第六章 5.2 第二课时 平面与平面垂直的判定-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

第二课时　平面与平面垂直的判定 [素养目标]　1.能从教材实例中归纳出平面与平面垂直的判定定理．　2.能利用平面与平面垂直的判定定理证明与垂直相关的问题．　3.培养学生逻辑推理、直观想象的学科素养． 探究点一　平面与平面垂直的判定定理的应用 [基础梳理] 平面与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 符号语言 l⊥β，l⊂α⇒α⊥β 图形语言 [互动探究] 角度1　面面垂直的判断 　已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列说法： ①若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α； ②m⊂α，l⊂β，且l⊥m，则α⊥β； ③若l⊂β，且l⊥α，则α⊥β； ④若m⊂α，l⊂β，则α∥β，则l∥m. 其中正确的序号是________． 解析：①③符合线面垂直，面面垂直的判定定理；②错误，并不能得出α⊥β；④错误，l与m可以异面． 答案：①③ 角度2　利用面面垂直的判定定理判定垂直 　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E是SA的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD． 证明：连接AC、BD，交点为F，连接EF， ∵E为SA的中点， ∴EF是△SAC的中位线， ∴EF∥SC． ∵SC⊥平面ABCD， ∴EF⊥平面ABCD． 又EF⊂平面BDE， ∴平面BDE⊥平面ABCD． 证明面面垂直的方法：一是定义法；二是用判定定理，即证明一个平面经过另一个平面的一条垂线，也就是把“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题，又将“线面垂直”问题进一步转化为“线线垂直”问题．　　 [跟踪训练] 1．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是(　　) A．α⊥γ，β⊥γ　　　 B．α∩β＝a，b⊥a，b⊂β C．a∥β，a∥α D．a∥α，a⊥β 解析：D　由a∥α，知α内必有直线l与a平行，而a ⊥β，∴l⊥β，∴α⊥β. 2.如图，在三棱锥中，点E，F分别为AC，AD的中点，AD⊥CD，BA＝BD．求证：平面EFB⊥平面ABD． 证明：在△ACD中，因为E，F分别是AC，AD的中点， 所以EF∥CD， 在△ACD中，AD⊥CD，EF∥CD， 所以EF⊥AD，因为在△ABD中，BA＝BD，F为AD的中点，所以BF⊥AD， 因为EF⊂平面EFB，BF⊂平面EFB， 且EF∩BF＝F， 所以AD⊥平面EFB，因为AD⊂平面ABD， 所以平面EFB⊥平面ABD． 探究点二　空间垂直关系的综合应用 [基础梳理] 空间中的线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，每一种垂直的判定就是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下： 线线垂直线面垂直面面垂直． 在空间垂直关系中，线面垂直是中心环节． [互动探究] 角度1　折叠问题 　如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D．求证：平面A′BE⊥平面BCDE. 证明：如图所示，取CD的中点M，BE的中点N，连接A′M，A′N，MN， 则MN∥BC． ∵AB＝AD，E是AD的中点， ∴AB＝AE，即A′B＝A′E. ∴A′N⊥BE.∵A′C＝A′D，∴A′M⊥CD． 在四边形BCDE中，CD⊥MN， 又∵MN∩A′M＝M， ∴CD⊥平面A′MN，∴CD⊥A′N. ∵DE∥BC且DE＝BC， ∴直线BE必与直线CD相交． 又∵A′N⊥BE，A′N⊥CD， ∴A′N⊥平面BCDE. 又∵A′N⊂平面A′BE， ∴平面A′BE⊥平面BCDE. 关于折叠问题 (1)抓住折叠前后的变量与不变量，一般情况下，在折线同侧的量，折叠前后不变，“跨过”折线的量，折叠前后可能会发生变化，这是解决这类问题的关键． (2)在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的变化情况，注意相应的点、直线、平面间的位置关系，线段的长度，角度的变化情况．　　 角度2　探索性问题 　如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，若E，F分别为PC，BD的中点． (1)求证：EF∥平面PAD； (2)在线段CD上是否存在一点G，使得平面EFG⊥平面PDC？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由． 解：(1)证明：连接AC，因为在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形且点F为对角线BD的中点，所以对角线AC经过点F. 又在△PAC中，点E为PC的中点， 所以EF为△PAC的中位线， 所以EF∥PA， 又PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD， 所以EF∥平面PAD． (2)存在点G为CD中点时，平面EFG⊥平面PDC．证明如下： 假设在线段CD上存在一点G，使得平面EFG⊥平面PDC，且G为C