学易金卷：七年级数学下学期5月学情自测卷（安徽专用，范围：新教材沪科版七下第6～9章）

**基本信息** 立足沪科版七年级下册第6-9章，以北斗导航、书店购书等真实情境为载体，分层考查实数、因式分解、分式、不等式等核心知识，渗透抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|无理数判断、科学记数法、因式分解等|结合北斗导航考科学记数法，新定义运算考查数学抽象| |填空题|4/20|分式化简、不等式组解集、代数式求值|第14题综合不等式组与分式方程，考查运算能力| |解答题|9/90|规律探究、整体思想因式分解、实际应用（购书）、几何与代数恒等式|21题购书问题融合分式方程与不等式，23题作差法比较大小培养推理意识|

2025-2026学年七年级数学下学期5月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材沪科版七年级下册第6~9章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．（4分）在，，，，1.3，2.1010010001…（每两个1之间依次增加一个0）中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（4分）我国自行研制的北斗卫星导航系统可在全球范围内全天候为各类用户提供高精度、高可靠的定位、导航、授时服务，其授时精度不超过秒，将数据用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 3．（4分）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．（4分）如果把分式中的a、b都扩大为原来的2倍，那么分式的值（    ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的4倍 D．不变 5．（4分）若关于x的二次三项式是一个完全平方式，则m的值为（   ） A． B． C．或 D．或 6．（4分）因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（    ） A． B． C． D． 7．（4分）若常数M，N满足，则（    ） A． B． C．2 D．3 8．（4分）已知关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（4分）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中的较大的值，如，按照这个规定，方程的解为（    ） A．0 B． C．0或 D．无解 10．（4分）如图，正方形与正方形的边长分别为a，b，若，则阴影部分的面积是（    ） A．20 B．25 C．30 D．40 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．（5分）计算：______． 12．（5分）因式分解：______ 13．（5分）已知，则________． 14．（5分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥3． （1）则a的取值范围是________； （2）在（1）的条件下，要使关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是________． 三、解答题：本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分。 15．（8分）解不等式组，并将该不等式组的解集表示在下面的数轴上； 16．（8分）先化简，再求值其中，． 17．（8分）化简求值．先化简，再从0，1，2，中选择一个合适的数代入并求值． 18．（8分）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第6个等式∶ ； (2)写出你猜想的第 n个等式(用含 n 的等式表示)，并证明． 19．（10分）已知是25的算术平方根，的相反数是，且为整数． (1)分别求出，，的值． (2)求的平方根． 20．（10分）阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体,令,则原式．再将“A”还原,可以得到：原式． 上述解题用到的是“整体思想”,整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)用上述整体思想将代数式化为完全平方的形式． 21．（12分）某书店为筹备“银杏阅读节”，从出版商处购进了甲、乙两种畅销书．已知乙种书单价比甲种书贵40元，用4800元购进甲种书的数量恰好是用3000元购进乙种书数量的2倍． (1)求甲、乙两种书的单价各为多少元？ (2)阅读节期间，出版商对图书价格进行调整：甲种书在原售价基础上上涨，乙种书按原售价的七五折出售．若书店计划再次购进这两种书共80本，且总花费不超过15000元，同时要求乙种书的数量不低于甲种书数量的，则书店此次购进甲种书最多是多少本? 22．（12分）【知识生成】数学中，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如根据图1可得． (1)根据图2可以得到，之间的等量关系式为：___________； 【知识应用】 (2)应用上述等量关系，解决以下问题：对于实数， ①若，则_____， ②已知，求的值； 【知识迁移】 (3)如图2所示，为线段上的一点，以、为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求阴影部分面积． 23．（14分）【问题提出】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或式的大小，其中，“作差法”就是常用方法之一，即要比较M与N的大小，只要作出它们的差． （i）若，则；（ii）若，则；（iii）若，则； 【尝试应用】 （1）比较图中两个长方形周长的大小； （2）若，，且，试比较代数式与的大小， 【联系生活】 （3）在某次1000米长跑中，甲同学前半程以速度匀速跑，后半程以速度为速跑．乙同学前一半时间以速度匀速跑，后一半时间以速度匀速跑，请问谁先到达终点？ / 学科网（北京）股份有限公司 $ ( 11 ) 2025-2026学年七年级数学下学期5月学情自测卷 ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )答题卡 ( 单项 选择题 （ 本题共 1 0 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ） 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二 、填空题 （ 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． ） 1 1 . ________________ 1 3 . ________________ 1 2 . ________________ 1 4 . _______ _______ 三 、解答题 （ 本题共 9 小题，共 90 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ） 1 5 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 16 ．（ 8 分） 17 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ．（ 8 分） 19 ． （ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 0 ．（ 10 分） 2 1 ．（ 12 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 2 ．（ 12 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 3 ．（1 4 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级数学下学期5月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材沪科版七年级下册第6~9章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．（4分）在，，，，1.3，2.1010010001…（每两个1之间依次增加一个0）中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（4分）我国自行研制的北斗卫星导航系统可在全球范围内全天候为各类用户提供高精度、高可靠的定位、导航、授时服务，其授时精度不超过秒，将数据用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 3．（4分）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．（4分）如果把分式中的a、b都扩大为原来的2倍，那么分式的值（    ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的4倍 D．不变 5．（4分）若关于x的二次三项式是一个完全平方式，则m的值为（   ） A． B． C．或 D．或 6．（4分）因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（    ） A． B． C． D． 7．（4分）若常数M，N满足，则（    ） A． B． C．2 D．3 8．（4分）已知关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（4分）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中的较大的值，如，按照这个规定，方程的解为（    ） A．0 B． C．0或 D．无解 10．（4分）如图，正方形与正方形的边长分别为a，b，若，则阴影部分的面积是（    ） A．20 B．25 C．30 D．40 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．（5分）计算：______． 12．（5分）因式分解：______ 13．（5分）已知，则________． 14．（5分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥3． （1）则a的取值范围是________； （2）在（1）的条件下，要使关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是________． 三、解答题：本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分。 15．（8分）解不等式组，并将该不等式组的解集表示在下面的数轴上； 16．（8分）先化简，再求值其中，． 17．（8分）化简求值．先化简，再从0，1，2，中选择一个合适的数代入并求值． 18．（8分）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第6个等式∶ ； (2)写出你猜想的第 n个等式(用含 n 的等式表示)，并证明． 19．（10分）已知是25的算术平方根，的相反数是，且为整数． (1)分别求出，，的值． (2)求的平方根． 20．（10分）阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体,令,则原式．再将“A”还原,可以得到：原式． 上述解题用到的是“整体思想”,整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)用上述整体思想将代数式化为完全平方的形式． 21．（12分）某书店为筹备“银杏阅读节”，从出版商处购进了甲、乙两种畅销书．已知乙种书单价比甲种书贵40元，用4800元购进甲种书的数量恰好是用3000元购进乙种书数量的2倍． (1)求甲、乙两种书的单价各为多少元？ (2)阅读节期间，出版商对图书价格进行调整：甲种书在原售价基础上上涨，乙种书按原售价的七五折出售．若书店计划再次购进这两种书共80本，且总花费不超过15000元，同时要求乙种书的数量不低于甲种书数量的，则书店此次购进甲种书最多是多少本? 22．（12分）【知识生成】数学中，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如根据图1可得． (1)根据图2可以得到，之间的等量关系式为：___________； 【知识应用】 (2)应用上述等量关系，解决以下问题：对于实数， ①若，则_____， ②已知，求的值； 【知识迁移】 (3)如图2所示，为线段上的一点，以、为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求阴影部分面积． 23．（14分）【问题提出】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或式的大小，其中，“作差法”就是常用方法之一，即要比较M与N的大小，只要作出它们的差． （i）若，则；（ii）若，则；（iii）若，则； 【尝试应用】 （1）比较图中两个长方形周长的大小； （2）若，，且，试比较代数式与的大小， 【联系生活】 （3）在某次1000米长跑中，甲同学前半程以速度匀速跑，后半程以速度为速跑．乙同学前一半时间以速度匀速跑，后一半时间以速度匀速跑，请问谁先到达终点？ 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年七年级数学下学期5月学情自测卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A A D A 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11.7 12.(x+号)(x-)(x2+号) 13.-号/-0.4 14.a<8 15 三、解答题：本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分， 23题14分。 x-3(x-2)≤4① 15.【详解】解： 1整>x-1@ 解不等式①，得x≥1： 解不等式②，得x<4: 原不等式组的解集为1Sx<4, 不等式组的解集在数轴上表示出来为：(8分) 321023全5 16.【详解】解：原式=[x24y+4y2+(x2-4y2)-(4x2-2y)]÷(-4x) =(x2-4y+4y2+x2-4y2-4x2+2y)÷(-4x) =(-2x2-2y)÷(-4x) =x+y, 当x=克，y=1时，原式=号×+×1=.(8分) 17.【详解】解： 原式号+]+等 =（4-+-4)十名 -2 1/6 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 当x=0时，罗=0；(8分) 18.【详解】(1)解：观察各等式可得，第6个等式为×(2-)=2-本； 故答案为：×(2-品)=2-本；(2分) (2)解：第n个等式为×(2-品)=2-n, 证明：左边一斜×(2品)-器×-斜×-斜， n+1 右边=2品-2=+】 n+1 n+1, :左边=右边， :原等式成立.(8分) 19.【详解】(1)解：由题意得：a=25=5,b=-后=-， :9<13<16,16<21<25, :313<4,4≤21<5， 又：V3<c<√21且c为整数， c=4:(5分) (2):a=5,b=-1,c=4, :2a-4b+c=2×5-4×(-4)+4=15, “2a-4b+c的平方根为土15.(10分) 20.【详解】(1)解：令8-y=A, 1+2(x-y)+(x-y)2-1+2A+A2 =(1+A)2, 将“A”还原，可以得到： 原式=(1+x-y),(3分) (2)解：令a2-4a=B, 则(a24a+1)(a2-4a+7)+9 =(B+1)(B+7)+9 =B2+8B+16 2/6 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 =(B+4)2, 将“B”还原，可以得到： 原式=(a2-4a+4)2 =(a-2)4;(6分) (3)n(n+1)(n+2)(n+3)+1 解：n(n+1)(n+2)(n+3)+1 =n(n+3)(n+1)(n+2)+1 =(n2+3n)(n2+3n+2)+1 =(n2+3n)2+2(n2+3n)+1 =(n2+3n+1)2.(10分) 21.【详解】(1)解：设甲种书的单价为x元，则乙种书的单价为(x+40)元， 根据题意得：4=2×器， 解得x=160, 经检验，=160是所列方程的解，且符合题意， ∴.x+40=200 答：甲种书的单价为160元，乙种书的单价为200元；(6分) (2)解：促销后，甲种书单价为160×(1+20%)=192元，乙种书单价为200×0.75=150元， 设书店此次购进甲种书是m本， (192m+150(80-m)≤15000 根据题意得： 80-m≥号m 解不等式192m+150(80-m)≤15000得，m<59, 解不等式80-m≥m得，m≤60， m≤60， 答：书店此次购进甲种书最多是60本，(12分) 22.【详解】(1)解：图2中间小正方形的边长为ab,因此面积为(a-b)2, 大正方形的边长为a+b,因此面积为(a+b)2,四个长方形的面积和为4ab, 3/6 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .(ab2=(a+b)2-4ab;(2分) (2)解：①a十b=6,ab=8, (a-b)2=(a+b)2-4ab=36-32=4, .a-b=±2；(4分) ②设a-2025=x,a-2026y x-y=a-2025-(a-2026)=a-2025-a+2026=1, :(a-2025)(a-2026)=2, .y=2 .x2+y2=(x-y)2+2y=12+2×2=5, :.(a-2025)2+(a-2026)2=5;(8分) (3)解：设正方形CEFG的边长为a,正方形ABCD的边长为b, 则a+b=BG=8,a2+b2=S1+S2=34, 如图，连接AC :.S阴影部分=S△ACE十S△ACG -ab+ab =ab _a+b)2a+b的 2 =64-34 2 =15.(12分) 23.【详解】(1)第一个长方形的周长为：2(a+b+b+2)=2a+4b+4, 第二个长方形的周长为：2(a+b+V7)=2a+2b+2V7, :(2a+4b+4)-（2a+2b+27) 4/6 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 =2a+4b+4-2a-2b-2V7 =2b+4-27 =2(b+2-V万)， b>1, :b+2>3>万， :b+2-V7>0,即2(b+2-7)>0, 2a+4b+4>2a+2b+2V7, :第一个长方形的周长大于第二个长方形的周长；(4分) (2)p十q=1, ∴p=1-q,9=1-p, ∴(px+qy)2-(px2+qy2) =p2x2+2pqxy+q2y2-px2-qy2 =(p2x2-pw2)+(qy2-qy2)+2p9y =px2(1-p)+9y2(1-q)+2p9y -pqx2+pqy2+2pqxy =pq(x+y)2, “p>0,9>0,(x+y)2≥0， pq(x+y)2≥0， :(px+qy)2≥px2+qy2,(9分) (3)甲同学所需时间：100X+1090过-9+09-50g b ab 设乙同学所需时间为x,则ax+bx=1000, 解得：x=209 a+b 即乙同学所需时间为， :.500a+地_200g ab a+b 5/6 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 =500(器) =500.a地2-ab ab(a+b) =50斋， :a>0,b>0,ab, 50品6>0. 500a+也>，2009 ab a+b’ :.乙先到达终点.(14分) 6/62025-2026学年七年级数学下学期5月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 =。===。=●一一==-===-====。一=-。=。= 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][1【/1 一、单项选择题（本题共10小题， 每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。) 1.A1[B1[CJ[D1 5.[AJ[B][C1[D1 9.[A][B][C1[DJ 2[A][B][C][D] 6.A][B][C][D1 10.A][BJ[C][D] 3.[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4.A][B][CJ[D1 8.[A][B][C][D] 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 11. 12. 13 14. 三、解答题（本题共9小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(8分) 17.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 19.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(10分) 21.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(12分) b b A D (a-b)2 -a 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（14分) a+b biv7 b+2 a 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年七年级数学下学期5月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材沪科版七年级下册第6~9章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．（4分）在，，，，1.3，2.1010010001…（每两个1之间依次增加一个0）中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】有理数是整数与分数的统称，有限小数和无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，逐一判断即可得到无理数的个数． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数． 是开方开不尽的数，是无理数； 含无限不循环数，是无理数； （每两个1之间依次增加一个0）是无限不循环小数，是无理数． 无理数共有3个． 2．（4分）我国自行研制的北斗卫星导航系统可在全球范围内全天候为各类用户提供高精度、高可靠的定位、导航、授时服务，其授时精度不超过秒，将数据用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 3．（4分）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】主要考查了因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的乘积形式． 根据定义判断各选项． 【详解】解：A、等式右边不是几个整式的乘积形式，不是因式分解，不符合题意； B、该变形是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； C、原式是因式分解，符合题意； D、等式右边不是几个整式的乘积形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：C． 4．（4分）如果把分式中的a、b都扩大为原来的2倍，那么分式的值（    ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的4倍 D．不变 【答案】B 【分析】先根据题意对分式进行变形，再依据分式的性质进行化简，将化简后的分式与原分式进行对比即可． 【详解】解：由题意得，故分式的值扩大为原来的2倍． 5．（4分）若关于x的二次三项式是一个完全平方式，则m的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要， 根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【详解】解：∵， ， 解得5或， 故选C． 6．（4分）因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查了因式分解，需从错误结果中提取正确参数是解题的关键．甲看错了，但正确；乙看错了，但正确，从甲的分解结果求出的值，从乙的分解结果求出的值，得到正确多项式后再因式分解即可． 【详解】解：甲看错了的值，分解的结果是， 正确，， 乙看错了的值，分解的结果是， 正确，， 正确多项式为， 因式分解得． 故选：A． 7．（4分）若常数M，N满足，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】考查分式的加减运算、解二元一次方程组、代数式求值，先利用分式的加减运算法则，将已知等式的右边化简，进而取得M、N，然后代入求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴，解得， ∴， 故选：A． 8．（4分）已知关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解不等式组得到解集，再根据只有3个整数解的条件，得到参数a的取值范围． 【详解】解：， 由①得 由②得 ∴不等式组的解集为 ∵不等式组只有3个整数解， ∴3个整数解为1，0，， ∴． 9．（4分）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中的较大的值，如，按照这个规定，方程的解为（    ） A．0 B． C．0或 D．无解 【答案】A 【分析】考查解分式方程．理解新定义运算规则是关键．由已知可得或，解方程可得． 【详解】解：根据题意得：或， 当，即， 解得：， 经检验，是原方程的解， 此时，， ， ，符合题意； 当，即， 解得：， 经检验，是原方程的解， 此时， ， ，相矛盾，不符合题意； 综上，的解为， 故选：A． 10．（4分）如图，正方形与正方形的边长分别为a，b，若，则阴影部分的面积是（    ） A．20 B．25 C．30 D．40 【答案】C 【分析】考查分割法求阴影部分面积，利用完全平方公式变形求值，根据题意得，求出梯形的面积，和得出阴影部分的面积代数式，将代入计算即可． 【详解】解：由题意可知， ∴梯形的面积为， ，， ∴阴影部分的面积， ∵， ∴， 故选C． 二、填空题（共20分） 11．（5分）计算：______． 【答案】7 【分析】主要考查了实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据负整数指数幂运算法则和立方根定义，进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：7． 12．（5分）因式分解：______ 【答案】 【分析】考查的是因式分解—公式法．根据平方差公式进行因式分解即可得出答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 13．（5分）已知，则________． 【答案】/ 【分析】考查了异分母分式的加减，已知式子的值求代数式的值，解题关键是掌握异分母分式的加减． 先利用异分母分式的加减求得，再代入求值． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 14．（5分）若关于x的一元一次不等式组的解集为． （1）则a的取值范围是________； （2）在（1）的条件下，要使关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是________． 【答案】 15 【分析】考查了解一元一次不等式组、解一元一次不等式及解分式方程等知识，正确求解是解题的关键； （1）求出不等式组中每个不等式的解集，根据不等式组解集为可得关于a的不等式，解不等式即可； （2）求出分式方程的解，根据解为正整数可求出所有a的值，相加即可． 【详解】解：（1）解不等式，得：； 解不等式，得：； ∵关于x的一元一次不等式组的解集为， ∴， 解得：； 故答案为：； （2）方程两边同乘，得：， 解得：； 由题意得：， 解得：； ∵， ∴； 当，即时，分式方程无解， ∴且； 要使分式方程有正整数解，则，5，7； ∴； 故答案为：15． 三、解答题（共90分） 15．（8分）解不等式组，并将该不等式组的解集表示在下面的数轴上； 【答案】，见解析 【分析】分别解两不等式，求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可. 【详解】解： 解不等式①，得； 解不等式②，得； 原不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示出来为： 16．（8分）先化简，再求值其中，． 【答案】， 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 17．（8分）化简求值．先化简，再从0，1，2，中选择一个合适的数代入并求值． 【答案】，0 【分析】考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则． 先将括号里面的式子通分并进行计算，然后将因式分解，然后按照加减运算法则进行计算，然后即可求解． 【详解】解： 原式 ； 当时，； 18．（8分）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第6个等式∶ ； (2)写出你猜想的第 n个等式(用含 n 的等式表示)，并证明． 【答案】(1) (2)第n个等式为，见解析 【分析】考查了数字类规律探索、分式的混合运算，正确得出规律是解此题的关键． （1）观察各等式即可得出第个等式； （2）观察各等式即可得出第个等式，将左边式子括号内先通分，再约分进行化简，右边式子进行通分化简，比较左右两边是否相等即可得解． 【详解】（1）解：观察各等式可得，第个等式为； 故答案为：； （2）解：第n个等式为， 证明：左边， 右边， ∵左边右边， ∴原等式成立． 19．（10分）已知是25的算术平方根，的相反数是，且为整数． (1)分别求出，，的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】考查了算术平方根、平方根和立方根的定义，无理数的估算； （1）根据算术平方根和立方根的定义可得，的值，然后估算出和的取值范围，结合题意可得的值； （2）先求出的值，再根据平方根的概念得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∵，， ∴，， 又∵且为整数， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴的平方根为． 20．（10分）阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体,令,则原式．再将“A”还原,可以得到：原式． 上述解题用到的是“整体思想”,整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)用上述整体思想将代数式化为完全平方的形式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】考查换元法、提公因式法、公式法分解因式，理解“换元法”的意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用换元法设，将原式化为，再利用完全平方公式得出，再将A还原即可； （2）设，则原式后，再将B还原后，最后再利用完全平方公式即可； （3）先整理得，再计算得到，然后利用完全平方公式即可． 【详解】（1）解：令， ， 将“A”还原，可以得到： 原式； （2）解：令， 则 ， 将“B”还原，可以得到： 原式 ； （3） 解： ． 21．（12分）某书店为筹备“银杏阅读节”，从出版商处购进了甲、乙两种畅销书．已知乙种书单价比甲种书贵40元，用4800元购进甲种书的数量恰好是用3000元购进乙种书数量的2倍． (1)求甲、乙两种书的单价各为多少元？ (2)阅读节期间，出版商对图书价格进行调整：甲种书在原售价基础上上涨，乙种书按原售价的七五折出售．若书店计划再次购进这两种书共80本，且总花费不超过15000元，同时要求乙种书的数量不低于甲种书数量的，则书店此次购进甲种书最多是多少本? 【答案】(1)甲种书的单价为160元，乙种书的单价为200元 (2)60本 【分析】主要考查了分式方程和不等式组的应用，根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式组，是解题的关键． （1）设甲种书的单价为元，则乙种书的单价为元，根据用4800元购进甲种书的数量恰好是用3000元购进乙种书数量的2倍，列出方程，解方程即可； （2）设书店此次购进甲种书是m本，根据书店计划再次购进这两种书共80本，且总花费不超过15000元，同时要求乙种书的数量不低于甲种书数量的，列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设甲种书的单价为元，则乙种书的单价为元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：甲种书的单价为160元，乙种书的单价为200元； （2）解：促销后，甲种书单价为元，乙种书单价为元， 设书店此次购进甲种书是m本， 根据题意得：， 解不等式得， ， 解不等式 得，， ， 答：书店此次购进甲种书最多是60本． 22．（12分）【知识生成】数学中，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如根据图1可得． (1)根据图2可以得到，之间的等量关系式为：___________； 【知识应用】 (2)应用上述等量关系，解决以下问题：对于实数， ①若，则_____， ②已知，求的值； 【知识迁移】 (3)如图2所示，为线段上的一点，以、为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求阴影部分面积． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）根据图形中各个部分面积之间的关系进行计算即可； （2）①根据代入计算即可； ②设，则，根据题意得出，再根据完全平方公式变形求值，即可； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，由题意得到，根据代入计算即可． 【详解】（1）解：图2中间小正方形的边长为，因此面积为， 大正方形的边长为，因此面积为，四个长方形的面积和为， ∴； （2）解：①∵， ， ∴； ②设 ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 则，， 如图，连接 ∴ ． 23．（14分）【问题提出】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或式的大小，其中，“作差法”就是常用方法之一，即要比较M与N的大小，只要作出它们的差． （i）若，则；（ii）若，则；（iii）若，则； 【尝试应用】 （1）比较图中两个长方形周长的大小； （2）若，，且，试比较代数式与的大小， 【联系生活】 （3）在某次1000米长跑中，甲同学前半程以速度匀速跑，后半程以速度为速跑．乙同学前一半时间以速度匀速跑，后一半时间以速度匀速跑，请问谁先到达终点？ 【答案】（1）第一个长方形的周长大于第二个长方形的周长；（2）；（3）乙先到达终点． 【分析】（1）表示出两个长方形的周长，运用“作差法”即可比较大小； （2）运用“作差法”计算，综合运用完全平方公式，提公因式和公式法进行因式分解，最后得到根据，，得到，即可解答； （3）先计算甲同学所需时间：，乙同学所需时间为，再计算 ，根据，，得到，即可得到，从而解答． 【详解】（1）第一个长方形的周长为：， 第二个长方形的周长为：， ∵ ， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴第一个长方形的周长大于第二个长方形的周长； （2）∵， ∴，， ∴ ， ∵，，， ∴， ∴； （3）甲同学所需时间：， 设乙同学所需时间为x，则， 解得：， 即乙同学所需时间为， ∵ ， ∵，，， ∴， ∴， ∴乙先到达终点． / 学科网（北京）股份有限公司 $