6.2.2 排列数（导学案）数学人教A版选择性必修第三册

6.2.2 排列数 导学案 （1）能利用计数原理推导排列数公式，并掌握排列数公式及其变形，能运用排列数公式熟练地进行相关计算.（重点） （2）掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题.（难点） 1． 创设情境，引入新知 班级学习小组展示顺序规划 班级开展 “数学建模小课堂” 活动，共有 6 名同学组成了 3 个学习小组（每组 2 人），分别提交了优秀的建模作品。活动要求从这 6 名同学中选拔部分同学担任 “展示发言人”，并确定发言顺序，具体任务如下，请同学们共同解决。 思考：从 6 名同学中选 2 名担任 “第一发言人” 和 “第二发言人”（顺序不同算不同安排），共有多少种不同的安排方式？请尝试用两个计数原理计算。 预设：共 30 种，分步计数原理得： 第一步选第一发言人（6 种选择），第二步选第二发言人（剩余 5 人，5 种选择），总安排数 = 6×5=30； 追问1：若从 6 名同学中选 3 名担任 “第一、二、三发言人”，按顺序发言，请尝试继续用两个计数原理计算。 预设：共 120种，分步计数原理得： 第一步选第一发言人（6 种），第二步选第二发言人（5 种），第三步选第三发言人（4 种），总安排数 = 6×5×4=120。 追问2：从 n 名同学中选 m 名（m≤n）按顺序排列，按顺序发言，如何快速计算所有不同的排列方案总数？ 2． 探究新知 排列数定义：我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示. 教师：辨析排列数符号：，理解符号中各个字母的含义，并口述分享. 预设： 思考：m，n所满足的条件是什么？ (1) m∈N*，n∈N* ；(2) m≤n . 要求：请你分别算出上一节问题1、问题2的排列数，并用排列数符号表示. 问题1是求从3个不同元素中取出2个元素的排列数3×2＝6， 排列数表示为．即． 问题2是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数4×3×2＝24 ， 排列数表示为．即． 探究：从个不同元素中取出个元素的排列数是多少? 提示：可以先从特殊情况开始探究，例如求排列数． 根据前面的求解经验，可以这样考虑： 假定有排好顺序的两个空位，如图6.2-3所示，从n个不同元素中取出2个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就得到一个排列；反之，任何一种排列总可以由这种填法得到．因此，所有不同填法的种数就是排列数． 现在来计算有多少种填法．完成“填空”这件事可以分为两个步骤完成： 第1步，填第1个位置的元素，可以从这个不同元素中任选1个，有种选法； 第2步，填第2个位置的元素，可以从剩下的个元素中任选1个，有种选法． 根据分步乘法计数原理，2个空位的填法种数为 要求：用以上相同的方法求排列数 同理，求排列数可以按依次填3个空位来考虑， 有 ． 追问：你能类比求排列数和的方法，求排列数吗？ 一般地，求排列数可以按依次填个空位来考虑： 假定有排好顺序的个空位，如图6.2-4所示，从个不同元素中取出个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就对应一个排列．因此，所有不同填法的种数就是排列数． 填空可以分为个步骤完成： 第1步，从个不同元素中任选1个填在第1位，有种选法； 第2步，从剩下的个元素中任选1个填在第2位，有种选法； 第3步，从剩下的个元素中任选1个填在第3位，有种选法； …… 第步，从剩下的个元素中任选1个填在第位，有种选法． 根据分步乘法计数原理，个空位的填法种数为 ． 这样，我们就得到公式 排列数公式：以上公式中，，并且．这个公式叫做排列数公式． 思考：你能说一下排列数公式的特点吗？ 1. 公式中是m个连续正整数的连乘积； 2. 连乘积中最大因数为n，后面依次减1，最小因数是(n－m＋1). 牛刀小试： 练1： 预设： 练2： 预设： 练3： 预设： 两个重要概念： 全排列：特别地，我们把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列． 要求：根据排列数公式，求出全排列数是多少？ 结合公式发现排列数公式中时，就是全排列数公式： 阶乘：正整数1到的连乘积，叫做的阶乘，用表示． 学生：结合全排列和阶乘的定义，得出： 规定： 思考：排列和排列数的区别？ “一个排列”是指从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，不是数，是一种排法； “排列数”是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，是一个数．所以符号表示排列数，而不表示具体的排列． 牛刀小试： 练4： 练5： 练6： 练7：判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)由于排列数的阶乘式是一个分式，所以其化简的结果不一定是整数．(　　) (2)表示从5个不同元素中取出(5－2)个元素的所有不同的排列的个数．(　　) (3)若＝10×9×8×7×6，则n＝10，m＝6. (　　) (4)＝1×2×3×…×(n－1)×n. (　　) 3． 应用新知 例3 计算：（1）；（2）；（3）；（4）． 预设：可根据排列数公式，可得 （1）； （2）； （3）； （4）． 总结：排列数的计算方法： (1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用． (2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量． 跟踪练习：计算下列各式． (1)； (2) 预设：（1）； （2）. 4． 探究新知 思考:由例3可以看到，；，即．观察这两个结果，从中你发现它们的共性了吗? 事实上， 因此，排列数公式还可以写成 排列数公式：以上公式为排列数公式的阶乘形式. 总结：排列数公式的两种形式： （1）连乘形式： （2）阶乘形式： 排列数公式的应用：连乘形式一般用于的计算，阶乘形式用于化简或证明. 5． 应用新知 例4：用0～9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数? 分析：在0～9这10个数字中，因为0不能在百位上，而其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊的元素．一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题． 预设：解法1：如图6.2-5所示，由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成：第1步，确定百位上的数字，可以从1～9这9个数字中取出1个，有种取法；第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取出2个，有种取法． 根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为 ． 解法2：如图6.2-6所示，符合条件的三位数可以分成三类：第1类，每一位数字都不是0的三位数，可以从1～9这9个数字中取出3个，有种取法；第2类，个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和十位，有种取法；第3类，十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位，有种取法． 根据分类加法计数原理，所求三位数的个数为 ． 解法3：从0～9这10个数字中选取3个的排列数为，其中0在百位上的排列数为，它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求三位数的个数为 ． 思考：从例题4的解答过程中，总结引入排列的概念、归纳出排列数公式的作用是什么？ 预设：从上述问题的解答过程可以看到，引入排列的概念，归纳出排列数公式，我们就能便捷地求解“从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数”这类特殊的计数问题． 总结：对于例4这类计数问题，总结从不同的角度有不同的解题方法: 解法1：根据百位数字不能是0的要求，按分步乘法计数原理完成从10个数中取出3个数组成没有重复数字的三位数这件事； 解法2：是以0是否出现以及出现的位置为标准，按分类加法计数原理完成这件事； 解法3：是一种间接法，先求出从10个数中取出3个数的排列数，然后减去其中百位是0的排列数(不是三位数的个数)，就得到没有重复数字的三位数的个数． 跟踪练习 用0～5这6个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数? 要求：用例4中的三种方法（三种不同的角度）去解题 预设： 解法1：由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成： 第1步, 确定百位上的数字, 可以从1~5这5个数字中取出1个, 有种取法; 第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的5个数字中取出2个，有种取法. 根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为 解法2：符合条件的三位数可以分成三类： 第1类，每一位数字都不是0的三位数, 可以从1~5这5个数字中取出3个, 有种取法； 第2类，个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的5个数字中取出2个放在百位和十位，有种取法； 第3类，十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位，有种取法. 根据分类加法计数原理，所求的三位数的个数为 解法3: 从0~5这6个数字中选取3个的排列数为, 其中0在百位上的排列数为，它们的差就是用这6个数组成的没有重复数字的三位数的个数， 即所求三位数的个数为 6． 能力提升 类型一：解含有排列数的方程或不等式 例1 解方程： （2）解不等式： 预设：(1) 由，得＝， 所以＝，化简得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13. 因为0<x≤8且0<x－1≤9，所以原方程的解得x＝6. (2) 原不等式即>，其中2<x≤9，x∈N*， 即x2－21x＋104>0，整理得(x－8)(x－13)>0，∴x<8或x>13. 又2<x≤9，x∈N*，∴2<x<8，x∈N*.故x＝3，4，5，6，7. 总结：解含有排列数的方程或不等式的技巧： ① 先要注意先提取公因式化简，然后计算，这样做可以减少运算量． ② 注意A中隐含了3个条件：m，n∈N*，m≤n，A的运算结果为正整数． ③ 在解与排列数有关的方程或不等式时，要注意未知数的取值范围． 题型二：证明排列数恒等式 例题2 证明：. 预设：证明： , . 总结：解含有排列数恒等式的证明，将较复杂的一边用排列数阶乘形式展开，通过提取公因式等等价变形，然后等于另一边，即可得证. 题型三：特殊优先型的排列问题 例题3 三个女生和五个男生排成一排． (1)如果女生不排两端，有多少种不同排法？ 预设：(1) 解法一(位置分析法)：因为两端不排女生，只能从五个男生中选两人排列，有A种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A种排法，因此共有AA＝14 400(种)不同排法． 解法二(元素分析法)：从中间六个位置选三个安排女生，有A种排法，其余位置无限制，有A种排法，因此共有AA＝14 400(种)不同排法． 解法三(间接法)：三个女生和五个男生排成一排共有A种不同的排法，从中扣除女生排在首位的AA种排法和女生排在末位的AA种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次．由于两端都是女生有AA种不同的排法，所以共有A－2AA＋AA＝14 400(种)不同排法． （2）如果甲、乙两人必须排两端，有多少种不同排法？ 预设：(2) 甲、乙为特殊元素，先将它们排在两端位置，有A种排法，其余6人全排列，有A种排法，所以共有AA＝1 440(种)不同排法． （3）如果甲不排左端，乙不排右端，有多少种不同排法？ 预设：(3) 甲、乙为特殊元素，左、右两端为特殊位置． 解法一(元素分析法)：甲在最右边时，其他的可全排列，有A种排法；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有A种排法，而乙可排在除去最右边位置和甲的位置后剩余的6个位置中的任意一个上，有A种排法，其余人全排列，共有AAA种排法，由分类加法计数原理得，共有A＋AAA＝30 960(种)排法． 解法二(位置分析法)：先排最左边，除去甲外，有A种，余下7个位置全排列，有A种排法，但应剔除乙在最右边时的排法AA种，所以共有AA－AA＝30 960(种)排法． 解法三(间接法)：8个人全排列，共A种．其中，不符合条件的有甲在最左边时的A种排法，乙在最右边时的A种排法，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，共A种，所以共有 A－2A＋A＝30 960(种)排法． 总结：特殊优先型的排列问题的解题策略 策略1：以元素为主优先考虑，即先安排特殊元素，再安排其他元素; 策略2：以位置为主优先考虑，即先安排特殊位置，再安排其他位置; 策略3：用间接法解题，先不考虑限制条件，计算总排列数，再减去不符合要求的排列数. 7． 课堂小结 作业1：完成教材：第20页 练习1，2，3；. 作业2：配套辅导资料对应的《排列数》.  学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.2.2排列数 导学案 01 学习目标 (1)能利用计数原理推导排列数公式，并掌握排列数公式及其变形，能运用排列数公式熟练地进行 相关计算.（重点） (2)掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题.（难点） 02 学习过程 1.创设情境，引入新知 班级学习小组展示顺序规划 班级开展“数学建模小课堂”活动，共有6名同学组成了3个学习小组（每组2人），分别提交了优 秀的建模作品。活动要求从这6名同学中选拔部分同学担任“展示发言人”，并确定发言顺序，具体任 务如下，请同学们共同解决。 排列数问题链 数学建模小课堂 发言顺序 展示顺序规划 第一发言人有序排列 第二发言人计数■ 二人 三发言人 思考：从6名同学中选2名担任“第一发言人”和“第二发言人”（顺序不同算不同安排），共有多 少种不同的安排方式？请尝试用两个计数原理计算。 1/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 追问1：若从6名同学中选3名担任“第一、二、三发言人”，按顺序发言，请尝试继续用两个计数原 理计算。 追问2：从n名同学中选m名(m≤n)按顺序排列，按顺序发言，如何快速计算所有不同的排列方案总 数？ 2.探究新知 排列数定义：我们把从卫个不同元素中取出m(m≤)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中 取出m个元素的 一，用符号表示。 教师：辨析排列数符号，理解符号中各个字母的含义，并口述分享. 思考：m,n所满足的条件是什么？ 要求：请你分别算出上一节问题1、问题2的排列数，并用排列数符号表示. 问题1是求从3个不同元素中取出2个元素的排列数3×2=6， 排列数表示为 郎 问题2是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数4×3×2=24， 排列数表示为 .即 探究：从n个不同元素中取出m个元素的排列数A%(m≤川是多少？ 提示：可以先从特殊情况开始探究，例如求排列数A 2/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 要求：用以上相同的方法求排列数A: 追问：你能类比求排列数A:和A的方法，求排列数A:吗？ 排列数公式：以上公式中，m,n∈N ,并且m≤n,这个公式叫做 思考：你能说一下排列数公式的特点吗？ 3/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 牛刀小试： AG=() 练1： A.10 B.15 C.20 D.25 练2： 计算：号-A好=一· 练3： 已知=2000×2001×2002×…×2024×2025，用排列数表示=. 两个重要概念： 全排列：特别地，我们把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个 要求：根据排列数公式，求出全排列数是多少？ 阶乘：正整数1到n的连乘积，叫做n的 用表示. 学生：结合全排列和阶乘的定义，得出： 规定： 思考：排列和排列数的区别？ 牛刀小试： 4/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (0!+0!+0!+0)！=() 练4： A.0 B.4 C.12 D.24 根据阶乘的定义计算可得(0！+0！+0！+0)！=4！=24.故选：D. 预设： -可以用排列数符号表示为一， 练5：6-3)1 6-10_6-1)6-206-31=6-1)6-2) 预设：6-3)！ 6-3)川 练6.计算+号+++后=一· 1,2,3,4,51, 2 3 4 5 2+3+4+5+6=2×1+3×2×1+4×3x2×1+5×4×3×2×1+6×5×4×3×2×1 11.111 预设： =2+3+8+30+144 器 练7：判断正误（正确的画“√”，错误的画“×） (I)由于排列数的阶乘式是一个分式，所以其化简的结果不一定是整数.() 2)A号表示从5个不同元素中取出5一2)个元素的所有不同的排列的个数.() B)若A:=10x9x87×6,则n=10,m=6.(） (4)n！=1×2x3×.×(m-1)xn.() 预设：(1)×(2)×(3)×(4)√ 3.应用新知 A 例3计算：(1)A,（2》A;,(3》A；4)AxA号 5/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 总结：排列数的计算方法： 跟踪练习：计算下列各式， (1)A2A-A; A品+A品 (2)A 4.探究新知 思考：由例3可以看到， A=A-71 A4!; AxA=61=A,即A-A=到 A32! ·观察这两个结 果，从中你发现它们的共性了吗？ 6/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 排列数公式：以上公式为排列数公式的 总结：排列数公式的两种形式： 排列数公式的应用：连乘形式一般用于的，阶乘形式用于 5.应用新知 例4：用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 思考：从例题4的解答过程中，总结引入排列的概念、归纳出排列数公式的作用是什么？ 总结：对于例4这类计数问题，总结从不同的角度有不同的解题方法： 跟踪练习用0~5这6个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 7/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 要求：用例4中的三种方法（三种不同的角度）去解题 6.能力提升 类型一：解含有排列数的方程或不等式 例1解方程： 3A=4A (2)解不等式： A)>6A,2 总结：解含有排列数的方程或不等式的技巧： 题型二：证明排列数恒等式 例题2证明： Am-An =mAm- 8/10 命学科网上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 总结：解含有排列数恒等式的证明，将较复杂的一边用排列数阶乘形式展开，通过提取公因式等等价变形， 然后等于另一边，即可得证 题型三：特殊优先型的排列问题 例题3三个女生和五个男生排成一排. ()如果女生不排两端，有多少种不同排法？ (2)如果甲、乙两人必须排两端，有多少种不同排法？ (3)如果甲不排左端，乙不排右端，有多少种不同排法？ 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 总结：特殊优先型的排列问题的解题策略 7.课堂小结 作业布置 作业1：完成教材：第20页练习1,2,3；· 作业2：配套辅导资料对应的《排列数》· 10/10