专题6.4 空间平行关系（高效培优讲义）高一数学北师大版必修第二册

专题6.4 空间平行关系 教学目标 1. 掌握空间中直线与直线平行的判定定理和性质定理，能熟练判定和证明线线平行，理解平行公理的应用 2. 掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，能准确判定线面平行，灵活运用性质解决相关问题 3. 掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理，能熟练证明面面平行，利用性质推导线线、线面平行关系 4. 理解线线、线面、面面平行之间的相互转化关系，培养逻辑推理能力和空间想象能力 5. 能解决平行关系与立体图形、截面等结合的综合问题，规范书写证明过程 教学重难点 1. 重点 （1）线线平行、线面平行、面面平行的判定定理和性质定理的理解与应用 （2）平行关系之间的相互转化（线线→线面→面面） （3）平行关系的证明与简单应用 2. 难点：线面平行、面面平行判定定理的灵活运用，平行关系与其他空间位置关系的综合证明，线面平行性质的应用 知识点01 直线与平面平行 （1）判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与________的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. 图形语言 符号语言 a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α. （2）性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面______，那么该直线与______平行. 图形语言 符号语言 a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. 【答案】 此平面内 相交 交线 【即学即练】 1．过平面外一点，能做（    ）条直线与平面平行. A．0 B．1 C．2 D．无数 【答案】D 【详解】过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，这些直线在与这个平面平行的平面内.故选：D 2．（多选）如果直线平面，那么直线a与平面内的（   ） A．唯一一条直线不相交 B．任意一条直线平行 C．无数条直线平行 D．任意一条直线不相交 【答案】CD 【详解】由线面平行定义知直线与平面无交点，即直线平行于平面时，在平面内存在无数条与它平行的直线，直线与平面内的任意一条直线不相交，故选：CD. 知识点02 平面与平面平行 （1）判定定理 文字语言 如果一个平面内的两条________与另一个平面平行，那么这两个平面平行. 图形语言 符号语言 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，且a∥α，b∥α⇒β∥α. （2）性质定理 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. 图形语言 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. 【答案】相交直线 【即学即练】 3．已知三条互相平行的直线，则两个平面的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行或相交 【答案】D 【详解】如图， 由题意易得：可能平行，也可能相交，故选：D. 知识点03 平面与平面平行其他常用判定、性质 （1）如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行. （2）平行于同一个平面的两个平面平行. （3）垂直于同一条直线的两个平面平行. （4）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面. （5）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面. 【即学即练】 4．点P是平面外一点，过点P且平行于平面的平面有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．无数 【答案】B 【详解】假设过点P且平行于平面的平面有两个，则由面面平行的性质知，又都过P点，故重合，所以过点P且平行于平面的平面只有一个. 题型01 线线平行的判定与证明 【典例1】已知S为四边形外一点,分别为上的点,若平面,则（ ） A． B． C． D．以上均有可能 【答案】B 【详解】解：因为平面,平面,平面平面,所以.显然与,均不平行.故选：. 【变式1】已知长方体,平面平面,平面平面,则与的位置关系是（ ） A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定 【答案】A 【详解】因为几何体是长方体,所以平面平面,由已知条件得平面平面,平面平面,则由面面平行的性质定理得:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,则它们的交线平行,所以与的位置关系是平行.故选: 【变式2】已知直线l，m，平面α，β，γ，则下列条件能推出l//m的是（　　） A．l⊂α，m⊂β，α//β B．α//β，α∩γ＝l，β∩γ＝m C．l//α，m⊂α D．l⊂α，α∩β＝m 【答案】B 【详解】选项A中，直线l，m也可能异面，故A错误； 选项B中，根据面面平行的性质定理，可推出l//m，故B正确； 选项C中，直线l，m也可能异面，故C错误； 选项D中，直线l，m也可能相交或异面，故D错误． 故选：B． 【变式3】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E，F，则四边形D1EBF的形状是(　　)   A．矩形 B．菱形 C．平行四边形 D．正方形 【答案】C 【详解】∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，平面D1B∩平面ABB1A1=BE，平面D1B∩平面DCC1D1=D1F， ∴BE∥D1F，同理可得：D1E∥BF，∴四边形D1EBF是平行四边形，故选C．   【变式4】平面平面，点、，、，则“直线直线”的充要条件是（    ） A． B． C．与相交 D．、、、四点共面 【答案】D 【详解】若直线直线，则与平行或相交，与平行或相交，ABC选项都不满足要求； 若直线直线，则、、、四点共面，即“直线直线”“、、、四点共面”； 若、、、四点共面，设这四点确定的平面为，因为平面平面，平面平面，平面平面，由面面平行的性质可得，即“直线直线”“、、、四点共面”. 因此，“直线直线”的充要条件是“、、、四点共面”.故选：D. 【变式5】如图，在平行六面体中，E是AB的中点，F是的中点．求证：． 【详解】取的中点为,则根据平行六面体的特征可得，， 所以四边形为平行四边形，则,, 又因为,,所以,, 所以四边形为平行四边形，所以, 又因为,所以四边形为平行四边形. 所以，进而. 【变式6】已知四边形是平行四边形，点是平面外一点，是的中点，在上取一点，过和作平面交平面于．求证：． 【详解】如图所示，连接交于点，连接， 因为四边形是平行四边形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以． 又因为平面，平面，所以平面． 又因为平面平面，平面，且平面， 所以． 题型02 线面平行的判定与证明 【典例1】如图甲，在梯形ABCD中，，CD＝2AB，E、F分别为AD、CD的中点，以AF为折痕把△ADF折起，使点D不落在平面ABCF内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确结论的个数是（　　） ①AF平面BCD；②BE平面CDF；③CD平面BEF． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】对于①，由题意得，∴四边形ABCF是平行四边形，∴AFBC，∵平面BCD，BC⊂平面BCD，∴AF平面BCD，故①正确；对于②，取DF中点G，连接EG，CG，∵E是AD中点，AFBC，AFBC，∴EGBC，EGBC，∴四边形为梯形，∴直线BE与直线CG相交，∴BE与平面CDF相交，故②错误；对于③，连接AC，交BF于点O，连接OE，∵四边形ABCF是平行四边形，∴O是AC中点，∴OECD，∵OE⊂平面BEF，平面BEF，∴CD平面BEF，故③正确． 故选：C． 【变式1】在正方体中与平面不平行的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，因为，所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面，故A正确；同理可证，四边形为平行四边形，同A证出，平面，平面，故C、D正确；因为平面，所以平面平面，若平面，则平面或平面，显然不成立，故B错误.故选：B 【变式2】(多选)在下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB平面MNP的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】对选项A，如图所示：因为，，分别为其所在棱的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面，因为，平面，平面，所以平面，又因为平面,，所以平面平面。因为平面，所以平面，故A正确。 对选项B，如图所示：因为，，分别为其所在棱的中点，所以，又因为，所以，因为平面，平面，所以平面，故B正确。 对选项C，如图所示：因为，，分别为其所在棱的中点，所以为的等分点，所以与必相交，即与平面的位置关系为相交，故C错误。 对选项D，如图所示：因为，，分别为其所在棱的中点，所以，点在平面内，又因为平面，，所以与平面的位置关系为相交，故D错误。 故选：AB 【变式3】(多选)如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，则下列结论成立的是（    ） A．OM平面PCD B．OM平面PDA C．OM平面PBA D．OM平面PBC 【答案】AB 【详解】矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以点O为BD的中点，在△PBD中，因为点M是PB的中点，所以OM是△PBD的中位线，OM//PD，平面，平面，平面，故正确；平面，平面，平面，故B正确；因为MPB，平面，平面，所以OM与平面，平面相交，故CD错误；故选：AB. 【变式4】如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，Q为AD的中点，点M在线段PC上，，若平面MQB，则t等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接交于，连接，如图：底面ABCD为菱形，Q为AD的中点，所以与相似，，因为平面MQB，平面，平面与平面MQB交线为，根据线面平行的性质可知：，在中，，， 即.故选：A 【变式5】在四棱锥中，底面为平行四边形，是的中点，若在棱上存在一点，使得平面，则（    ） A．3 B．2 C． D．1 【答案】B 【详解】取的中点，连接,连接相交于点，连接，由为的中点，是的中点，所以 ，平面,平面,所以平面，当也为的中点时，即,也即时，由为中点，则，由平面,平面,所以平面，又，所以平面平面 ，又平面，所以平面.即在棱上存在一点，当时，平面.故选：B   【变式6】已知P是矩形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN∥平面PAD. 【详解】证明：取DC中点H，联结HM，HN， 因为H是DC中点，N是PC中点， 所以HN∥DP，因为平面PAD，平面PAD，则平面PAD； 因为是PC中点，ABCD为矩形，所以HM∥DA， 因为平面PAD，平面PAD，则平面PAD； 又平面HNM，平面HNM，，故平面HNM∥平面PAD， ∵MN⊂平面HNM，∴MN∥平面PAD． 【变式7】如图①，在直角梯形中，∥，，，为的中点，分别为的中点，将沿折起，得到四棱锥，如图②.求证:在四棱锥中，∥平面. 【详解】证明：在四棱锥中，分别为的中点，所以∥， 因为为的中点，所以 因为 ，所以， 因为∥，所以四边形为平行四边形， 所以∥，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 因为分别为的中点，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面. 因为，平面，所以平面∥平面. 因为平面，所以∥平面. 题型03 面面平行的判定与证明 【典例1】（多选）如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形为正方形，，，，分别为，，，的中点，在此几何体中，下列结论正确的是（    ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 【答案】ABC 【详解】如图所示，把平面展开图还原为四棱锥，对于A：由，平面，平面，平面，又，同理可证平面，又，，平面， 所以，平面平面，故A正确；对于B： 因为，平面，平面，所以平面．故B正确；对于C：因为，平面，平面，所以平面．故C正确；对于D：由平面与平面有公共点，故平面与平面不平行，故D不正确；故选：ABC. 【变式1】在正方体中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是（ ）． A．截面与截面 B．截面与截面 C．截面与截面 D．截面与截面 【答案】B 【详解】如图，选项A、B、C、D分别对应图1、图2、图3、图4． 对于A，与相交，截面与相交，A不是；对于B， 截面与平行． 由，得四边形为平行四边形，则，又平面，平面，则平面，同理可证平面，，平面，所以平面平面，B是；对于C，截面与有公共点D，截面与相交，C不是；对于D，与相交，截面与相交，D不是.故选：B 【变式2】如图，在正方体中，下列四对截面彼此平行的一对是（    ） A．平面与平面 B．平面与平面 C．平面与平面 D．平面与平面 【答案】A 【详解】如图，对于A：，平面，平面，平面，又，同理可证平面，又，，平面，平面平面，因此A正确;对于B： 平面，且与相交，又平面，平面，故平面与平面不可能平行，因此B不正确;对于C：平面与平面有公共点，故平面与平面不可能平行，因此C不正确;对于D：平面，且与相交，又平面，平面，故平面与平面不可能平行，因此D不正确;故选：A. 【变式3】（多选题）下列说法中正确的是（　　） A．一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 B．一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 C．一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 D．一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 【答案】CD 【详解】一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，如果这两条直线是平行的，则这两个平面可能相交，因为两个相交平面，一个平面内与交线平行的所有直线都平行于另一个平面，A错误； 一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，如果这无数条直线是平行的，则这两个平面可能相交， 因为两个相交平面，一个平面内与交线平行的所有直线都平行于另一个平面，B错误； 一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行，由两个平面平行的定义知，C正确； 一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行，由两个平面平行的判定定理知，D正确.故选：CD 【变式4】在如图所示的几何体中，三个侧面，，都是平行四边形，则平面与平面的位置关系是______________． 【答案】平行 【详解】因为侧面是平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面．同理可证平面．又因为，平面，平面， 所以平面平面．答案：平行 【变式5】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点． 求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG. 【详解】（1）∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点 ∴GH是的中位线，∴GHB1C1， 又在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1BC，∴GHBC， ∴B，C，H，G四点共面． （2）∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EFBC， ∵平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF平面BCHG， ∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，，， ∴A1GEB，， ∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1EGB， ∵平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E平面BCHG， ∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，∴平面EFA1平面BCHG. 【变式6】如图，E，F，G，H分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点． 求证：（1）EG平面BB1D1D；（2）平面BDF平面B1D1H. 【详解】 （1）如图，取B1D1的中点O，连接GO，OB， 因为OG=B1C1，BE=B1C1，所以BE=OG，且 所以四边形BEGO为平行四边形，故OBEG， 因为OB⊂平面BB1D1D，EG⊄平面BB1D1D，所以EG平面BB1D1D. （2）由于，所以四边形为平行四边形，所以BDB1D1. 连接HB，D1F，，取为中点，连结 因此 因此四边形为平行四边形，故有 又 因此四边形为平行四边形，故有，故HD1BF. 又B1D1∩HD1＝D1，BD∩BF＝B， 所以平面BDF平面B1D1H. 题型06 空间平行关系的综合证明 【典例1】如图，在多面体中，平面平面 ，且，则 (　　) A．平面 B．平面 C． D．平面平面 【答案】A 【详解】如图所示，取DG的中点M，连AM、FM，则由已知条件易证得四边形DEFM是平行四边形，∴且．∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB＝AB，平面DEFG∩平面ADEB＝DE，∴AB∥DE，∴AB∥FM．又AB＝DE，∴AB＝FM，∴四边形ABFM是平行四边形，∴BF∥AM． 又BF平面ACGD，AM平面ACGD，∴BF∥平面ACGD．选A． 【变式1】下列命题正确的个数是（    ） ①若直线，，则     ②若直线，，则 ③若直线，直线，则      ④若直线，直线，则 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】由直线与平面平行的判定定理和性质定理知：①中直线在平面内时不成立；②中，但直线与直线成异面直线时显然不成立；③中直线在平面内时不成立；④中直线，直线，则与直线可能平行也可能相交或异面，所以不成立.故选：A 【变式2】如图，空间四边形ABCD，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的一点，下列条件不能证明EHFG的是（　　） A．E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的中点 B．， C．BD平面EFGH D．， 【答案】D 【详解】对于A：若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的中点，则EHBD，EHBD且FGBD，FGBD，所以EHFG，故A正确；对于B：因为，所以EHBD，因为，所以FGBD，所以EHFG，故B正确；对于C：若BD平面EFGH，因为BD⊂平面ABD，且平面ABD∩平面EFGH＝EH，所以BDEH，因为BD⊂平面CBD，且平面CBD∩平面EFGH＝FG，所以BDFG， 所以EHFG，故C正确；对于D：若，，则EFAC，HGAC，所以EFHG，但EF不一定等于HG，所以四边形EFGH不一定是平行四边形，所以EH不一定平行于FG，故D错误． 故选：D． 【变式3】已知P为△所在平面外一点，平面∥平面，且交线段于点，若，则:（    ） A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D．4∶25 【答案】D 【详解】∵平面∥平面，平面平面，平面平面，，同理可得，∴:，又，∴， ∴:.故选：D 【变式4】如图所示，四边形是梯形，，且平面，是的中点，且，与平面交于点，，则________. 【答案】5. 【详解】因为平面，平面，平面平面，所以. 又是的中点，所以是梯形的中位线，所以. 【变式5】在长方体中，，，，分别为棱，的中点，过的平面与直线平行，则平面截该长方体所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，取中点，连接， 因为在长方体中，，分别为棱，的中点， 所以，所以四边形是平行四边形，所以， 因为为中点，为棱的中点，所以， 又因为，所以，所以四边形是平行四边形， 又因为平面，平面，所以平面，所以平面即为所求的平面， 又因为，，所以面积为 .故选：D 1．直线a∥平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线（　　） A．只有一条，不在平面α内 B．有无数条，不一定在平面α内 C．只有一条，且在平面α内 D．有无数条，一定在平面α内 【答案】C 【详解】由推论1可知：，则，，过与确定一平面β，由基本事实3可知：平面α与平面β有一交点，则有一条唯一的交线与a平行，设为b，因为直线a∥平面α，，，所以a∥b.故选：C． 2．已知直线直线b，直线c，平面，则（   ） A． B． C．a与相交 D．或 【答案】D 【详解】，，，，或．故选：D. 3．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为(　　) A．平行 B．相交 C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内 【答案】D 【详解】由面面平行的定义可知，若一条直线在两个平行平面中的一个平面内，则这条直线与另一个平面无公共点，所以与另一个平面平行．由此可知，本题中这条直线可能在平面内．否则此直线与另一个平面平行(因为若一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必然与另一个平面相交)，故选D． 4．（多选）如图，在四面体中，截面是正方形，则（ ） A． B．平面 C． D．分别是线段的中点 【答案】AB 【详解】由题意知： ，，，所以，故A正确；由，平面，平面，故平面.无法确定的位置及的大小关系. 故选：AB. 5．（多选）如图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形E,F,G,H分别为的中点.在此几何体中,给出下列结论,其中正确的结论是（    ） A．平面平面 B．直线平面 C．直线平面 D．直线平面 【答案】ABC 【详解】作出立体图形如图所示.连接四点构成平面. 对于A，因为E,F分别是的中点,所以.又平面，平面，所以平面.同理, 平面.又,平面,平面，所以平面平面，故A正确；对于B，连接，设的中点为M，则M也是的中点，所以，又平面,平面，所以平面，故B正确； 对于C，由A中的分析知，，所以，因为平面，平面，所以直线平面，故C正确；对于，根据C中的分析可知再结合图形可得，，则直线与平面不平行，故D错误.故选：ABC 6．（多选）如图，在正方体中，，，分别是，，的中点，下列四个推断中正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 【答案】AC 【详解】对于A：因为在正方体中，，，分别是，，的中点，所以，因为，所以，因为平面， 平面，所以平面，故选项A正确；对于B：因为，与平面相交，所以与平面相交，故选项B错误； 对于C：因为，，分别是，，的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，故选项C正确；对于D：与平面相交，所以平面与平面相交，故选项D错误.故选：AC 7．已知三条互相平行的直线，，中，，，，则与的位置关系是______________． 【答案】平行或相交 【详解】所以两个平面的关系可能平行，也可能相交，故答案为：平行或相交 8．，，为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则下列命题中不正确的是______________． ①；②；③；④； ⑤；⑥． 【答案】②③⑤⑥ 【详解】由平行的传递性可知①④正确；若，则可以相交、平行、异面，故②错误；若，则可以相交、平行，故③错误；若，则或，故⑤错误；若，则或，故⑥错误.故答案为：②③⑤⑥ 9．如图，三棱锥中，M是的中点，E是的中点，点F在线段上，满足平面，则_______． 【答案】1:3 【详解】取的中点，连接，，，可知，又平面，从而可得平面平面，又平面平面，平面平面，所以，又为的为中点，为的为中点，所以.故答案为：1：3. 10．如图（1）所示，已知正方形中，分别是，的中点，将沿折起，如图（2）所示，则与平面的位置关系是________. 【答案】平行 【详解】在正方形中，∵E，F分别为的中点，∴．又∵，∴四边形为平行四边形，∴．∵平面，而平面，∴平面， 故答案为：平行 11．在四面体ABCD中，M、N分别是平面ACD、BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________． 【答案】平面ABC、平面ABD 【详解】如图，连结AM并延长交CD于E，连结BN并延长交CD于F，由重心性质可知，E、F重合为一点，且该点为CD的中点E，由，得MNAB，因此，MN平面ABC，且MN平面ABD. 12．如图，在正方体中，，E为AD的中点，点F在CD上，若平面，则______. 【答案】 【详解】根据题意，因为平面，平面，且平面平面 所以.又是的中点，所以是的中点.因为在中，，故. 故答案为： 13．如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形． (1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH； (2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围． 【详解】(1)证明：∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG. ∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，∴EF∥平面ABD. ∵EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB， ∴EF∥AB，AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH. ∴AB∥平面EFGH.同理可证，CD∥平面EFGH. (2)设EF＝x(0<x<4)，∵四边形EFGH为平行四边形， ∴＝，则＝＝＝1－.∴FG＝6－x. ∴四边形EFGH的周长l＝2＝12－x. 又∵0<x<4，∴8<l<12， ∴四边形EFGH周长的取值范围是(8,12)． 14．如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点． (1)求证：若是棱的中点，则平面平面． (2)求三棱锥的体积． 【详解】（1）连接，，如下图所示： 由题意可知，，平面，平面，所以平面， 又因为分别为的中点， 所以由直三棱柱的结构可知，，， 所以四边形是平行四边形，故， 平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面，， 所以平面平面. （2）因为，，，所以， 所以的面积为， 由直三棱柱的性质可知，点到底面的距离为， 所以， 故三棱锥的体积为. 15．如图，四棱锥的底面为平行四边形．设平面与平面的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．   (1)求证：平面平面； (2)求证：． 【详解】（1）因为、、分别为、、的中点，底面为平行四边形， 所以，， 又平面，平面，则平面， 同理平面，平面，可得平面， 又，平面， 所以平面平面. （2）因为，平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以. 16．如图，在正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由. 【详解】（1）证明：连接交于，连接． 因为为正方体，底面为正方形， 对角线、交于点，所以为的中点， 又因为为的中点，在中，是的中位线，则， 又平面，平面，所以平面； （2）上的中点即满足平面平面． 因为为的中点，为的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面； 由（1）知平面，又因为，平面， 所以平面平面． 17．如图，已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面A'B'C'D'（含边界）上运动．请补充一个恰当条件，当点G满足 __条件时，有BC′∥平面EFG．   【详解】取BB'，B'C'，C'D'，DD'的中点分别为Q，M，N，P， 连接BD，B'D'，FQ，QM，MN，NP，PE， 因为E，F分别为AD，AB的中点，所以EF∥BD．同理可得MN∥B'D'， 因为BB'∥DD'，BB'＝DD'，所以四边形BB'D'D是平行四边形，可得B'D'∥BD． 所以EF∥MN，所以共面，同理可证明PE∥QM，即P，E，Q，M共面. 因为BB'，DD'的中点分别为Q，P，所以B'D'∥PQ，所以EF∥PQ 所以E，F，Q，P共面，所以E，F，Q，M，N，P共面， 因为BC'∥QM，BC'⊄平面EFQMNP，QM⊂面EFQMNP， 所以BC'∥平面EFQMNP， 若BC'∥平面EFG，则点G在平面EFQMNP内， 又因为点G在上底面A'B'C'D'（含边界）， 所以点G在面EFQMNP与面A'B'C'D'的交线上， 所以点G在线段MN上，即点G在B'C'中点与C'D'中点连线上，   18．如图所示，已知ABCD为梯形，AB∥CD，CD=2AB，M为线段PC上一点. (1)设平面PAB∩平面PDC=l，证明：AB∥l； (2)在棱PC上是否存在点M，使得PA∥平面MBD，若存在，请确定点M的位置；若不存在，请说明理由. 【详解】 (1)因为AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD， 所以AB∥平面PCD，又因为平面PAB∩平面PDC=l，且AB⊂平面PAB， 所以AB∥l. (2)存在点M，使得PA∥平面MBD，此时=.证明如下：连接AC交BD于点O，连接MO. 因为AB∥CD，且CD=2AB，所以==，又因为=，PC∩AC=C， 所以PA∥MO，因为PA⊄平面MBD，MO⊂平面MBD，所以PA∥平面MBD. 19．如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱 上的点，点M是线段AC上的动点，EC=2FB=2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置. 【详解】过F，B，M作平面FBMN交AE于N, 因为BF//平面 ，BF平面FBMN，平面FBMN∩平面=MN， 所以BF//MN. 又MB//平面AEF，MB平面FBMN，平面FBMN∩平面AEF=FN， 所以MB∥ FN，所以BFNM是平行四边形， 所以MN=BF=1.又EC∥ FB，EC=2FB=2， 所以MN∥ EC，MN=，故MN是△ACE的中位线. 所以M是AC的中点时，MB//平面AEF. 20．如图所示，矩形和矩形中，，点M，N分别位于上，且，矩形可沿任意翻折． （1）求证：当F，A，D不共线时，线段总平行于平面． （2）“不管怎样翻折矩形，线段总和线段平行，”这个结论对吗？如果对，请证明；如果不对，请说明能否改变个别已知条件使上述结论成立． 【详解】（1）证明：在平面图形中，连接，交于点G，连接． ∵四边形和四边形都是矩形，且， ∴且，∴四边形是平行四边形， ∴．又，则四边形是平行四边形 ∴． 翻折之后，如图1所示． ∴， 又面，面，面，面 面，面，又 ∴平面平面． 又平面，∴平面． ∴当F，A，D不共线时，线段总平行于平面． （2）这个结论不对． 要使上述结论成立，M，N应分别为和的中点． 翻折后的图形如图2所示，连接． ∵M为的中点， ∴M也为的中点，与交于B，即与交于B． ∵， ∴确定一个平面，即F，M，D，N四点共面． 又平面平面，平面平面，平面平面， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.4 空间平行关系 教学目标 1. 掌握空间中直线与直线平行的判定定理和性质定理，能熟练判定和证明线线平行，理解平行公理的应用 2. 掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，能准确判定线面平行，灵活运用性质解决相关问题 3. 掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理，能熟练证明面面平行，利用性质推导线线、线面平行关系 4. 理解线线、线面、面面平行之间的相互转化关系，培养逻辑推理能力和空间想象能力 5. 能解决平行关系与立体图形、截面等结合的综合问题，规范书写证明过程 教学重难点 1. 重点 （1）线线平行、线面平行、面面平行的判定定理和性质定理的理解与应用 （2）平行关系之间的相互转化（线线→线面→面面） （3）平行关系的证明与简单应用 2. 难点：线面平行、面面平行判定定理的灵活运用，平行关系与其他空间位置关系的综合证明，线面平行性质的应用 知识点01 直线与平面平行 （1）判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与________的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. 图形语言 符号语言 a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α. （2）性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面______，那么该直线与______平行. 图形语言 符号语言 a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. 【即学即练】 1．过平面外一点，能做（    ）条直线与平面平行. A．0 B．1 C．2 D．无数 2．（多选）如果直线平面，那么直线a与平面内的（   ） A．唯一一条直线不相交 B．任意一条直线平行 C．无数条直线平行 D．任意一条直线不相交 知识点02 平面与平面平行 （1）判定定理 文字语言 如果一个平面内的两条________与另一个平面平行，那么这两个平面平行. 图形语言 符号语言 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，且a∥α，b∥α⇒β∥α. （2）性质定理 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. 图形语言 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. 【即学即练】 3．已知三条互相平行的直线，则两个平面的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行或相交 知识点03 平面与平面平行其他常用判定、性质 （1）如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行. （2）平行于同一个平面的两个平面平行. （3）垂直于同一条直线的两个平面平行. （4）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面. （5）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面. 【即学即练】 4．点P是平面外一点，过点P且平行于平面的平面有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．无数 题型01 线线平行的判定与证明 【典例1】已知S为四边形外一点,分别为上的点,若平面,则（ ） A． B． C． D．以上均有可能 【变式1】已知长方体,平面平面,平面平面,则与的位置关系是（ ） A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定 【变式2】已知直线l，m，平面α，β，γ，则下列条件能推出l//m的是（　　） A．l⊂α，m⊂β，α//β B．α//β，α∩γ＝l，β∩γ＝m C．l//α，m⊂α D．l⊂α，α∩β＝m 【变式3】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E，F，则四边形D1EBF的形状是(　　)   A．矩形 B．菱形 C．平行四边形 D．正方形 【变式4】平面平面，点、，、，则“直线直线”的充要条件是（    ） A． B． C．与相交 D．、、、四点共面 【变式5】如图，在平行六面体中，E是AB的中点，F是的中点．求证：． 【变式6】已知四边形是平行四边形，点是平面外一点，是的中点，在上取一点，过和作平面交平面于．求证：． 题型02 线面平行的判定与证明 【典例1】如图甲，在梯形ABCD中，，CD＝2AB，E、F分别为AD、CD的中点，以AF为折痕把△ADF折起，使点D不落在平面ABCF内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确结论的个数是（　　） ①AF平面BCD；②BE平面CDF；③CD平面BEF． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】在正方体中与平面不平行的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】(多选)在下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB平面MNP的图形是（    ） A． B． C． D． 【变式3】(多选)如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，则下列结论成立的是（    ） A．OM平面PCD B．OM平面PDA C．OM平面PBA D．OM平面PBC 【变式4】如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，Q为AD的中点，点M在线段PC上，，若平面MQB，则t等于（    ） A． B． C． D． 【变式5】在四棱锥中，底面为平行四边形，是的中点，若在棱上存在一点，使得平面，则（    ） A．3 B．2 C． D．1 【变式6】已知P是矩形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN∥平面PAD. 【变式7】如图①，在直角梯形中，∥，，，为的中点，分别为的中点，将沿折起，得到四棱锥，如图②. 求证:在四棱锥中，∥平面. 题型03 面面平行的判定与证明 【典例1】（多选）如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形为正方形，，，，分别为，，，的中点，在此几何体中，下列结论正确的是（    ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 【变式1】在正方体中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是（ ）． A．截面与截面 B．截面与截面 C．截面与截面 D．截面与截面 【变式2】如图，在正方体中，下列四对截面彼此平行的一对是（    ） A．平面与平面 B．平面与平面 C．平面与平面 D．平面与平面 【变式3】（多选题）下列说法中正确的是（　　） A．一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 B．一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 C．一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 D．一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 【变式4】在如图所示的几何体中，三个侧面，，都是平行四边形，则平面与平面的位置关系是______________． 【变式5】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点． 求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG. 【变式6】如图，E，F，G，H分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点． 求证：（1）EG平面BB1D1D；（2）平面BDF平面B1D1H. 题型06 空间平行关系的综合证明 【典例1】如图，在多面体中，平面平面 ，且，则 (　　) A．平面 B．平面 C． D．平面平面 【变式1】下列命题正确的个数是（    ） ①若直线，，则     ②若直线，，则 ③若直线，直线，则      ④若直线，直线，则 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】如图，空间四边形ABCD，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的一点，下列条件不能证明EHFG的是（　　） A．E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的中点 B．， C．BD平面EFGH D．， 【变式3】已知P为△所在平面外一点，平面∥平面，且交线段于点，若，则:（    ） A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D．4∶25 【变式4】如图所示，四边形是梯形，，且平面，是的中点，且，与平面交于点，，则________. 【变式5】在长方体中，，，，分别为棱，的中点，过的平面与直线平行，则平面截该长方体所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 1．直线a∥平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线（　　） A．只有一条，不在平面α内 B．有无数条，不一定在平面α内 C．只有一条，且在平面α内 D．有无数条，一定在平面α内 2．已知直线直线b，直线c，平面，则（   ） A． B． C．a与相交 D．或 3．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为(　　) A．平行 B．相交 C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内 4．（多选）如图，在四面体中，截面是正方形，则（ ） A． B．平面 C． D．分别是线段的中点 5．（多选）如图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形E,F,G,H分别为的中点.在此几何体中,给出下列结论,其中正确的结论是（    ） A．平面平面 B．直线平面 C．直线平面 D．直线平面 6．（多选）如图，在正方体中，，，分别是，，的中点，下列四个推断中正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 7．已知三条互相平行的直线，，中，，，，则与的位置关系是______________． 8．，，为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则下列命题中不正确的是______________． ①；②；③；④； ⑤；⑥． 9．如图，三棱锥中，M是的中点，E是的中点，点F在线段上，满足平面，则_______． 10．如图（1）所示，已知正方形中，分别是，的中点，将沿折起，如图（2）所示，则与平面的位置关系是________. 11．在四面体ABCD中，M、N分别是平面ACD、BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________． 12．如图，在正方体中，，E为AD的中点，点F在CD上，若平面，则______. 13．如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形． (1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH； (2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围． 14．如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点． (1)求证：若是棱的中点，则平面平面． (2)求三棱锥的体积． 15．如图，四棱锥的底面为平行四边形．设平面与平面的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．   (1)求证：平面平面； (2)求证：． 16．如图，在正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由. 17．如图，已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面A'B'C'D'（含边界）上运动．请补充一个恰当条件，当点G满足 __条件时，有BC′∥平面EFG．   18．如图所示，已知ABCD为梯形，AB∥CD，CD=2AB，M为线段PC上一点. (1)设平面PAB∩平面PDC=l，证明：AB∥l； (2)在棱PC上是否存在点M，使得PA∥平面MBD，若存在，请确定点M的位置；若不存在，请说明理由. 19．如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱 上的点，点M是线段AC上的动点，EC=2FB=2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置. 20．如图所示，矩形和矩形中，，点M，N分别位于上，且，矩形可沿任意翻折． （1）求证：当F，A，D不共线时，线段总平行于平面． （2）“不管怎样翻折矩形，线段总和线段平行，”这个结论对吗？如果对，请证明；如果不对，请说明能否改变个别已知条件使上述结论成立． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $