6.2.2 排列数（导学案）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

人教A版选择性必修三导学案 第六章 计数原理 6.2 排列与组合 6.2.2 排列数 【学习目标】 1. 理解排列数的定义，掌握排列数公式（连乘形式和阶乘形式）. 1. 能运用排列数公式进行计算、化简和证明，提升数学运算素养. 1. 能用排列数公式解决简单的实际问题（如排队、数字组数等）. 1. 掌握有限制条件的排列问题的常用方法：特殊元素/位置优先、捆绑法、插空法、间接法等. 【学习重点】 1. 排列数的概念及排列数公式. 2. 用排列数公式解决无限制条件的排列问题. 3. 用优先法、捆绑法、插空法解决有限制条件的排列问题. 【学习难点】 1. 排列数公式的推导理解（从分步乘法到连乘形式）. 2. 对“相邻”与“不相邻”问题的正确处理（捆绑与插空）. 3. 定序问题的计算公式（除以某排列数）. 学习任务一 排列数的概念与基本公式 【合作探究】 1. 回顾引例： (1) 从 3 个不同元素中取出 2 个元素的排列数为 . (2) 从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数为 . · 为了简洁表示这类结果，数学上引入符号 （或 ），表示从 个不同元素中取出 个元素的排列数. (1) 那么 ______， ______. (2) 你能写出 的一般表达式吗？； ______. 1. 排列数公式的一般推导： · 从 个不同元素中取出 个排成一列，可以分 个步骤： · 第 1 步：从 个元素中选 1 个放在第 1 位，有 种方法； · 第 2 步：从剩下的 个元素中选 1 个放在第 2 位，有 种方法； · …… · 第 步：从剩下的 个元素中选 1 个放在第 位，有 种方法. · 根据分步乘法计数原理， · 这里共有 个连续正整数相乘. 1. 全排列与阶乘： · 当 时，称为 全排列，即 个不同元素全部取出排成一列. · 记作 （读作“ 的阶乘”）. 规定 . 利用阶乘，排列数公式可以写成： · 请验证：当 时，，与 一致. 1. 排列与排列数的区别： (1) 排列：具体的一种排法（是一种方法）. (2) 排列数：所有不同排法的______（是一个数）. · 例：从 a,b,c 中选 2 个排列，具体的排列有：ab, ac, ba, bc, ca, cb，共 6 种，这里的 6 就是排列数 . 【自主梳理】 1. 排列数定义： · 从 个不同元素中取出 个元素的所有排列的个数，叫做从 个不同元素中取出 个元素的排列数，记作 . 1. 排列数公式： (1) 连乘形式：（共 个因子）. (2) 阶乘形式：. 1. 全排列与阶乘： (1) . (2) . 1. 公式的选择： (1) 计算具体数值时，常用连乘形式. (2) 化简或证明时，常用阶乘形式. 学习任务二 排列数公式的直接应用 【合作探究】 1. 计算下列排列数： (1) ______； (2) ______； (3) ______. 1. 化简与证明（利用阶乘形式）： (1) 证明：. (2) 计算：. 1. 解方程（例）：已知 ，求 . · 解法： 或 （舍去）. 【自主梳理】 排列数公式的应用： 1. 直接计算排列数. 2. 化简含排列数的表达式（常用阶乘形式约分）. 3. 解有关排列数的方程或不等式（注意 为正整数且 ）. 学习任务三 有限制条件的排列问题 【合作探究】 1. 特殊元素/特殊位置优先（以例4为例）： · 用 0~9 这10个数字组成没有重复数字的三位数. 解法一（位置优先）：先排百位（不能为 0），有 种；再排十位和个位，从剩下 9 个数字中选 2 个排列，有 种，总数为 . 解法二（元素优先）：考虑特殊元素 0，分类讨论：① 0 不在百位；② 0 在百位？不可能.实际分类：0 是否被选中？ 解法三（间接法）：所有三位排列数 ，减去 0 在百位的排列数 ，得 . · 你比较三种解法，哪种更简洁？ 1. 相邻问题（捆绑法）： · 3 名男生，4 名女生，全体站成一排，要求男、女各站在一起（即男生都相邻，女生都相邻），有多少种站法？ 将男生视为一个整体，女生视为一个整体，两个整体排列有 种. 内部：男生有 种排列，女生有 种排列. 总数 = . 1. 不相邻问题（插空法）： · 全体站成一排，男生不能站在一起（男生互不相邻），有多少种站法？ 先排女生： 种. 女生之间及两端形成 5 个空位，选 3 个空位插入男生： 种. 总数 = . 1. 定序问题： · 甲、乙、丙、丁 4 人站成一排，其中甲必须在乙的左边（不一定相邻），有多少种站法？ 所有排列数为 ，在全部排列中，甲在乙左边与甲在乙右边的情况一样多，所以满足条件的站法数为 . 推广：若有 个元素顺序固定，则总排列数除以 . 【自主梳理】 限制条件排列问题的常用方法： 条件类型 常用方法 要点 特殊元素/特殊位置 优先法（直接法）或间接法 从特殊元素或特殊位置入手，先安排它们 相邻 捆绑法 将相邻元素看作一个整体，再与其余元素排列，最后内部排列 不相邻 插空法 先排没有不相邻限制的元素，再在其间隙及两端插入不相邻元素 定序 除以顺序数的阶乘 部分元素顺序固定时，总排列数除以这些元素的全排列数 含“至少” “至多” 间接法（补集） 总排列数减去不符合条件的排列数 【自查自纠】（正误判断） 1. . （ ） 1. . （ ） 1. 从 10 人中选 3 人排队，有 种排法. （ ） 1. 用 0,1,2 组成三位数（无重复），百位不能为 0，共有 种. （ ） 1. 在“相邻”问题中，先捆绑成整体，再内部排列，最后相乘. （ ） 【典例分析】 例1：计算： (1) ； (2) . 解： 例2：有 5 名同学站成一排，其中甲不站在排头，乙不站在排尾，有多少种不同的站法？ （提示：间接法.总排列 ，减去甲在排头的 ，减去乙在排尾的 ，再加回甲在排头且乙在排尾的 ，得 ） 解： 例3：用 0,1,2,3,4 组成无重复数字的五位数，求： (1) 所有五位数的个数； (2) 其中偶数的个数. 解： 【习题巩固】 1. 计算 的值为（ ） · A. 360 B. 720 C. 1440 D. 2880 1. 从 1,2,3,4 这四个数字中选取 3 个数字可以组成的无重复数字的三位数的个数为（ ） · A. 12 B. 24 C. 30 D. 64 1. 五声音阶按顺序为宫、商、角、徵、羽.若将这五个音阶排成一列，要求宫、羽两音阶不相邻，则可排成不同的音序的种数为（ ） · A. 12 B. 48 C. 72 D. 120 1. 甲、乙等 4 人站成一排，其中甲在乙左边的站法有______种. 1. （选做）用 0,1,2,3,4,5 这六个数字可以组成多少个无重复数字且个位数字不是 5 的六位数？ 学科网（北京）股份有限公司 $