§6.2.1&6.2.2 排列与排列数（1）导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

数学选择性必修第三册导学案 第六章 计数原理 第六章 计数原理 §6.2.1- §6.2.2 排列与排列数（1）【导学】【解析】 【导学目标】 1.理解并掌握排列、排列数的概念,能用列举法、树状图法列出简单的排列. 2.掌握排列数公式及其变式,并能运用排列数公式熟练地进行相关计算. 3.掌握有限制条件的排列应用题的一些常用方法,并能运用排列的相关知识解一些简单的排列应用题. 【导学难点】能运用排列的相关知识解一些简单的排列应用题. 【导学重点】运用排列数公式熟练地进行相关计算. 【知识要点】 知识点一、排列的相关概念 1.排列:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2.相同排列:两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同. 【名师点析理解排列应注意的问题】 (1)排列的定义中包括两个基本内容, 一是“取出元素”； 二是“按一定顺序排列”. (2)定义中的“一定顺序”说明了排列的本质:有序. 知识点二、排列数与排列数公式 1.排列数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做 从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号表示. 2.排列数公式:=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=,这里m,n∈N*,并且m≤n. 3.全排列和阶乘:n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个元素的一个全排列.这时,排列数公式中m=n,即有=n(n-1)(n-2)×…×3×2×1.也就是说,将n个不同的元素全部取出的排列数,等于正整数1到n的连乘积.正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用n!表示.于是,n个元素的全排列数公式可以写成=n!.另外,我们规定,0!=1. 【问题1 】从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，共有多少种不同的排列方法？ 【分析】：要完成的一件事是“选出2名同学参加活动，1名参加上午的活动，另1名参加下午的活动”， 可以分两个步骤： 第1步，确定上午的同学，从3人中任选1人，有3种选法； 第2步，确定下午的同学，只能从剩下的2人中去选，有2种选法. 根据分步乘法计数原理，不同的选法种数为3×2=6. 问题可叙述为：从3个不同的元素中任意取出2个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？ 【问题2】从1,2,3,4这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的三位数？ 【分析】从4个数中每次取出三个按“百位、十位、个位” 的顺序排成一列，就得到一个三位数.因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数，可以分三个步骤解决： 第1步，确定百位上的数字，从1、2、3、4这4个数中任取一个，有4种方法； 第2步，确定十位上的数字，只能从余下的3个数字中取，有3种方法； 第3步，确定个位上的数字，只能从余下的2个数字中取，有2种方法； 根据分步乘法计数原理，从1、2、3、4这4个不同的数字中，每次取出3个数字，按百位、十位、个位的顺序排成一列，不同的排列方法为4×3×2=24 因而共可得到24个不同的三位数，如图所示 【注意】“排列”与“排列数”是两个不同的概念, “排列”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列”,它不是一个数,而是具体的一件事. “排列数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数”,它是一个数. 【典型例题】 题型一、排列概念和排列数公式的理解 【例1-1】下列问题中: ①8本不同的书分给8名同学,每人一本; ②8位同学互通一次电话; ③8位同学互通一封信; ④8个没有任何三点共线的点构成的线段.属于排列的有(　　) A.1个　　　　　　 　 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【解析】由排列的定义可知①③是排列,②④不是排列. 故选:B 【例1-2】下列问题中属于排列问题的是（ ）． A．从个人中选出人去看电影【星河入梦】； B．从个人中选出2人去参加数学竞赛； C．从班级内名男生中选出人组成一个篮球队； D．从数字5、、、中任取2个不同的数做中的底数与真数. 【答案】D 【解析】A. 从个人中选出人看电影【星河入梦】，与顺序无关，故错误； B. 从个人中选出2人去参加数学竞赛，与顺序无关，故错误； C. 从班级内名男生中选出人组成一个篮球队，与顺序无关，故错误； D. 从数字5、、、中任取2个不同的数做中的底数与真数，底数与真数位置不 同，即与顺序有关，故正确； 故选：D 【例1-3】设m∈N*,且m<15,则=(　　) A.(20-m)(21-m)(22-m)(23-m)(24-m)(25-m) B.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m) C.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m) D.(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m) 【答案】C 【解析】 是指从20-m开始依次连续的6个数相乘, 即(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m). 【例1-4】可表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】. 故选:C 题型二、排列数的运算 【例2-1】（衔接教材P19L3） 计算： （1） 【解析】根据排列 （1） （2） （3） （4） 【方法归纳】 即 【例2-2】=_____. 【答案】348 【详解】. 【例2-3】（1）解不等式； （2）解方程. 【答案】（1）8; (2)3 【解析】（1）由，得， 化简得x2－19x＋84<0，解之得7<x<12，① ② 由①②及x∈N*得x＝8. （2）因为所以x≥3，， 由得(2x＋1)2x(2x－1)(2x－2)＝140x(x－1)(x－2). 化简得，4x2－35x＋69＝0，解得x1＝3，(舍去). 所以方程的解为x＝3. 题型三 排列数的应用 【例3-1】（衔接教材P16L1）某省中学足球队赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛？ 【分析】每组任意2支队之间进行的1场比赛，可以看作是从该组6支队中选取2支，按“主队、客队”的顺序排成的一个排列. 【解析】可以先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队. 按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为6×5=30. 所以每组共进行30场比赛. 【例3-2】（衔接教材P16L2）（1）一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法？ 【分析】3名同学每人从5盘不同的菜中取1盘菜，可看作是从这5盘菜中任取3盘，放在3个位置（给3名同学）的一个排列；而3名同学每人从食堂窗口的5种菜中选1种，每人都有5种选法，不能看成一个排列. 【解析】可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙，最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙. 按分步乘法计数原理，不同的取法种数为5×4×3=60. 所以共有60种不同的取法. （2）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？ 【解析】可以先让同学甲从5种菜中选1种，有5种选法；再让同学乙从5种菜中选1种，也有5种选法；最后让同学丙从5种菜中选1种，同样有5种选法. 按分步乘法计数原理，不同的取法种数为5×5×5=125. 所以共有125种不同的选法. 【例3-3】用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 【分析】在0~9这10个数字中，因为0不能在百位上，而其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊的元素。一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题。 【解析】由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成： 第1步，确定百位上的数字可以从1~9这9个数字中取出1个，有种取法； 第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数中取2个, 有种取法； 如图，根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为 9×9×8648. 所以可以组成648个没有重复数字的三位数. 【例3-4】用1、2、3、4、5、6、7这7个数字组成没有重复数字的四位数. (1)这些四位数中偶数有多少个? (2)能被5整除的有多少个? 【解析】(1)偶数的个位数只能是2、4、6,有种排法,其他位上有种排法, 由分步乘法计数原理,知共有四位偶数=360(个); 能被5整除的数个位必须是5,故有=120(个). 所以这些四位数中偶数有120个. (2)最高位上是7时大于6 500,有种,最高位上是6时,百位上只能是7或5,故有2×种. 由分类加法计数原理知,这些四位数中大于6 500的共有+2×=160(个). 所以能被5整除的有160个. 【变式3-1】有8种不同的菜种,任选4种种在不同土质的4块地里,有　　　种不同的种法.  【答案】1 680 【解析】将4块不同土质的地看作4个不同的位置,从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地里,则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题, 所以不同的种法共有 =8×7×6×5=1 680(种). 【变式3-2】某次演出共有6位演员参加,规定甲只能排在第一个或最后一个出场,乙和丙必须排在相邻的顺序出场,不同的演出顺序共有(　　) A.24种 B.144种 C.48种 D.96种 【答案】D 【解析】第1步,先安排甲有种不同的演出顺序; 第2步,安排乙和丙有种不同的演出顺序; 第3步,安排剩余的三个演员有种不同的演出顺序. 根据分步计数原理,共有=96(种)不同的演出顺序.故选D. 故选:D 【变式3-3】有语文、数学、英语、物理、化学、生物6门课程,从中选4门安排在上午的4节课中,其中化学不排在第四节,共有多少种不同的安排方法? 【解析】(方法一：分类法) 分两类: 第1类,化学被选上,有种不同的安排方法; 第2类,化学不被选上,有种不同的安排方法. 故共有=300(种)不同的安排方法. (方法二：分步法) 第1步,第四节有种排法;第2步,其余三节有种排法, 故共有=300(种)不同的安排方法. (方法三：间接法) 从6门课程中选4门安排在上午,有种排法,而化学排第四节,有种排法, 故共有=300(种)不同的安排方法. 【变式3-4】一场小型晚会有个唱歌节目和个相声节目，要求排出一个节目单． （1）个相声节目要排在一起，有多少种排法？ （2）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？ （3）前个节目中要有相声节目，有多少种排法？ 【解析】 （1）把两个相声节目捆绑在一起作为一个节目与其他节目排列共有排法； （2）选两个唱歌节目排在首尾，剩下的3个节目在中间排列，排法为； （3）5个节目全排列减去后两个都是相声的排法，共有． 【方法归纳】 1.此类题目从不同的视角可以选择不同的方法,我们用各种方法解决这个题的目的是:希望通过对本题的感悟,能掌握更多的解决这类问题的方法. 2.元素分析法最基本,位置分析法对重要元素区别对待,间接法对对立面比较容易求解的题目特别实用. 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $数学选择性必修第三册导学案 第六章 计数原理 第六章 计数原理 §6.2.1- §6.2.2 排列与排列数（1）【导学】 【导学目标】 1.理解并掌握排列、排列数的概念,能用列举法、树状图法列出简单的排列. 2.掌握排列数公式及其变式,并能运用排列数公式熟练地进行相关计算. 3.掌握有限制条件的排列应用题的一些常用方法,并能运用排列的相关知识解一些简单的排列应用题. 【导学难点】能运用排列的相关知识解一些简单的排列应用题. 【导学重点】运用排列数公式熟练地进行相关计算. 【知识要点】 知识点一、排列的相关概念 1.排列:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2.相同排列:两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同. 【名师点析理解排列应注意的问题】 (1)排列的定义中包括两个基本内容, 一是“取出元素”； 二是“按一定顺序排列”. (2)定义中的“一定顺序”说明了排列的本质:有序. 知识点二、排列数与排列数公式 1.排列数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做 从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号表示. 2.排列数公式:=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=,这里m,n∈N*,并且m≤n. 3.全排列和阶乘:n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个元素的一个全排列.这时,排列数公式中m=n,即有=n(n-1)(n-2)×…×3×2×1.也就是说,将n个不同的元素全部取出的排列数,等于正整数1到n的连乘积.正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用n!表示.于是,n个元素的全排列数公式可以写成=n!.另外,我们规定,0!=1. 【问题1 】从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，共有多少种不同的排列方法？ 问题可叙述为：从3个不同的元素中任意取出2个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？ 【问题2】从1,2,3,4这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的三位数？ 【注意】“排列”与“排列数”是两个不同的概念, “排列”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列”,它不是一个数,而是具体的一件事. “排列数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数”,它是一个数. 【典型例题】 题型一、排列概念和排列数公式的理解 【例1-1】下列问题中: ①8本不同的书分给8名同学,每人一本; ②8位同学互通一次电话; ③8位同学互通一封信; ④8个没有任何三点共线的点构成的线段.属于排列的有(　　) A.1个　　　　　　 　 B.2个 C.3个 D.4个 【例1-2】下列问题中属于排列问题的是（ ）． A．从个人中选出人去看电影【星河入梦】； B．从个人中选出2人去参加数学竞赛； C．从班级内名男生中选出人组成一个篮球队； D．从数字5、、、中任取2个不同的数做中的底数与真数. 【例1-3】设m∈N*,且m<15,则=(　　) A.(20-m)(21-m)(22-m)(23-m)(24-m)(25-m) B.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m) C.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m) D.(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m) 【例1-4】可表示为（ ） A． B． C． D． 题型二、排列数的运算 【例2-1】（衔接教材P19L3） 计算： （1） 【方法归纳】 即 【例2-2】=_____. 【例2-3】（1）解不等式； （2）解方程. 题型三 排列数的应用 【例3-1】（衔接教材P16L1）某省中学足球队赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛？ 【例3-2】（衔接教材P16L2）（1）一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法？ （2）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？ 【例3-3】用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 【例3-4】用1、2、3、4、5、6、7这7个数字组成没有重复数字的四位数. (1)这些四位数中偶数有多少个? (2)能被5整除的有多少个? 【变式3-1】有8种不同的菜种,任选4种种在不同土质的4块地里,有　　　种不同的种法.  【变式3-2】某次演出共有6位演员参加,规定甲只能排在第一个或最后一个出场,乙和丙必须排在相邻的顺序出场,不同的演出顺序共有(　　) A.24种 B.144种 C.48种 D.96种 【变式3-3】有语文、数学、英语、物理、化学、生物6门课程,从中选4门安排在上午的4节课中,其中化学不排在第四节,共有多少种不同的安排方法? 【变式3-4】一场小型晚会有个唱歌节目和个相声节目，要求排出一个节目单． （1）个相声节目要排在一起，有多少种排法？ （2）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？ （3）前个节目中要有相声节目，有多少种排法？ 【方法归纳】 1.此类题目从不同的视角可以选择不同的方法,我们用各种方法解决这个题的目的是:希望通过对本题的感悟,能掌握更多的解决这类问题的方法. 2.元素分析法最基本,位置分析法对重要元素区别对待,间接法对对立面比较容易求解的题目特别实用. 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $