课时测评16 平面的基本事实与推论-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义配套练习word（人教B版）

课时测评16　平面的基本事实与推论 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格．工人师傅运用的数学原理是(　　) A．两条相交直线确定一个平面 B．两条平行直线确定一个平面 C．四点确定一个平面 D．直线及直线外一点确定一个平面 答案：A 解析：由题意，分析可知，工人师傅运用的数学原理是：两条相交直线确定一个平面. 故选A． 2．在长方体ABCD -A1B1C1D1中，直线A1C与平面AB1D1的交点为M，O为线段B1D1的中点，则下列结论错误的是(　　) A．A，M，O三点共线 B． M，O，A1，A四点共面 C．B，B1，O，M四点共面 D．A，O，C，M四点共面 答案：C 解析：在长方体ABCD -A1B1C1D1中，直线A1C与平面AB1D1的交点为M，O为线段B1D1的中点，因为A，M，O三点既在平面AB1D1内，又在平面AA1C内，而两平面相交为一条直线，故A，M，O三点共线；M，O，A1，A四点共面；A，O，C，M四点共面；故A、B、D都正确； 由长方体的结构特征知BB1OM是空间四边形，故B，B1，O，M不共面，故C错误. 故选C． 3．经过同一条直线上的3个点的平面(　　) A．有且只有一个 B．有且只有3个 C．有无数个 D．不存在 答案：C 解析：根据概念可知经过共线3个点的平面有无数个．故C正确． 4．(多选)下列四个命题中正确的是(　　) A．若两条直线互相平行，则这两条直线确定一个平面 B．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线 C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线 D． 两条异面直线不可能垂直于同一个平面 答案：ABD 解析：对于A，两条相互平行的直线可以确定一个平面，故A正确； 对于B，如果有三点共线，因为直线及直线外一点确定一个平面，所以这四个点必共面，与四点不共面矛盾，故B正确； 对于C，两条平行直线可以确定一个平面，也没有公共点，故C错误； 对于D，垂直于同一个平面的两条直线一定平行，所以两条异面直线不可能垂直同一平面，故D正确．故选ABD． 5．(多选)下列四个命题中真命题的是(　　) A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内 B．过空间中任意三点有且仅有一个平面 C．若空间两条直线不相交，则这两条直线平行 D．若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l 答案：AD 解析：对于A、可设l1与l2相交，这两条直线确定的平面为α； 若l3与l1相交，则交点B在平面α内，同理，l3与l2的交点A也在平面α内， 所以AB⊂α，即l3⊂α，故两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内，正确，故A是真命题； 对于B，若空间三点共线，则过这三点有无数个平面，故B是假命题； 对于C，若空间两条直线不相交，则这两条直线平行或异面，故C是假命题； 对于D，因为直线m⊥平面α，则m与平面α内的任意直线都垂直，又直线l⊂平面α，则m⊥l，故D是真命题，故选AD． 6．已知α，β是不同的平面，l，m，n是不同的直线，P为空间中一点．若α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用符号表示为________． 答案：P∈l 解析：因为m∩n＝P，所以P∈m，P∈n，又因为m⊂α，n⊂β，所以P∈α，P∈β，所以P∈α∩β，又因为α∩β＝l，所以P∈l. 7．已知平面α∩平面β＝直线l，点A∈l，点B∉l，B∈α，点C∉l，C∈β，则平面ABC∩α＝________，平面ABC∩β＝________．平面ABC∩l＝________． 答案：AB　AC　A 解析：因为平面α∩平面β＝直线l，点A∈l，点B∉l，B∈α，点C∉l，C∈β，所以A，B∈α，A，C∈β，A，B，C∈平面ABC，C∉α，B∉β，所以平面ABC∩α＝AB，平面ABC∩β＝AC，因为点A∈l，点B∉l，点C∉l，所以平面ABC∩l＝A． 8．三条直线两两平行，但不共面，可以确定________个平面；共点的三条直线可以确定________个平面． 答案：3　1或3 解析：三条直线两两平行，但不共面，可以确定3个平面； 共点的三条直线有两种情况：若共面只能确定1个平面，若不共面可以确定3个平面． 9．(10分)如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β，求证：AB，CD，l共点(相交于一点). 证明：因为在梯形ABCD中，AD∥BC， 所以AB，CD是梯形ABCD的两条腰， 所以AB，CD必定相交于一点， 设AB∩CD＝M. 又因为AB⊂α，CD⊂β， 所以M∈α，且M∈β， 所以M∈(α∩β). 又因为α∩β＝l，所以M∈l， 即AB，CD，l共点． 10．(10分)如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若RP，DC的延长线交于点M，试画出平面PQR与平面BCD的交线． 解：如图所示．因为M∈CD，M∈RP，直线PR⊂平面PQR，直线CD⊂平面BCD， 所以M是平面PQR与平面BCD的一个公共点， 即M在平面PQR与平面BCD的交线上(设交线为l). 同理，设RQ，DB的延长线交于点N，则点N也在l上，连接MN，则直线MN即为平面PQR与平面BCD的交线l. 11．(5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为1，点M在线段BC上(点M异于B，C两点)，点N为线段CC1的中点．若平面AMN截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为四边形，则线段BM长度的取值范围为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：当点M为线段BC的中点时，由题意可得截面为四边形AMND1．当0<BM≤时，截面为四边形，当BM>时，截面为五边形．所以要想平面AMN截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为四边形，则线段BM长度的取值范围为.故选B． 12．(5分)若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________． 答案：共线 解析：如图，因为AC∥BD，所以AC，BD确定一个平面，设该平面为β，则C，D，l均在平面β内，因为点O在直线l上，所以点O在平面β内，又点O，C，D在平面α内，所以平面α，β相交于O，C，D三点所在直线(基本事实3)，故O，C，D三点共线． 13．(13分)如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ与CB的延长线交于点M，RQ与DB的延长线交于点N，RP与DC的延长线交于点K. (1)求证：直线MN⊂平面PQR；(5分) (2)求证：点K在直线MN上．(8分) 证明：(1)因为PQ⊂平面PQR，M∈直线PQ， 所以M∈平面PQR. 因为RQ⊂平面PQR，N∈直线RQ， 所以N∈平面PQR. 所以直线MN⊂平面PQR. (2)因为M∈直线CB，CB⊂平面BCD， 所以M∈平面BCD． 由(1)知M∈平面PQR， 所以M在平面PQR与平面BCD的交线上， 同理可知N，K也在平面PQR与平面BCD的交线上， 所以M，N，K三点共线， 所以点K在直线MN上． 14．(17分)正方体是常见并且重要的多面体，对它的研究有助于我们对立体几何一些概念的理解和掌握．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是所在棱的中点，请思考并回答下列问题： (1)直线EF，GH，DC能交于一点吗？(8分) (2)若E，F，G，H四点共面，怎样才能画出过四点E，F，G，H的平面与正方体的截面？(6分) (3)若正方体的棱长为a，那么(2)中的截面面积是多少？(3分) 解：(1)直线EF，GH，DC能交于一点．理由如下：如图①，因为E，F分别为棱AB，BC的中点，易得E，F∈平面ABCD，且EF与CD相交，设交点为P.由△EBF≌△PCF，可得PC＝BE＝AB．同理，GH与CD相交，设交点为P1，同样可得P1C＝C1G＝ C1D1＝AB．所以点P1与点P重合．因此直线EF，GH，DC能交于一点． (2)如图②，延长HG交DD1的延长线于点R，延长FE交DA的延长线于点Q， 则点R，Q是截面所在平面与平面ADD1A1的公共点，连接RQ，与A1D1，A1A分别交于点M，T，连接GM，TE，FH，可得截面所在平面与正方体各面的交线分别为EF，FH，HG，GM，MT，TE.截面如图②中的阴影部分所示． (3)截面为正六边形，其面积为6××＝a2． 学科网（北京）股份有限公司 $