11.2 平面的基本事实与推论（讲义）高一数学人教B版必修第四册

第十一章 立体几何初步 11.2 平面的基本事实与推论 知识点一 平面的概念及其表示 1、平面的概念：几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出来的，是无限延展的，不计重量的抽象的概念 2、平面的画法：通常把水平的平面画成一个平行四边形，并且其锐角画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍，如图1所示；如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来，如图2所示 3、平面的表示方法： （1）用一个希腊字母等来表示，如上图1中的平面记为平面 （2）用两个大写的英文字母（表示平面的平行四边形的对角线的顶点）来表示，如上图1中平面记为平面AC或平面BD （3）用三个大写的英文字母（表示平面的平行四边形的不共线的顶点）来表示，如上图1中的平面记为平面ABC或平面BCD等 （4）用四个大写的英文字母（表示平面的平行四边形顶点）来表示，如上图1中的平面可记为平面ABCD 4、点、直线、平面的位置关系的符号表示 点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的 集合.点与直线(平面)之间的位置关系用符号表示，直线与平面之间的位置关系用符号表示. 即学即练 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）现有下列命题：①桌面是平面；②个平面重叠起来要比个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是，宽是；④平面是绝对平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面的概念和特征判断即可. 【详解】由平面的概念和特征知，平面是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判定命题④正确． 其余的命题都不符合平面的概念和特征，所以命题①②③都不正确． 故选：A． 知识点二 三个基本事实及其推论 1、三个基本事实 基本事实 自然语言 图形语言 符号语言 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. 三点不共线存在唯一的平面使. 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. ，， 且，⇒ 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 2、三个基本事实的作用 基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面. 基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面. 基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点. 3、基于基本事实的三个推论 推论 自然语言 图形语言 符号语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 点与共面于平面且平面唯一. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. a与b共面于平面,且平面唯一. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 直线直线共面于平面,且平面唯一. 即学即练 1．（25-26高二·上海·暑假作业）可以用集合语言将“公理1：如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上．”表述为（　　） A．，且，，则 B．若，且，，则 C．若，且，，则 D．若，且，，则 【答案】C 【分析】根据点、线、面位置关系的符号语言可得结果. 【详解】在空间几何中，点可以看成是元素，线和面应看成是集合， 根据元素属于集合，子集包含于全集可得： 公理1：如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上，用集合语言应表示为： 若，且，，则， 故选：C． 知识点三 共面、共线、共点问题的证明 1、证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内. 2、证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上. 3、证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点. 即学即练 1．（2026·安徽合肥·一模）已知空间中三条直线与平面分别交于不同的三点，则“三点共线”是“直线共面”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】举反例可说明充分性不成立，利用两平面有公共点，则公共点在两平面的交线上可说明必要性成立. 【详解】如图所示，空间中三条直线与平面分别交于不同的三点， 且三点共线，但直线不共面， 所以“三点共线”是“直线共面”的不充分条件； 若直线共面，设其为，则均在平面内，也在平面内， 则在平面与的交线上，所以三点共线， 所以“三点共线”是“直线共面”的必要条件； 所以“三点共线”是“直线共面”的必要不充分条件. 故选：B. 题型01 平面的概念及其表示 平面的本质：平面是无限延展的、绝对平的、没有厚度的图形（不能度量大小，只能叙述其位置关系） 1、画出来的平行四边形只是示意，真正的平面是无限大的。 2、立体几何符号题中（如 ），看到平面用小写希腊字母（）或顶点字母表示即可。 3、点与面的关系用“”，线与面、面与面关系用“”等符号。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·全国·课后作业）如果点在直线上，而直线又在平面内，那么可以记作（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用点、线、面的关系判断即得. 【详解】点是一个元素，直线和平面是一个集合，点在直线上可表示为：，AB错误； 而直线在平面内表示为，C错误，D正确． 故选：D 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课后作业）若直线在平面内，则符号表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逐一分析选项，根据直线与平面不同位置关系的定义，判断每个选项对应的位置关系是否与题干“直线在平面内”一致 【详解】对于A：直线在平面内是两个集合间的包含关系，符号表示为，A正确； 对于B：表示直线与平面平行，不符合题意，B错误； 对于C：是元素与集合的"属于"符号，仅用来表示点在直线/平面内，不能表示直线与平面的位置关系，C错误； 对于D：表示直线与平面相交于点，不符合题意，D错误. 2．（25-26高二上·上海·月考）已知空间的一个点，一条直线，一个平面，用集合的语言表述它们之间可能的位置关系，表述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点线、点面、线面关系的数学表达符号判断各项的正误. 【详解】由点线、点面关系用或表示，线面关系用或表示， 所以A、B、C错，D对. 故选：D 3．（24-25高一下·福建龙岩·期末）用符号语言表述“若直线在平面内，则直线上的一点必在平面内”，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用点与线、线与面、点与面的关系的集合表示，逐项判断. 【详解】由直线在平面内，得；由点在直线上，得；由点在平面内，得， 选项A正确，选项BCD都错. 故选：A 题型02 平面的基本性质及辨析 1、三点必须不共线才能确定平面 2、两平面有一公共点，则相交于一条直线，不一定重合 3、直线在平面外包括平行和相交两种情况 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二上·北京·期中）设A，B是两个不同的点，l是一条直线，，是两个不同的平面，下列推理错误的是（    ）． A．， B．， C．，，， D．，，， 【答案】A 【分析】对于A，举例，当与相交时，可能满足，即可判断；对于B，根据常识判断即可；根据基本事实2判断C；根据基本事实3判断D. 【详解】对于A，由，则或与相交， 当与相交时，可能满足，故A错误； 对于B，由，，易得，故B正确； 对于C，根据基本事实2可知，由，，，可得，故C正确； 对于D，根据基本事实3可知，由，，，，可得，故D正确. 故选：A 变｜式｜巩｜固 1．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）以下四个命题正确的是（   ） A．三个平面最多可以把空间分成八部分 B．若直线平面，直线平面，则“与相交”与“与相交”等价 C．若，直线平面，直线平面，且，则 D．若条直线中任意两条共面，则它们共面 【答案】AC 【分析】结合刻画空间点、线、面位置关系的公理判断即可. 【详解】选项A：由图可知，三个平面最多可将空间分成8部分，故A正确； 选项B：由，，若直线，相交，平面，必相交，若平面，相交，平面内的直线，内的直线未必相交，可能异面；B错误． 选项C：由基本事实3（如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线），C正确． 对于D，若条直线相交于同一点，则它们不一定共面，D错误． 故选：AC. 2．（25-26高一下·广东·期中）如图，，，，且，直线，过三点的平面记作，则与的交线必通过（　　） A．点 B．点 C．点但不过点 D．点和点 【答案】D 【详解】∵直线，且，所以，由，则； 又因为且. 所以. 所以与的交线必通过点和点. 3．（25-26高二上·上海·期中）“直线上有两点在平面内”是“这条直线在这个平面内”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据基本事实，结合充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由基本事实，直线上有两点在平面内，则这条直线在这个平面内，反之亦然. 所以“直线上有两点在平面内”是“这条直线在这个平面内”的充要条件. 故选：C 题型03 空间中的点共线问题 公共交线法：证明这些点同时在两个平面的交线上 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在正方体中，设线段与平面交于点，则三点的位置关系是_____________． 【答案】共线 【分析】连接，根据基本事实2、基本事实3可得答案． 【详解】如图，连接，， 显然平面，平面， 平面． 同理，平面， ∴平面平面． 平面， 平面． 又平面，平面． 在平面与平面的交线上，即， ，，三点共线． 故答案为：共线. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高三·上海·一轮复习）如图，在正方体中，对角线与平面交于点O，AC与BD交于点M，E为AB的中点，F为的中点，求证：，O，M三点共线． 【答案】证明见解析 【分析】由题意得平面，又可证平面，根据基本事实，即可得证． 【详解】由题意得平面， 又，平面， 所以平面， 由基本事实3可得，点在平面和平面的交线上， 所以三点共线． 2．如图，空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且． (1)求证：四点共面； (2)设与交于点，求证：三点共线． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）证明四边形中有一对平行直线即可. （2）要证明三点共线，可证明点在直线上，即证明点在平面与平面的交线上即可. 【详解】（1）证明：在中，∵为的中点， ∴． 在中，∵， ∴，∴， ∴四点共面． （2）∵，，， ∴平面，平面， 又平面平面， ∴直线．∴三点共线． 3．如图，在四面体中作截面，若、的延长线交于点，、的延长线交于点，、的延长线交于点．求证：、、三点共线 【答案】证明见解析 【分析】根据点线面的关系，结合相应的公理即可证明. 【详解】因为，所以直线平面， 又，则直线平面， 所以是平面与平面的一个公共点， 所以在平面与平面的交线上， 同理可证，、也在平面与平面的交线上， 所以、、三点共线． 题型04 空间中的点（线）共面问题 证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内. 典｜例｜精｜析 1．（多选）（2027高三·全国·专题练习）（多选）如图，在正方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（     ） A．，，三点共线 B．，，，四点共面 C．，，，四点共面 D．，，，四点共面 【答案】AB 【分析】利用平面的基本性质，通过寻找两个平面的公共点来确定交线，从而判断点共线或共面，再结合异面直线的判定方法分析其他选项. 【详解】因为，平面，所以平面．因为，平面， 所以平面，所以是平面和平面的公共点． 同理可得，点和都是平面和平面的公共点， 所以，，三点在平面与平面的交线上，即，，三点共线，故A，B正确； 根据异面直线的判定定理可得与为异面直线，故，，，四点不共面，故C不正确； 根据异面直线的判定定理可得与为异面直线，故，，，四点不共面，故D不正确． 故选：AB． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高三·全国·二轮复习）如图所示，在平行六面体中，底面是边长为3的菱形，分别在线段和上，且，. 证明：四点共面. 【答案】证明见解析 【分析】利用向量的方式，在平行六面体中，用基底的方式分解，根据长度关系，，最终证明，即可证明四点共面； 【详解】在中，， 在平行六面体中：且 又因为，，所以， 则有，即四点共面. 2．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，点是的中点.线段上是否存在一点，使得点共面？存在请证明，不存在请说明理由. 【答案】存在，证明见解析 【分析】取的中点，连接，通过即可求证. 【详解】存在，当为的中点，点D，C，E，G共面. 证明如下： 取的中点，连接， 又∵点是的中点，∴， 在底面直角梯形中，，则， 所以线段上存在一点（的中点），使得点共面. 3．（25-26高一下·浙江嘉兴·期中）如图，已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，分别为的中点. (1)求三棱锥的表面积； (2)求三棱锥的体积； (3)求证：四点共面. 【答案】(1)16 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出侧面与底面三角形的面积即可得解； （2）根据棱锥的体积公式求解； （3）利用两条平行线确定一个平面，证明四点共面即可. 【详解】（1）由题意，， 在三角形中，， 所以， 所以. （2）, 因为三棱锥的高， 所以. （3）连接， 因为分别为的中点，所以且. 因为是直四棱柱，且底面是正方形， 所以，且，即四边形是平行四边形， 所以，所以， 所以四点共面. 题型05 空间中的线共点问题 证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点. 典｜例｜精｜析 1．（2027高三·全国·专题练习）在三棱锥的边，，，上分别取，，，四点，如果，则点（     ） A．一定在直线上 B．一定在直线上 C．在直线或上 D．不在直线上，也不在直线上 【答案】B 【分析】利用平面的基本性质，先由点在两条直线上推出点分别在两个平面内，再根据两个平面的交线确定点一定在这条交线上. 【详解】 如图所示，因为平面，平面，，所以平面，平面； 又因为平面平面，所以． 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二上·上海·月考）如图，已知空间四边形ABCD，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且，．则直线FH与EG的交点一定在直线________上（注：不能填“FH”“EG”）    【答案】 【分析】先证明直线与直线交于，再证明过点即可. 【详解】由题意与直线不平行，但共面，∴设，则平面，平面. ∵平面平面，，∴直线共点. 故答案为：. 2．（25-26高二上·四川内江·月考）如图，在正四棱台中，分别为棱，，，的中点． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)证明，，相交于一点． 【答案】(1)相交，理由见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用中位线和棱台的结构特征，证明，可得以E，F，G，H四点共面，进而得出为梯形，则与必相交； （2）由为梯形，则与必相交，证明交点在上即可． 【详解】（1）证明：连接，，如图所示， 因为为正四棱台，所以， 又E，F，G，H分别为棱，，，的中点，所以，， 则，所以E，F，G，H四点共面，因为，所以， 所以为梯形，则与必相交． （2）因为为梯形，则与必相交． 设，因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面， 又平面平面， 所以，则，，交于一点． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点； 【答案】证明见解析 【分析】先证明，可推得相交于点，再证明即可. 【详解】在正方体中，连接， 由，得四边形是平行四边形，则， 由分别是的中点，得，则，即四点共面， 而，则相交，设交点为，则，而平面，则平面， 同理平面，而平面平面 则，即点在直线上，所以直线交于同一点. 题型06 由平面的基本性质做截面 1、找已有交点：标出截面与棱的已知交点 2、延长连线找新点：将截面上的两点延长至与底面/侧面棱相交 3、连点成线：依次连接所有交点，围成截面多边形 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二上·上海·期末）已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【分析】采用截面扩展法找出截面与各条棱的交点，即可得到截面形状. 【详解】 延长，交的延长线于点，延长，交的延长线于点， 连接，交于，连接，交于， 连接，. 则五边形即为过与该正方体的截面. 故选：C. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课后作业）一平面与正方体表面的交线围成的封闭图形称为正方体的“截面图形”．在棱长为1的正方体中，为的中点，为的中点，过三点的截面图形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 延长交的延长线于点，连接交于点， 延长交的延长线于点，连接交于点，连接， 如图所示，可得正方体的截面图形为五边形． 由与相似得， 所以，与相似得，所以． 由勾股定理得，， ，，， 所以截面图形的周长为． 2．（25-26高三下·云南昆明·月考）在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定四点共面，进而计算结果即可. 【详解】取线段的中点为，的中点为，，如图， 因为正方体中，分别是棱的中点， 所以，所以四点共面. 由正方体的棱长为2，可得，， 所得截面周长为， 故选：B. 3．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知正方体的棱长为3，点在棱上，，点在棱上（点异于两点），若平面截正方体所得的截面为五边形，则线段长的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题关键是结合正方体的结构特征与平面基本性质,分析截面为五边形的临界条件,再利用勾股定理将线段长度转化为所求变量的表达式,进而求解取值范围. 【详解】由题意知,，又，故. 则. 当时，可知， 又，则， 故平面截正方体所得的截面为四边形(如图)， 当时，过点作的平行线交于点， 可知平面截正方体所得的截面为四边形(如图), 当时，过点作的平行线交的延长线于， 交于点，连接交于点， 可知平面截正方体所得的截面为五边形(如图3), 综上所述，使得平面截正方体所得的截面为五边形时, 即的范围为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 立体几何初步 11.2 平面的基本事实与推论 知识点一 平面的概念及其表示 1、平面的概念：几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出来的，是无限延展的，不计重量的抽象的概念 2、平面的画法：通常把水平的平面画成一个平行四边形，并且其锐角画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍，如图1所示；如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来，如图2所示 3、平面的表示方法： （1）用一个希腊字母等来表示，如上图1中的平面记为平面 （2）用两个大写的英文字母（表示平面的平行四边形的对角线的顶点）来表示，如上图1中平面记为平面AC或平面BD （3）用三个大写的英文字母（表示平面的平行四边形的不共线的顶点）来表示，如上图1中的平面记为平面ABC或平面BCD等 （4）用四个大写的英文字母（表示平面的平行四边形顶点）来表示，如上图1中的平面可记为平面ABCD 4、点、直线、平面的位置关系的符号表示 点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的 集合.点与直线(平面)之间的位置关系用符号表示，直线与平面之间的位置关系用符号表示. 即学即练 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）现有下列命题：①桌面是平面；②个平面重叠起来要比个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是，宽是；④平面是绝对平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为（   ） A． B． C． D． 知识点二 三个基本事实及其推论 1、三个基本事实 基本事实 自然语言 图形语言 符号语言 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. 三点不共线存在唯一的平面使. 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. ，， 且，⇒ 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 2、三个基本事实的作用 基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面. 基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面. 基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点. 3、基于基本事实的三个推论 推论 自然语言 图形语言 符号语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 点与共面于平面且平面唯一. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. a与b共面于平面,且平面唯一. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 直线直线共面于平面,且平面唯一. 即学即练 1．（25-26高二·上海·暑假作业）可以用集合语言将“公理1：如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上．”表述为（　　） A．，且，，则 B．若，且，，则 C．若，且，，则 D．若，且，，则 知识点三 共面、共线、共点问题的证明 1、证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内. 2、证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上. 3、证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点. 即学即练 1．（2026·安徽合肥·一模）已知空间中三条直线与平面分别交于不同的三点，则“三点共线”是“直线共面”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型01 平面的概念及其表示 平面的本质：平面是无限延展的、绝对平的、没有厚度的图形（不能度量大小，只能叙述其位置关系） 1、画出来的平行四边形只是示意，真正的平面是无限大的。 2、立体几何符号题中（如 ），看到平面用小写希腊字母（）或顶点字母表示即可。 3、点与面的关系用“”，线与面、面与面关系用“”等符号。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·全国·课后作业）如果点在直线上，而直线又在平面内，那么可以记作（   ） A．， B．， C．， D．， 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课后作业）若直线在平面内，则符号表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·上海·月考）已知空间的一个点，一条直线，一个平面，用集合的语言表述它们之间可能的位置关系，表述正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·福建龙岩·期末）用符号语言表述“若直线在平面内，则直线上的一点必在平面内”，正确的是（   ） A． B． C． D． 题型02 平面的基本性质及辨析 1、三点必须不共线才能确定平面 2、两平面有一公共点，则相交于一条直线，不一定重合 3、直线在平面外包括平行和相交两种情况 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二上·北京·期中）设A，B是两个不同的点，l是一条直线，，是两个不同的平面，下列推理错误的是（    ）． A．， B．， C．，，， D．，，， 变｜式｜巩｜固 1．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）以下四个命题正确的是（   ） A．三个平面最多可以把空间分成八部分 B．若直线平面，直线平面，则“与相交”与“与相交”等价 C．若，直线平面，直线平面，且，则 D．若条直线中任意两条共面，则它们共面 2．（25-26高一下·广东·期中）如图，，，，且，直线，过三点的平面记作，则与的交线必通过（　　） A．点 B．点 C．点但不过点 D．点和点 3．（25-26高二上·上海·期中）“直线上有两点在平面内”是“这条直线在这个平面内”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 题型03 空间中的点共线问题 公共交线法：证明这些点同时在两个平面的交线上 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在正方体中，设线段与平面交于点，则三点的位置关系是_____________． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高三·上海·一轮复习）如图，在正方体中，对角线与平面交于点O，AC与BD交于点M，E为AB的中点，F为的中点，求证：，O，M三点共线． 2．如图，空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且． (1)求证：四点共面； (2)设与交于点，求证：三点共线． 3．如图，在四面体中作截面，若、的延长线交于点，、的延长线交于点，、的延长线交于点．求证：、、三点共线 题型04 空间中的点（线）共面问题 证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内. 典｜例｜精｜析 1．（多选）（2027高三·全国·专题练习）（多选）如图，在正方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（     ） A．，，三点共线 B．，，，四点共面 C．，，，四点共面 D．，，，四点共面 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高三·全国·二轮复习）如图所示，在平行六面体中，底面是边长为3的菱形，分别在线段和上，且，. 证明：四点共面. 2．（25-26高三·全国·二轮复习）如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，点是的中点.线段上是否存在一点，使得点共面？存在请证明，不存在请说明理由. 3．（25-26高一下·浙江嘉兴·期中）如图，已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，分别为的中点. (1)求三棱锥的表面积； (2)求三棱锥的体积； (3)求证：四点共面. 题型05 空间中的线共点问题 证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点. 典｜例｜精｜析 1．（2027高三·全国·专题练习）在三棱锥的边，，，上分别取，，，四点，如果，则点（     ） A．一定在直线上 B．一定在直线上 C．在直线或上 D．不在直线上，也不在直线上 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二上·上海·月考）如图，已知空间四边形ABCD，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且，．则直线FH与EG的交点一定在直线________上（注：不能填“FH”“EG”）    2．（25-26高二上·四川内江·月考）如图，在正四棱台中，分别为棱，，，的中点． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)证明，，相交于一点． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点； 题型06 由平面的基本性质做截面 1、找已有交点：标出截面与棱的已知交点 2、延长连线找新点：将截面上的两点延长至与底面/侧面棱相交 3、连点成线：依次连接所有交点，围成截面多边形 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二上·上海·期末）已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课后作业）一平面与正方体表面的交线围成的封闭图形称为正方体的“截面图形”．在棱长为1的正方体中，为的中点，为的中点，过三点的截面图形的周长为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·云南昆明·月考）在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知正方体的棱长为3，点在棱上，，点在棱上（点异于两点），若平面截正方体所得的截面为五边形，则线段长的取值范围为______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $