6.2.3 组合导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

人教A版选择性必修三导学案 第六章 计数原理 6.2 排列与组合 6.2.3 组合 【学习目标】 1. 通过实例，理解组合的概念，提升数学抽象、逻辑推理素养. 1. 能正确认识组合与排列的区别与联系（关键：顺序性）. 1. 能应用组合知识解决简单的实际问题（如选人组队、握手、单循环赛等）. 【学习重点】 1. 组合的概念及其与排列的区分. 2. 用列举法（树状图、列表）求简单组合的个数. 【学习难点】 1. 正确判断一个计数问题是排列还是组合（即是否与顺序有关）. 2. 从排列与组合的对应关系理解组合数的本质. 学习任务一 组合的概念及其与排列的区分 【合作探究】 1. 问题引入： 问题1：从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某天一项活动（只选人，不分工），有多少种不同的选法？ 列出所有可能：______（用甲乙、甲丙、乙丙表示），共____种. 问题2：从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名，其中 1 名参加上午活动，另 1 名参加下午活动，有多少种不同的选法？（上节课已学） · 所有可能：______，共____种. · 思考：这两个问题有什么联系与区别？ 1. 联系：都是“从 3 人中选 2 人”. 2. 区别：问题1选出的 2 人作为“一组”，______顺序；问题2选出的 2 人还有______（上午/下午）的区分. 1. 抽象定义： · 将“被选出的对象”称为元素.问题1是从 3 个不同元素中取出 2 个元素作为一组，与顺序无关，我们把这种问题称为 组合 问题. · 请尝试给出组合的定义： · 一般地，从 个不同元素中取出 个元素 ______，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个 组合. 1. 辨析练习（判断下列问题是排列问题还是组合问题，并说明理由）： · (1) 设集合 ，则集合 的含有 3 个元素的子集有多少个？ · (2) 某铁路线上有 5 个车站，则这条铁路线上共需准备多少种不同的车票？ · (3) 10 名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法？ · (4) 10 人聚会，见面后每两人之间握手一次，共需握手多少次？ · (5) 从 4 个风景点中选出 2 个游览，有多少种不同的方法？ · (6) 从 4 个风景点中选出 2 个，并确定这 2 个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？ · 总结：判断一个计数问题是排列还是组合的关键是______. 【自主梳理】 1. 组合的定义： · 一般地，从 个不同元素中取出 个元素 作为一组，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个 组合. 1. 排列与组合的区别与联系： (1) 联系：都是从 个不同元素中取出 个元素. (2) 区别：排列与元素的顺序有关（有序），组合与元素的顺序无关（无序）. (3) 判断方法：交换任意两个元素的位置，如果结果不同，则是排列问题；如果结果相同，则是组合问题. 学习任务二 组合问题的简单应用——列举法 【合作探究】 1. 例1（平面内点与线段、有向线段）： · 平面内有 A、B、C、D 共 4 个点，任何三点不共线. · (1) 以其中 2 个点为端点的有向线段共有多少条？ · (2) 以其中 2 个点为端点的线段共有多少条？ 1　 分析：(1) 有向线段要考虑起点和终点，是______问题；(2) 线段只考虑端点，是______问题. 2　 计算：(1) 排列数 条； · (2) 组合的个数等于排列数的一半（因为每一条线段对应两个方向的有向线段），即 条. 3　 你能列出所有线段吗？______. 1. 例2（志愿者的组合）： · 某志愿者服务团队有 3 名男同学和 2 名女同学，从中随机选出 3 人参加活动.求恰有 2 名男同学被选中的方法有多少种？ 用树状图或列表法：男同学记作 A、B、C，女同学记作 a、b. 要选 2 男 1 女，可能的组合： (A,B,a), (A,B,b), (A,C,a), (A,C,b), (B,C,a), (B,C,b) 共____种. 思考：如果问题改为“选出 3 人并安排不同的职务”，还是组合问题吗？ 1. 例3（单循环赛问题）： · 甲、乙、丙、丁 4 支足球队举行单循环赛（即每两队赛一场），共有多少场比赛？ 列出所有比赛双方：______. 是排列还是组合？为什么？ 总场数为______. 【自主梳理】 求简单组合个数的方法： · 当元素个数较少时，常用列举法、列表法或树状图（文字描述）逐一列出所有组合，做到不重不漏. · 对于较复杂的情况，后续将学习组合数公式 . 常见组合问题实例： · 选举代表（不考虑职务）. · 握手、单循环比赛（每两队一次）. · 集合的子集（无序）. · 从若干物体中选出一组（不分顺序）. 学习任务三 排列与组合的对应关系（为组合数铺垫） 【合作探究】 1. 观察例1：从 4 个点中取 2 个点，排列有 12 个（有向线段），组合有 6 个（线段）. · 每 1 个组合（如 {A,B}）对应着 2 个排列（AB 和 BA）. · 所以组合数 = 排列数 ÷ 2，即 . 1. 推广猜想：从 个不同元素中取 个元素的组合数，与排列数有什么关系？ · 一般地，（下一节课正式学习）. · 利用这个关系，计算 ______， ______. 【自主梳理】 排列与组合的数量关系： · 每一个 元素的组合，可以产生 个不同的排列（因为对组合中的元素进行全排列）. · 因此，排列数 与组合数 满足： · 从而 【自查自纠】（正误判断） 1. 从 10 人中选 3 人参加座谈会，是排列问题. （ ） 1. 从 4 个风景点中选 2 个游览（不分顺序），是组合问题. （ ） 1. 在单循环赛中，比赛场数与顺序有关. （ ） 1. 两个组合相同的充要条件是元素完全相同（不管顺序）. （ ） 1. 从 5 本不同的书中选 3 本分给甲、乙、丙三人，是组合问题. （ ） 【典例分析】 例1：甲、乙、丙、丁 4 支足球队举行单循环赛. (1) 列出所有各场比赛的双方； (2) 列出所有冠、亚军的可能情况（冠军和亚军各一）. 问：(1) 是组合还是排列？(2) 是组合还是排列？ 解： 例2：从 1, 3, 7, 13 这 4 个数中任取 2 个相加，可以得到多少个不相等的和？任取 2 个相减，可以得到多少个不相等的差？ 分析：加法与顺序无关，是组合问题；减法与顺序有关，是排列问题. 解： 【习题巩固】 1. 下列问题中属于组合问题的是（ ） · A. 从 4 名志愿者中选出 2 人分别担任导游和翻译 · B. 从 0,1,2,3,4 这 5 个数字中选取 3 个数字组成一个三位数 · C. 从全班同学中选出 3 名同学参加运动会开幕式 · D. 从全班同学中选出 3 名同学分别担任班长、副班长和学习委员 1. 甲、乙、丙、丁 4 支足球队举行单循环赛，所有比赛的场数为（ ） · A. 3 B. 6 C. 8 D. 12 1. 下列问题中是组合问题的有______（填序号）. · ① 10 个人相互各写一封信，共写了多少封信？ · ② 10 个人相互拥抱一次，共拥抱了多少次？ · ③ 从 10 个人中选 3 个代表去开会，有多少种选法？ · ④ 从 10 个人中选出 3 个不同学科的课代表，有多少种选法？ 1. 从 4 个不同元素中任取 2 个元素的所有组合有______个.（请用列举法写出所有组合） 1. （选做）平面内有 A、B、C、D 共 4 个点，其中任何 3 点不共线，以其中任意 3 个点为顶点可以构成多少个三角形？这是排列问题还是组合问题？ 学科网（北京）股份有限公司 $