6.2.1排列导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

人教A版选择性必修三导学案 第六章 计数原理 6.2 排列与组合 6.2.1 排列 【学习目标】 1. 通过实例，理解排列的概念，提升数学抽象、逻辑推理素养. 1. 能应用排列知识解决简单的实际问题（如选人安排活动、组数、比赛场次等）. 1. 能运用排列的概念判断具体的计数问题是否为排列问题（关键：元素互异、顺序相关）. 【学习重点】 1. 排列的定义及其理解. 2. 用树状图、列举法或分步乘法计数原理求简单排列的个数. 【学习难点】 1. 正确判断一个计数问题是否与顺序有关（即是否为排列问题）. 2. 在较复杂情境中识别“排列”并正确计数. 学习任务一 排列的概念与判断 【合作探究】 1. 问题引入： · (1) 从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名参加一项活动，其中 1 名参加上午的活动，另 1 名参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 完成这件事需要分几步？ 第一步：选上午的同学，有____种选法；第二步：选下午的同学，有____种选法. 总数为 ____. 列出所有可能的结果（用甲、乙、丙表示）：______. · (2) 从 1,2,3,4 这 4 个数字中，每次取出 3 个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 分三步：百位有____种，十位有____种，个位有____种，总数为 ____. 你能写出其中几个例子吗？例如 123, 124, …… 1. 抽象概括： · 将上面问题中“被取出的对象”称为元素.问题 (1) 是从 3 个不同元素中取出 2 个，按“上午、下午”的顺序排成一列；问题 (2) 是从 4 个不同元素中取出 3 个，按“百位、十位、个位”的顺序排成一列. · 请尝试给出排列的定义： · 一般地，从 个不同元素中取出 个元素，并按照______排成一列，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个______. 1. 辨析练习（判断下列问题是否为排列问题，并说明理由）： · (1) 从 1,2,3,4 四个数字中任选两个做加法，结果有多少种？ · (2) 从 1,2,3 三个数字中任选两个做除法（被除数与除数不同），结果有多少种？ · (3) 从 1 到 10 的自然数中任取两个组成点的坐标，可得多少个不同的点？ · (4) 平面上有 5 个点，任意三点不共线，这五点最多可确定多少条射线？多少条直线？ · (5) 10 个学生排队照相，不同的站法有多少种？ · (6) 从高二(1)班全体同学中选 5 人组成数学学习小组. · (7) 从高二(1)班全体同学中选 5 人分别参加校运会的 5 个不同项目. · 总结：判断是否为排列问题的关键是______. 【自主梳理】 1. 排列的定义： · 一般地，从 个不同元素中取出 个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列. 1. 两个排列相同的充要条件： · 两个排列的______完全相同，且元素的______也相同. 1. 判断排列问题的要点： (1) 元素互异性（取出的元素不能重复）. (2) 顺序相关性（交换元素位置得到不同结果，则与顺序有关）. 学习任务二 简单排列的计数方法 【合作探究】 1. 例1：某省中学生足球赛预选赛每组有 6 支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛 1 场，那么每组共进行多少场比赛？ 分析：每一场比赛可看作从 6 支队中选 2 支，按“主队、客队”顺序排成一个排列. 解法：选主队有____种，选客队有____种，总数为 ____. 思考：如果只计每两队之间赛一场（不分主客场），结果是多少？这还属于排列问题吗？ 1. 例2： · (1) 一张餐桌上有 5 盘不同的菜，甲、乙、丙 3 名同学每人从中各取 1 盘菜，共有多少种不同的取法？ 解法：分三步：甲有____种，乙有____种，丙有____种，总数为 ____. · (2) 学校食堂的一个窗口共卖 5 种菜，甲、乙、丙 3 名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？ 解法：甲有____种，乙有____种，丙有____种，总数为 . 为什么 (2) 不是排列问题？因为 ______. 1. 用树状图或列举法： · 从 a, b, c, d 中取出 2 个字母的所有排列.请用树状图（文字描述）或列举法写出所有排列，并数出个数. 【自主梳理】 求简单排列个数的方法： 1. 直接利用分步乘法计数原理：从 个不同元素中取出 个排列，第 1 步有 种，第 2 步有 种，……，第 步有 种，总数为 . 2. 当 较小时，可用树状图或列举法. 学习任务三 排列在实际问题中的应用 【合作探究】 1. 例3：沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京.铁路部门应为这六个大站之间准备不同的高铁票（往返票价相同？需要区分方向？注意：高铁票与起点、终点有关，是排列问题） 从 6 站中选 2 站，按起点、终点排列，票种数为 . 1. 变式：有 5 本不同的书，从中选 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？ 分析：相当于从 5 本书中选 3 本，按顺序分给 3 人，是排列问题，总数为______. 1. 学校乒乓团体比赛（见课本 P16 第 3 题）：从 5 名运动员中选 3 名参加比赛，前 3 场比赛每名运动员各出场 1 次，且第 1、2 位出场的运动员在后 2 场中还将各出场 1 次.问前 3 场比赛有多少种出场情况？ 解析：前 3 场比赛的出场顺序，是从 5 人中选 3 人并排列，总数为 种. 【自主梳理】 排列问题的常见类型： 1. 排队、照相、安排职务、比赛场次（考虑主客场）、组数（数字不同且有序）、送书（按人分配）等. 2. 解题步骤：① 明确“元素”和“位置”；② 判断是否与顺序有关；③ 用分步乘法计数原理计算. 【自查自纠】（正误判断） 1. 从 10 人中选 2 人分别去种树和扫地，是排列问题. （ ） 1. 从 10 人中选 2 人去扫地，是排列问题. （ ） 1. 两个排列只要元素相同，就是相同的排列. （ ） 1. 从数字 5,6,7,8 中任取两个不同的数进行幂运算（如 与 不同），是排列问题. （ ） 1. 用 0,1,2 组成没有重复数字的三位数，百位不能为 0，所以先选百位有 2 种，再选十位有 2 种，个位有 1 种，共 个. （ ） 【典例分析】 例1：写出从 a, b, c, d 中取出 2 个字母的所有排列. 解： 例2：用 0~4 这 5 个自然数组成没有重复数字的两位数，共有多少个？ 解： 例3：一位老师要给 4 个班轮流做讲座，每个班讲 1 场，有多少种轮流次序？ 解： 【习题巩固】 1. 下列问题属于排列问题的是（ ） · A. 从 8 名同学中选取 2 名去参加知识竞赛，共有多少种选取方法 · B. 10 个人互相握手，共握了多少次手 · C. 在北京、上海、深圳三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票 · D. 从 1,2,3,4 四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种 1. 从 1,3,5,7 四个数字中，任选两个做除法（被除数与除数不同），不同的结果有（ ） · A. 4 种 B. 6 种 C. 8 种 D. 12 种 1. 从学号为 1 到 10 的十名同学中任选两名同学去学校参加座谈会，有多少种选法？这个问题的答案是（ ） · A. 45 B. 90 C. 100 D. 20 1. 将玫瑰花、月季花、莲花各一束分给甲、乙、丙三人，每人一束，共有______种不同的分法. 1. （选做）用数字 1,2,3,4 可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？请写出思路和答案. 学科网（北京）股份有限公司 $