6.2.1 排列（导学案）数学人教A版选择性必修第三册.zip

该高中数学导学案聚焦“排列”概念及应用，通过校园文化节主持人选拔、节目顺序规划等真实情境导入，以具体问题及追问引导学生发现“有序”与“无序”的区别，搭建从具体实例到抽象概念的学习支架。 资料特色在于以情境驱动探究，通过树状图、计数原理等方法培养数学抽象与逻辑推理素养，习题设计涵盖辨析判断、实际应用等层次，帮助学生理解排列本质，提升用数学语言表达和解决现实问题的能力。

6.2.1 排列 导学案 （1）通过实例理解排列的概念,能用列举法、树状图法列出简单的排列（重点） （2）能应用排列知识解决简单的实际问题. （难点） （3）通过学习排列的概念，进一步提升数学抽象及逻辑推理素养 1． 创设情境，引入新知 校园活动主持人与节目顺序规划 学校将举办 “校园文化节文艺汇演”，筹备组从 3 名同学（甲、乙、丙）中筛选出了优秀候选人，计划安排部分同学担任主持人或确定节目出场顺序。以下是需要解决的实际问题，请同学们共同探讨。 思考：若从甲、乙、丙 3 名同学中选 2 名担任 “开场主持人” 和 “收尾主持人”（顺序不同算不同安排，即甲开场、乙收尾与乙开场、甲收尾是两种不同方案），共有多少种不同的安排方式？ 请用 “姓名 + 角色” 的形式列举出来（如：甲→开场，乙→收尾） 预设：共 6 种，具体如下：1. 甲→开场，乙→收尾；2. 甲→开场，丙→收尾 3. 乙→开场，甲→收尾；4. 乙→开场，丙→收尾； 5. 丙→开场，甲→收尾；6. 丙→开场，乙→收尾 追问1：若只要求从 3 名同学中选 2 名参与主持工作，不区分 “开场” 和 “收尾” 角色，方案数量会变化吗？两种要求的关键区别是什么？（引导学生发现 “有序分工” 与 “无序选取” 的差异） 预设：数量变化，仅 3 种：（甲、乙）、（甲、丙）、（乙、丙） 关键区别：前者 “有序分工”，后者 “无序选取”， 核心是：是否考虑顺序 追问2：若 3 名同学分别表演 3 个不同的节目（唱歌、跳舞、朗诵），每个节目由 1 人完成，且每人只表演 1 个节目，不同的节目出场顺序对应不同的演出流程，列举出所有不同的演出流程安排？ 预设：假设a同学唱歌，b同学跳舞，c同学朗诵，则流程安排如下： 1. 唱歌（a）→跳舞（b）→朗诵（c）；2. 唱歌（a）→朗诵（c）→跳舞（b）； 3. 跳舞（b）→唱歌（a）→朗诵（c）；4. 跳舞（b）→朗诵（c）→唱歌（a）； 5. 朗诵（c）→唱歌（a）→跳舞（b）；6. 朗诵（c）→跳舞（b）→唱歌（a） （或简化为元素：abc、acb、bac、bca、cab、cba） 追问3：如果把 3 名同学抽象为 3 个不同的元素（记为 a、b、c），问题 1 和问题 3 本质上是 “从 n 个不同元素中取出 m 个（m≤n），按一定顺序排成一列”，这样的排列有多少种？ 2． 探究新知 问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法? 预设：要完成的一件事是“选出2名同学参加活动，1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动”，可以分两个步骤： 第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人，有3种选法； 第2步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从剩下的2人中去选，有2种选法． 根据分步乘法计数原理：3×2=6 种 追问：用树状图表示所有不同选法 预设： 思考：如果把上面问题中被取出的对象叫做元素，那么问题可叙述为：从3个不同的元素a，b，c中任意取出2个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法? 预设：所有不同的排列是ab，ac，ba，bc，cb，ca．不同的排列方法种数为 3×2=6 追问：以上问题1中的“顺序”是什么？ 问题1的顺序为参加活动的顺序，即参加上午的活动在前, 参加下午的活动在后. 问题2：问题2从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数? 要求：先用两个计数原理求得结果 预设：完成的事情：从4个数字中，取出3个，顺序排成一列，得到一个三位数． 即：从4个数字中，每次取出3个，按“百位、十位、个位”的顺序排成一列，就得到一个三位数，因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数． 可以分三个步骤来解决这个问题： 第1步，确定百位上的数字，从1，2，3，4这4个数字中任取1个，有4种方法； 第2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的3个数字中去取，有3种方法； 第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的2个数字中去取，有2种方法． 根据分步乘法计数原理，从1，2，3，4这4个不同的数字中，每次取出3个数字，按“百位、十位、个位”的顺序排成一列，不同的排法种数为4×3×2=24 追问：用树状图表示所有不同选法 预设： 要求：用列举法，列举出所有的三位数. 预设：由此可写出所有的三位数： 123，124，132，134，142，143， 213，214，231，234，241，243， 312，314，321，324，341，342， 412，413，421，423，431，432． 思考：如果把上面问题中被取出的对象叫做元素，那么问题可叙述为：从4个不同的元素a，b，c，d中任意取出3个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法? 预设：所有不同的排列是 不同的排列方法种数为4×3×2=24 追问：以上问题2中的“顺序”是什么？ 问题2的顺序为百位在前，十位居中，个位在后. 思考：上述问题1，2的共同特点是什么?你能将它们推广到一般情形吗? 预设：问题1和问题2都是研究从一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的顺序排成一列的方法数． 排列定义：一般地，从个不同元素中取出个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列(arrangement)． 辨析：定义中包含两个基本内容：①取出元素，②按照一定的顺序排列 思考：根据排列的定义，两个排列相同的充要条件是什么？ 预设：两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同． 要求：根据问题1和问题2，将自己的以上结论进行举例说明 预设：在问题1中，“甲乙”与“甲丙”的元素不完全相同，它们是不同的排列； “甲乙”与“乙甲”虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列． 在问题2中，123与134的元素不完全相同，它们是不同的排列；123与132虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列． 牛刀小试： 练1：（多选）下列问题属于排列问题的是（   ） A．从10人中选取5人组成一个卫生队 B．从10人中选取4人参加4×100米接力赛 C．从10人中选取5人参加某兴趣小组 D．从10人中选取5人分别去五个地区支教 预设： 练2：（多选）下列问题属于排列问题的是（    ） A．从6人中选2人分别去游泳和跳绳 B．从10人中选2人去游泳 C．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 D．从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数 预设： 3． 应用新知 例1 某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛? 分析预设：每组任意2支队之间进行的1场比赛，可以看作是从该组6支队中选取2支，按“主队、客队”的顺序排成的一个排列． 解析预设：可以先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队．按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为． 总结：排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序有关. 在判断一个问题是否是排列问题时，可以考虑对所取出的元素任意交换其中两个，若结果变化，则是排列问题,否则不是排列问题. 牛刀小试： 练3：从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组，那么共有多少种不同的选法? 预设：分析：可以看作是从4名同学中选出2名同学，按“数学、物理”的顺序排成的一个排列． 可以先从4名同学中选出1名同学参加数学学习小组，然后从剩下的3名同学中选1名同学参加物理学习小组．按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为． 例2（1）一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法? （2）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法? 预设：（1）可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙，最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙．按分步乘法计数原理，不同的取法种数为 ． （2）可以先让同学甲从5种菜中选1种，有5种选法；再让同学乙从5种菜中选1种，也有5种选法；最后让同学丙从5种菜中选1种，同样有5种选法．按分步乘法计数原理，不同的选法种数为 ． 总结：解决此类相似问题时，首先要分清楚是不是排列问题，其次使用分步乘法计数原理求排列总数时，要做到步骤完整，步与步之间相互独立，然后把完成每一步的方法数相乘即可得到总数. ． 牛刀小试： 练4：（1）有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ （2）有7种不同的书（每种不少于3本），要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多 少种不同的送法？ 预设：（1）从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，可以先从7本不同的书中选1本给第1位同学，再从剩下6本中选1本给第2位同学，最后从剩下5本中选1本给第3位同学，根据分步乘法计数原理，共有7×6×5＝210(种)不同的送法. （2）从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，每一次有7种选法，根据分步乘法计数原理，共有不同的送法7×7×7＝343(种). 类型一：“排列”判断 例1 判断下列问题是否为排列问题. （1）北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格（假设来回的票价相同）； （2）选2个小组分别去植树和种菜； （3）选2个小组去种菜； （4）选10人组成一个学习小组； （5）选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； （6）某班40名学生在假期相互通信. 预设：（1）虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题. （2）植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题. （3）（4）不存在顺序问题，不属于排列问题. （5）中每个人的职务不同，存在顺序问题，属于排列问题. （6） A给B写信与 B给A写信是不同的，所以存在顺序问题，属于排列问题. 综上，（2）（5）（6）属于排列问题,（1）（3）（4）不属于排列问题. 总结：排列问题的判断方法： (1) 元素的无重复性 (2) 元素的有序性 判断关键是看选出的元素有没有顺序要求。 题型二：排列解决“排数”问题 例题2 用1，2，3，4，5，6六个数字，可以排成多少个没有重复数字的三位数？ 预设：由题意，可以看作是从6个元素中，取三个元素，按照一定顺序排列的排列问题. 先从6个数字中，选择一个数字，作为个位，共有6种选法； 再从剩下5个数字中，选择一个数字，作为十位，共有5种选法； 最后从剩下的4个数字中，选择一个数字，作为百位，共有4中选法， 由分步乘法计数原理可得，则共有6×5×4=120(种)不同排法； 总结：排列解决“排数”问题 (1) 先根据排列的定义，判断所解决的问题是否为排列问题 (2) 将排列问题，进行分步进行 (3) 结合分步计数原理即可得解 4． 课堂小结 作业1：完成教材：第16页 练习1；第17页 练习2,3；. 作业2：配套辅导资料对应的《排列》.  学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.1 排列 导学案 （1）通过实例理解排列的概念,能用列举法、树状图法列出简单的排列（重点） （2）能应用排列知识解决简单的实际问题. （难点） （3）通过学习排列的概念，进一步提升数学抽象及逻辑推理素养 1． 创设情境，引入新知 校园活动主持人与节目顺序规划 学校将举办 “校园文化节文艺汇演”，筹备组从 3 名同学（甲、乙、丙）中筛选出了优秀候选人，计划安排部分同学担任主持人或确定节目出场顺序。以下是需要解决的实际问题，请同学们共同探讨。 思考：若从甲、乙、丙 3 名同学中选 2 名担任 “开场主持人” 和 “收尾主持人”（顺序不同算不同安排，即甲开场、乙收尾与乙开场、甲收尾是两种不同方案），共有多少种不同的安排方式？ 请用 “姓名 + 角色” 的形式列举出来（如：甲→开场，乙→收尾） 追问1：若只要求从 3 名同学中选 2 名参与主持工作，不区分 “开场” 和 “收尾” 角色，方案数量会变化吗？两种要求的关键区别是什么？（引导学生发现 “有序分工” 与 “无序选取” 的差异） 追问2：若 3 名同学分别表演 3 个不同的节目（唱歌、跳舞、朗诵），每个节目由 1 人完成，且每人只表演 1 个节目，不同的节目出场顺序对应不同的演出流程，列举出所有不同的演出流程安排？ 追问3：如果把 3 名同学抽象为 3 个不同的元素（记为 a、b、c），问题 1 和问题 3 本质上是 “从 n 个不同元素中取出 m 个（m≤n），按一定顺序排成一列”，这样的排列有多少种？ 2． 探究新知 问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法? 追问：用树状图表示所有不同选法 思考：如果把上面问题中被取出的对象叫做元素，那么问题可叙述为：从3个不同的元素a，b，c中任意取出2个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法? 追问：以上问题1中的“顺序”是什么？ 问题2：问题2从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数? 要求：先用两个计数原理求得结果 追问：用树状图表示所有不同选法 思考：如果把上面问题中被取出的对象叫做元素，那么问题可叙述为：从4个不同的元素a，b，c，d中任意取出3个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法? 追问：以上问题2中的“顺序”是什么？ 思考：上述问题1，2的共同特点是什么?你能将它们推广到一般情形吗? 排列定义：一般地，从个不同元素中取出个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个 (arrangement)． 辨析：定义中包含两个基本内容：① ，② 思考：根据排列的定义，两个排列相同的充要条件是什么？ 要求：根据问题1和问题2，将自己的以上结论进行举例说明 牛刀小试： 练1：（多选）下列问题属于排列问题的是（   ） A．从10人中选取5人组成一个卫生队 B．从10人中选取4人参加4×100米接力赛 C．从10人中选取5人参加某兴趣小组 D．从10人中选取5人分别去五个地区支教 练2：（多选）下列问题属于排列问题的是（    ） A．从6人中选2人分别去游泳和跳绳 B．从10人中选2人去游泳 C．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 D．从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数 3． 应用新知 例1 某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛? 总结：排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序有关. 在判断一个问题是否是排列问题时，可以考虑对所取出的元素任意交换其中两个，若结果变化，则是排列问题,否则不是排列问题. 牛刀小试： 练3：从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组，那么共有多少种不同的选法? 例2（1）一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法? （2）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法? 总结：解决此类相似问题时，首先要分清楚是不是排列问题，其次使用分步乘法计数原理求排列总数时，要做到步骤完整，步与步之间相互独立，然后把完成每一步的方法数相乘即可得到总数. ． 牛刀小试： 练4：（1）有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ （2）有7种不同的书（每种不少于3本），要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多 少种不同的送法？ 类型一：“排列”判断 例1 判断下列问题是否为排列问题. （1）北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格（假设来回的票价相同）； （2）选2个小组分别去植树和种菜； （3）选2个小组去种菜； （4）选10人组成一个学习小组； （5）选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； （6）某班40名学生在假期相互通信. 总结：排列问题的判断方法： (1) 元素的无重复性 (2) 元素的有序性 判断关键是看选出的元素有没有顺序要求。 题型二：排列解决“排数”问题 例题2 用1，2，3，4，5，6六个数字，可以排成多少个没有重复数字的三位数？ 总结：排列解决“排数”问题 (1) 先根据排列的定义，判断所解决的问题是否为排列问题 (2) 将排列问题，进行分步进行 (3) 结合分步计数原理即可得解 4． 课堂小结 作业1：完成教材：第16页 练习1；第17页 练习2,3；. 作业2：配套辅导资料对应的《排列》.  学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $