：全程在x轴上方，无零点； 3、极大值＞0，极小值＜0：3个零点； 4、极大值=0 或 极小值=0：相切，重零点； 5、只有一个极值且极值=0：1个零点。 六、两大常用解题方法 方法一：直接研究原函数法（主流） 求导→判单调→求极值→算特殊点函数值→看图像与x轴交点个数。 适用：整式、对数、指数常规函数。 方法二：参变分离 数形结合法 把方程 f(x)=0 变形为：a = g(x) 转化为：直线 y=a 与曲线 y=g(x) 交点个数 步骤： 1、分离参数得 a=g(x)； 2、求g(x)单调性、极值、图像趋势； 3、数形结合看直线与曲线交点个数； 4、反推参数 a 的取值范围。 七、极限趋势必备结论（高考必考） 1、x时：指数增长＞幂函数＞对数； 2. x时：lnx； 3. 含 ex：x,ex；x,ex； 用于判断函数两端向上还是向下，确定零点有无。 八、含参零点分类讨论顺序 1、先看定义域； 2、求导后先讨论一次项、二次项系数是否为0； 3、二次型再讨论判别式； 4、再讨论根的大小、根是否在定义域内； 5、求出单调区间、极大极小值； 6、令极值大于0、小于0、等于0，解参数范围。 九、零点压轴常见模型 1、单极值点模型：最多2个零点； 2、双极值点模型：可0个、1个、2个、3个零点； 3、对数+一次函数、指数+一次函数高频考零点； 4、隐零点问题：零点求不出精确值，设x0代换，整体代入化简。 十、隐零点问题处理套路 1、设零点为x0，满足 f'(x0)=0； 2、得到关系式，用来降次、消去指数/对数； 3、不求解x0，利用范围 x0∈(m,n) 整体代换求值、证不等式。 十一、高频易错点 1、忽略定义域，盲目判零点； 2、只看极值，不看区间端点和无穷趋势； 3、零点存在定理只判有零点，不判个数，忘了结合单调性； 4、含参讨论漏情况：二次项系数为0、判别式等于0； 5、数形结合时漏掉切线临界位置，等号取舍错误。 十二、考场标准答题模板 1、写出函数定义域； 2、求导，整理化简； 3、讨论参数，划分单调区间； 4、求出函数极大值、极小值； 5、计算区间端点或无穷远处函数趋势； 6、由极值正负及零点存在定理，判断零点个数； 7、含参题列出不等式，解出参数取值范围。 已知函数.其中 (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)当时，讨论的零点个数； (3)当时，设，若，满足，证明：. 【答案】(1) (2)当时，的零点个数为0，当时，的零点个数为1. (3)证明见解析 【详解】（1）当时，,， 所以有，， 所以函数在处的切线方程为. 故函数在点处的切线方程为. （2）由题意，令，得， 因为； 即等价于方程，，即等价于方程， 整理得，即.令， 当时，，所以，而，所以方程无根； 当时，，, 因为,, 所以函数在单调递减，，即， 所以函数在上的值域为，且单调递减，故当时,方程无根；当时, 方程有一个根. 综上：当时，的零点个数为0，当时，的零点个数为1. （3）当 时，， ， 由 ，得 ，且，得. 所以 ，, 所以,,根据对称轴偏移得 所以，故只需证明 ​即可. 又因为， 由 ，得： ，， 因为,, 所以, 又因为,所以,且, 所以 ， 当时，,所以，不符合题意，舍去； 当时，即,,符合题意. 所以,故得证. 设函数. (1)证明：曲线在点处的切线过定点，并求出该定点坐标； (2)若有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）因为，， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为：， 即，即， 所以曲线在点处的切线过定点； （2），， 当时，，则在上单调递减， 此时最多有一个零点，不满足题意； 当时，令，解得，令，解得， 于是在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，，当时，， 又因为有两个零点， 所以，即， 解得或， 因此，的取值范围为. 已知函数，其中． (1)讨论的单调性． (2)若函数有两个不同的零点． ①求实数的取值范围； ②证明：． 【答案】(1)若在内单调递减，在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减; 若在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减. (2)①；②证明见解析 【详解】（1）由题意可知:的定义域为，且， 若，则， 当，则;当，则; 可知在内单调递减，在内单调递增; 若，令，解得或， 当，即时，令，解得或;令，解得; 可知在内单调递增，在内单调递减; 当，即时，则 ， 可知在内单调递增; 当，即时，令，解得或;令，解得; 可知在内单调递增，在内单调递减; 综上所述:若在内单调递减，在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减; 若在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减. （2）①有两个不同的零点， 即有两个不同实根， 若，则，只有一个实数根，不符合题意， 故，得， 令， 令，得， 当时，，可知在上单调递增， 当时，，可知在上单调递减， 当时，取得最大值，且时，， 当时，可得 可得不等式：. 先解，即，解得或. 再解，移项通分得， 等价于，即 . 因为，故不等式等价于 ， 解得， 结合或，取交集得. 所以实数的取值范围为. ②当时，有两个不同的零点. 两根满足， 两式相加得:，两式相减得:， 上述两式相除得， 不妨设，要证:，只需证: ， 即证， 设，令 ， 则 ， 可知函数在上单调递增，且. 可得，即，所以. 1．已知函数. (1)若是函数的极大值点，求实数的取值范围； (2)若函数有且仅有两个零点，. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明：. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【详解】（1）由题知，令，则， 又函数的定义域为， ①当时，，函数在上单调递增，又， 所以时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极小值点，不合题意. ②当时， 令，得，在上单调递增； 令，得，在上单调递减， 所以，则函数在上单调递减， 所以不是函数的极大值点，不合题意. ③当时， 令，得，在上单调递增； 令，得，在上单调递减， 由及，知时；时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极小值点，不是极大值点，不合题意. ④当时， 令，得，在上单调递增； 令，得，在上单调递减， 由及，知时；时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以是函数的极大值点，满足题意. 综上，若是函数的极大值点，则实数的取值范围为. （2）（ⅰ）①当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 又，当时；当时， 所以函数有且仅有两个零点. ②当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 又，所以，函数仅有一个零点. ③当时，函数在上单调递减，所以函数最多只有一个零点. ④当时，由（1）知，存在是函数的极大值点， 所以函数在，上单调递减，在上单调递增， 又，所以函数最多只有一个零点. ⑤当时，由（1）知，存在是函数的极小值点， 所以函数在，上单调递减，在上单调递增， 令且，则，故时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增，故， 所以在上恒成立， 当时，， 所以最多只有一个零点. 综上，若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ）不妨令， 由，得. 又 . 令，有， 所以函数在上单调递增， 又，所以（当且仅当时取等号）. 因为，所以，即，所以. 因为，，在上单调递减， 所以，即. 2．已知函数． (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数a的值； (2)若函数有三个零点，且． （ⅰ）求实数a的取值范围； （ii）求证：． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ii）证明见解析 【详解】（1）由，得， 所以， 因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以，得，所以a的值为． （2）（ⅰ）等价于， 令，又，可知除了1之外还有两个零点， 又，令， 当时，恒成立，故在上单调递减，不合题意； 当时，若函数有三个零点，则其等价函数必有除1外的两个零点， 因此在上有两个不相等的实数根, 故，解得， 设的两个零点为，且，有，， 故均大于0， 由此可得在单调递增，单调递减，单调递增， 而，即， 又因为，，， 故在内恰有一个零点，在内恰有一个零点， 所以恰有3个零点，亦即恰有3个零点， 故实数a的取值范围是． （ii），由， 可得，则有， 要证，代入得，只需证明，而， 因此只需要证明当时，， 令， 可得，故在上单调递增， 因此当时，，即当时，， 即证得成立． 3．已知函数，（其中），其导函数为． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，求实数的取值范围，并探究函数的零点个数． 【答案】(1) (2)的取值范围为； 当时，在定义域内无零点； 当时，在定义域内存在唯一零点； 当时，在定义域内存在两个零点. 【详解】（1）当时，，，故，. 从而所求切线经过点且斜率为，故曲线在点处的切线方程为； （2）由于， 故， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以是的极大值点，即，且在左侧，右侧， ①当时，有，， 从而当或时；当时. 故函数在和上单调递增，在上单调递减，不符合条件 ②当时，，从而对和均有， 故在和上单调递增，从而在上单调递增，不符合条件 ③当时，有，， 从而当或时；当时. 故函数在和上单调递增，在上单调递减，不符合条件 ④当时，对任意都有， 从而当时；当时， 故函数在上单调递增，在上单调递减，符合条件。 综上，的取值范围为 所以， 当，即时，在定义域内无零点； 当，即时，在处取得零点，且是唯一零点； 当，即时， 由于，， 根据零点存在性定理可得在存在唯一零点； 由于，根据零点存在性定理可得在存在唯一零点； 所以时，存在两个零点； 综上，当时，在定义域内无零点； 当时，在定义域内存在唯一零点； 当时，在定义域内存在两个零点. 4．已知函数. (1)若在处的切线为，求的值； (2)当时，确定在上的零点个数. 【答案】(1)， (2)存在个零点 【详解】（1），， 由在处的切线为，则， 故，； （2）当时，，， 当时，， 当时，由与都单调递增， 故单调递增， 又， ，故存在，使得成立，即有， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时取得最小值，即， 则， 令，则， 所以， 则在上单调递减， 故， 又， 故在上存在一个零点， 又， 故在上存在2个零点. 5．已知函数有唯一的极值点． (1)求的取值范围； (2)设是的两个零点，记，，． （i）证明：； （ii）判断是否可能为直角三角形，并说明理由． 【答案】(1) (2)（i）证明见详解；（ii）不可能是直角三角形，证明见详解 【详解】（1）当时，是增函数，无极值点 当时，， 又因为有唯一的极值点等价于有唯一的变号零点， 令，则， 令，则， 则在区间上单调递增，在区间上单调递减． 当时，时，， 则当时，直线与的图象有一个交点，有唯一的极值点， 所以的取值范围为． （2）（i）由①知，因为为极值点，所以， 即，因为，所以，所以， 因为为增函数，且，所以，， 所以在单调递减，在单调递增， 又因为，所以， 又因为，所以， 所以， 要证：，只需证：，只需证： 只需证：， 令，则， 则在上单调递增，，即得证. （ii）结论：不可能为直角三角形，理由如下： 由（i）证明过程知为极小值点， 所以， 由（i）知，所以， 因为，所以， 先证明：，证明过程如下： 因为在单调递减， 所以只需证， 又因为，只需证：， 即证明：，即证：， 令，则， 令，则， 所以在单调递减，所以， 所以在单调递增，所以， 因为，所以，即得证， 因为，所以，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以 不可能为直角三角形． 6．已知函数． (1)若对恒成立，求的取值范围； (2)若函数有2个零点 （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1） 当a≤2时，在上单调递增，恒成立； 当a>2时，令得，，则 当时，，在上单调递减，，不合题意． ，a的取值范围为 （2）（i），， 若有2个零点，即方程有2个根． 令，，h（x）在上单调递增，在上单调递减，且 ，，解得 （ii）由（i）知，， ，， ，即， 要证，即证，， 令，，，； p（t）在上单调递增， ，故 7．已知函数． (1)当时，证明：在R上存在唯一零点，并求的零点的值； (2)设，为的两个极值点， （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】(1)证明见解析，． (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【详解】（1）当时，，则， 令，则， 当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减， 所以，所以， 所以在上单调递增， 因为，所以在上存在唯一零点． （2）（ⅰ）已知有两个极值点， 易得有两个零点， 令，则， 令，即，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 在处取得最小值，且． 若有两个零点，一定有，解得， 又易知时，，时，， 根据零点存在定理可知，函数在，上各存在一个零点， 故的取值范围为． （ⅱ）由（ⅰ）知，，且，故， 故， 令， 则， 当时，，在上单调递减， 所以， 故． 【题型4：利用导函数研究函数切线问题】 一、切线基本概念 1、函数 y=f(x) 在点x=x0处的切线： 切点 (x0,f(x0))，切线斜率 k=f'(x0)。 2、两类切线题型： 在曲线上某点处的切线（切点已知）； 过曲线外一点作曲线的切线（切点未知，需设切点）。 二、切线方程万能公式 1、已知切点 P(x0,f(x0)) 斜率：k = f'(x0) 点斜式：y - f(x0) = f'(x0)(x - x0) 整理成斜截式：y = kx + b 2、切线与直线位置关系 两直线平行：斜率相等 k1=k2 两直线垂直：斜率乘积为 -1，即 k1·k2=-1 三、两大核心题型解法模板 题型1：求曲线在已知点处的切线（点在曲线上） 解题步骤： 1、求函数定义域； 2、求导 f'(x)； 3、代入切点横坐标x0，求斜率 k=f'(x0)； 4、求切点纵坐标 f(x0)； 5、代入点斜式写出切线方程，整理一般式。 题型2：过定点求曲线切线（点不在曲线上，切点未知） 解题步骤： 1、设切点为(x0,f(x0))； 2、求导得斜率 k = f'(x0)； 3、写出切线方程：y - f(x0) = f'(x0)(x - x0)； 4、把已知定点坐标代入切线方程； 5、解关于x0的方程，求出切点个数； 6、有几个切点就有几条切线。 四、公切线问题（高考高频压轴） 两条曲线 y=f(x)、y=g(x) 有公切线满足两个条件： 1、切点处斜率相等：f'(x1)=g'(x2) 2、切线为同一条直线：两点分别代入切线方程，截距相等 解题通用步骤： 1、分别设两曲线切点 x1,x2； 2、分别求导，令斜率相等； 3、分别写出两条切线方程； 4、由是同一条切线，截距相等列第二个方程； 5、联立方程组，求解 x1,x2或参数范围。 五、切线常见特殊结论 1、函数在切点处：函数值=切线函数值，导数值=切线斜率； 2、若切线水平：斜率 k=0，即f'(x0)=0； 3、若切线竖直：导数不存在，垂直x轴； 4、曲线与切线只有一个公共点，不代表只有一个交点，只是局部相切； 5、三次函数最多3条过定点的切线。 六、含参切线问题解题思路 1、按常规设切点、求斜率、写切线方程； 2、代入已知点坐标，得到含参数和切点横坐标的方程； 3、转化为方程有解、有几个解的问题； 4、可用导数研究新函数零点个数，反求参数取值范围。 七、考场标准答题模板 1、由题意，函数为 f(x)=… 2、求导得：f'(x)=… 3、设切点为(x0,f(x0))，则切线斜率 k=f'(x0) 4、切线方程为：y - f(x0) = f'(x0)(x - x0) 5、将已知点代入方程，解得x0=… 6、代回得所求切线方程：… 八、高频易错点 1、混淆“在点处切线”和“过点切线”，不点在曲线上也直接当切点用； 2、求导计算错误，导致斜率出错； 3、公切线只列斜率相等，忘记截距相等条件； 4、含参切线方程不化简，遗漏多解情况； 5、忽略切线平行、垂直的斜率关系判定。 已知函数. (1)曲线在处的切线为，当点到直线的距离最大时，求的值； (2)若对任意恒成立. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）的定义域 求导得， 则，又， 则切线的方程为，即 于是，点到的距离为 当且仅当时，等号成立，由可得，解得. （2）（i）法一：设 则 设，则 因为，可得，则在上单调递增 故当时，， 则当时，在上恒成立，即在上恒成立 故在上单调递增，则，即，满足题意； 当时，， 故，使得 当时，，则，则在上单调递减， 则，即，不满足题意. 综上所述，的取值范围为. 法二：对任意恒成立 在上恒成立 当时，； 当时， 令，则且 设，则， 设，则，则在上单调递增， 又，则，即，故在上单调递增， 当时，，即也即 故得 综上所述，. （ii）由（i）知，当时，对任意恒成立，当且仅当时，等号成立， ，即 ∴当时， 分别取，得 已知函数，其中e为自然对数的底数， (1)当时，求在处的切线； (2)若为实数，，求的最小值； (3)已知，且在单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)最小值为1 (3) 【详解】（1）∵，∴， ∴，， ∴切线方程为， 整理得； （2）∵，令，，则， ∴，∴时，，时，， ∴在单调递减，在单调递增，∴的最小值为，即的最小值为1； （3）当时， ∵，∴， 令，则， 依题意，，，. 若，即时，使得时， 所以即在单调递减，∴时，不合题意， ∴，即，下面证明时符合题意. ∵，，，∴当时， 即在单调递增，∴，， 综上，实数a的取值范围为． 已知在点处切线为． (1)若，求的单调区间； (2)当时，证明：切线不经过； (3)已知，，，，其中，切线与轴交于点时．当，符合条件的的个数有多少个？ （参考数据：，，） 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）， 当时，；当，； 在上单调递减，在上单调递增. 则的单调递减区间为，单调递增区间为. （2），切线的斜率为， 则切线方程为， 将代入则，， 即，则，， 令， 假设过，则在存在零点. ， 在上单调递增，， 在无零点，所以与假设矛盾，故直线不过. （3）时，， 则切线的方程为， 令，则，即， ，得， 由（1）（2）可知， 则， ，记， 满足条件的有几个即有几个零点.， 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 因为，，， ， 所以由零点存在性定理及的单调性， 在上必有一个零点，在上必有一个零点， 综上所述，有两个零点，即满足的有两个. 1．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时， （i）过点可以作函数的两条切线，求b的取值范围； （ii）设A，B是图象上两个不同的点，且A，B两点到的距离相等，判断线段AB的中点在第几象限，并证明. 【答案】(1)单调性见解析； (2)（i）；（ii）第四象限，证明见解析. 【详解】（1）， ①当时，，则在上单调递增； ②时，令，得，则在上单调递增； 令，得，则在上单调递减； （2）（i），设切点为，则切线方程为， 代入点坐标，得， 由题，上述关于的方程有两个不同的解， 令，则， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减；所以的极大值为， 当时，；当时，， 则的取值范围为. （ii）线段的中点在第四象限，证明如下： 设,两点的坐标分别为， 由，可得， 令，则， 当时，，则，则在上单调递减； 当时，，则，则在上单调递增； 由，不妨设． 令 ∴当时，，则， 又， 而在上单调递增，从而有，可得； ∴线段的中点的纵坐标，横坐标， 故其位置在第四象限． 2．曲线在点处的切线为． (1)求直线的方程； (2)若直线与曲线在轴右侧只有一个公共点，求实数的值． 【答案】(1) (2)1 【详解】（1），，的方程为，即； （2）直线与曲线在轴右侧只有一个公共点，即方程只有一正实数解，即只有一正实数解， 令，则， 时，，单调递减；时，，单调递增； 且时，；时，， 故. 3．设函数（）. (1)当时，求证：直线是曲线的切线； (2)求的单调区间； (3)判断函数是否存在极值.如果存在，求出所有的极值；如果不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见详解 (2)当，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为 (3)无极值，理由见详解 【详解】（1）若，则的定义域为，且， 令，可得，解得或（舍去）， 且，则在处的切线方程为， 所以直线是曲线的切线. （2）因为，， 令，解得或， 若，由解得，即的定义域为，且， 当时，；当时，； 可知函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 若，由解得，即的定义域为，且， 当时，；当时，； 可知函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 综上所述：当，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （3）无极值，理由如下： 因为，且， 若，则的定义域为， 当时，；当时，；则， 且函数的单调递减区间为，单调递增区间为，则， 即，可知在定义域内单调递增，所以无极值； 若，则的定义域为， 当时，；当时，；则， 且函数的单调递减区间为，单调递增区间为，则， 即，可知在定义域内单调递增，所以无极值； 综上所述：无极值. 4．已知函数，. (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的方程； (2)在（1）的条件下，若恒成立，求实数的取值范围； (3)设，证明：函数有两个零点，（），且满足. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1），则切线的斜率为，所以. 从而，所以处的切线方程为 ，即. （2）时，由得， 整理得. 令，则， 由于为上的单调递增函数，且， 故当时，，则；当时，，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 因此，故的取值范围为. （3）， 令，解得， 当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以 ， 当时，，当时，，所以有两个零点. 不妨设为，，且， 由，可得， 所以要证，即证， 即证. 而，则， 所以要证，即证， 即证， 而 ， 由于，故，则， 故 ， 所以，即得证. 5．已知函数. (1)若曲线在处的切线平行于轴，求的值； (2)当时，求函数在内的极大值点和极小值点的个数； (3)证明：对任意，曲线上存在四个不同的点共圆. 【答案】(1) (2)极大值点有2个，极小值点有1个 (3)证明见解析 【详解】（1）由得， 当时，， 因为曲线在处的切线平行于轴， 所以，解得； （2）由得，得， 令则， ①当时，，则，所以在上单调递减， 因为， 则使当时；时， 则在单调递增，在单调递减，所以为的极大值点； ②当时，，则， 所以在上单调递减， 当时，，则， 所以在上单调递增， 又，所以为的极小值点； ③当时，，则， 所以在上单调递减， 因为， 所以使当时；时， 则在单调递增，在单调递减， 所以为的极大值点； 所以曲线在的极大值点有2个，极小值点有1个； （3）因为在中， 所以，即曲线的图象关于对称， 法一：假设上存在不同两点，其关于的对称点为， 则四边形为等腰梯形， 因为等腰梯形的对角互补，故该四边形为圆内接四边形， 所以曲线上存在四个不同的点，使得这四个点共圆. 法二：在曲线上取不同的四点，其中和分别关于对称， 不妨设，， 则， 因为经过三点的圆有且只有一个，且圆心在对称轴上， 故设该圆的方程为， 因为点在圆上，所以， 将点的坐标代入圆的方程的左边得： 即点也在圆上， 所以存在同在圆上. 6．已知函数. (1)当时，证明：； (2)设、，分别过、作曲线的切线、，且与交于点，记的面积为. （ⅰ）求的坐标（用表示）； （ⅱ）求在区间上的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）当时，. 求导得：，令，解得. 当时，，故，单调递减； 当时，，故，单调递增. 因此，是的极小值点，也是最小值点. 最小值为. 所以，即得证. （2）（ⅰ）由已知，，， 因为，当时，则， ， 所以在是单调递增函数，在是单调递减函数， 所以，是切点. 切线过，斜率为，方程为，即. 切线过，斜率为，方程为， 即. 联立与的方程：， 消去得，， 解得， 将代入的方程，得 因此，的坐标为. （ⅱ）由， ，得的方程为， 即， 又. 点到的距离， 代入(因在切线上)，化简分子： 分子 因此. 于是 代入，得 由（1）知，因此. 当时，，令（）， ， 因、、，故，因此在单调递增. 又时，故时. 因为、，且两者在上均单调递增， 故在上单调递增. 因此，代入得 所以，函数在区间上的最大值为：. 7．已知函数的图象关于点中心对称． (1)求的值； (2)设是曲线的切线，证明：与直线围成的三角形的面积与切点无关； (3)设，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）因为函数的图象关于点中心对称， 所以，     可得，即， 整理得，所以，解得． （2）设切线与曲线的切点为，因为，    所以切线的方程为，      令，可得，     令，可得，     因为， 所以与直线围成的三角形的面积与切点无关． （3）解法一：令，则， 当时，，所以在上单调递增， 因为，所以在上单调递减，      因为，所以， 若，由，可得，则， 与矛盾，所以． 当时，，即， ，所以，可得， 即，所以，即， 所以；      当时，，即， ，所以，可得， 即，所以，即，所以．     综上可得，．     由,可得，     所以． 解法二：令，则，且，      所以，   因为，所以， 若，由，可得，则，与矛盾， 所以，因此， 又， 当时，，可得， 所以；      当时，，可得， 所以．      综上可得，，即．     可得，所以， 即． 【题型5：利用导函数研究函数的极值点偏移问题】 一、极值点偏移基本定义 1、常规不偏移 若函数 f(x) 仅有一个极值点 x0， 且 f(x1)=f(x2) 时，满足=x0， 称极值点不偏移，图像关于直线 x=x0对称。 2、极值点偏移 若 f(x1)=f(x2) ，且≠x0，称为极值点偏移。 左偏移： > x0 右偏移：< x0 3、题型特征 已知函数 f(x) 有唯一极值点 x0，且 f(x1)=f(x2),x1≠x2， 求证：x1+x2>2x0 或 x1+x2<2x0。 二、核心解题四大通用方法 方法一：构造对称函数法（高考最常用、首选） 解题步骤： 1、求导找出唯一极值点x0； 2、构造对称辅助函数：F(x)=f(x)-f(2x0-x)； 3、确定定义域范围，求 F'(x)，判断 F(x) 单调性； 4、判定 F(x) 正负：x>x0 时 F(x)>0 或 F(x)<0； 5、利用f(x1)=f(x2)转化，结合单调性比较 x1,x2与x0关系； 6、证出x1+x2>2x0 或 x1+x2<2x0。 方法二：比值换元法（对数型、指数型专用） 适用：含ln x、ex 结构的极值点偏移 步骤： 1、由f(x1)=f(x2)列式，整理成齐次式； 2、设 t=(t>0,t≠1)； 3、把双变量 x1,x2 统一换成单变量 t； 4、构造关于 t 的函数，求导研究单调性； 5、利用 t>1 或 0<t<1 证明不等式。 方法三：差值换元法 设 x2=x1+t (t>0)，将双变量化为单变量函数，求导证单调性与不等式。 方法四：切线放缩、凹凸性判定法 1、函数凹/凸性判定：二阶导数 f''(x) f''(x)>0 函数凹函数； f''(x)<0 函数凸函数； 2、凹凸性直接决定极值点左偏还是右偏； 3、利用切线不等式放缩，快速证明偏移不等式。 三、标准解题通用步骤（考场直接套用） 1、求定义域，求一阶导数 f'(x)，求出唯一极值点x0； 2、设x1<x0<x2，满足f(x1)=f(x2) ； 3、选择合适方法：对称构造/比值换元/凹凸性； 4、构造辅助函数，求导判断单调性； 5、利用函数单调性脱去 f 符号，转化自变量大小关系； 6、整理得出x1+x2与2x0 的大小关系。 四、常见结论规律 1、凸函数 f''(x)<0：极值点右偏移，x1+x2<2x0； 2、凹函数 f''(x)>0：极值点左偏移，x1+x2>2x0 ； 3、对数函数、一次函数组合多为左偏移； 4、指数函数、一次函数组合常考偏移证明。 五、典型命题句式 1、已知 f(x) 在 x=x0处取极值，且f(x1)=f(x2)，求证：x1+x2>2x0； 2、已知函数有两个零点 x1,x2，证明零点满足x1+x2>2x0； 3、含参极值点偏移：先求极值点，再构造函数证明偏移不等式。 六、高频易错点 1、未先求极值点x0，直接盲目构造函数； 2、构造对称函数后，忘记判断定义域和单调区间； 3、换元后忽略 t>0 且 t≠1 的范围； 4、分不清凹凸性与左偏、右偏的对应关系； 5、不会利用f(x1)=f(x2)进行等量代换。 七、考场标准答题模板 1、由题意得函数定义域，求导 f'(x)，令 f'(x)=0 得极值点x0； 2、不妨设x1<x0<x2，满足 f(x1)=f(x2)； 3、构造辅助函数 F(x)=f(x)-f(2x0-x)，x>x0； 4、求 F'(x)，判断 F(x) 在 (x0,+∞) 单调递增/递减； 5、得 F(x)>F(x0)=0，即 f(x)>f(2x0-x)； 6、代入 x=x2 得 f(x2)>f(2x0-x2)； 7、由 f(x1)=f(x2) 得 f(x1)>f(2x0-x2)； 8、由函数在 (-∞,x0) 单调递减/递增，脱去 f 得x1<2x0-x2； 9、整理即证：x1+x2<2x0 或 x1+x2>2x0。 已知函数，是的导函数. (1)当时，证明：； (2)讨论的极值点个数； (3)若有两个极值点，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，的极值点个数为；当时，的极值点个数为；当时，的极值点个数为 (3)证明见解析 【详解】（1）当时，， 令，则定义域为，， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， ，即. （2）由题意知：定义域为，， 令，则， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ，且当时，；当时，； 由此可得大致图象如下图所示， ①当，即时，与有唯一交点， 则当时，，即；当时，，即； 在上单调递减，在上单调递增， 有唯一的极小值点，无极大值点； ②当，即时，与交于两点， 则当时，，即；当时，，即； 在上单调递减，在上单调递增， 有一个极小值点，一个极大值点； ③当，即时，恒成立，即恒成立， 在上单调递减，无极值点； 综上所述：当时，的极值点个数为；当时，的极值点个数为；当时，的极值点个数为. （3）由（2）知：若有两个极值点，则，此时； ， ， 要证，只需证， 即证， 只需证，即证， ，， 令，则与交于两点，其中，则， ，当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，； 要证，只需证，即证， ，，在上单调递减，只需证， 又，只需证， 令，则， ，，，在上单调递增， ，又，， 即，原不等式得证，即. 已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，若函数有个不同的零点，． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明： 【答案】(1) . (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【详解】（1）当时，，则 ， ，切线方程为 ，即. （2）（ⅰ）当时，若函数有个不同的零点，， ∴恰有个正实根，，即方程恰有个正实根，， 令，则与有两个不同交点， ∴， ∴当时，；当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增，又， 当从的右侧无限趋近于时，趋近于； 当无限趋近于时，的增速远大于的增速，则趋近于， 则图象如下图所示， ∴当时，与有两个不同交点， ∴实数a的取值范围为． （ⅱ）由（ⅰ）知：，， ∴，， ∴，则， 不妨设， 要证，则需证， ∵，∴，∴，则只需证， 令，则只需证时，恒成立， 令， ∴， ∴在上单调递增，∴， ∴当时，恒成立， ∴原不等式得证． 已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，存在不相等的、，满足，证明：； (3)对任意的，恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增. (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）的定义域为，. （i）当时，，此时在上单调递增. （ii）当时，令，得. 当时，；当时，. 在单调递减，在单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增. （2）当时，由（1）可得，在上单调递减，在上单调递增. 不妨设，要证，即证，即证. ，即证. 令， 在上单调递增，，. ，，，证毕. （3），. 分离参数可得：，对都成立，即求右侧函数最小值. 令，则. 令，则， 在上单调递增，又，， 故存在唯一的，使得，. 令，，在上单调递增， ，，. 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增. ， . 1．设函数， (1)若有极值点、无零点，求的取值范围； (2)若的图象在区间内存在两条互相垂直的切线，求的取值范围； (3)设，若方程有两个实数根、，且，求证：，且． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）因为，则， 当时，，此时函数在上单调递增，函数无极值点，不符合题意； 当时，由可得，由可得， 此时函数在上单调递减，在上单调递增， 则函数有极小值点，故的极小值为， 因为函数无零点，所以，即，即，解得， 综上，的取值范围为． （2）由的图象在区间内存在两条互相垂直的切线， 可知存在、使得． 当，则，不符合题意． 当时，在上单调递增． 所以在内的值域为． 所以，由题意可得， 整理可得，解得， 因此，的取值范围为． （3）设，则， 因为，所以． 当时，，在上单调递增，不符合题意，所以． 由，得． 设，则，所以在上单调递增． 又因，所以， 所以，所以， 所以，所以， 设，则， 因为当时，，所以在上单调递减， 又因为，所以当时，，即． 因为，所以，即， 又因，所以，所以， 又因为，，所以． 2．已知函数，直线是曲线的一条切线． (1)求的值，并讨论函数的单调性； (2)若，其中，证明：． 【答案】(1)，函数在上单调递减，在上单调递增 (2)证明见解析 【详解】（1）设直线与曲线相切于点， ， 又，即， 设，则，在上单调递增， 又，有唯一零点， ，解得， ， 则当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增． （2）由（1）知， 当时，；当时，， ， 要证，只需证．在上单调递减， 只需证，又， 则只需证对任意恒成立． 设， 则， 设，则， 在上单调递减，． 又当时，， 在上单调递增， ，即在时恒成立， 又．故原不等式得证． 3．曲率是指曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，曲率越大，表示曲线在该点处的弯曲程度越大．记，定义曲线在点处的曲率为． (1)比较曲线在点和处弯曲程度的大小； (2)若函数的图象上存在两个不同的点、，使得曲线在、处的曲率均为． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）；（2）证明见解析 【详解】（1）设，其中，则，， 所以，，，， 所以在点处的曲率为. 在点处的曲率为， 所以曲线在点处的曲率小于其在点处的曲率. 曲线在点处的弯曲程度小于其在点处的弯曲程度. （2）（i）因为，其中， 则，， 因为函数的图象上存在两个不同的点、， 使得曲线在、处的曲率均为． 即有两个不同的解、，即有两个不同的解、， 所以， 令，得，令，得， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在单调递减， 所以，，作出直线与函数的图象如下图所示： 由图可知，当时，即当时，直线直线与函数的图象有两个交点， 因此，实数的取值范围是； （ii）由得， 不妨设，由（i）可知，先证明， 即证，即证， 令，即证，构造函数，其中， 则对任意的恒成立， 所以函数在上为增函数，则， 故当时，，所以，， 由基本不等式可得，故结论成立. 4．已知曲线在点处的切线为． (1)求直线的方程； (2)证明：除点外，曲线在直线的下方； (3)设，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【详解】（1）因为， 所以， 所以直线的方程为：，即 （2）令，则， 令，则， 由，解得，由，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，当且仅当等号成立， 所以除切点之外，曲线在直线的下方． （3）由，解得，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， ， 当时，． 因为，则，不妨令． 因为曲线在点的切线方程为， 设点在切线上，有，故，    由（1）知时，， 则，即， 要证：， 只要证：， 只要证：， 又， 只要证：， 令， 则， 易证在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以在上单调递减，所以成立， 所以原命题成立． 5．已知函数. （1）证明：曲线在点处的切线恒过定点； （2）若有两个零点，且，证明：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【详解】（1）， 则，即切线斜率为， 又， 则切线的方程为，即， 可得当时，，故切线恒过定点； （2）是的零点，，且， 则，即， ，即， 令，则，则， 令，则。 令，则，则单调递增， ，即，则单调递增， ， ，即，即， 则（由于，故不取等号），得证. 6．函数的定义域为，在上仅有一个极值点，方程在上仅有两解，分别为、，且．若，则称函数在上的极值点左偏移；若，则称函数在上的极值点右偏移． (1)设，，判断函数在上的极值点是否左偏移或右偏移？ (2)设且，，，求证：函数在上的极值点右偏移； (3)设，，，求证：当时，函数在上的极值点左偏移． 【答案】(1)函数在上的极值点不偏移 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）由，得到，所以， 又，由，得到，又当时，，当时，， 所以只有一个极值点，且极值点为，此时， 所以函数在上的极值点不偏移. （2）因为， 且，， 由，得到或，则， 又，，则有两根， 不妨设为，且，又，所以， 又时，，时，，所以函数在上只有一个极值点，且， 又， 所以，故函数在上的极值点右偏移. （3）由题知，，令，得到， 当时，，当时，， 所以是的极值点， 且在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，时，，时，，， 则有两个零点，不妨设为，且，所以，， 令， 则在恒成立， 所以在区间上单调递增， 所以，即， 故，又， 故，得到，即， 所以当时，函数在上的极值点左偏移． 7．设函数的定义域为，在上仅有一个极值点，方程在上仅有两解，分别为，且．若，则称函数在上的极值点左偏移；若，则称函数在上的极值点右偏移． (1)设，判断函数在上的极值点是否左偏移或右偏移，并说明理由； (2)设且，，，求证：函数在上的极值点右偏移； (3)设，，，求证：当时，函数在上的极值点左偏移． 【答案】(1)既不左偏移，也不右偏移，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）由零点为极值点为， 由于，所以极值点既不左偏移，也不右偏移． （2）因为，其中且， 因此在内的零点为1和． 而，， 因此在内的极值点为． 此时， 而，由于， 因为，所以，即， 则函数在上的极值点右偏移得证． （3）先考虑有两个零点，此时． 设，则， 当时，，此时在上单调递增， 当时，，此时在上单调递减， 而当时，时， 所以结合图像， 有两解时，的取值范围是，此时的两个零点． 再考虑极值点，， 当时，有解， 当时，，此时在上单调递增， 当时，，此时在上单调递减， 因此有唯一极值点，并且． 要证明，即证明，因为，所以， 又因为在上单调递减， 所以只需要证明， 又因为，所以只需要证明， 构造 ，由于， 则， 即在区间上单调递减，且，即在上恒有， 则， 所以原不等式得证， 因此函数在上的极值点左偏移． 解法二：由， 可得． 欲证，即证，即证． ， 不妨设，令， 于是， 此时即证：当时，． 令，求导并整理，得， 因此函数在区间上单调递增， 其值域为，而， 因此当时，，即， 从而得证，即函数在上的极值点左偏移． 学科网（北京）股份有限公司2 / 62 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 五大类导数题型-2026年高考数学大题秒杀技巧及专项训练 【题型1 利用导函数图象研究函数的单调性问题（含参讨论问题）】 【题型2 利用导函数研究恒成立能成立问题】 【题型3 利用导函数研究函数零点问题】 【题型4 利用导函数研究函数切线问题】 【题型5 利用导函数研究函数的极值点偏移问题】 【题型1：利用导函数图象研究函数的单调性问题（含参讨论问题）】 一、核心基础理论 1、函数单调性与导数关系 设函数 y=f(x) 在定义域内可导： f'(x)>0，函数单调递增； f'(x)<0，函数单调递减； f'(x)=0，为驻点，可能是极值点，也可能不是。 2、利用导函数图像判单调性核心逻辑 看导函数图像在x轴上方：对应原函数单调递增； 看导函数图像在x轴下方：对应原函数单调递减； 导函数图像与x轴交点：是原函数单调区间分界点、极值可疑点； 导函数正负改变：原函数有极值；正负不变：无极值。 3、含参导数单调性解题总步骤 第一步：求定义域（优先写，分式、对数、根式必看）； 第二步：求一阶导数 f'(x)，整理因式分解成便于判根形式； 第三步：求导函数对应方程 f'(x)=0 的根； 第四步：含参分类讨论：参数影响根的个数、根的大小、根是否在定义域内； 第五步：画导函数简易图像/列表判符号； 第六步：写出原函数单调递增、递减区间。 二、含参讨论四大核心分类依据（高考必考） 1、按二次项系数分类（导数为二次型） 系数大于0、等于0、小于0，决定抛物线开口方向。 2、 按判别式Δ分类 Δ>0：两个不等实根； Δ=0：一个重根； Δ<0：无实根，导函数恒正或恒负。 3、按根的大小关系分类 两根x1,x2，讨论x1>x2、x1=x2、x1<x2。 4、按根是否在定义域内分类 根在定义域内：参与划分单调区间； 根不在定义域内：直接舍去，只看定义域内导函数符号。 三、常见导数类型+含参讨论模板 类型1：一次型导数 f'(x)=ax+b 1、a=0：f'(x)=b b>0：定义域内单调递增； b<0：定义域内单调递减； b=0：常函数，无单调性变化。 2、a>0：导数单调递增，找零点分区间； 3、a<0：导数单调递减，找零点分区间。 类型2：二次型导数 f'(x)=ax2+bx+c（最高频考点） 分类顺序： 1、先讨论 a=0 退化为一次函数； 2、再讨论 a≠0，看开口 a>0、a<0； 3、计算Δ=b2-4ac： Δ<0：导函数恒正(a>0)或恒负(a<0)，全程单调； Δ=0：唯一驻点，左右导数同号，原函数无极值，全程单调； Δ>0：求出两根x1,x2，比较大小，再看是否在定义域内，划分三段判单调性。 类型3：分式型导数（含对数函数常见） 形式：f'(x)=(二次/一次式)/含x因式 1、先写定义域 x>0 等； 2、分母符号固定恒正/恒负，只需研究分子正负； 3、转化为分子一次/二次含参讨论，同上面模板； 4、分母不能为0，断点单独排除。 类型4：指数型含参导数 f'(x)=exg(x) ex>0恒成立，只需研究g(x)正负，直接降维成一次、二次含参讨论。 四、导函数图像判单调性秒杀技巧 1、不用精确画图，只需草图：开口、零点、与x轴交点； 2、从左到右看图像：上增下减； 3、导函数由负变正：原函数极小值点； 4、导函数由正变负：原函数极大值点； 5、导函数始终在x轴上方：原函数全程递增； 6、导函数始终在x轴下方：原函数全程递减。 五、高考标准答题格式（直接套用） 1、函数定义域：xxx 2、求导得：f'(x)=xxx，整理因式分解 3、令 f'(x)=0，解得根：xxx 4、分类讨论： 情况一：参数取何值时…… 情况二：参数取何值时…… 5、列表/由导函数符号可知： x( , ) 时，f'(x)>0，f(x) 单调递增； x( , ) 时，f'(x)<0，f(x) 单调递减。 六、易错点总结 1、忘记先写定义域，直接求导讨论，扣分； 2、二次含参跳过Δ讨论，直接求根； 3、两根大小不讨论，默认大小固定； 4、求出的根不在定义域内，还强行划分区间； 5、导函数等于0的点，不验证左右符号，直接判定极值； 6、含参分类讨论遗漏边界值（等于0的情况）。 已知函数，. (1)讨论函数的单调性. (2)若存在，使得. （i）求的值； （ii）证明： 已知函数 (1)当时，求函数的最小值； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若函数存在两个极值点，设为的极小值点，为的零点，证明：． 已知函数（），. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，对任意，都有； (3)若方程没有实根，求整数的最小值. 1．已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 2．已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)设函数，求函数的极值点的个数； (3)若存在，且，，证明：. 3．已知函数. (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若，，讨论的单调性； (3)若对任意的，恒成立，求的取值范围. 4．设函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 5．已知函数． (1)讨论在其定义域上的单调性； (2)当时，若，求实数的取值范围． 6．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若有两个极小值点，，且对任意满足条件的，都有恒成立，求符合条件的整数m的最大值． 7．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若对，恒成立，求的值； (3)证明：. 【题型2：利用导函数研究恒成立能成立问题】 一、基本概念区分 1、恒成立：对定义域内所有x，不等式都成立。 2、能成立（存在性）：定义域内至少有一个x，不等式成立。 二、四大核心转化口诀 1、恒成立求最值，能成立求最值； 2、大于恒成立：大于最大值； 3、小于恒成立：小于最小值； 4、大于能成立：大于最小值； 5、小于能成立：小于最大值。 三、标准等价转化公式（必背） 设函数 f(x) 在区间 D 上有最值： 1、, f(x)>a 恒成立⇔ f(x)min > a 2、,f(x)≥a 恒成立⇔f(x)min≥a 3、,f(x)<a 恒成立⇔f(x)max < a 4、,f(x)≤a 恒成立⇔f(x)max≤a 5、,f(x)>a 能成立⇔f(x)max > a 6、,f(x)≥a 能成立⇔f(x)max≥a 7、,f(x)<a 能成立⇔f(x)min < a 8、,f(x)≤a 能成立⇔f(x)min≤a 四、解题通用步骤 1、确定函数定义域、给定区间； 2、构造函数，把参数分离到不等式一边； 3、求导，研究函数单调性、极值、最值； 4、套用上面恒成立/能成立最值等价关系； 5、解参数不等式，写出取值范围。 五、两大主流解题方法 方法一：参变量分离法（首选、高考最爱） 适用：容易把参数a单独分到一边的题型 步骤： 1、把含x放一边，含参数a放另一边； 2、变形为 a>g(x)、a<g(x) 形式； 3、求g(x)在区间上的最大/最小值； 4、直接转化为参数范围。 优点：不用分类讨论，计算简单，不易漏情况。 方法二：不分离参数 + 含参单调性讨论 适用：无法分离参数、分离后函数太复杂的题型 步骤： 1、构造 F(x)=f(x)-a 构造新函数； 2、求导，含参讨论单调性（二次型、一次型常规讨论）； 3、求函数在区间上的最值； 4、利用最值满足恒成立/能成立列不等式； 5、解出参数范围。 六、双函数型恒成立、能成立（高频压轴） 已知 f(x),g(x) 同一区间 D 1、,f(x)≥g(x)恒成立⇔ [f(x)-g(x)]min ≥ 0 2、,f(x)≥g(x)能成立⇔ [f(x)-g(x)]max≥0 3、任意x1、存在x2型（双变量） ,,f(x1)≤ g(x2)⇔ f(x)max≤g(x)max ,,f(x1)≥ g(x2)⇔f(x)min≥g(x)min 七、常见易错陷阱 1、混淆恒成立和能成立最值：恒成立看另一边最值，能成立看同侧最值； 2、忽略定义域、区间开闭，最值取不到时等号取舍出错； 3、参变分离后函数在区间无最值，需用极限趋势判断； 4、含参讨论时漏掉二次项系数为0、判别式分类； 5、双变量任意、存在搞反最大最小对应关系。 八、考场标准答题模板 1、由题意，定义域为xxx； 2、不等式等价变形，分离参数得：a > g(x)； 3、令 g(x)=...，求导得 g’(x)=...； 4、列表判断单调性，求出 g(x) 在区间上最值； 5、由恒成立/能成立条件得参数不等式； 6、解得参数取值范围为xxx。 函数. (1)当时，求函数在的单调区间； (2)若存在，使得成立，求的取值范围； (3)若函数有两个零点、，且，求的取值范围. 已知，函数. (1)当时，求函数的极小值； (2)证明：当时，对任意，，都有； (3)若存在，，，使得成立，求实数a的取值范围. 已知函数 (1)若，求函数的单调区间； (2)若对任意，恒有成立，求实数的取值范围. 1．已知函数，为的导函数，曲线关于点对称. (1)求的值； (2)，恒成立. （i）求b的值并探究的零点个数； （ii）若，且，证明：. 2．已知函数． (1)已知是曲线的切线，求实数的值； (2)对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)时，函数曲线上存在不关于原点对称的两点，满足，其中为坐标原点，求点横坐标的取值范围． 3．已知函数. (1)当时，求的单调区间和极值； (2)当时，证明：存在两个零点； (3)若对任意恒成立，求实数的取值范围，并比较与的大小. 4．已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)设函数. （i）证明：恒成立； （ii）若，证明：，. 5．已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 6．已知函数，． (1)求函数的极小值； (2)讨论函数的单调性； (3)若存在实数a，使得在恒成立，求实数b的取值范围． 7．已知. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)已知是的导函数，若存在，使得对任意成立，求的取值范围； (3)若有两个极值点，且，求证：. 【题型3：利用导函数研究函数零点问题】 一、核心定义 函数零点：使得 f(x)=0 的实数 x，等价于： 1、函数图像与 x 轴交点横坐标； 2、方程 f(x)=0 的实根； 3、两函数图像 y=f(x) 与 y=0 交点个数。 二、零点存在基本定理 若函数 f(x) 在 [a,b] 上连续，且 f(a)f(b)<0， 则 f(x) 在 (a,b) 内至少有一个零点。 补充：若同时在区间单调，则有且只有一个零点。 三、高考导数零点问题三大核心题型 1、判断零点个数； 2、已知零点个数求参数范围 3、零点存在、零点分布、零点求和与估值。 四、导数研究零点通用解题步骤 1、求函数定义域； 2、求一阶导数 f'(x)，研究单调性、极值、最值； 3、画出函数简易走势图像（增减区间、极大极小值）； 4、取特殊点算函数值（端点、极值点、无穷趋势）； 5、用零点存在定理 + 极值正负 判断零点个数； 6、含参题型：分类讨论，转化为极值正负列不等式求参数。 五、判断零点个数核心判定法则 设函数在区间内单调： 1、单调递增：两端点异号 ⇒ 1个零点；同号 ⇒ 无零点。 2、单调递减：两端点异号 ⇒ 1个零点；同号 ⇒ 无零点。 有极值的非单调函数： 1、极大值＜0：全程在x轴下方，无零点； 2、极小值＞0：全程在x轴上方，无零点； 3、极大值＞0，极小值＜0：3个零点； 4、极大值=0 或 极小值=0：相切，重零点； 5、只有一个极值且极值=0：1个零点。 六、两大常用解题方法 方法一：直接研究原函数法（主流） 求导→判单调→求极值→算特殊点函数值→看图像与x轴交点个数。 适用：整式、对数、指数常规函数。 方法二：参变分离 数形结合法 把方程 f(x)=0 变形为：a = g(x) 转化为：直线 y=a 与曲线 y=g(x) 交点个数 步骤： 1、分离参数得 a=g(x)； 2、求g(x)单调性、极值、图像趋势； 3、数形结合看直线与曲线交点个数； 4、反推参数 a 的取值范围。 七、极限趋势必备结论（高考必考） 1、x时：指数增长＞幂函数＞对数； 2. x时：lnx； 3. 含 ex：x,ex；x,ex； 用于判断函数两端向上还是向下，确定零点有无。 八、含参零点分类讨论顺序 1、先看定义域； 2、求导后先讨论一次项、二次项系数是否为0； 3、二次型再讨论判别式； 4、再讨论根的大小、根是否在定义域内； 5、求出单调区间、极大极小值； 6、令极值大于0、小于0、等于0，解参数范围。 九、零点压轴常见模型 1、单极值点模型：最多2个零点； 2、双极值点模型：可0个、1个、2个、3个零点； 3、对数+一次函数、指数+一次函数高频考零点； 4、隐零点问题：零点求不出精确值，设x0代换，整体代入化简。 十、隐零点问题处理套路 1、设零点为x0，满足 f'(x0)=0； 2、得到关系式，用来降次、消去指数/对数； 3、不求解x0，利用范围 x0∈(m,n) 整体代换求值、证不等式。 十一、高频易错点 1、忽略定义域，盲目判零点； 2、只看极值，不看区间端点和无穷趋势； 3、零点存在定理只判有零点，不判个数，忘了结合单调性； 4、含参讨论漏情况：二次项系数为0、判别式等于0； 5、数形结合时漏掉切线临界位置，等号取舍错误。 十二、考场标准答题模板 1、写出函数定义域； 2、求导，整理化简； 3、讨论参数，划分单调区间； 4、求出函数极大值、极小值； 5、计算区间端点或无穷远处函数趋势； 6、由极值正负及零点存在定理，判断零点个数； 7、含参题列出不等式，解出参数取值范围。 已知函数.其中 (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)当时，讨论的零点个数； (3)当时，设，若，满足，证明：. 设函数. (1)证明：曲线在点处的切线过定点，并求出该定点坐标； (2)若有两个零点，求的取值范围. 已知函数，其中． (1)讨论的单调性． (2)若函数有两个不同的零点． ①求实数的取值范围； ②证明：． 1．已知函数. (1)若是函数的极大值点，求实数的取值范围； (2)若函数有且仅有两个零点，. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明：. 2．已知函数． (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数a的值； (2)若函数有三个零点，且． （ⅰ）求实数a的取值范围； （ii）求证：． 3．已知函数，（其中），其导函数为． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，求实数的取值范围，并探究函数的零点个数． 4．已知函数. (1)若在处的切线为，求的值； (2)当时，确定在上的零点个数. 5．已知函数有唯一的极值点． (1)求的取值范围； (2)设是的两个零点，记，，． （i）证明：； （ii）判断是否可能为直角三角形，并说明理由． 6．已知函数． (1)若对恒成立，求的取值范围； (2)若函数有2个零点 （i）求的取值范围； （ii）求证：． 7．已知函数． (1)当时，证明：在R上存在唯一零点，并求的零点的值； (2)设，为的两个极值点， （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）证明：． 【题型4：利用导函数研究函数切线问题】 一、切线基本概念 1、函数 y=f(x) 在点x=x0处的切线： 切点 (x0,f(x0))，切线斜率 k=f'(x0)。 2、两类切线题型： 在曲线上某点处的切线（切点已知）； 过曲线外一点作曲线的切线（切点未知，需设切点）。 二、切线方程万能公式 1、已知切点 P(x0,f(x0)) 斜率：k = f'(x0) 点斜式：y - f(x0) = f'(x0)(x - x0) 整理成斜截式：y = kx + b 2、切线与直线位置关系 两直线平行：斜率相等 k1=k2 两直线垂直：斜率乘积为 -1，即 k1·k2=-1 三、两大核心题型解法模板 题型1：求曲线在已知点处的切线（点在曲线上） 解题步骤： 1、求函数定义域； 2、求导 f'(x)； 3、代入切点横坐标x0，求斜率 k=f'(x0)； 4、求切点纵坐标 f(x0)； 5、代入点斜式写出切线方程，整理一般式。 题型2：过定点求曲线切线（点不在曲线上，切点未知） 解题步骤： 1、设切点为(x0,f(x0))； 2、求导得斜率 k = f'(x0)； 3、写出切线方程：y - f(x0) = f'(x0)(x - x0)； 4、把已知定点坐标代入切线方程； 5、解关于x0的方程，求出切点个数； 6、有几个切点就有几条切线。 四、公切线问题（高考高频压轴） 两条曲线 y=f(x)、y=g(x) 有公切线满足两个条件： 1、切点处斜率相等：f'(x1)=g'(x2) 2、切线为同一条直线：两点分别代入切线方程，截距相等 解题通用步骤： 1、分别设两曲线切点 x1,x2； 2、分别求导，令斜率相等； 3、分别写出两条切线方程； 4、由是同一条切线，截距相等列第二个方程； 5、联立方程组，求解 x1,x2或参数范围。 五、切线常见特殊结论 1、函数在切点处：函数值=切线函数值，导数值=切线斜率； 2、若切线水平：斜率 k=0，即f'(x0)=0； 3、若切线竖直：导数不存在，垂直x轴； 4、曲线与切线只有一个公共点，不代表只有一个交点，只是局部相切； 5、三次函数最多3条过定点的切线。 六、含参切线问题解题思路 1、按常规设切点、求斜率、写切线方程； 2、代入已知点坐标，得到含参数和切点横坐标的方程； 3、转化为方程有解、有几个解的问题； 4、可用导数研究新函数零点个数，反求参数取值范围。 七、考场标准答题模板 1、由题意，函数为 f(x)=… 2、求导得：f'(x)=… 3、设切点为(x0,f(x0))，则切线斜率 k=f'(x0) 4、切线方程为：y - f(x0) = f'(x0)(x - x0) 5、将已知点代入方程，解得x0=… 6、代回得所求切线方程：… 八、高频易错点 1、混淆“在点处切线”和“过点切线”，不点在曲线上也直接当切点用； 2、求导计算错误，导致斜率出错； 3、公切线只列斜率相等，忘记截距相等条件； 4、含参切线方程不化简，遗漏多解情况； 5、忽略切线平行、垂直的斜率关系判定。 已知函数. (1)曲线在处的切线为，当点到直线的距离最大时，求的值； (2)若对任意恒成立. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 已知函数，其中e为自然对数的底数， (1)当时，求在处的切线； (2)若为实数，，求的最小值； (3)已知，且在单调递增，求实数的取值范围. 已知在点处切线为． (1)若，求的单调区间； (2)当时，证明：切线不经过； (3)已知，，，，其中，切线与轴交于点时．当，符合条件的的个数有多少个？ （参考数据：，，） 1．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时， （i）过点可以作函数的两条切线，求b的取值范围； （ii）设A，B是图象上两个不同的点，且A，B两点到的距离相等，判断线段AB的中点在第几象限，并证明. 2．曲线在点处的切线为． (1)求直线的方程； (2)若直线与曲线在轴右侧只有一个公共点，求实数的值． 3．设函数（）. (1)当时，求证：直线是曲线的切线； (2)求的单调区间； (3)判断函数是否存在极值.如果存在，求出所有的极值；如果不存在，说明理由. 4．已知函数，. (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的方程； (2)在（1）的条件下，若恒成立，求实数的取值范围； (3)设，证明：函数有两个零点，（），且满足. 5．已知函数. (1)若曲线在处的切线平行于轴，求的值； (2)当时，求函数在内的极大值点和极小值点的个数； (3)证明：对任意，曲线上存在四个不同的点共圆. 6．已知函数. (1)当时，证明：； (2)设、，分别过、作曲线的切线、，且与交于点，记的面积为. （ⅰ）求的坐标（用表示）； （ⅱ）求在区间上的最大值. 7．已知函数的图象关于点中心对称． (1)求的值； (2)设是曲线的切线，证明：与直线围成的三角形的面积与切点无关； (3)设，证明：． 【题型5：利用导函数研究函数的极值点偏移问题】 一、极值点偏移基本定义 1、常规不偏移 若函数 f(x) 仅有一个极值点 x0， 且 f(x1)=f(x2) 时，满足=x0， 称极值点不偏移，图像关于直线 x=x0对称。 2、极值点偏移 若 f(x1)=f(x2) ，且≠x0，称为极值点偏移。 左偏移： > x0 右偏移：< x0 3、题型特征 已知函数 f(x) 有唯一极值点 x0，且 f(x1)=f(x2),x1≠x2， 求证：x1+x2>2x0 或 x1+x2<2x0。 二、核心解题四大通用方法 方法一：构造对称函数法（高考最常用、首选） 解题步骤： 1、求导找出唯一极值点x0； 2、构造对称辅助函数：F(x)=f(x)-f(2x0-x)； 3、确定定义域范围，求 F'(x)，判断 F(x) 单调性； 4、判定 F(x) 正负：x>x0 时 F(x)>0 或 F(x)<0； 5、利用f(x1)=f(x2)转化，结合单调性比较 x1,x2与x0关系； 6、证出x1+x2>2x0 或 x1+x2<2x0。 方法二：比值换元法（对数型、指数型专用） 适用：含ln x、ex 结构的极值点偏移 步骤： 1、由f(x1)=f(x2)列式，整理成齐次式； 2、设 t=(t>0,t≠1)； 3、把双变量 x1,x2 统一换成单变量 t； 4、构造关于 t 的函数，求导研究单调性； 5、利用 t>1 或 0<t<1 证明不等式。 方法三：差值换元法 设 x2=x1+t (t>0)，将双变量化为单变量函数，求导证单调性与不等式。 方法四：切线放缩、凹凸性判定法 1、函数凹/凸性判定：二阶导数 f''(x) f''(x)>0 函数凹函数； f''(x)<0 函数凸函数； 2、凹凸性直接决定极值点左偏还是右偏； 3、利用切线不等式放缩，快速证明偏移不等式。 三、标准解题通用步骤（考场直接套用） 1、求定义域，求一阶导数 f'(x)，求出唯一极值点x0； 2、设x1<x0<x2，满足f(x1)=f(x2) ； 3、选择合适方法：对称构造/比值换元/凹凸性； 4、构造辅助函数，求导判断单调性； 5、利用函数单调性脱去 f 符号，转化自变量大小关系； 6、整理得出x1+x2与2x0 的大小关系。 四、常见结论规律 1、凸函数 f''(x)<0：极值点右偏移，x1+x2<2x0； 2、凹函数 f''(x)>0：极值点左偏移，x1+x2>2x0 ； 3、对数函数、一次函数组合多为左偏移； 4、指数函数、一次函数组合常考偏移证明。 五、典型命题句式 1、已知 f(x) 在 x=x0处取极值，且f(x1)=f(x2)，求证：x1+x2>2x0； 2、已知函数有两个零点 x1,x2，证明零点满足x1+x2>2x0； 3、含参极值点偏移：先求极值点，再构造函数证明偏移不等式。 六、高频易错点 1、未先求极值点x0，直接盲目构造函数； 2、构造对称函数后，忘记判断定义域和单调区间； 3、换元后忽略 t>0 且 t≠1 的范围； 4、分不清凹凸性与左偏、右偏的对应关系； 5、不会利用f(x1)=f(x2)进行等量代换。 七、考场标准答题模板 1、由题意得函数定义域，求导 f'(x)，令 f'(x)=0 得极值点x0； 2、不妨设x1<x0<x2，满足 f(x1)=f(x2)； 3、构造辅助函数 F(x)=f(x)-f(2x0-x)，x>x0； 4、求 F'(x)，判断 F(x) 在 (x0,+∞) 单调递增/递减； 5、得 F(x)>F(x0)=0，即 f(x)>f(2x0-x)； 6、代入 x=x2 得 f(x2)>f(2x0-x2)； 7、由 f(x1)=f(x2) 得 f(x1)>f(2x0-x2)； 8、由函数在 (-∞,x0) 单调递减/递增，脱去 f 得x1<2x0-x2； 9、整理即证：x1+x2<2x0 或 x1+x2>2x0。 已知函数，是的导函数. (1)当时，证明：； (2)讨论的极值点个数； (3)若有两个极值点，证明：. 已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，若函数有个不同的零点，． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明： 已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，存在不相等的、，满足，证明：； (3)对任意的，恒成立，求a的取值范围． 1．设函数， (1)若有极值点、无零点，求的取值范围； (2)若的图象在区间内存在两条互相垂直的切线，求的取值范围； (3)设，若方程有两个实数根、，且，求证：，且． 2．已知函数，直线是曲线的一条切线． (1)求的值，并讨论函数的单调性； (2)若，其中，证明：． 3．曲率是指曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，曲率越大，表示曲线在该点处的弯曲程度越大．记，定义曲线在点处的曲率为． (1)比较曲线在点和处弯曲程度的大小； (2)若函数的图象上存在两个不同的点、，使得曲线在、处的曲率均为． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 4．已知曲线在点处的切线为． (1)求直线的方程； (2)证明：除点外，曲线在直线的下方； (3)设，求证：． 5．已知函数. （1）证明：曲线在点处的切线恒过定点； （2）若有两个零点，且，证明：. 6．函数的定义域为，在上仅有一个极值点，方程在上仅有两解，分别为、，且．若，则称函数在上的极值点左偏移；若，则称函数在上的极值点右偏移． (1)设，，判断函数在上的极值点是否左偏移或右偏移？ (2)设且，，，求证：函数在上的极值点右偏移； (3)设，，，求证：当时，函数在上的极值点左偏移． 7．设函数的定义域为，在上仅有一个极值点，方程在上仅有两解，分别为，且．若，则称函数在上的极值点左偏移；若，则称函数在上的极值点右偏移． (1)设，判断函数在上的极值点是否左偏移或右偏移，并说明理由； (2)设且，，，求证：函数在上的极值点右偏移； (3)设，，，求证：当时，函数在上的极值点左偏移． 17 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $