高一数学下学期第三次月考卷（人教A版必修第二册第六章～第九章，高效培优）

**基本信息** 覆盖必修二第六章至第九章，通过复数、统计、立体几何、解三角形等知识，以基础题（如复数虚部）、能力题（分层抽样方差计算）、创新题（正三棱柱动态问题）梯度设计，检测数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数（共轭复数，题1）、统计（平均数，题2）、立体几何（线面关系，题3）|结合无人机观测（题4）、引体向上调查（题7），体现数学眼光| |填空题|3题15分|复数（实数条件，题12）、随机抽样（编号读取，题13）、正三棱锥外接球（题14）|设置随机数表抽样，培养数据意识| |解答题|5题77分|统计（频率分布直方图方差，题17）、立体几何（正四棱台体积侧面积，题16）、解三角形（锐角三角形证明，题18）|综合文明城市竞赛数据（题17）、正四棱锥与棱柱组合体（题19），考查推理能力与模型意识|

2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B C B B D C A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC ACD AB 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）因为复数是纯虚数，所以. 由，解得或.（3分） 当时，    ，符合要求； 当时，，不符合要求，舍去， 所以m的值为1；（6分） （2）当时，复数， 由题意知复数是关于x的方程的一个根. 因为方程的系数为实数， 所以方程的另外一个根是的共轭复数.（10分） 所以由韦达定理可得， 解得.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）因为正四棱台的上、下底面的边长分别为6和10，高为8， 故正四棱台体积为，（7分） （2）记，分别为棱台上、下底面的中心，分别取，的中点M，N， 连接，，，，在梯形中，过作于， 由于正四棱台侧面是全等的等腰梯形，且，，， 所以，所以，（13分） 故该正四棱台的侧面积为.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）由频率分布直方图得， 平均数， 方差 .（7分） （2）第一组的样本容量，， 第二组的样本容量，， 所以合并后的平均数，（13分） 则.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）在中，因为，由正弦定理可得，. 由余弦定理知，，则， 所以，即，所以， 所以或. 若，因为，所以，与已知条件矛盾，不满足. 故.（7分） （2）当为锐角三角形时，， 即：，所以. .（12分） 令，，则. 令，由对勾函数性质可知在上单调增， 所以，则， 所以，即， 所以（17分） 19．（17分） 【解析】（1）由题可知，正四棱锥 中， 过点作，垂足为，则. 正四棱锥 的体积为， 侧面积为. 因为， 所以正四棱柱 的体积为， 去掉上底面的表面积为. 所以该几何体的体积为，表面积为.（7分） （2）如图，将侧面和侧面展开， 易知的最小值为展开图中三点共线时的最小值， 即展开图中点到线段上点的最小值. 由题可知，. 过点作，垂足为，则， 因为正方形中，，所以. 所以，所以，所以.（12分） 因为，. 因为，所以为锐角； ，所以为锐角， 所以的最小值为点到的距离. 所以. 即的最小值为．（17分） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册第六章~第九章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设复数，是z的共轭复数，则的虚部为（　　） A． B． C． D． 2．已知，，…，的平均数为3，则，，…，的平均数为（   ） A．5 B．7 C．17 D．25 3．已知 为三条不同的直线， 为两个不同的平面，则以下选项正确的是（    ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若，则 4．如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为15°，地面某处的俯角为45°，且，则此无人机距离地面的高度为（   ） A． B． C． D． 5．给出平面向量正交基底的概念：若平面向量的基底满足，则称为平面向量的正交基底．现在任取平面向量的一组基底，则下列选项中，一定能构成平面向量正交基底的是（   ） A． B． C． D． 6．某地区教育部门为了解该地区中小学生的近视情况，采用分层随机抽样的方法，抽取一定数量的中小学生进行调查.若得到的样本中初中的学生人数比小学少80人，比高中多40人，该地区小学､高中的学生人数之比为，则样本容量为（    ） A．460 B．690 C．880 D．980 7．引体向上是中小学体质健康测试男生的项目，主要测试学生上肢力量．在对某高中1000名高一、高二年级男生的引体向上成绩的调查中，采用分层随机抽样的方法抽取100人，已知这1000名学生中高一年级男生有600人，且抽取的样本中高一男生成绩的平均数和方差分别为5.5和6.74，高二男生成绩的平均数和方差分别为6.5和5.34，则总体方差（   ） （附：） A．6.42 B．6.18 C．5.96 D．5.84 8．已知的内角所对的边分别是，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中，则下列说法正确的是（    ） A．若样本数据的极差为，则样本数据的极差为 B．若样本数据的中位数为，则样本数据的中位数为 C．若样本数据的平均数为，则样本数据的平均数为 D．若样本数据的方差为，则样本数据的方差为 10．下列命题正确的是（    ） A．在中，，则的形状一定是直角三角形 B．若A，B，C，D四点在同一条直线上，且，则 C．平行四边形中，若，则四边形是矩形 D．三个不共线的向量，满足，则是的内心 11．已知三棱柱为正三棱柱，且，，是的中点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．四面体外接球的体积为 B．若直线与底面所成角为，则取值范围为 C．若，则异面直线与所成的角为 D．过且与垂直的截面与交于点，则棱锥体积最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设复数，当实数________时，是实数. 13．现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000，001，002，…499，利用随机数表抽取样本，从下表第1行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续．则抽出的第三袋牛奶的编号是_______． 35025      83921      20676      63016      47859      16955      56719 98105      07185      12867      35807      44395      23879      33211 14．已知三棱锥为正三棱锥，，若为正三棱锥的外接球球面上的一个动点，为内切圆上的一个动点，则的最大值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知复数，，是虚数单位． (1)若复数z是纯虚数，求m的值： (2)当时，复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 16．（15分）为了响应全国文明城市的号召，长沙市计划在公园内建造如图所示的正四棱台建筑. (1)若正四棱台的上、下底面的边长分别为6米和10米，高8米.求该正四棱台的体积； (2)求该正四棱台的侧面积； 17．（15分）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成，，，，这五组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)估计样本成绩的平均数及方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） (2)已知落在内的平均成绩是80分，方差是4分，落在内的平均成绩是88分，方差是6分，求两组成绩合并后的平均数和方差. 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为m，，；n，，，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差. 18．（17分）在锐角三角形中，角所对的边分别为，且满足： (1)证明：； (2)求的取值范围. 19．（17分）现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥 下部是正四棱柱 (如图所示)，且正四棱柱的高 是正四棱锥的高 的3倍． (1)若 求该几何体的体积与表面积． (2)若正四棱锥的侧棱长为6， 且Q，N分别是线段 上的动点，求的最小值． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册第六章~第九章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设复数，是z的共轭复数，则的虚部为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 则，则的虚部为. 2．已知，，…，的平均数为3，则，，…，的平均数为（   ） A．5 B．7 C．17 D．25 【答案】C 【详解】，所以，，…，的平均数为 . 3．已知 为三条不同的直线， 为两个不同的平面，则以下选项正确的是（    ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若，则 【答案】B 【详解】对于 ，面面平行的判定定理要求相交，若 ，则 可能相交，故错误； 对于 ，过作平面交于，则 ，过作平面交于，则，故， 又不在平面内，又平面，所以，而，故，故，故正确； 对于C，若 ，则 或 ，故 错误； 对于，若， 如果或，则不能判断 ，故错误. 4．如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为15°，地面某处的俯角为45°，且，则此无人机距离地面的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，在中，，，所以. 在中，，， 所以， 由正弦定理，. 又为等腰直角三角形，所以. 故选项B正确. 5．给出平面向量正交基底的概念：若平面向量的基底满足，则称为平面向量的正交基底．现在任取平面向量的一组基底，则下列选项中，一定能构成平面向量正交基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项，可考虑反例，此时该式＝，错误； B选项， 当不与垂直时，该结果就不等于0，错误； C选项，可考虑反例，此时该式＝，错误； D选项，因此这两个向量垂直，正确． 6．某地区教育部门为了解该地区中小学生的近视情况，采用分层随机抽样的方法，抽取一定数量的中小学生进行调查.若得到的样本中初中的学生人数比小学少80人，比高中多40人，该地区小学､高中的学生人数之比为，则样本容量为（    ） A．460 B．690 C．880 D．980 【答案】C 【详解】设样本中小学学生人数为，则高中学生人数为，所以， 解得，即高中学生数为，初中学生人数为， 小学学生人数为，样本容量为. 7．引体向上是中小学体质健康测试男生的项目，主要测试学生上肢力量．在对某高中1000名高一、高二年级男生的引体向上成绩的调查中，采用分层随机抽样的方法抽取100人，已知这1000名学生中高一年级男生有600人，且抽取的样本中高一男生成绩的平均数和方差分别为5.5和6.74，高二男生成绩的平均数和方差分别为6.5和5.34，则总体方差（   ） （附：） A．6.42 B．6.18 C．5.96 D．5.84 【答案】A 【详解】依题意，在分层随机抽样的方法所抽取的100人中，高一男生有人，高二男生有40人， 记高一男生成绩的平均数和方差分别为和； 高二男生成绩的平均数和方差分别为和， 则样本平均数为， 样本总体方差 . 8．已知的内角所对的边分别是，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由正弦定理，得. 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中，则下列说法正确的是（    ） A．若样本数据的极差为，则样本数据的极差为 B．若样本数据的中位数为，则样本数据的中位数为 C．若样本数据的平均数为，则样本数据的平均数为 D．若样本数据的方差为，则样本数据的方差为 【答案】AC 【详解】若样本数据的极差为，中位数为，平均数为，方差为，则样本数据的极差为，选项正确； 中位数为，选项错误； 平均数为，选项正确； 方差为，选项D错误. 10．下列命题正确的是（    ） A．在中，，则的形状一定是直角三角形 B．若A，B，C，D四点在同一条直线上，且，则 C．平行四边形中，若，则四边形是矩形 D．三个不共线的向量，满足，则是的内心 【答案】ACD 【详解】因为，所以， 得，则， 故的形状一定是直角三角形，故A正确； 由于四点的相对顺序不确定，故B错误； 因为，且是平行四边形，所以， 所以四边形ABCD是矩形，故C正确； 因为与中的外角平分线平行，且， 所以是的角平分线， 同理，是的角平分线，是的角平分线， 故是的内心，故D正确. 11．已知三棱柱为正三棱柱，且，，是的中点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．四面体外接球的体积为 B．若直线与底面所成角为，则取值范围为 C．若，则异面直线与所成的角为 D．过且与垂直的截面与交于点，则棱锥体积最小值为 【答案】AB 【详解】 对于A，四面体外接球即为正三棱柱外接球， 因为外接圆的半径，且， 设正三棱柱外接球的半径为，设正三棱柱的高为h＝， 则由得，故其体积为，A正确； 对于B，取的中点，连接，，，， 由正三棱柱的性质可知平面平面， 所以当点与重合时，最小为∠，， 当点与重合时，最大为，， 所以，易求得，B正确； 对于C，将正三棱柱补成如图所示的直四棱柱， 则(或其补角)为异面直线与所成的角，，， 因为，，所以，所以， 所以，即，C错误； 对于D，因， 故要使三棱锥的体积最小，则三棱锥的体积最大， 设的中点为，作出截面如图所示， 因为，所以，所以点在以为直径的圆上， 所以点到底面距离的最大值为， 所以三棱锥的体积的最小值为，D错误． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设复数，当实数________时，是实数. 【答案】 【详解】因为复数是实数， 所以，解得， 所以当时，z是实数． 13．现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000，001，002，…499，利用随机数表抽取样本，从下表第1行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续．则抽出的第三袋牛奶的编号是_______． 35025      83921      20676      63016      47859      16955      56719 98105      07185      12867      35807      44395      23879      33211 【答案】 【详解】根据随机数表，依次被抽取到的编号为：， 所以抽出的第三袋牛奶的编号是. 14．已知三棱锥为正三棱锥，，若为正三棱锥的外接球球面上的一个动点，为内切圆上的一个动点，则的最大值为_____. 【答案】 【详解】如图，设球心为，外接球的半径为，的内切圆圆心为， 则、、三点共线，连接、， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得, 即，整理得， 设内切圆的半径为，则有， 故， 由是内切圆上一点，则， 在直角中，由勾股定理得， 即， 则， 当且仅当、、三点共线且在、之间时等号成立.    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知复数，，是虚数单位． (1)若复数z是纯虚数，求m的值： (2)当时，复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 【答案】(1)1(2) 【详解】（1）因为复数是纯虚数，所以. 由，解得或. 当时，    ，符合要求； 当时，，不符合要求，舍去， 所以m的值为1； （2）当时，复数， 由题意知复数是关于x的方程的一个根. 因为方程的系数为实数， 所以方程的另外一个根是的共轭复数. 所以由韦达定理可得， 解得. 16．（15分）为了响应全国文明城市的号召，长沙市计划在公园内建造如图所示的正四棱台建筑. (1)若正四棱台的上、下底面的边长分别为6米和10米，高8米.求该正四棱台的体积； (2)求该正四棱台的侧面积； 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为正四棱台的上、下底面的边长分别为6和10，高为8， 故正四棱台体积为， （2）记，分别为棱台上、下底面的中心，分别取，的中点M，N， 连接，，，，在梯形中，过作于， 由于正四棱台侧面是全等的等腰梯形，且，，， 所以，所以， 故该正四棱台的侧面积为. 17．（15分）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成，，，，这五组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)估计样本成绩的平均数及方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） (2)已知落在内的平均成绩是80分，方差是4分，落在内的平均成绩是88分，方差是6分，求两组成绩合并后的平均数和方差. 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为m，，；n，，，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差. 【答案】(1)平均数100，方差104(2)， 【详解】（1）由频率分布直方图得， 平均数， 方差 . （2）第一组的样本容量，， 第二组的样本容量，， 所以合并后的平均数， 则. 18．（17分）在锐角三角形中，角所对的边分别为，且满足： (1)证明：； (2)求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）在中，因为，由正弦定理可得，. 由余弦定理知，，则， 所以，即，所以， 所以或. 若，因为，所以，与已知条件矛盾，不满足. 故. （2）当为锐角三角形时，， 即：，所以. . 令，，则. 令，由对勾函数性质可知在上单调增， 所以，则， 所以，即， 所以 19．（17分）现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥 下部是正四棱柱 (如图所示)，且正四棱柱的高 是正四棱锥的高 的3倍． (1)若 求该几何体的体积与表面积． (2)若正四棱锥的侧棱长为6， 且Q，N分别是线段 上的动点，求的最小值． 【答案】(1)该几何体的体积为，表面积为.(2) 【详解】（1）由题可知，正四棱锥 中， 过点作，垂足为，则. 正四棱锥 的体积为， 侧面积为. 因为， 所以正四棱柱 的体积为， 去掉上底面的表面积为. 所以该几何体的体积为，表面积为. （2）如图，将侧面和侧面展开， 易知的最小值为展开图中三点共线时的最小值， 即展开图中点到线段上点的最小值. 由题可知，. 过点作，垂足为，则， 因为正方形中，，所以. 所以，所以，所以. 因为，. 因为，所以为锐角； ，所以为锐角， 所以的最小值为点到的距离. 所以. 即的最小值为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $