6.2.3- 6.2.4 组合与组合数（1）导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

数学选择性必修第三册导学案 第六章 计数原理 第六章 计数原理 §6.2.3- 6.2.4 组合与组合数（1）【导学】【解析】 【导学目标】 1.理解并掌握组合、组合数的概念,掌握组合与排列之间的联系与区别. 2.熟练掌握组合数公式及组合数的两个性质,并应用于计算之中. 3.能够运用排列组合公式及计数原理解决一些简单的应用问题,提高学生的数学应用能力与分析问题、解决问题的能力. 【导学难点】理解并掌握组合、组合数的概念,掌握组合与排列之间的联系与区别. 【导学重点】能熟练掌握组合数公式及组合数的两个性质并应用于计算中. 【知识要点】 知识点1：组合的相关概念 组合的定义:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 知识点2：排列与组合的区别与联系： 相同组合:两个组合只要元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的. 排列与组合的区别与联系： (1)共同点:两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素. (2)不同点:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关. 知识点3：组合数与组合数公式 1.组合数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号 表示. 2.组合数公式:,这里n,m∈N*,并且m≤n.另外, 我们规定=1. 问题1：从三个不同元素中取出两个元素作为一组一共有多少个不同的组？ 【分析】：也可以这样理解，求“从4个元素中取出3个元素的排列数” 第1步，从4个元素中取出3个元素作为一组，共有种不同的取法； 第2步，将取出的3个元素做全排列，共有种不同的取法. 于是，根据分布乘法计数原理有=，即==4. 同样的从个不同对象中取出个做排列，可以分成两个步骤完成，第一步从个不同对象中取出 个，有种选法； 第二步将选出的个对象做全排列，有种排法. 由分步乘法计数原理有 所以 上述公式称为组合数公式. 【方法归纳】 （1）公式(m,n∈N*,且m≤n),一般用于求值计算. （2）公式(m,n∈N*,且m≤n),一般用于化简证明.在具体选择公式时,要根据题目特点正确选择. （3）根据题目特点合理选用组合数的两个性质,能起到简化运算的作用,需熟练掌握. 【典型例题】 题型一、组合概念的理解 【例1-1】校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆，下面的问题是排列问题，还是组合问题？ （1）从中选3辆，有多少种不同的方法？ （2）从中选2辆给3位同学有多少种不同的方法？ 【解析】（1）与顺序无关，是组合问题； （2）选出2辆给3位同学是有顺序的，是排列问题。 【例1-2】下列四个问题属于组合问题的是（   ） A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 【答案】C 【分析】根据排列和组合的概念可确定选项. 【解析】A.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. B. 从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. C. 从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式，与顺序无关，是组合问题. D. 从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. 故选：C. 【例1-3】判断下列问题是排列问题还是组合问题. (1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分1张，而且票必须分完，有多少种分配方法？ (2)从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成1个分数，共能构成多少个不同的分数？ (3)若已知集合，则集合的子集中有3个元素的有多少？ (4)在北京、上海、广州、成都4个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？ 【答案】(1)组合问题 (2)排列问题 (3)组合问题 (4)排列问题；组合问题 【分析】由排列和组合的定义，对题目中的情况进行判断. 【解析】（1）4张票是相同的（都是当日动物园的门票），不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关，是组合问题. （2）选出的2个数分别作为分子和分母，结果是不同的，是排列问题. （3）已知集合中的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素的顺序无关，是组合问题. （4）飞机票与起点站、终点站有关，故求飞机票的种数是排列问题；票价只与两站的距离有关，故求票价的种数是组合问题. 题型二、有关组合数及其性质的计算、化简、证明 【例2-1】（衔接教材P24L6）计算： （1）；（3） 【解析】:根据组合数公式，可得 （1） 120; （2） (3) (4) 【例2-2】计算:①3-2;②. 【分析】:(1)先考虑利用组合数的性质对原式进行化简,再利用组合数公式展开计算. 【解析】:①3-2=3×-2×+1=149. ②+200=5 150. 【例2-3】求证:+2. 【分析】式子中涉及字母,可以用阶乘式证明. 【证明】左边= =·[(n-m)(n-m+1)+m(m+1)+2(m+1)(n-m+1)] =(n+2)(n+1) ===右边. 【例2-4】已知组合数，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】{6，7，8，9，10} 【分析】利用组合数的计算展开不等式求解即可； 【解析】不等式， 即不等式， 解得，又因且为正整数， 所以原不等式的解集为{6，7，8，9，10}． 故答案为：{6，7，8，9，10}. 【例2-5】解关于正整数x的方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或；(2) 【分析】（1）（2）根据组合数的性质以及公式即可求解. 【解析】（1）x为正整数， 由可得或， 故或，解得或或或（舍去）， 又均为整数，且， 所以或符合要求，不符合要求， 故或 （2）由组合数的性质可得， 所以由可得，进而可得， 解得或（舍去）， 由于，所以，故只取，舍去， 题型三、组合与组合数公式的应用 【例3-1】（衔接教材P22L5）平面内有A，B，C，D共4个点. （1）以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？ （2）以其中2个点为端点的线段共有多少条？ 【分析】（1）确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑他们的顺序是排列问题； （2）确定一条线段，只需确定两个端点，而不需要考虑它们的顺序是组合问题. 【解析】（1）一条有向线段的两个端点，要分起点和终点，以平面内4个点中的2个为端点的有向线段条数，就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段条数为=4×3=12. 这12条有向线段分别为 , , , , , , （2）由于不考虑两个端点的顺序，因此将（1）中端点相同、方向不同的2条有向线段作为一条线段，就是中平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数， 共有如下6条： AB,AC,AD,BC,BD,CD. 【例3-2】（衔接教材P25L7）在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件. （1）有多少种不同的抽法？ （2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ （3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？ 【分析】（1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数； （2）分两步，第一步从2件次品中抽出1件次品，第二步从98件合格品中抽出2件合格品，由乘法原理可得； （3）可从反面考虑，其反面是抽出的3件全是合格品，求出方法数后，由第（1）题的结论减去这个结果即可得． 【解析】（1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数， ∴共有(种)； （2）从2件次品中抽出1件次品的抽法有种， 从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有种， 因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有(种). （3）抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数， 也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数， 即(种). 【组合问题的基本解法】 (1)判断是否为组合问题; (2)是否分类或分步; (3)根据组合的相关知识进行求解. 【变式3-1】在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人去参加市级培训,在下列条件下,有多少种不同的选法? (1)任意选5人; (2)甲、乙、丙三人必须参加; (3)甲、乙、丙三人不能参加; (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加; (5)甲、乙、丙三人至少1人参加. 【分析】本题属于组合问题中的最基本的问题,可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确的判断和分析.注意“至少”“至多”问题,运用间接法求解会简化思维过程. 【解析】(1)=792(种)不同的选法. (2)甲、乙、丙三人必须参加,只需从另外的9人中选2人,共有=36(种)不同的选法. (3)甲、乙、丙三人不能参加,只需从另外的9人中选5人,共有=126(种)不同的选法. (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加,分两步,先从甲、乙、丙 中选1人,有=3(种)选法,再从另外的9人中选4人有种选法.共有=378(种)不同的选法. (5)(方法一　直接法)可分为三类: 第1类,甲、乙、丙中有1人参加,有种选法; 第2类,甲、乙、丙中有2人参加,有种选法; 第3类,甲、乙、丙3人均参加,有种选法. 所以,共有=666(种)不同的选法. (方法二　间接法)12人中任意选5人共有种,甲、乙、丙三人不能参加的有种, 所以,共有=666(种)不同的选法. 【变式3-2】 若本例题条件不变,甲、乙、丙三人至多2人参加,有多少种不同的选法? 【解析】:(方法一　直接法)甲、乙、丙三人至多2人参加,可分为三类: 第1类,甲、乙、丙都不参加,有种选法; 第2类,甲、乙、丙中有1人参加,有种选法; 第3类,甲、乙、丙中有2人参加,有种选法. 共有=756(种)不同的选法. (方法二　间接法)12人中任意选5人共有种,甲、乙、丙三人全参加的有种选法,所以共有 =756(种)不同的选法. 【变式3-3】平面内有12个点,其中有4个点共线,此外再无任何3点共线,以这些点为顶点,可得多少个不同的三角形? 【解析】:(方法一)我们把从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准: 第1类,共线的4个点中有2个点作为三角形的顶点,共有=48(个)不同的三角形; 第2类,共线的4个点中有1个点作为三角形的顶点,共有=112(个)不同的三角形; 第3类,共线的4个点中没有点作为三角形的顶点,共有=56(个)不同的三角形. 由分类加法计数原理,不同的三角形共有 48+112+56=216(个). (方法二　间接法)=220-4=216(个). 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $数学选择性必修第三册导学案 第六章 计数原理 第六章 计数原理 §6.2.3- 6.2.4 组合与组合数（1）【导学】 【导学目标】 1.理解并掌握组合、组合数的概念,掌握组合与排列之间的联系与区别. 2.熟练掌握组合数公式及组合数的两个性质,并应用于计算之中. 3.能够运用排列组合公式及计数原理解决一些简单的应用问题,提高学生的数学应用能力与分析问题、解决问题的能力. 【导学难点】理解并掌握组合、组合数的概念,掌握组合与排列之间的联系与区别. 【导学重点】能熟练掌握组合数公式及组合数的两个性质并应用于计算中. 【知识要点】 知识点1：组合的相关概念 组合的定义:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 知识点2：排列与组合的区别与联系： 相同组合:两个组合只要元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的. 排列与组合的区别与联系： (1)共同点:两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素. (2)不同点:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关. 知识点3：组合数与组合数公式 1.组合数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号 表示. 2.组合数公式:,这里n,m∈N*,并且m≤n.另外, 我们规定=1. 问题1：从三个不同元素中取出两个元素作为一组一共有多少个不同的组？ 【分析】：也可以这样理解，求“从4个元素中取出3个元素的排列数” 第1步，从4个元素中取出3个元素作为一组，共有种不同的取法； 第2步，将取出的3个元素做全排列，共有种不同的取法. 于是，根据分布乘法计数原理有=，即==4. 同样的从个不同对象中取出个做排列，可以分成两个步骤完成，第一步从个不同对象中取出 个，有种选法； 第二步将选出的个对象做全排列，有种排法. 由分步乘法计数原理有 所以 上述公式称为组合数公式. 【方法归纳】 （1）公式(m,n∈N*,且m≤n),一般用于求值计算. （2）公式(m,n∈N*,且m≤n),一般用于化简证明.在具体选择公式时,要根据题目特点正确选择. （3）根据题目特点合理选用组合数的两个性质,能起到简化运算的作用,需熟练掌握. 【典型例题】 题型一、组合概念的理解 【例1-1】校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆，下面的问题是排列问题，还是组合问题？ （1）从中选3辆，有多少种不同的方法？ （2）从中选2辆给3位同学有多少种不同的方法？ 【例1-2】下列四个问题属于组合问题的是（   ） A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 【例1-3】判断下列问题是排列问题还是组合问题. (1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分1张，而且票必须分完，有多少种分配方法？ (2)从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成1个分数，共能构成多少个不同的分数？ (3)若已知集合，则集合的子集中有3个元素的有多少？ (4)在北京、上海、广州、成都4个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？ 题型二、有关组合数及其性质的计算、化简、证明 【例2-1】（衔接教材P24L6）计算： （1）；（3） 【例2-2】计算:①3-2;②. 【例2-3】求证:+2. 【例2-4】已知组合数，则关于的不等式的解集为 ． 【例2-5】解关于正整数x的方程： (1)； (2)． 题型三、组合与组合数公式的应用 【例3-1】（衔接教材P22L5）平面内有A，B，C，D共4个点. （1）以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？ （2）以其中2个点为端点的线段共有多少条？ 【例3-2】（衔接教材P25L7）在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件. （1）有多少种不同的抽法？ （2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ （3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？ 【组合问题的基本解法】 (1)判断是否为组合问题; (2)是否分类或分步; (3)根据组合的相关知识进行求解. 【变式3-1】在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人去参加市级培训,在下列条件下,有多少种不同的选法? (1)任意选5人; (2)甲、乙、丙三人必须参加; (3)甲、乙、丙三人不能参加; (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加; (5)甲、乙、丙三人至少1人参加. 【变式3-2】 若本例题条件不变,甲、乙、丙三人至多2人参加,有多少种不同的选法? 【变式3-3】平面内有12个点,其中有4个点共线,此外再无任何3点共线,以这些点为顶点,可得多少个不同的三角形? 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $