第11章 因式分解（知识清单）数学新教材青岛版七年级下册

第11章 因式分解 1.把一个多项式化成几个整式的乘积形式,这种式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。 2.整式乘法和因式分解是方向相反的代数变形。 3.在一个多项式中,各项都含有的相同因式叫作这个多项式中各项的公因式。 4.一般地,如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来, 将多项式化成公因式与另一个因式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫作提公因式法。 5.用提公因式法进行因式分解,关键在于找出多项式各项的公因式。 6.两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的乘积,即 a 2-b2=(a+b)(a-b)。 7.平方差公式的特点： 1）右边是两个二项式相乘。 2）两个二项式中，一项完全相同，一项互为相反数。 3）左边是相同项的平方减去相反项的平方。 8.因式分解时,所有的因式要分解到不能再继续分解为止。 9.两数的平方和,加上(减去)这两数乘积的2倍,等于这两数和(差)的平方,即,,形如这样的式子叫作完全平方式。 10.完全平方公式的特点： 1）右边是一个二项式的整体平方。 2）两项可相同、可不同，无互为相反数要求。 3）左边一共三项：首平方、尾平方，中间项是首尾乘积的2倍。 易错点1 对因式分解概念的理解错误 错误：混淆因式分解与整式乘法的变形方向，误将整式乘法展开过程当作因式分解；或分解结果不是“几个整式的乘积形式”，而是和差形式。 注意：明确因式分解的本质是化和为积，整式乘法是化积为和，二者是方向相反的恒等变形；分解的最终结果必须是整式的乘积形式。 例题1 下列各式中，从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 因式分解的结果必须是几个整式乘积的形式 ∴ A选项 结果为，是和的形式，不是整式乘积的形式，不属于因式分解； B选项，将多项式化为两个整式的乘积，符合因式分解的定义，属于因式分解； C选项 ，是整式乘法运算，是将乘积化为多项式，不属于因式分解； D选项 结果为，是和的形式，不是整式乘积的形式，不属于因式分解． 易错点2 提公因式法的易错点 错误：找公因式不彻底，漏取系数的最大公约数或字母的最低次幂；提公因式时，多项式某一项被完全提取后，漏写系数“1”；提取负号时，未改变多项式各项的符号。 注意：公因式要取各项系数的最大公约数与相同字母最低次幂的乘积；提公因式后，剩余项的系数和符号要与原式对应；提取负号时，多项式内每一项的符号都要随之改变。 例题2下面是甲、乙两位同学因式分解的结果，下列判断正确的是（    ） 甲同学：原式； 乙同学：原式． A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙均对 D．甲乙均错 【答案】C 【详解】解：甲同学：∵ 原式 ， ∴ 正确； 乙同学：原式 ， ∴ 正确． 故甲乙均对． 故选：C． 易错点3 平方差公式应用错误 错误：误将两项的平方和当作平方差分解；或分解后未验证两项是否“一项相同、一项互为相反数”，导致公式形式不匹配。 注意：严格对照平方差公式的结构特征，左边必须是相同项的平方减去相反项的平方，右边是两个二项式的乘积。 例题3 下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A、，故本选项符合题意； B、，则，故本选项不符合题意； C、，则，故本选项不符合题意； D、，则，故本选项不符合题意． 易错点4 完全平方公式应用错误 错误：误将平方和加上/减去两数积的2倍以外的系数当作完全平方式；或混淆“两数和”与“两数差”的完全平方形式，符号处理错误；遗漏中间项的2倍系数。 注意：完全平方式左边必须是“首平方、尾平方，中间项是首尾乘积的2倍”，符号由中间项的正负决定，需与公式结构完全匹配。 例题4 下列多项式分解因式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A：，故A错误； 选项B：，，故B错误； 选项C：，不是乘积形式，故C错误； 选项D：，是提取公因式，正确； 故选：D． 1．下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，它满足两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则不符合题意， ，它满足两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则不符合题意， ，它不满足两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则符合题意， ，它满足两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则不符合题意， 故选：． 2．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确； 故选：D． 3．下列多项式中，能用平方差公式分解因式有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：①，两项同号，不符合，不能分解； ②，符合条件，能分解； ③，符合条件，能分解； ④不是多项式，无法进行因式分解； ⑤，符合条件，能分解； 综上符合条件的共有3个． 4．多项式因式分解的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ． 5．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．是整式乘法运算，结果是多项式，不符合要求，不符合题意． B．将多项式变形为整式乘积的形式，符合因式分解的定义，符合题意． C．右边不是几个整式乘积的形式，不符合因式分解定义，不符合题意． D．右边中不是整式，不符合因式分解要求，不符合题意． 6．下列不能用公式法因式分解的多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵公式法因式分解常用平方差公式和完全平方公式， ∴对各选项分析如下： A选项：，可用平方差公式因式分解， B选项：，可用完全平方公式因式分解， C选项：不符合平方差公式或完全平方公式的形式，不能用公式法因式分解， D选项：，可用完全平方公式因式分解， 故答案为：C． 7．因式分解：________． 【答案】 【详解】解：． 8．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是________．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】③ 【详解】解：选项①是整式乘法，不是因式分解； 选项②右边不是积的形式，不是因式分解； 选项③左边是多项式，右边是整式的积，是因式分解； 选项④右边含有分式，不是整式，不是因式分解； 故答案为③． 9．下列从左到右的等式变形是不是因式分解？如果不是，请说明理由． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是因式分解，见解析 (2)是 (3)不是因式分解，见解析 【详解】（1）解：不是因式分解，理由：从左到右的变形不是化成整式积的形式， 故不是因式分解； （2）解：从左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解； （3）解：不是因式分解，理由：等式右边不是整式的形式， 故不是因式分解． 10．用提公因式法将下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章 因式分解 1.把一个多项式化成___________________________,这种式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式________________。 2._______________和________________是方向相反的代数变形。 3.在一个多项式中,各项都_________________________叫作这个多项式中各项的公因式。 4.一般地,如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式______________, 将多项式化成公因式与__________________________的形式,这种分解因式的方法叫作提公因式法。 5.用提公因式法进行因式分解,关键在于__________________________________。 6.两个数的平方差,等于___________________与____________________的乘积,即____________________ 22。 7.平方差公式的特点： 1）右边是______________________。 2）两个二项式中，一项_________________，一项__________________。 3）左边是___________________减去__________________。 8.因式分解时,所有的因式要分解到_____________________________。 9.两数的平方和,加上(减去)______________________,等于________________________,即________________________,,形如这样的式子叫作完全平方式。 10.完全平方公式的特点： 1）右边是一个_________________________。 2）两项可相同、可不同，无互为相反数要求。 3）左边一共三项：_____________、尾平方，中间项是_________________________。 易错点1 对因式分解概念的理解错误 错误：混淆因式分解与整式乘法的变形方向，误将整式乘法展开过程当作因式分解；或分解结果不是“几个整式的乘积形式”，而是和差形式。 注意：明确因式分解的本质是化和为积，整式乘法是化积为和，二者是方向相反的恒等变形；分解的最终结果必须是整式的乘积形式。 例题1 下列各式中，从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 易错点2 提公因式法的易错点 错误：找公因式不彻底，漏取系数的最大公约数或字母的最低次幂；提公因式时，多项式某一项被完全提取后，漏写系数“1”；提取负号时，未改变多项式各项的符号。 注意：公因式要取各项系数的最大公约数与相同字母最低次幂的乘积；提公因式后，剩余项的系数和符号要与原式对应；提取负号时，多项式内每一项的符号都要随之改变。 例题2下面是甲、乙两位同学因式分解的结果，下列判断正确的是（    ） 甲同学：原式； 乙同学：原式． A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙均对 D．甲乙均错 易错点3 平方差公式应用错误 错误：误将两项的平方和当作平方差分解；或分解后未验证两项是否“一项相同、一项互为相反数”，导致公式形式不匹配。 注意：严格对照平方差公式的结构特征，左边必须是相同项的平方减去相反项的平方，右边是两个二项式的乘积。 例题3 下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 易错点4 完全平方公式应用错误 错误：误将平方和加上/减去两数积的2倍以外的系数当作完全平方式；或混淆“两数和”与“两数差”的完全平方形式，符号处理错误；遗漏中间项的2倍系数。 注意：完全平方式左边必须是“首平方、尾平方，中间项是首尾乘积的2倍”，符号由中间项的正负决定，需与公式结构完全匹配。 例题4 下列多项式分解因式正确的是（   ） A． B． C． D． 1．下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 2．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列多项式中，能用平方差公式分解因式有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．多项式因式分解的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 5．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 6．下列不能用公式法因式分解的多项式是（    ） A． B． C． D． 7．因式分解：________． 8．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是________．（填序号） ①；②；③；④． 9．下列从左到右的等式变形是不是因式分解？如果不是，请说明理由． (1)； (2)； (3)． 10．用提公因式法将下列各式因式分解： (1)； (2)． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $