高二数学下学期第三次月考卷（人教A版必修一-选修三全册，高效培优）

2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版全部。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，. 2．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，其中相关系数最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】图①，数据点呈正线性相关，且相关性很强，所以接近1； 图②，数据点呈负线性相关，且相关性很强，所以接近； 图③，数据点呈正线性相关，且相关性比图①弱，所以； 图④，数据点呈负线性相关，且相关性比图②弱，所以； 所以. 3．的展开式中常数项为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的展开式通项为， 令，可得， 故展开式中的常数项为. 4．已知是定义在上的可导函数，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】 . 5．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．15 B． C． D．7 【答案】C 【详解】设，，则， ，，成等差数列，， 即，解得，所以. 6．如图，圆锥PO的底面圆周上有三点，为底面圆O的直径，点是底面直径所对弧的中点，点D是母线PA的中点，若，则直线和平面所成角的正弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】点是底面直径所对弧的中点，所以，建立空间直角坐标系如图所示:    则，，，，，， 可得，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设直线和平面所成角为， 可得. 7．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，则的最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为点是的中点，则，又，则， 又三点共线，则，所以，得到， 由，得到，所以， 又，则， 当且仅当，即时取等号， 所以. 8．点在以为焦点的椭圆上，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图， 中，若 则， 所以. 因为 ，所以； 因为所以， 因为，所以. 由，得. 所以. 由正弦定理，得， 设椭圆的焦距为，则椭圆的离心率. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，为数列的前n项和，则下列结论正确的有（    ） A．是等比数列 B． C．是递减数列 D．中存在连续三项成等差数列 【答案】AC 【详解】对于A，由，得，是等比数列，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，，是递减数列，C正确； 对于D，假定中存在连续三项成等差数列，分别为， 则，即，整理得，矛盾， 因此中不存在连续三项成等差数列，D错误. 10．下列结论正确的是（    ） A．随机变量X 服从二项分布，Y = 2X +1 ，则D(Y) = 3 B．相关系数 r 的值越小，两个变量之间的线性相关性越弱 C．在线性回归分析中，若 值越小则模型的拟合效果越好 D．随机变量X 服从正态分布 ，且P(2 < X < 5 ) = a ，则 【答案】AD 【详解】对于A，，A正确； 对于B，相关系数 的值越小，两个变量之间的线性相关性越弱，B错误； 对于C，在线性回归分析中，若 值越大则模型的拟合效果越好，C错误； 对于D，正态曲线关于直线对称，所以， 又，所以，D正确. 11．已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．3是的极大值点 C．曲线在点处的切线方程为 D．若，则在上存在最大值 【答案】AC 【详解】A，，显然是奇函数，正确； B，，易得在，上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极小值，错误； C，，，故曲线在点处的切线方程为，即，正确； D， ，在处左增右减，故为极大值点，极大值，在上单调递增，且时，，所以在上不一定存在最大值，错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数的值域为______. 【答案】 【详解】利用，代入原函数：. 令，则原函数转化为：，为开口向上的二次函数，对称轴; 对称轴在区间的右边，即在单调递减. 当(即)时，；当(即)时，， 所以函数的值域为 13．已知，则__________. 【答案】1 【详解】令，可得， 即. 14．函数，，若对于任意，存在使得成立，则正数k的最小值为______. 【答案】 【详解】对任意，存在使得， 等价于 ， ， 令，得， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 因此最小值为： ， ， ， ， 当且仅当等号成立， ，故 因为，所以，即， ， 因此正数的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）当时，，即， 当时，， 时，满足上式，所以. （2）.令，解得，且， 所以当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：． 16．（15分）如图，在四棱锥中，为正三角形，． (1)证明：平面平面； (2)若，且平面与平面的夹角的余弦值为，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）如图：取的中点，连接. 因为，所以，在中，． 由余弦定理得， 因为为等边三角形，所以， 在中，，则，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； （2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为， 因为， 根据圆心角与圆周角关系可判断点在以点为圆心，半径为2的圆上，所以， 三角形为正三角形，所以. 由（1）可知，平面，所以轴， 所以由题设得， 设，故， 则． 设平面的一个法向量，平面的一个法向量， 则，即， 可取， 记平面与平面的夹角为， 则， 其中 ， 所以， 原式可约分得. 两边平方：，化简得， 解得，，由图可知. 所以，所以，则． 17．（15分）某校为调查学生对“大语言模型”的了解程度，随机抽取70名男生和30名女生参加“大语言模型”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为了解，其他为不了解，统计并得到如下列联表： 男生 女生 合计 了解 50 15 65 不了解 20 15 35 合计 70 30 100 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为对“大语言模型”的了解程度与性别有关联？ (2)从样本中的70名男生中，按对“大语言模型”的了解程度，通过分层随机抽样抽取7人，再从这7人中抽取2人进行调研，记抽出的2人中对“大语言模型”了解的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)认为对“大语言模型”的了解程度与性别有关联. (2) 0 1 2 数学期望. 【详解】（1）零假设：对“大语言模型”的了解程度与性别无关联. 根据表中数据，计算得到， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，所以认为对“大语言模型”的了解程度与性别有关联. （2）由题知抽取的7名男生中，对“大语言模型”了解的有人， 对“大语言模型”不了解的有人， 则再从这7人中选取2人，的可能取值为， ， 所以的分布列为 0 1 2 数学期望. 18．（17分）已知双曲线的焦距为，且过点． (1)求的方程． (2)设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于P，Q两点． （i）证明：直线AP和AQ斜率的乘积为定值． （ii）若直线AP，AQ与圆分别交于M，N两点，记四边形PQNM的面积为的面积为，求的取值范围． 【答案】(1)(2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）由题意得，，解得 所以的方程为． （2）（i）证明：由（1）知，， 由题意可知直线的斜率不为0，设直线， 联立得， 因为直线与的右支交于两点． 所以，解得，     又， 则      （ii）设，且， 联立，得， 所以，同理可得． 联立，得． 所以，同理可得，     所以 ． 因为，所以，所以， 所以， 又因为，所以． 令，由，得， 所以，     令， 因为在区间上为增函数，所以的取值范围为， 又因为． 所以的取值范围为． 19．（17分）已知函数，且． (1)求的值； (2)若． （i）求在上的最大值和最小值； （ii）若，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)（i）最大值为，最小值为；（ii）． 【详解】（1）因为， 所以，       则， 所以． （2）（i）由（1）得， 则，       因为，令，得； 令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，       ，又， 所以在[0,3]上的最大值为，最小值为．       （ii）因为， ， 所以，       由（i）可知在上的最大值为， 由，       所以， 所以实数的取值范围为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B D C C B D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC AD AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．1 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）当时，，即， 当时，， 时，满足上式，所以.（6分） （2）.令，解得，且， 所以当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：．（13分） 16．（15分） 【解析】（1）如图：取的中点，连接. 因为，所以，在中，． 由余弦定理得， 因为为等边三角形，所以， 在中，，则，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面；（6分） （2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为， 因为， 根据圆心角与圆周角关系可判断点在以点为圆心，半径为2的圆上，所以， 三角形为正三角形，所以.（9分） 由（1）可知，平面，所以轴， 所以由题设得， 设，故， 则． 设平面的一个法向量，平面的一个法向量， 则，即， 可取， 记平面与平面的夹角为， 则， 其中 ， 所以， 原式可约分得. 两边平方：，化简得， 解得，，由图可知. 所以，所以，则．（15分） 17．（15分） 【解析】（1）零假设：对“大语言模型”的了解程度与性别无关联. 根据表中数据，计算得到， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，所以认为对“大语言模型”的了解程度与性别有关联.（7分） （2）由题知抽取的7名男生中，对“大语言模型”了解的有人， 对“大语言模型”不了解的有人， 则再从这7人中选取2人，的可能取值为， ， 所以的分布列为 0 1 2 数学期望.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）由题意得，，解得 所以的方程为．（4分） （2）（i）证明：由（1）知，， 由题意可知直线的斜率不为0，设直线， 联立得， 因为直线与的右支交于两点． 所以，解得，     又， 则     （9分） （ii）设，且， 联立，得， 所以，同理可得． 联立，得． 所以，同理可得，     所以 ． 因为，所以，所以， 所以，（14分） 又因为，所以． 令，由，得， 所以，     令， 因为在区间上为增函数，所以的取值范围为， 又因为． 所以的取值范围为．（17分） 19．（17分） 【解析】（1）因为， 所以，       则， 所以．（5分） （2）（i）由（1）得， 则，       因为，令，得； 令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，       ，又， 所以在[0,3]上的最大值为，最小值为．（12分）       （ii）因为， ， 所以，       由（i）可知在上的最大值为， 由，       所以， 所以实数的取值范围为．（17分） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版全部。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 2．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，其中相关系数最小的是（   ） A． B． C． D． 3．的展开式中常数项为（ ） A． B． C． D． 4．已知是定义在上的可导函数，若，则（    ） A． B． C． D．1 5．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．15 B． C． D．7 6．如图，圆锥PO的底面圆周上有三点，为底面圆O的直径，点是底面直径所对弧的中点，点D是母线PA的中点，若，则直线和平面所成角的正弦值为（   ）    A． B． C． D． 7．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，则的最小值（    ） A． B． C． D． 8．点在以为焦点的椭圆上，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，为数列的前n项和，则下列结论正确的有（    ） A．是等比数列 B． C．是递减数列 D．中存在连续三项成等差数列 10．下列结论正确的是（    ） A．随机变量X 服从二项分布，Y = 2X +1 ，则D(Y) = 3 B．相关系数 r 的值越小，两个变量之间的线性相关性越弱 C．在线性回归分析中，若 值越小则模型的拟合效果越好 D．随机变量X 服从正态分布 ，且P(2 < X < 5 ) = a ，则 11．已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．3是的极大值点 C．曲线在点处的切线方程为 D．若，则在上存在最大值 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数的值域为______. 13．已知，则__________. 14．函数，，若对于任意，存在使得成立，则正数k的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 16．（15分）如图，在四棱锥中，为正三角形，． (1)证明：平面平面； (2)若，且平面与平面的夹角的余弦值为，求的长． 17．（15分）某校为调查学生对“大语言模型”的了解程度，随机抽取70名男生和30名女生参加“大语言模型”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为了解，其他为不了解，统计并得到如下列联表： 男生 女生 合计 了解 50 15 65 不了解 20 15 35 合计 70 30 100 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为对“大语言模型”的了解程度与性别有关联？ (2)从样本中的70名男生中，按对“大语言模型”的了解程度，通过分层随机抽样抽取7人，再从这7人中抽取2人进行调研，记抽出的2人中对“大语言模型”了解的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 18．（17分）已知双曲线的焦距为，且过点． (1)求的方程． (2)设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于P，Q两点． （i）证明：直线AP和AQ斜率的乘积为定值． （ii）若直线AP，AQ与圆分别交于M，N两点，记四边形PQNM的面积为的面积为，求的取值范围． 19．（17分）已知函数，且． (1)求的值； (2)若． （i）求在上的最大值和最小值； （ii）若，求实数的取值范围． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $