河北石家庄实验中学2025-2026学年高二第二学期期中考试数学试题

河北石家庄实验中学2025-2026学年高二第二学期期中考试数学试题 命题：高二数学 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他案标号．回答非选择题时，将案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的． 1. 若一个四位数的各个数位上的数子之和为3，则这样的四位数个数为（ ） A. 10 B. 12 C. 15 D. 20 2. 若 ，则 （ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 3. 函数有（ ） A. 极大值为5，无极小值 B. 极小值为，无极大值 C. 极大值为5，极小值为 D. 极大值为5，极小值为 4. 小明计划从福建到北京旅游，沿途要经过上海中转，已知小明从福建到上海有3种出行方式，从上海到北京有4种出行方式，则小明从福建到北京的出行方式有（ ） A. 6种 B. 7种 C. 12种 D. 18种 5. 已知函数，为的导函数，则的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 若将一块体积为的橡皮泥捏成一个圆柱，则圆柱的表面积最小为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若不等式的解集中有且仅有一个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 的极大值为1 C. 方程有两解 D. 曲线经过四个象限 11. 张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动．张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为．如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为．则张同学（ ） A. 第二天去室内健身的概率为 B. 第二天去户外运动的概率为 C. 若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为 D. 若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于________． 13. 若5名学生报名参加数学、物理、化学3个培优小组，每人选报1组，则不同的报名方式有_________种. 14. 拟从5名班干部中选若干人在周一至周五期间值班（每天只需1人值班），要求同一名班干部不连续值班2天，则可能的安排方法有______种．（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某学校举行男子乒乓球团体赛，决赛比赛规则采用积分制，两支决赛的队伍依次进行三场比赛，其中前两场为男子单打比赛，第三场为男子双打的比赛，每位出场队员在决赛中只能参加一场比赛. 某进入决赛的球队共有五名队员，现在需要提交该球队决赛的出场阵容，即三场比赛的出场的队员名单. （1）一共有多少种不同的出场阵容？ （2）若队员A因为技术原因不能参加男子双打比赛，则一共有多少种不同的出场阵容？ 16. 为响应“书香校园”建设，某校图书馆引入了一套智慧自助借还系统M，该系统内置个智能识别模块.每个模块在日常使用环境下正常工作的概率为，各模块工作状态相互独立. （1）该图书馆从某批次智能识别模块中随机抽取了100个，在“日常校园环境”和“高温潮湿仓库环境”下测试其工作状态，得到如下列联表： 正常工作 故障 合计 日常校园环境 50 5 55 高温潮湿仓库环境 35 10 45 合计 85 15 100 请根据小概率值独立性检验，能否认为模块工作状态与测试环境有关联？ 附：，. 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 （2）当时，系统M中正常工作的模块个数为随机变量X，回答以下问题： （i）求X的分布列及数学期望； （ii）若有超过一半的模块正常工作，则系统正常工作，系统正常工作的概率称为系统的可靠性.为改善时系统M的可靠性，能否通过增加一个智能识别模块（即）提高系统M的可靠性？请给出你的结论并证明. 17. 已知函数． （1）讨论函数在上的单调性； （2）若，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数，. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）若，证明：在上有且只有一个零点. 19. 已知，函数. （1）若恒成立，求t的取值范围； （2）若方程有两个正实数根. （i）求t的取值范围； （ii）证明：.（注：是自然对数的底数） 河北石家庄实验中学2025-2026学年高二第二学期期中考试数学试题 命题：高二数学 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他案标号．回答非选择题时，将案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】D 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】243 【14题答案】 【答案】1280 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）60 （2）36 【16题答案】 【答案】（1）不能认为有关联 （2）（i） 0 1 2 3 4 3（ii）当 时记系统 中正常工作的模块数为随机变量，则， 记时系统 的可靠性为，记 时系统 的可靠性为. 故， ， 故， 故增加一个模块即 ，能提高系统 的可靠性. 【17题答案】 【答案】 （1）当时在单调递增，无单调递减区间； 当时在单调递减，在单调递增； 当时，在单调递减，无单调递增区间. （2）. 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3）证明如下： 当时，， 令，则，， 当时，，单调递减， 所以在上，，， 易得，在上没有零点，故只需证明在上有且只有一个零点， 令，， 在上，单调递减，，， 所以存在使得，在上，在上，； 因此在上单调递增，在上单调递减，，； 所以存在使得，在上，在上，； 故在上单调递增，在上单调递减，且，， 所以在区间，存在唯一的使得，在上没有零点 ∴时，函数在上有且只有一个零点. 【19题答案】 【答案】（1） （2）（i）； （ii）法一：证明：由（i）知，已知等价于有两个零点， 于是，所以. 欲证，只需证 只需证，消t得， 一方面，下证：，等价于证明， 令，则等价于证明，等价于证明， 令，则，所以在递增， 所以，得证. 另一方面，再证，等价于证， 等价于证，等价于证， 等价于证，等价于证， 令，所以在递减，所以，得证. 综上两方面所述，所以. 法二：一方面，， 因为，则，得， 所以， 别一方面，，因为， 所以，由对均知：， 又易证，所以，所以， 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $