福建莆田市秀屿区毓英中学2025-2026学年九年级下学期第二次综合素养展示数学试卷

**基本信息** 2025-2026学年毓英九年级下第二次月考数学试卷，以纳米科技（0.7纳米科学记数法）、AI软件调查、古代数学典籍为情境，通过基础题（实数比较）、综合题（二次函数与几何）、探究题（直角三角形内接正方形）梯度设计，考查数学抽象、推理与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|实数、图形性质、视图、科学记数法|第4题结合纳米科技情境，考查科学记数法| |填空题|6题|因式分解、函数交点、概率、杠杆原理|第16题杠杆原理应用题，体现模型意识| |解答题|9题|三角形全等、统计与概率、圆综合、探究性学习|第25题探究直角三角形内接正方形两种截取方法，培养创新意识；第20题AI软件调查，考查数据处理能力|

2025-2026学年毓英九年级下第二次月考 一、单选题 1．在下列四个数：﹣1、0、、﹣2026中，最小的是（　　） A．﹣2026 B．0 C． D．﹣1 2．观察下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．如图所示的几何体，其俯视图是（ ） 4．2025年11月14日，中国团队在国际顶级期刊《科学》发表论文，通过电化学沉积结合非晶晶化的创新方法，让镍钼原子以面心立方和密排六方两种结构交替堆叠，形成仅0.7纳米的超精细界面，一款具备“负能界面”的新型Ni（Mo）合金正式亮相．0.7纳米＝0.0000000007米，这个数据用科学记数法表示为（　　） A．0.7×10﹣9 B．0.7×10﹣10 C．7×10﹣9 D．7×10﹣10 5．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，AB为⊙O的直径，∠BED＝20°，则∠ACD的度数为（　　） A．70° B．75° C．80° D．65° 7．已知菱形的两条对角线长是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则此菱形的面积是（　　） A．12 B．7 C．6 D．20 8．我国古代数学著作《增删算法统宗》有题如下：“甲乙二人沽酒，不知谁少谁多．乙钞少半甲相和，二百无零堪可．乙得甲钱中半，亦然二百无那，英贤算得的无讹，将甚法儿方可？”其大意是：“甲乙二人买酒，不知谁买多买少．只知乙买酒的钱的与甲买酒钱之和恰好为200文．若乙得到甲买酒钱的一半，也有200文．试问甲、乙买酒各用了多少钱，才智出众的人算得无误，就称为好解法．”设甲买酒钱x文，乙买酒钱y文，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 9．如图，点O是△ABC的外心，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，点M、N分别是OD、OE的中点，连接MN，若MN＝2，则BC是（ ） ． A．9 B．4 C．7 D．8 10． 如图，将抛物线y＝x2﹣4x位于x轴下方的图象沿x轴翻折，直线l∥x轴，与图象交于A、B、C、D四点，若，则AD的长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．因式分解：___________ 12. 不等式的解集是_____________ 13．如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b），则关于x，y的方程组的解是 　 　 ． 14．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的，任意投掷飞镖一次，击中黑色小正方形的概率为　 　 ． 15．如图，半径为2的⊙O与正五边形ABCDE的两边AE、CD相切于点A、C，则扇形OCA（小于半圆）的面积是____________ 16. 如图，取一根长100cm的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起．一个物体挂在距离点O的左侧25cm处，重量G＝10N．在点O的右侧用一个弹簧秤竖直向下拉，使木杆处于水平静止状态．此时，弹簧秤与点O的距离是x（cm），弹簧秤的示数是y（N）．（根据杠杆原理，当杠杆处于水平静止状态时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，即G•d＝y•x）。移动弹簧秤的位置，使木杆仍处于水平静止状态，则弹簧秤的示数y的最小值为______N． 三、解答题 17．计算： 18．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，求证：△ABC≌△ADE． 19. 化简求值：，其中． 20. 中国的人工智能（AI）领域近年来取得了显著的进展，并推动了AI技术在各行各业的普通应用．小城同学采用抽样调查的方式对七年级一班同学做了“我最常使用的AI软件”的问卷调并根据调查收集的数据，绘制了如下的统计图表． 七年级学生最常使用的“AI”软件统计表 AI软件 使用人数 Deepseek 18 Kimi 12 豆包 a 腾讯元宝 6 其他软件 4 （1）a＝ 　 　 ； （2）已知七年级有1200名同学，试估算最常使用“Deepseek”的同学有多少名？ （3）小城了解到：使用“Deepseek”和“Kimi”组合生成的ppt效果很好，堪称“王炸组合”现从“Deepseek”、“Kimi”、“豆包”、“腾讯元宝”这四款软件中挑出两款，请用列表或画树状图的方法求挑出的恰好是“Deepseek”和“Kimi”的概率． 21. 如图，在菱形ABCD中，E是边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F． （1）求证：BC＝FC； （2）若AB＝2，且AE⊥CD，求AF的长． 22．如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC延长线上的一点，且CD＝CA，DB的延长线交⊙O于点E． （1）求证：AB＝BD； （2）若AB＝3，cos∠ABE，求AD的长． 23．已知整数x，y，p，q，满足x﹣y＝pq，且x≠y． （1）求证：x2﹣y2﹣2pqy为正数； （2）若q为奇数，判断xp+yp是否可以为偶数，说明你的理由． 24．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图2，连接BC，过点C作CD⊥BC与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②如图3，点E，F为线段BC上两个动点（点E在点F的右侧），且EF，连接OF，DE．求OF+DE的最小值． 25．阅读材料，回答问题． 主题 直角三角形中最大内接正方形的截取探究 提出问题 要在一个直角三角形中截取最大内接正方形，只有两种情况：一种是正方形的两边落在两条直角边上；另一种是正方形一边落在斜边上，有两个顶点分别落在两条直角边上．那么，哪种截取方法所得到的内接正方形的面积最大？ 特例感知 在Rt△ABC，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8． 问题1： （1）小明同学所截取正方形的两边落在两条直角边上，请在图1中求作符合要求的正方形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出所截取正方形的边长为　 　 ； 问题2： （2）小红同学所截取正方形一边落在斜边上，有两个顶点分别落在两条直角边上，如图2所示，请求出所截取正方形的边长． 猜想验证 由上述特例，可以猜想并验证两种截取内接正方形的边长大小关系． 问题3： （3）对于任意Rt△ABC，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设按小明方法所截取的正方形边长为x，按小红方法所截取的正方形边长为y，试比较x，y的大小，并说明理由． 2025-2026学年毓英九年级下第二次月考 参考答案与试题解析 一．选择题 1-5 ADBDC 6-10 ACBDD 10. 解：设B（x1，k）、C（x2，k），A（x3，k）、D（x4，k）， 由题意得﹣k＝x2﹣4x或k＝x2﹣4x， 整理得：x2﹣4x+k＝0或x2﹣4x﹣k＝0， ∴x1、x2是方程x2﹣4x+k＝0的两个根，x3、x4是方程x2﹣4x﹣k＝0的两个根， ∴x1+x2＝4，x1x2＝k，x3+x4＝4，x3x4＝﹣k， ∵BCAD， ∴AD＝2BC， ∴2×|x1﹣x2|＝|x3﹣x4|， ∴4（x1﹣x2）2＝（x3﹣x4）2， ∴4[（x1+x2）2﹣4x1x2]＝（x3+x4）2﹣4x3x4，即4（16﹣4k）＝16+4k， 解得k＝2.4， AD＝|x3﹣x4|． 故选：D． 二．填空题 11. 12. 13. 14. 15. 16. 5 16. 解：由题意设，把x＝25，y＝10代入，得k＝25×10＝250， ∴y关于x的函数解析式为． ∵k＝250＞0，x表示弹簧秤与中点O的距离，最大值是50cm， 又∵x＞0， ∴y随x的增大而减小， ∴把xmax＝50代入，得ymin＝5， ∴弹簧秤的示数y的最小值为5N． 三．解答题 17． 18．证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS）． 19．解： ， 当时，原式． 20．解：（1）七年级一班总人数为6÷12%＝50（人）， ∴a＝50×20%＝10， 故答案为：10； （2）1200432（名）， 答：最常使用“Deepseek”的同学约有432名； （3）将“Deepseek”、“Kimi”、“豆包”、“腾讯元宝”这四款软件分别记为A，B，C，D， 列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中挑出的恰好是“Deepseek”和“Kimi”的结果有2种，即（A，B），（B，A）， ∴挑出的恰好是“Deepseek”和“Kimi”的概率为． 21．（1）证明：由题意可得：AD＝BC，AD∥BC， ∴∠D＝∠DCF，∠F＝∠DAE， 又∵E是边CD的中点， ∴CE＝DE， ∴△ADE≌△FCE（AAS）， ∴AD＝FC， ∴BC＝FC； （2）解：由题意，AB＝BC＝2， ∴FC＝BC＝2， ∴BF＝4 ∵AE⊥CD， ∴∠AED＝90°， 又∵AB∥DC， ∴∠BAF＝∠AED＝90°， ∴在Rt△ABF中，． 22．（1）证明：连接BC， ∵AB是圆的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC⊥AD， ∵CD＝CA， ∴BC垂直平分AD， ∴AB＝BD； （2）解：连接AE， ∵AB是圆的直径， ∴∠E＝90°， ∴cos∠ABE， ∴BE＝1， ∴AE2＝AB2﹣BE2＝8， 由（1）知BD＝AB＝3， ∴DE＝BD+BE＝4， ∴AD2． 23．（1）证明：∵x﹣y＝pq， ∴x2﹣y2﹣2pqy ＝x2﹣y2﹣2（x﹣y）•y ＝x2﹣y2﹣2xy+2y2 ＝x2﹣2xy+y2 ＝（x﹣y）2， ∵x≠y， ∴（x﹣y）2＞0， ∴x2﹣y2﹣2pqy为正数． （2）可以，理由： ∵若p为偶数， 则pq为偶数， ∵x﹣y＝pq， ∴x﹣y为偶数， ∴x，y同为偶数或者同为奇数， ∴x+y为偶数， 则（x+y）p为偶数， ∴xp+yp可以为偶数． 24．解：（1）∵A（﹣1，0），B（3，0）， 在二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象上， 设该二次函数为y＝﹣（x﹣x1）（x﹣x2）， ∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）， ∴y＝﹣x2+2x+3； （2）①把x＝0代入y＝﹣x2+2x+3，得y＝3， ∴C（0，3）， 如图，延长DC与x轴相交于点G， ∵B（3，0），C（0，3）， ∴OB＝OC＝3， ∵∠COB＝90°， ∴∠CBO＝45°， ∵∠DCB＝90°＝∠BCG， ∴∠CGB＝90°﹣∠CBO＝90°﹣45°＝45°， ∴∠GCO＝180°﹣∠COG﹣∠CGB＝180°﹣90°﹣45°＝45°， ∴OG＝OC＝3， ∴G（﹣3，0）， 设直线CG的解析式为：y＝kx+m（k≠0）， 把C（0，3），G（﹣3，0）代入， 得， 解得， ∴直线CG的解析式为：y＝x+3， ∵点D是直线CG与二次函数的交点， ∴联立解析式， 解得或， ∴D（1，4）； ②如图，过点D作二次函数的对称轴平行于y轴，过点O作OH∥EF交二次函数的对称轴于点H，且，连接HE，设DH交x轴为点G， ∵OH∥EF，且OH＝EF， ∴四边形OFEH是平行四边形， ∴OF＝EH， ∵∠CBO＝45°， ∴∠BOH＝45°， ∴△OGH为等腰直角三角形， ∴OG＝GH， ∵，OG2+GH2＝OH2， ∴OG＝GH＝1， ∴H（1，﹣1）， ∵DE+EH≥DH， ∴当DE+EH＝DH时，DE+EH最小， ∵D（1，4），H（1，﹣1）， ∴DH＝5．此时D、E、H三点共线且DH⊥x轴， ∴点F的坐标为（0，3）与点C重合，满足EF在线段BC上， ∴DE+OF的最小值为5． 25．解：（1）如图，正方形DCEF就是所求的正方形， 设正方形边长为x，则EF＝CE＝x， ∵AC＝8， ∴AE＝8﹣x， ∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ACB， ∴，即， 解得x， 即所截正方形的边长为； 故答案为：； （2）如图，设所截取正方形的边长为x，过点C作AB边上的高线，分别交AB、DE于点H、I，则CH⊥AB，CI⊥DE， ∵BC＝6，AC＝8， ∴AB＝10 由S△ABCAC•BCAB•CH得：CH， ∵在正方形DEFG中，DE∥AB， ∴△CDE∽△CBA， ∴，即， 解得：DE； （3）x＞y，理由：如图1，按小明方法截取， ∵FE∥BC， ∴△AFE∽△ABC， ∴，即， 解得：x； 如图2，按小红方法截取，由S△ABCa•bc•CH， 解得：CH， ∵DE∥AB， ∴△CDE∽△CBA， ∴，即， 解得：y， ∵x﹣yab•ab•， ∵c＞a，c＞b， ∴c﹣a＞0，c﹣b＞0， ∴x﹣y＞0，即x＞y． 1 学科网（北京）股份有限公司 $