专题10.3 频率与概率（高效培优讲义）数学人教A版高一必修第二册

本讲义聚焦“频率与概率”核心知识点，系统梳理频率的定义与计算方法，明晰概率的本质含义及基本性质，重点阐释频率与概率的辩证关系，即频率的随机性和概率的确定性，以及试验次数增大时频率稳定于概率的规律，并结合古典概型实例提供理论支撑。 该资料通过商超利润、运动员投篮等生活实例及随机模拟实验，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维分析问题的能力，题型分层设计（即学即练、变式训练），课中助力教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺，提升数据意识与应用能力。

专题10.3 频率与概率 教学目标 1.结合具体实例，理解频率的定义（事件发生次数与试验总次数的比值），掌握频率的计算方法，能根据试验数据绘制频率分布表或折线图。 2.明晰概率的本质含义（随机事件发生可能性大小的客观度量），理解概率的统计定义与基本性质（如取值范围、必然事件与不可能事件的概率特征）。 3.核心掌握频率与概率的辩证关系：频率具有随机性（随试验次数变化），概率具有确定性（客观常数），当试验次数足够大时，频率会稳定于概率附近，从而明确“用频率估计概率”的合理性与适用场景。 4.结合古典概型实例，巩固简单随机事件的概率计算，为频率与概率的关联提供理论支撑。 教学重难点 1.重点 频率的稳定性规律：理解“随着试验次数增大，频率偏离概率的幅度逐渐缩小”的核心结论，掌握通过大量重复试验观察频率稳定性的方法。 2.难点 频率与概率的本质区别辨析：难以区分“随机变量（频率）”与“客观常数（概率）”，易将频率直接等同于概率，需通过典型反例强化认知。 知识点01 频率的稳定性 1、频率的稳定性 一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率估计概率． 2、概率与频率的区别与联系 频率 概率 区别 频率反映了一个随机事件发生的频繁程度，是随机的 概率是一个确定的值，它反映随机事件发生的可能性的大小 联系 频率是概率的估计值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率 【即学即练】 1．关于概率与频率，下列说法正确的是（   ） A．频率是随机的，概率是确定的 B．随着试验次数增加，频率会越来越接近概率 C．某事件概率为0，则该事件一定不会发生 D．在大量重复试验中，频率的波动会逐渐减小 【答案】ABD 【分析】根据频率与概率的关系，概率的定义对选项进行分析即可. 【详解】对于A：频率是指在次重复试验中，某事件发生的次数与总试验次数的比值，即.由于每次试验结果不确定，频率随试验结果波动，具有随机性. 概率是事件在理论上发生的可能性大小，是一个确定的常数.故A正确. 对于B：大量重复试验下，事件发生的频率趋于稳定，并趋近于其理论概率.故B正确. 对于C：概率为0的事件不一定不会发生；在离散型概率中，概率为0才意味着不可能发生.故C错误. 对于D：随着试验次数增大，频率的相对误差趋于减小，波动幅度减小，趋于稳定值.故D正确. 故选：ABD 2．某大型商超每天以每公斤1元的价格从蔬菜批发行购进若干公斤青菜，然后以每公斤2元的价格出售．如果当天卖不完，那么剩下的青菜当作福利分给有需要的员工 (1)若该商超一天购进800公斤青菜，求当天出售青菜的利润y（单位：元）关于当天青菜需求量x（单位：公斤）的函数解析式 (2)该商超记录了100天青菜的日需求量（单位：公斤），整理得到下表． 日需求量x 770 780 790 800 820 830 频数 5 10 20 35 20 10 （ⅰ）假设该大型商超在这100天内每天购进800公斤青菜，求这100天出售青菜的日利润（单位：元）的平均数； （ⅱ）若该大型商超一天购进800公斤青菜，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于780元的概率． 【答案】(1) (2)（ⅰ）789元；（ⅱ）0.85 【分析】（1）由题意可知需要对进行分类讨论，很容易得到函数解析式； （2）（ⅰ）根据分层计算出不同日需求量的利润即可求解；（ⅱ）以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率即可求解. 【详解】（1）当时，； 当时，． 故关于的函数解析式为 （2）（i）这100天有5天的日利润为元， 10天的日利润为元， 20天的日利润为元， 65天的日利润为800元， 所以这100天出售青菜的日利润的平均数为元． （ⅱ）若当天的利润不少于780元，则当日需求量不少于790公斤 故当天的利润不少于780元的概率为． 知识点02 随机模拟 我们知道，利用计算器或计算机软件可以产生随机数．实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟实验，这样就可以快速地进行大量重复试验了，这么随机模拟方式叫做随机模拟． 我们称利用随机模拟解决问题地方法为蒙特卡洛方法． 【即学即练】 1．利用随机模拟方法计算y=x2与y=4围成的面积时,利用计算器产生两组0~1之间的均匀随机数a1=RAND,b1=RAND,然后进行平移与伸缩变换,a=4a1-2,b=4b1,试验进行100次,前98次中落在所求面积区域内的样本点数为65,已知最后两次试验的随机数a1=0.3,b1=0.8及a1=0.4,b1=0.3,那么本次模拟得出的面积的近似值为 . 【答案】10.72 【分析】由题意知本题是模拟方法估计概率，只须计算出总共100次试验，一共有多少次落在所求面积区域内，结合几何概型的计算公式即可求得． 【详解】由，得，，落在与围成的区域内， 由，得，，落在与围成的区域内， 本次模拟得出的面积的近似值为． 故答案为：10.72． 2．已知某运动员每次投篮命中的概率为，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生之间的随机整数，以每个随机整数（不足三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0，1，2，3，4表示命中，数字5，6，7，8，9表示未命中.如图，在R软件的控制台，输入“sample（0：999，20，replace=F）”，按回车键，得到0~999范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出基本事件的个数以及符合条件的事件的个数，进而结合古典概型概率公式即可求出结果. 【详解】在20个不重复的数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有633，309，016，543，247，062共6个， 所以据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为. 故选：A 题型01 频率与概率的关系 【典例1】下列说法不正确的是（    ） A．随机试验的频率与概率相等 B．如果一事件发生的概率为99.9999%，说明此事件必然发生 C．只有不确定事件有概率 D．若事件发生的概率为，则 【答案】ABC 【分析】A根据频率与概率关系判断；B、C、D由事件、概率的定义及性质判断，即可得. 【详解】A：随机试验多次重复发生时，频率越来越稳定于概率，但不一定相等，错； B：如果事件发生的概率为99.9999%，说明此事件发生的概率非常大，但不是必然发生，错； C：确定事件也有概率，错； D：根据概率的性质知，对. 故选：ABC 1、频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率． 2、频率本身是随机的，在试验前不能确定． 3、概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关． 【变式1】下述关于频率与概率的说法中，错误的是（    ） A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品 B．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是 C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，如果随机试验的次数超过10000，那么所估计出的概率一定很准确 【答案】ABCD 【分析】根据频率与概率的关系，结合各选项的描述判断正误. 【详解】A：次品率描述出现次品的概率，即可能情况不是必然发生，错误； B，C：概率是多次重复试验中事件发生的频率在某一常数附近，此常数为概率，与描述不符，错误； D：10000次的界定没有科学依据，“一定很准确”的表达错误，试验次数越多，频率越稳定在概率值附近，但并非试验次数越多，频率就等于概率，D错误. 故选：ABCD 【变式2】下列命题正确的是 A．用事件发生的频率估计概率，重复试验次数越大，估计的就越精确. B．若事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立. C．事件与事件同时发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率小. D．抛掷一枚均匀的硬币，如前两次都是反面，那么第三次出现正面的可能性就比反面大. 【答案】B 【分析】根据概率的定义，事件的独立性概念判断各选项． 【详解】在相同的条件下做大量重复试验,一个事件A出现的次数和总的试验次数之比,称为事件在这次试验中出现的频率.当试验次数很大时,频率将稳定在一个常数附近. 越大,频率偏离这个常数较大的可能性越小.这个常数称为这个事件的概率，并不是说越大，估计的精度越精确，A错； 事件与事件相互独立，即是否发生与是否发生无关，∴事件是否发生与事件是否发生也无关，它们相互独立，B正确； 抛一枚骰子，出现的点数不大于5记为事件，出现的点为不小于2记为事件，则事件与事件同时发生是指点数为2，3，4，5，概率为，而事件与中恰有一个发生是指点为1或6，概率为．C错； 抛掷一枚均匀的硬币，如前两次都是反面，那么第三次出现正面的可能性与出现反面的可能性还是一样．D错． 故选：B． 【变式3】某人将一枚硬币连续抛掷了10次,正面朝上的情形出现了6次,则（　　） A．正面朝上的概率为0.6 B．正面朝上的频率为0.6 C．正面朝上的频率为6 D．正面朝上的概率接近于0.6 【答案】B 【分析】根据频率与概率的定义判断． 【详解】=0.6是本次试验中正面朝上的可能性，是频率不是概率．概率是试验次数无限大时频率的稳定值．因此只有B正确． 故选：B 题型02 概率思想的实际应用 【典例1】运动会上，甲、乙、丙三名运动员最终进入跳高决赛，决赛成绩达到以上（含）的运动员将获得优胜奖.为预测获得优胜奖的情况及冠军得主.收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）： 甲：181   180   179   178   173   172   170   168 乙：180   179   175   171   170   169 丙：183   176   165 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立. (1)估计甲在决赛中获得优胜奖的概率； (2)估计乙、丙两人在决赛中至少有一人获得优胜奖的概率； (3)甲、乙、丙三人中谁夺冠的概率最大？（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3)丙 【分析】（1）由频率计算公式即可求解； （2）分别计算乙丙获得优胜奖的概率，再计算乙丙都没获得优胜奖的概率，再由对立事件计算公式即可求解； （3）结合甲乙丙高分段的数量（频率）和最大值即可判断. 【详解】（1）由甲：181   180   179   178   173   172   170   168 8组数据中成绩达到以上（含）有4组， 甲在决赛中获得优胜奖的概率为； （2）由乙：180   179   175   171   170   169 6组数据中成绩达到以上（含）有3组， 故乙在决赛中获得优胜奖的概率为； 由丙：183   176   165 3组数据中成绩达到以上（含）有2组， 故丙在决赛中获得优胜奖的概率为； 则乙、丙两人在决赛中都没获得优胜奖的概率为：， 故乙、丙两人在决赛中至少有一人获得优胜奖的概率为； （3）甲的成绩达到以上（含）的数量为2， 概率（频率）为，最大值为181； 乙的成绩达到以上（含）的数量为1， 概率（频率）为，最大值为180； 丙的成绩达到以上（含）的数量为1， 概率（频率）为，最大值为183； 可判断丙获得冠军的概率最大. 在一次试验中，概率大的事件比概率小的事件出现的可能性更大． 【变式1】甲每次投篮投进的概率是0.7，连续投篮三次，每次投篮结果互不影响，记事件A为“甲至少投进两球 (1)用表示甲第次的投篮结果，则表示试验的样本点.用1表示“投进”，0表示“未投进”，写出该试验的样本空间，判断其是否为古典概型，并说明理由； (2)用计算机产生之间的整数随机数，当出现随机数时，表示“投进”，出现7，8，9时表示“未投进”，以每3个随机数为一纽，代表甲三次投篮结果，产生20组随机数： 利用该模拟试验，估计事件A的概率，并判断事件A的概率的精确值与估计值是否存在差异，并说明理由 【答案】(1)样本空间见解析，不是古典概型，理由见解析 (2)事件A的概率的估计值为0.9，存在差异，理由见解析 【分析】（1）直接写出样本空间即可，根据样本点和的概率即可结合古典概型定义进行判断. （2）20组随机数中事件A发生了18次，则事件A的频率为，所以事件A的概率的估计值为0.9，再求出事件A的概率的精确值结合试验的特点以及频率与概率的特征和关系即可比较判断和说明. 【详解】（1）该试验的样本空间为 ， 共有8个样本点， 样本点的概率为，样本点的概率为，这两个样本点的概率不相等，所以这个试验不是古典概型. （2）产生20组随机数相当于做了20次重复试验，其中事件A发生了18次， 则事件A的频率为，所以事件A的概率的估计值为0.9. 设事件“甲第次投进”，，则 因为. 又因为每次投篮结果互不影响，所以与相互独立，与相互独立，与相互独立，与相互独立且两两互斥， 所以 所以事件A的概率的估计值和有差异.原因如下： ①随机事件发生的频率具有随机性，频率和概率有一定的差异； ②重复试验次数为20，样本量较少，频率偏离概率的幅度大的可能性更大. 【变式2】为响应垃圾分类处理，改善生态环境，某小区将生活垃圾分成三类：厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾，分别记为a，b，c.并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱，“可回收垃圾”箱和“其他垃圾”箱，分别记为A，B，C. (1)若小明将一袋分好类的生活垃圾随机投入一类垃圾箱，请写出投放正确的概率； (2)为了了解居民生活垃圾分类投放的情况，现随机抽取了某天三类垃圾箱中总共100吨的生活垃圾，数据统计如下（单位：吨） A B C a 40 10 10 b 3 24 3 c 2 2 6 ①请根据以上信息，试估计“厨余垃圾”投放正确的概率； ②调查发现，在“可回收垃圾”中塑料类垃圾占，每回收1吨塑料类垃圾可获得0.7吨二级原料，某城市每天大约产生2000吨生活垃圾.假设该城市对每天产生的垃圾箱中的垃圾全部分类处理，那么按样本中的投放垃圾与按规范投放垃圾相比，每月（按30天）流失掉多少吨塑料类垃圾的二级原料？ 【答案】(1) (2)①；②252 【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数，找出垃圾投放正确的情况数，即可求出所求的概率. （2）①利用频率估计概率求解可得. ②首先求得可回收垃圾量，然后求得二级原料即可. 【详解】（1）列表如下： a b c A B C 所有等可能的情况数有9种， 其中垃圾投放正确的有，，共3种， 所以垃圾投放正确的概率为. （2）①.估计“厨余垃圾”投放正确的概率为， ②.由（吨）， 答：每月（按30天）流失掉252吨塑料类垃圾的二级原料. 【变式3】某校以课程建设为核心，建立了学生劳动实践基地，开发了农事劳作课程，开展课外种植、养殖活动，打算引进小动物甲以及成立养殖小组．为了解学生的养殖意愿，该校在一年级的100名学生中进行问卷调查，调查数据如下： 性别 养殖小动物甲 喜欢 不喜欢 男生 20 30 女生 40 10 (1)分别估计该校男、女生中喜欢养殖小动物甲的概率； (2)学校决定由一年级负责养殖小动物甲，现按分层随机抽样的方法从一年级喜欢小动物甲的学生中随机抽取6名学生组成养殖小组，再从这6名学生中随机抽取2人担任养殖小组主要负责人，求这2人恰好都是女生的概率． 【答案】(1)该校男、女生中喜欢养殖小动物甲的概率分别为 (2) 【分析】（1）根据题意由频率计算概率即可得解； （2）写出基本事件空间，根据古典概型求解即可. 【详解】（1）由题意知男生中喜欢养殖小动物甲的频率为； 女生中喜欢养殖小动物甲的频率为， 所以估计该校男、女生中喜欢养殖小动物甲的概率分别为． （2）抽取的这6人中男生人数为，分别记为， 女生人数为，分别记为． 设抽取的2人分别为，用数组表示这个实验的一个样本点， 因此该试验的样本空间， 共15个样本点． 设事件“抽取的2人恰好都是女生”， 则，共6个样本点． 因为样本空间中每一个样本点出现的可能性相等， 所以该试验是古典概型，因此． 题型03 用随机模拟估计概率 【典例1】在一个试验中，某种豚鼠被感染病毒的概率为，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染．经随机模拟产生了如下20组随机数： 192 907 966 925 271 932 812 458 569 683 257 393 127 556 488 730 113 537 989 431 据此估计三只豚鼠中恰有两只被感染的概率为 ． 【答案】/ 【分析】先找出三只豚鼠中恰有两只被感染的随机数组，再根据古典概率计算公式计算即可. 【详解】20组随机数中，表示恰有两只被感染的有192，271，932，812，393，127，共有6组， 故估计三只豚鼠中恰有两只被感染的概率为． 故答案为： 用随机数模拟法求事件概率的方法 在使用整数随机数进行模拟试验时，首先要确定随机数的范围和用哪个代表试验结果． 1、试验的基本结果是等可能时，基本事件的总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件． 2、研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数． 【变式1】天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1～5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示天下雨，利用计算产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245．则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知：共20个随机数，其中随机数1，3，5出现2次的有9次，结合古典概型运算求解. 【详解】由题意可知：共20个随机数， 其中随机数1，3，5出现2次的有123，453，332，152，534，521，541，125，314，共9次， 所以这三天中恰有两天下雨的概率近似为. 故选：C. 【变式2】为加强学生身体健康，某校对学生进行了体能测试．已知同学甲在立定跳远项目中每次及格的概率均为0.6，现采用随机模拟的方法估计甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率：先由计算器产生0到9范围内的整数随机数，指定0，1，2，3表示没有及格，4，5，6，7，8，9表示及格，再以每3个随机数为一组，代表3次立定跳远的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数： 759   421   113   215   345   257   704   066   186   203 037   624   616   045   601   366   959   742   710   428 据随机模拟试验估计，甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找到20组数据中符合题意的数据个数，然后利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】依题意，在每组随机数中，至少有2个数字在4，5，6，7，8，9中， 即代表甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次， 经统计，20组中一共有13组符合要求， 有：759，345，257，704，066，186，624，616，045，366，959，742，428， 故概率为． 故选：D． 【变式3】某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生如下10组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907．由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【答案】A 【分析】找出满足条件的随机数组，根据古典概型概率公式可得. 【详解】由10组随机数知，4~9中恰有三个的随机数有569，989两组， 故所求的概率为． 故选：A 题型04 概率的稳定性 【典例1】在英语中不同字母出现的频率彼此不同且相差很大，但同一个字母的使用频率相当稳定，有人统计了40多万个单词中5个元音字母的使用频率，结果如下表所示： 元音字母 A E I O U 频率 7.88% 12.68% 7.07% 7.76% 2.80% （1）从一本英文（小说类）书里随机选一页，统计在这一页里元音字母出现的频率； （2）将你统计得出的频率与上表中的频率进行比较，结果是否比较接近？你认为存在差异的原因是什么. 【答案】（1）答案见解析；（2）不大接近，原因见解析. 【解析】（1）元音字母出现的频率即AEIOU五个字母出现频数分别除以所有字母出现次数； （2）不完全接近，随机选一页，其频率往往偏差可能会很大. 【详解】（1）选取英文书籍任意一页，一共637个字母， 其中元音字母出现频数和频率如下表， A出现38次，频率为：5.97% E出现96次，频率为：15.07% I出现47次，频率为：7.38% O出现52次，频率为：8.16% U出现12次，频率为：1.88% （2）可以发现统计出来的频率与上表中的频率不是很接近，因为统计数据较小，有很强的偶然性，上表中的统计数据40多万个单词，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小. 1、概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值． 2、正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件． 【变式1】为践行五育并举，增强学生体质，某校拟开设课外体育活动课．现从全校高一学生中分层随机抽样出100名男生和80名女生，对其选课意愿作调查统计，得到数据如下： 男生 女生 选择 不选择 选择 不选择 排球 50 50 50 30 篮球 25 75 15 65 足球 75 25 5 75 乒乓球 10 90 10 70 假设所有学生是否选择排球、篮球、足球、乒乓球相互独立，用频率估计概率． (1)假设全校共有1800名高一学生，直接判断下列结论的正误． 结论：根据样本数据估计全校有800名高一学生有选择足球课的意愿； 结论：样本中男生对排球课和篮球课都不选择的人数可以为20． (2)若从该校全体高一男生中随机抽取2人，全体高一女生中随机抽取1人，求这3人中选择排球课的人数恰为2的概率； (3)记样本中男生选择排球、篮球、足球、乒乓球课的频率依次为，其方差为；样本中男生不选择这四个活动课的频率依次为，其方差为．写出与的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】(1)结论正确，结论错误； (2) (3) 【分析】（1）结合题干利用样本中选择足球的人数的比例，可以判断结论；根据容斥原理，可以判断结论. （2）利用全概率公式求解选择排球课的人数为2的概率即可； （3）根据题意可知，结合方差的定义得到两者方差相等. 【详解】（1）由题意可知，选择足球课的频率为， 则全校高一学生有选择足球课的意愿的人数为，故结论正确； 设不选择排球的男生集合为，不选择篮球的男生集合为， 则集合和中的人数分别为，,都不选择的人数为， 根据且， 可得， 所以都不选择的人数至少为25人，故结论B错误. （2）由题意可知，男生选择排球课的概率为，女生选择排球课的概率为， 假设表示3人中选择排球课的人数，则选择排球课的人数恰为2的概率 . （3）由题意知，， 设男生选择和不选择这四个活动课的平均值分别为， 则 根据方差定义可得 所以. 【变式2】为了进一步推动体育强国和健康中国的建设，国家体育总局办公厅印发了《2025年群众体育工作要点》，为了解某地高中学生体育锻炼时长，从该地区28000名学生中抽取500人，得到日均体育锻炼时长的频率分布表，如下： 分组 频数 频率 120 0.24 160 155 0.31 35 30 0.06 合计 500 1 (1)求和的值； (2)估计该地区高中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）； (3)从和两组中用分层抽样的方法共抽取了7人，再从这7人中随机抽取2人，求这两人来自不同的组的概率. 【答案】(1)； (2)0.9小时 (3) 【分析】（1）由频率分布表，结合频率计算公式即可求解； （2）根据频率分布表，结合平均数计算公式即可求解； （3）根据分层抽样，可得组抽取3人，组抽取4人，利用列举法，可知7人中随机抽取2人，共有21种情况，其中这两人来自不同的组共有12种情况，即可求解. 【详解】（1）根据频率分布表，结合频率的计算，得，； （2）根据样本平均数公式可得 ， 所以估计该地区高中学生日均体育锻炼时长约为0.9小时； （3）两组频率之比为，共抽取7人， 由分层抽样可知：组抽取3人，组抽取4人， 设组的3人分别为，，，组的4人分别为，，，， 从7人中随机抽取2人的所有基本事件有： ，，，，，，，， ，，，，，，，， ，，，，共21个， 其中两人来自不同组的基本事件有： ，，，，，，，，，，，共12个， 所以两人来自不同组的概率. 【变式3】某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域（不考虑指针落在分界线上的情况）就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据． 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的次数m 68 111 136 345 564 701 落在“铅笔”区域的频率 (1)计算并完成表格； (2)请估计，当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近多少？ (3)假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？ 【答案】(1)答案见解析； (2)0.7； (3)0.7. 【分析】（1）根据表格数据，按照频率公式直接计算可得； （2）通过观察表中频率变化可得； （3）根据频率与概率的关系可知. 【详解】（1）通过计算可得： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的次数m 68 111 136 345 564 701 落在“铅笔”区域的频率 0.68 0.74 0.68 0.69 0.705 0.701 （2）当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近0.7. （3）由表格可知，随着转动转盘次数越来越大，频率越来越稳定在0.7附近， 所以，获得铅笔的概率约是0.7. 1．小明与小华两人玩游戏，则下列游戏不公平的是（    ） A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜 B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜 C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜 D．小明、小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜 【答案】B 【分析】分别计算各选项中小明、小华获胜的概率，若二人获胜的概率相等，则公平，否则不公平，由此得到选项． 【详解】对于A，抛掷一枚骰子，一共6种情况，向上的点数为奇数的概率为，向上的点数为偶数的概率为，所以游戏公平； 对于B，同时抛掷两枚硬币，一共4种情况：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）， 恰有一枚正面向上的概率为，两枚都正面向上的概率为，所以游戏不公平； 对于C，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红的概率为，扑克牌是黑色的概率为，所以游戏公平； 对于D，小明､小华两人各写一个数字6或8，共四种情况， 两人写的数字相同的概率为，两人写的数字不同的概率为，所以游戏公平． 故选：B． 2．下面的三个游戏都是在袋子中装球，然后从袋子中不放同地取球，分别计算三个游戏中甲获胜的概率，你认为哪个游戏是公平的？ 游戏1 游戏2 游戏3 袋子中球的数量和颜色 1个红球和1个白球 2个红球和2个白球 3个红球和1个白球 取球规则 取1个球 依次取出2个球 依次取出2个球 获胜规则 取到红球→甲胜 两个球同色→甲胜 两个球同色→甲胜 取到白球→乙胜 两个球不同色→乙胜 两个球不同色→乙胜 【答案】；；；游戏1和游戏3是公平的 【解析】利用古典概型的概率公式分别计算三个游戏中甲获胜的概率，根据甲乙对应的概率是否相等判断游戏的公平性. 【详解】解：游戏1中，甲获胜的概率为；游戏2中，甲获胜的视率为；游戏3中，甲获胜的概率为，所以游戏1和游戏3是公平的. 3．某学校校庆，给每班发了5张庆典门票．班主任王老师准备采用抽签方式来决定哪5位同学参加，为此制作了50张卡片，其中5张写有“庆典”字样．50位同学轮流抽签，抽中写有“庆典”字样的同学参加学校庆典．小明提出：“抽签有先后，第一名同学抽中的概率是．如果第一名同学抽到，第二名同学抽到的概率只有，如果第一名同学未抽中，第二名同学抽中的概率为．抽中的机会未必相等．”你认为王老师的抽签方法公平吗？小明的话又如何解释？ 【答案】公平，理由见解析. 【分析】利用随机抽样的定义及性质分析可得抽签方法公平即可求解. 【详解】王老师的抽签方法公平，每位同学抽中的概率均为，即. 理由如下： 小明的话看似也有道理，第二名同学在第一名同学抽中和未抽中的情况下抽到门票的概率有所不同，但抽中门票的总概率是相同的，只考虑第个人摸卡片的情况，50张卡片中的每张卡片有可能被第50个人摸到，且可能性相等，其中有5张情形写有“庆典”，因此第50个人摸到写有“庆典”的卡片的概率为，即，与摸卡片的人的摸卡片顺序无关. 4．已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等） 现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛. （1）由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来. （2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）不公平，理由见解析. 【分析】（1）根据定义一一列举出即可； （2）由（1）根据古典概型的概率计算公式分别计算概率即可判断. 【详解】解：（1）由题意知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数共有20个. 分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456. （2）不公平由（1）知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”有20个，记“甲参加数学竞赛”为事件A，记“乙参加数学竞赛”为事件B.则事件A含有基本事件有：124，134，234，126，136，146，156，236，246，256，346，356，456共13个. 由古典概型计算公式，得 ， 又A与B对立，所以， 所以.故选取规则对甲、乙两名学生不公平. 5．一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子（一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色），跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输.乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平！你看，如果朝上的面的颜色为绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的面要么是绿色，要么是蓝色，因此，你赢的概率为，我赢的概率也是，怎么不公平？”分析这个游戏是否公平. 【答案】见解析. 【分析】把卡片六个面的颜色记为，，，，，，其中，G表示绿色，B表示蓝色；和是两面颜色不一样的那张卡片的颜色，用树形图得到样本空间，计算出概率即可判断. 【详解】解：把卡片六个面的颜色记为，，，，，， 其中，G表示绿色，B表示蓝色；和是两面颜色不一样的那张卡片的颜色. 游戏所有的结果可以用如图表示. 不难看出，此时，样本空间中共有6个样本点，朝上的面与朝下的面颜色不一致的情况只有2种，因此乙赢的概率为. 因此，这个游戏不公平. 6．阶梯挑战赛中的排名跃迁，某电竞比赛采用阶梯挑战赛制，共有5个阶梯（从低到高为阶），初始时10支队伍随机分布在各阶梯上，分布情况为：1阶2队、2阶2队、3阶2队、4阶2队、5阶2队． 比赛规则： 1．每轮比赛，各阶梯内随机配对进行比赛（若某阶梯队伍数为奇数，则有一队轮空） 2．比赛胜者上升1阶，败者下降1阶（5阶胜者保持5阶，1阶败者保持1阶） 3．每轮结束后，重新按阶梯排序，进行下一轮比赛 4．比赛共进行3轮 假设每支队伍实力相当，任意两队比赛获胜概率均为，且各场比赛结果相互独立． (1)求初始位于3阶的某支队伍在3轮比赛后仍位于3阶的概率； (2)求初始位于3阶的某支队伍在3轮比赛后升至5阶的概率； (3)若某支队伍希望最大化3轮后位于5阶的概率，应选择从哪一阶开始比赛？证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)3轮后，证明见解析 【详解】（1）设表示该队第n轮后所处的阶梯，． 要使，需满足3轮中胜场数等于负场数，即1胜2负或2胜1负（因为3轮总比赛场次为3）． 计算1胜2负的路径：—（概率：）—（概率：）—（概率：）—（概率：） 计算2胜1负的路径：—（已计算）（概率：）—（概率：）—（已计算） 注意：部分路径重复计算，实际不同路径为：—— 每条路径概率均为，共有6条路径，因此： （2）要使，需满足3轮中至少2胜且路径不违反阶梯边界． 可能路径：—（3胜，但第3轮在5阶胜后仍为5阶）：概率—（2胜1负）：概率—（2胜1负）：概率， 因此：， （3）设从k开始，3轮后位于5阶的概率为． 对于—必须3连胜：，概率， 对于—3连胜：，概率—2胜1负（不影响最终到5阶）：（无法到5阶）（无法到5阶）（无法到5阶）（已计入3连胜）因此，， 对于—如（2）所计算，， 对于—至少1胜：（概率）—1胜2负：（概率）—2胜1负：（无法到5阶）（概率）（已计入）因此，，对于—无需胜场：（概率1） 比较：， 因此，从5阶开始比赛，3轮后位于5阶的概率最大（为1）.这符合直观，因为高阶梯起点意味着离目标更近，且5阶胜者保持5阶的规则使得从5阶开始的队伍不会下降． 7．“文明进步是城市永恒的追求，创建文明城市是城市更新发展、人民幸福感不断提升的过程，也是安顺实现高质量发展的需要．”安顺市积极开展“创建文明城市”工作，为了解市民对“创建文明城市”各项工作的满意程度，某社区组织市民问卷调查给各项工作打分（分数为正整数，满分100分），按照市民的打分从高到低划定A，B，C，D，E共五个层次，A表示非常满意，分数区间是；B表示比较满意，分数区间是；C表示满意，分数区间是；D表示不满意，分数区间是；E表示非常不满意，分数区间是.现从社区的市民中随机抽取1000名市民进行问卷调查，其频率分布直方图如图所示． (1)求图中a的值，并根据频率分布直方图，估计该市市民打分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若80%的市民达到C（即满意）及以上，则“创建文明城市”工作有效，否则工作就需要调整．用本次样本的频率分布直方图估计总体，试判断该市“创建文明城市”工作是否需要调整； (3)市民参加问卷调查时会有一定的顾虑，该社区为了调查本社区市民对“创建文明城市”工作满意度的最真实情况，对本社区市民进行了调查，调查中问了两个问题： ①你的手机尾号是不是奇数？（假设手机尾号为奇数的概率为） ②你是否满意安顺市“创建文明城市”工作？ 调查者设计了一个随机化的装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的50个白球和50个红球，每个被调查者随机从装置中摸一个球（摸出的球再放回装置中），摸到白球的市民如实回答第一个问题，摸到红球的市民如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不做．由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案．已知该社区1000名市民参加了调查，且有660名市民回答了“是”，请由此估计该社区市民对“创建文明城市”工作满意的百分比． 【答案】(1)，71； (2)不需要调整，理由见解析； (3)82% 【分析】（1）根据频率之和为1得到方程，求出，并根据平均数的定义进行求解； （2）计算出区间内的频率，和0.8比较后得到结论； （3）约有500人回答了第一个问题，这500人中约有250人回答了“是”，从而求出约有410人在第二个问题中回答了“是”，第二个问题被问到的人数也约为500，从而得到答案. 【详解】（1）由题意得， 解得， ， 估计该市市民打分的平均数为71； （2）该市“创建文明城市”工作不需要调整，理由如下： 区间内的频率为 ， 所以该市“创建文明城市”工作不需要调整； （3）两个问题被问的概率相等，故约有500人回答了第一个问题， 由于手机尾号是奇数和偶数的概率相等，故这500人中约有250人回答了“是”， 所以约有人在第二个问题中回答了“是”， 第二个问题被问到的人数也约为500， 故估计该社区市民对“创建文明城市”工作满意的百分比为=82%. 8．某小区为了调查本小区业主对物业服务满意度的真实情况，对本小区业主进行了调查，调查中问了两个问题1：你的手机尾号是不是奇数？问题2：你是否满意物业的服务？调查者设计了一个随机化装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的白球和红球，每个被调查者随机从装置中摸到红球和白球的可能性相同，其中摸到白球的业主回答第一个问题，摸到红球的业主回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.已知某小区80名业主参加了问卷，且有48名业主回答了“是”，由此估计本小区对物业满意服务的百分比大约为（    ） A．10% B．20% C．35% D．70% 【答案】D 【分析】根据问卷调查的设计原则，及两个问题被抽到、手机尾号奇数、偶数的概率分别相同，结合已知估计回答第二个问题的人数及回答“是”的人数，即可得结果. 【详解】由两个问题被问的概率相等，故约有40人回答了第一个问题， 由手机尾号为奇数和偶数的概率相等，故40人中约有20人回答“是”， 根据有48名业主回答了“是”，则约有28人在第二个问题中回答“是”， 又第二个问题被问到的人数同样约为40人， 故本小区对物业满意服务的百分比大约为. 故选：D 9．人类的四种血型与基因类型的对应为：O型的基因类型为ii，A型的基因类型为ai或aa，B型的基因类型为bi或bb，AB型的基因类型为ab.其中a和b是显性基因，i是隐性基因.孩子分别继承父母一个基因，组成一个基因类型，则 (1)若一对夫妻的血型一个是A型，一个是AB型，分析他们子女的血型是O，A，B或AB型的概率； (2)父母为哪种血型时，孩子的血型不可能为O型（写出结论即可） 【答案】(1)；；；； (2)父母有一方是AB血型时，孩子的血型不可能为O型. 【分析】（1）列举所有基本事件，然后求出个事件包含的个数，利用古典概型概率公式求解即可； （2）求出各个血型的概率，即可得出结论. 【详解】（1）若一对夫妻的血型一个是A型，一个是AB型， 则他们子女血型的基因的可能结果如下：aa，ab，ai，bi，aa，ab，aa，ab共8个， O型的基因类型有0个，A型的基因类型有4个，B型的基因类型有1个，AB型的基因类型有3个， 故他们子女的血型是O的概率为，他们子女的血型是A的概率为， 他们子女的血型是B型的概率为，他们子女的血型是AB型的概率为； （2）当父母的血型一个是A型，一个是AB型时，孩子的血型不可能为O型； 当父母的血型都是AB型时，子女血型的基因的可能结果如下：aa，ab，ab，bb共4个， O型的基因类型有0个，故子女的血型是O的概率为，即孩子的血型不可能为O型； 当父母的血型一个是B型，一个是AB型时，则子女血型的基因的可能结果如下：ab，bb，ai，bi，ab，bb，ab，bb共8个， O型的基因类型有0个，故子女的血型是O的概率为，即孩子的血型不可能为O型； 当父母的血型一个是O型，一个是AB型时，则子女血型的基因的可能结果如下：ai，ai，ai，bi共4个，O型的基因类型有0个， 故子女的血型是O的概率为，即孩子的血型不可能为O型； 综上，父母有一方是AB血型时，孩子的血型不可能为O型. 10．（多选）教练想从甲、乙两个人中选择一人参加省运动会800米比赛，收集了甲、乙两人近8次的比赛成绩，并整理得到如下数据： 甲 乙 若比赛成绩在以下（含）为优秀，用频率估计概率，则下列说法正确的是（ ） A．乙比赛成绩优秀的概率为 B．甲比赛成绩的平均数等于乙比赛成绩的平均数 C．甲比赛成绩的方差小于乙比赛成绩的方差 D．为冲击800米省冠军，教练应该选择乙参加省运动会800米比赛 【答案】AC 【分析】由表格数据，计算乙比赛成绩优秀的概率判断A，应用平均数、方差公式求甲乙的平均数、方差，比较它们的大小即可判断BCD. 【详解】对于A：比赛成绩在以下（含）为优秀，由表中的数据，乙比赛成绩优秀的概率为， 故A正确； 对于B：为了好计算甲乙的平均数和方差，只需要根据秒数计算即可， 甲的平均数， 乙的平均数， 所以甲比赛成绩的平均数小于乙比赛成绩的平均数，故B错误； 对于C：甲的方差 . 乙的方差 ，则，C正确； 对于D：由于甲的比赛成绩的平均值比乙比赛成绩平均值低（用时较少说明跑得快）， 并且甲的方差小，数据稳定，故选派甲去参加比赛比较合适，D错误. 故选：AC. 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.3 频率与概率 教学目标 1.结合具体实例，理解频率的定义（事件发生次数与试验总次数的比值），掌握频率的计算方法，能根据试验数据绘制频率分布表或折线图。 2.明晰概率的本质含义（随机事件发生可能性大小的客观度量），理解概率的统计定义与基本性质（如取值范围、必然事件与不可能事件的概率特征）。 3.核心掌握频率与概率的辩证关系：频率具有随机性（随试验次数变化），概率具有确定性（客观常数），当试验次数足够大时，频率会稳定于概率附近，从而明确“用频率估计概率”的合理性与适用场景。 4.结合古典概型实例，巩固简单随机事件的概率计算，为频率与概率的关联提供理论支撑。 教学重难点 1.重点 频率的稳定性规律：理解“随着试验次数增大，频率偏离概率的幅度逐渐缩小”的核心结论，掌握通过大量重复试验观察频率稳定性的方法。 2.难点 频率与概率的本质区别辨析：难以区分“随机变量（频率）”与“客观常数（概率）”，易将频率直接等同于概率，需通过典型反例强化认知。 知识点01 频率的稳定性 1、频率的稳定性 一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会 ，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率估计概率． 2、概率与频率的区别与联系 频率 概率 区别 频率反映了一个随机事件发生的频繁程度，是 的 概率是一个 的值，它反映随机事件发生的可能性的大小 联系 频率是概率的估计值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率 【即学即练】 1．关于概率与频率，下列说法正确的是（   ） A．频率是随机的，概率是确定的 B．随着试验次数增加，频率会越来越接近概率 C．某事件概率为0，则该事件一定不会发生 D．在大量重复试验中，频率的波动会逐渐减小 2．某大型商超每天以每公斤1元的价格从蔬菜批发行购进若干公斤青菜，然后以每公斤2元的价格出售．如果当天卖不完，那么剩下的青菜当作福利分给有需要的员工 (1)若该商超一天购进800公斤青菜，求当天出售青菜的利润y（单位：元）关于当天青菜需求量x（单位：公斤）的函数解析式 (2)该商超记录了100天青菜的日需求量（单位：公斤），整理得到下表． 日需求量x 770 780 790 800 820 830 频数 5 10 20 35 20 10 （ⅰ）假设该大型商超在这100天内每天购进800公斤青菜，求这100天出售青菜的日利润（单位：元）的平均数； （ⅱ）若该大型商超一天购进800公斤青菜，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于780元的概率． 知识点02 随机模拟 我们知道，利用计算器或计算机软件可以产生随机数．实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟实验，这样就可以快速地进行大量重复试验了，这么随机模拟方式叫做随机模拟． 我们称利用随机模拟解决问题地方法为蒙特卡洛方法． 【即学即练】 1．利用随机模拟方法计算y=x2与y=4围成的面积时,利用计算器产生两组0~1之间的均匀随机数a1=RAND,b1=RAND,然后进行平移与伸缩变换,a=4a1-2,b=4b1,试验进行100次,前98次中落在所求面积区域内的样本点数为65,已知最后两次试验的随机数a1=0.3,b1=0.8及a1=0.4,b1=0.3,那么本次模拟得出的面积的近似值为 . 2．已知某运动员每次投篮命中的概率为，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生之间的随机整数，以每个随机整数（不足三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0，1，2，3，4表示命中，数字5，6，7，8，9表示未命中.如图，在R软件的控制台，输入“sample（0：999，20，replace=F）”，按回车键，得到0~999范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（    ） A． B． C． D． 题型01 频率与概率的关系 【典例1】下列说法不正确的是（    ） A．随机试验的频率与概率相等 B．如果一事件发生的概率为99.9999%，说明此事件必然发生 C．只有不确定事件有概率 D．若事件发生的概率为，则 1、频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率． 2、频率本身是随机的，在试验前不能确定． 3、概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关． 【变式1】下述关于频率与概率的说法中，错误的是（    ） A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品 B．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是 C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，如果随机试验的次数超过10000，那么所估计出的概率一定很准确 【变式2】下列命题正确的是 A．用事件发生的频率估计概率，重复试验次数越大，估计的就越精确. B．若事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立. C．事件与事件同时发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率小. D．抛掷一枚均匀的硬币，如前两次都是反面，那么第三次出现正面的可能性就比反面大. 【变式3】某人将一枚硬币连续抛掷了10次,正面朝上的情形出现了6次,则（　　） A．正面朝上的概率为0.6 B．正面朝上的频率为0.6 C．正面朝上的频率为6 D．正面朝上的概率接近于0.6 题型02 概率思想的实际应用 【典例1】运动会上，甲、乙、丙三名运动员最终进入跳高决赛，决赛成绩达到以上（含）的运动员将获得优胜奖.为预测获得优胜奖的情况及冠军得主.收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）： 甲：181   180   179   178   173   172   170   168 乙：180   179   175   171   170   169 丙：183   176   165 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立. (1)估计甲在决赛中获得优胜奖的概率； (2)估计乙、丙两人在决赛中至少有一人获得优胜奖的概率； (3)甲、乙、丙三人中谁夺冠的概率最大？（结论不要求证明） 在一次试验中，概率大的事件比概率小的事件出现的可能性更大． 【变式1】甲每次投篮投进的概率是0.7，连续投篮三次，每次投篮结果互不影响，记事件A为“甲至少投进两球 (1)用表示甲第次的投篮结果，则表示试验的样本点.用1表示“投进”，0表示“未投进”，写出该试验的样本空间，判断其是否为古典概型，并说明理由； (2)用计算机产生之间的整数随机数，当出现随机数时，表示“投进”，出现7，8，9时表示“未投进”，以每3个随机数为一纽，代表甲三次投篮结果，产生20组随机数： 利用该模拟试验，估计事件A的概率，并判断事件A的概率的精确值与估计值是否存在差异，并说明理由 【变式2】为响应垃圾分类处理，改善生态环境，某小区将生活垃圾分成三类：厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾，分别记为a，b，c.并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱，“可回收垃圾”箱和“其他垃圾”箱，分别记为A，B，C. (1)若小明将一袋分好类的生活垃圾随机投入一类垃圾箱，请写出投放正确的概率； (2)为了了解居民生活垃圾分类投放的情况，现随机抽取了某天三类垃圾箱中总共100吨的生活垃圾，数据统计如下（单位：吨） A B C a 40 10 10 b 3 24 3 c 2 2 6 ①请根据以上信息，试估计“厨余垃圾”投放正确的概率； ②调查发现，在“可回收垃圾”中塑料类垃圾占，每回收1吨塑料类垃圾可获得0.7吨二级原料，某城市每天大约产生2000吨生活垃圾.假设该城市对每天产生的垃圾箱中的垃圾全部分类处理，那么按样本中的投放垃圾与按规范投放垃圾相比，每月（按30天）流失掉多少吨塑料类垃圾的二级原料？ 【变式3】某校以课程建设为核心，建立了学生劳动实践基地，开发了农事劳作课程，开展课外种植、养殖活动，打算引进小动物甲以及成立养殖小组．为了解学生的养殖意愿，该校在一年级的100名学生中进行问卷调查，调查数据如下： 性别 养殖小动物甲 喜欢 不喜欢 男生 20 30 女生 40 10 (1)分别估计该校男、女生中喜欢养殖小动物甲的概率； (2)学校决定由一年级负责养殖小动物甲，现按分层随机抽样的方法从一年级喜欢小动物甲的学生中随机抽取6名学生组成养殖小组，再从这6名学生中随机抽取2人担任养殖小组主要负责人，求这2人恰好都是女生的概率． 题型03 用随机模拟估计概率 【典例1】在一个试验中，某种豚鼠被感染病毒的概率为，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染．经随机模拟产生了如下20组随机数： 192 907 966 925 271 932 812 458 569 683 257 393 127 556 488 730 113 537 989 431 据此估计三只豚鼠中恰有两只被感染的概率为 ． 用随机数模拟法求事件概率的方法 在使用整数随机数进行模拟试验时，首先要确定随机数的范围和用哪个代表试验结果． 1、试验的基本结果是等可能时，基本事件的总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件． 2、研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数． 【变式1】天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1～5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示天下雨，利用计算产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245．则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 【变式2】为加强学生身体健康，某校对学生进行了体能测试．已知同学甲在立定跳远项目中每次及格的概率均为0.6，现采用随机模拟的方法估计甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率：先由计算器产生0到9范围内的整数随机数，指定0，1，2，3表示没有及格，4，5，6，7，8，9表示及格，再以每3个随机数为一组，代表3次立定跳远的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数： 759   421   113   215   345   257   704   066   186   203 037   624   616   045   601   366   959   742   710   428 据随机模拟试验估计，甲在立定跳远项目中3次机会里至少及格2次的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式3】某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果．经随机模拟产生如下10组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907．由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 题型04 概率的稳定性 【典例1】在英语中不同字母出现的频率彼此不同且相差很大，但同一个字母的使用频率相当稳定，有人统计了40多万个单词中5个元音字母的使用频率，结果如下表所示： 元音字母 A E I O U 频率 7.88% 12.68% 7.07% 7.76% 2.80% （1）从一本英文（小说类）书里随机选一页，统计在这一页里元音字母出现的频率； （2）将你统计得出的频率与上表中的频率进行比较，结果是否比较接近？你认为存在差异的原因是什么. 1、概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值． 2、正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件． 【变式1】为践行五育并举，增强学生体质，某校拟开设课外体育活动课．现从全校高一学生中分层随机抽样出100名男生和80名女生，对其选课意愿作调查统计，得到数据如下： 男生 女生 选择 不选择 选择 不选择 排球 50 50 50 30 篮球 25 75 15 65 足球 75 25 5 75 乒乓球 10 90 10 70 假设所有学生是否选择排球、篮球、足球、乒乓球相互独立，用频率估计概率． (1)假设全校共有1800名高一学生，直接判断下列结论的正误． 结论：根据样本数据估计全校有800名高一学生有选择足球课的意愿； 结论：样本中男生对排球课和篮球课都不选择的人数可以为20． (2)若从该校全体高一男生中随机抽取2人，全体高一女生中随机抽取1人，求这3人中选择排球课的人数恰为2的概率； (3)记样本中男生选择排球、篮球、足球、乒乓球课的频率依次为，其方差为；样本中男生不选择这四个活动课的频率依次为，其方差为．写出与的大小关系．（结论不要求证明） 【变式2】为了进一步推动体育强国和健康中国的建设，国家体育总局办公厅印发了《2025年群众体育工作要点》，为了解某地高中学生体育锻炼时长，从该地区28000名学生中抽取500人，得到日均体育锻炼时长的频率分布表，如下： 分组 频数 频率 120 0.24 160 155 0.31 35 30 0.06 合计 500 1 (1)求和的值； (2)估计该地区高中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）； (3)从和两组中用分层抽样的方法共抽取了7人，再从这7人中随机抽取2人，求这两人来自不同的组的概率. 【变式3】某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域（不考虑指针落在分界线上的情况）就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据． 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的次数m 68 111 136 345 564 701 落在“铅笔”区域的频率 (1)计算并完成表格； (2)请估计，当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近多少？ (3)假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？ 1．小明与小华两人玩游戏，则下列游戏不公平的是（    ） A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜 B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜 C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜 D．小明、小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜 2．下面的三个游戏都是在袋子中装球，然后从袋子中不放同地取球，分别计算三个游戏中甲获胜的概率，你认为哪个游戏是公平的？ 游戏1 游戏2 游戏3 袋子中球的数量和颜色 1个红球和1个白球 2个红球和2个白球 3个红球和1个白球 取球规则 取1个球 依次取出2个球 依次取出2个球 获胜规则 取到红球→甲胜 两个球同色→甲胜 两个球同色→甲胜 取到白球→乙胜 两个球不同色→乙胜 两个球不同色→乙胜 3．某学校校庆，给每班发了5张庆典门票．班主任王老师准备采用抽签方式来决定哪5位同学参加，为此制作了50张卡片，其中5张写有“庆典”字样．50位同学轮流抽签，抽中写有“庆典”字样的同学参加学校庆典．小明提出：“抽签有先后，第一名同学抽中的概率是．如果第一名同学抽到，第二名同学抽到的概率只有，如果第一名同学未抽中，第二名同学抽中的概率为．抽中的机会未必相等．”你认为王老师的抽签方法公平吗？小明的话又如何解释？ 4．已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等） 现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛. （1）由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来. （2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由. 5．一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子（一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色），跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输.乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平！你看，如果朝上的面的颜色为绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的面要么是绿色，要么是蓝色，因此，你赢的概率为，我赢的概率也是，怎么不公平？”分析这个游戏是否公平. 6．阶梯挑战赛中的排名跃迁，某电竞比赛采用阶梯挑战赛制，共有5个阶梯（从低到高为阶），初始时10支队伍随机分布在各阶梯上，分布情况为：1阶2队、2阶2队、3阶2队、4阶2队、5阶2队． 比赛规则： 1．每轮比赛，各阶梯内随机配对进行比赛（若某阶梯队伍数为奇数，则有一队轮空） 2．比赛胜者上升1阶，败者下降1阶（5阶胜者保持5阶，1阶败者保持1阶） 3．每轮结束后，重新按阶梯排序，进行下一轮比赛 4．比赛共进行3轮 假设每支队伍实力相当，任意两队比赛获胜概率均为，且各场比赛结果相互独立． (1)求初始位于3阶的某支队伍在3轮比赛后仍位于3阶的概率； (2)求初始位于3阶的某支队伍在3轮比赛后升至5阶的概率； (3)若某支队伍希望最大化3轮后位于5阶的概率，应选择从哪一阶开始比赛？证明你的结论． 7．“文明进步是城市永恒的追求，创建文明城市是城市更新发展、人民幸福感不断提升的过程，也是安顺实现高质量发展的需要．”安顺市积极开展“创建文明城市”工作，为了解市民对“创建文明城市”各项工作的满意程度，某社区组织市民问卷调查给各项工作打分（分数为正整数，满分100分），按照市民的打分从高到低划定A，B，C，D，E共五个层次，A表示非常满意，分数区间是；B表示比较满意，分数区间是；C表示满意，分数区间是；D表示不满意，分数区间是；E表示非常不满意，分数区间是.现从社区的市民中随机抽取1000名市民进行问卷调查，其频率分布直方图如图所示． (1)求图中a的值，并根据频率分布直方图，估计该市市民打分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若80%的市民达到C（即满意）及以上，则“创建文明城市”工作有效，否则工作就需要调整．用本次样本的频率分布直方图估计总体，试判断该市“创建文明城市”工作是否需要调整； (3)市民参加问卷调查时会有一定的顾虑，该社区为了调查本社区市民对“创建文明城市”工作满意度的最真实情况，对本社区市民进行了调查，调查中问了两个问题： ①你的手机尾号是不是奇数？（假设手机尾号为奇数的概率为） ②你是否满意安顺市“创建文明城市”工作？ 调查者设计了一个随机化的装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的50个白球和50个红球，每个被调查者随机从装置中摸一个球（摸出的球再放回装置中），摸到白球的市民如实回答第一个问题，摸到红球的市民如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不做．由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案．已知该社区1000名市民参加了调查，且有660名市民回答了“是”，请由此估计该社区市民对“创建文明城市”工作满意的百分比． 8．某小区为了调查本小区业主对物业服务满意度的真实情况，对本小区业主进行了调查，调查中问了两个问题1：你的手机尾号是不是奇数？问题2：你是否满意物业的服务？调查者设计了一个随机化装置，其中装有大小、形状和质量完全相同的白球和红球，每个被调查者随机从装置中摸到红球和白球的可能性相同，其中摸到白球的业主回答第一个问题，摸到红球的业主回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题别人并不知道，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.已知某小区80名业主参加了问卷，且有48名业主回答了“是”，由此估计本小区对物业满意服务的百分比大约为（    ） A．10% B．20% C．35% D．70% 9．人类的四种血型与基因类型的对应为：O型的基因类型为ii，A型的基因类型为ai或aa，B型的基因类型为bi或bb，AB型的基因类型为ab.其中a和b是显性基因，i是隐性基因.孩子分别继承父母一个基因，组成一个基因类型，则 (1)若一对夫妻的血型一个是A型，一个是AB型，分析他们子女的血型是O，A，B或AB型的概率； (2)父母为哪种血型时，孩子的血型不可能为O型（写出结论即可） 10．（多选）教练想从甲、乙两个人中选择一人参加省运动会800米比赛，收集了甲、乙两人近8次的比赛成绩，并整理得到如下数据： 甲 乙 若比赛成绩在以下（含）为优秀，用频率估计概率，则下列说法正确的是（ ） A．乙比赛成绩优秀的概率为 B．甲比赛成绩的平均数等于乙比赛成绩的平均数 C．甲比赛成绩的方差小于乙比赛成绩的方差 D．为冲击800米省冠军，教练应该选择乙参加省运动会800米比赛 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $