学易金卷：八年级数学下学期5月学情自测卷（安徽专用，范围：新教材沪科版八下第16～19章）

**基本信息** 融合量子科技、马拉松等时代素材与勾股定理历史、太白楼文化情境，通过基础巩固（如二次根式有意义条件）、能力提升（尺规作菱形）、创新应用（果园利润模型）的梯度设计，考查数学眼光、思维与语言核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|二次根式（第1题）、勾股定理证明（第3题）、正多边形外角（第6题）|第3题结合《周髀算经》考证明方法，第6题以太白楼建筑为背景| |填空题|4/20|最简二次根式（第11题）、直角三角形面积（第13题）|第14题正方形动态问题融合几何推理与计算| |解答题|9/90|一元二次方程根的判别式（第16题）、菱形与矩形判定（第19题）、利润模型（第20题）|第20题果园道路规划与利润问题体现模型意识，第22题平面镶嵌探究培养创新思维|

2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材沪科版八年级下册第16~19章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．（4分）要使式子有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（4分）将一元二次方程化为一般形式后，其一次项系数与常数项的和为（   ） A．8 B．2 C．-2 D．9 3．（4分）我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 4．（4分）《安徽省量子科技行业“十五五”规划前景预测研究报告》发布显示，年安徽省量子科技产业规模为120亿元，预计到年为亿．设年、年两年产业规模的年平均增长率为，则可列出的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（4分）如图，在平行四边形中，，对角线交于点，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则的长是（   ） A．1 B． C．2 D． 6．（4分）【新情境】歙县太白楼，又称太白祠，坐落在黄山市歙县城关练江西岸，位于太平桥头．该建筑依山傍水，古朴典雅，为歙县城区一个具有深厚文化底蕴的人文景观．如图2是太白楼基底层正多边形的部分示意图，其外角为，则该正多边形是（   ） A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形 7．（4分）已知是方程的一个实数根，则方程 一定有一个实数根是（   ） A． B． C． D． 8．（4分）如图，在中，，点是的中点，作于点，若，，则（   ） A． B．5 C． D． 9．（4分）【新考向】如图，在中，为锐角．利用尺规在中作菱形，在如图所示的甲、乙、丙三种方案中，正确的方案是（   ） 甲方案：作的平分线，交于点E，过点E作，则四边形是菱形； 乙方案：连接对角线，作的垂直平分线交于点，则四边形是菱形； 丙方案：分别以点为圆心，以的长为半径画弧，交于点，则四边形是菱形． A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．甲、丙 D．乙、丙 10．（4分）如图，矩形中，，，E为边上一动点，为等边三角形，连接，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．（5分）若与最简二次根式可以合并，则______． 12．（5分）已知一个多边形的内角和比外角和的3倍多，则这个多边形的边数是__________． 13．（5分）已知，斜边，面积等于3，则___________． 14．（5分）如图，边长为2的正方形的对角线相交于点O，点E是边上的动点，连接并延长交的延长线于点P，过点O作交于点F，交延长线于点Q，连接． （1）的度数为________； （2）若点E恰好是中点时，则的长度为________． 三、解答题：本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分。 15．（8分）计算： (1)． (2) 16．（8分）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根是1，求的值． 17．（8分）如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图，并保留作图痕迹． (1)在图1中，找一点，使得以为顶点的四边形为平行四边形； (2)在图2中，作的中垂线，使得点在格点上，与交于点，标出点即可（不写作法，保留作图痕迹）；你所作出的线段长为______． 18．（8分）已知：整式，且整式． (1)若，求整式和的值． (2)小明同学发现：以整式A、B、C为边长的三角形为直角三角形．你认为小明同学的发现正确吗？请说明理由． 19．（10分）如图，菱形中，对角线，交于点，点是的中点，延长到点，使，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 20．（10分）综合与实践： 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1：某农户承包了一块长方形果园，如图是果园的平面图，其中米，米，准备在果园的四周铺设道路，上下两条横向道路（沿方向）的宽度都为米，左右两条纵向道路（沿方向）的宽度都为米，道路围合的中间矩形区域为种植园区（如图中阴影区域）．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过7米，且不小于3米． 素材2：该农户在种植园区种植草莓，市场调研信息：草莓培育一年可产果，若每平方米草莓的月销售利润为40元，每月可销售出800平方米种植面积对应的草莓产量（即月销售覆盖800平方米的种植面积）．受天气原因，农户决定降价促销，若每平方米的草莓月利润每下调1元，每月可多销售50平方米种植面积对应的草莓产量，果园每月的承包费为1000元． 问题解决 (1)种植园区的长为______米，宽为______米；（用含的代数式表示） (2)若种植园区的面积为11200平方米，道路设置的宽度是否符合要求？请说明理由． (3)若农户预期一个月的总利润为35000元，为让客户得到实惠，每平方米草莓的月利润应该下调多少元？（总利润销售利润承包费） 21．（12分）【新情境】3月16日，安徽太湖花亭湖半程马拉松激情开跑，此次比赛将赛道设置在风光秀美的花亭湖环湖彩虹道上，巧妙地把湖光山色和皖韵风情有机融合，生动展现了“体育+文旅”的办赛理念．学生小明操控无人机记录下了赵老师在梅河谷附近的段参赛过程．小明在点B处发现在点A处的赵老师以每分钟250米的速度向Q处匀速前进，1分钟后他发现赵老师已经跑到了离他200米的位置点C处． (1)若，请求出的长度； (2)在（1）的条件下，小刚以的速度从点A出发，此时小红在小刚前方90米以的速度匀速前进． ①在小刚追上小红前，经过多少分钟，他俩与小明的距离相等？ ②当小刚追上小红时，求此时小刚与小明之间的距离． 22．（12分）综合实践 项目背景：平面镶嵌是用形状相同或者不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖．一般来说，构成一个平面镶嵌图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状．例如我们铺设地板时经常使用正方形地砖． 实践发现：对于正边形．如果一个内角度数能被整除，那么这样的正边形可以进行平面镶嵌．图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组镶嵌图案．如图3．按照平面镶嵌的条件，正五边形就不能进行平面镶嵌．对于不规则的全等凸五边形，也可以进行平面镶嵌，图4就是利用不规则的凸五边形得到的一种镶嵌图案． 问题解决： (1)图3中的度数为__________； (2)图5是图4中的一个基本图形，其中，求的度数； (3)某中学图书馆准备用正多边形地砖铺设地面，已有正三角形地砖，现打算购买另外一种正多边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合镶嵌．请设计一种共顶点组合镶嵌方案，并说明理由． 23．（14分）如图1，是菱形的对角线，E是上一个动点，连接． (1)求证：； (2)如图2，F是直线上一点，连接，且． （ⅰ）求证：； （ⅱ）当时，如图3，延长交的延长线于点G，探索和之间的数量关系并加以证明． / 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 =。===。=●一一==-===-====。一=-。=。= 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1[/1 一、 单项选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。) 1.A1[B1[CJ[D1 5.[AJ[B][C1[D1 9.[AJ[B][C][D1 2[A][B][C][D] 6.A][B][C][D1 10.A][BJ[C][D] 3.[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4.A][B][CJ[D1 8.[A][B][C][D] 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 11. 12. 13 14. 三、解答题（本题共9小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16. (8分) 17. (8分) 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 19.(10分) ◇ E B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(10分) 21.(12分) B P A C Q 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(14分) G D A E B B 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材沪科版八年级下册第16~19章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．（4分）要使式子有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式和二次根式有意义的条件，列出不等式求解x的取值范围即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得． 2．（4分）将一元二次方程化为一般形式后，其一次项系数与常数项的和为（   ） A．8 B．2 C．-2 D．9 【答案】B 【分析】主要考查一元二次方程的一般形式，将原方程展开并整理成一般形式，确定一次项系数和常数项后求和即可 【详解】解：， ， ， 所以，此方程的一次项系数为 ，常数项为 7，和为 ， 故选：B． 3．（4分）我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查了勾股定理的证明方法，掌握利用两种不同的方法计算同一个图形的面积来验证勾股定理是解题的关键．分别利用两种不同的方法计算各选项中的大正方形或梯形的面积，即可解答． 【详解】解：A、大正方形的面积为，也可以看作4个直角三角形和一个小正方形的面积之和， 则其面积为， ∴，故选项A能证明勾股定理； B、大正方形的面积为，也可以看作2个小长方形和2个小正方形的面积之和， 则其面积为， ∴，故选项B不能证明勾股定理； C、大正方形的面积为，也可以看作4个直角三角形和一个小正方形的面积之和， 则其面积为， ∴，即，故选项C能证明勾股定理； D、梯形的面积为，也可以看作3个直角三角形的面积之和， 则其面积为， ∴，即，故选项D能证明勾股定理． 故选：B． 4．（4分）《安徽省量子科技行业“十五五”规划前景预测研究报告》发布显示，年安徽省量子科技产业规模为亿元，预计到年为亿．设年、年两年产业规模的年平均增长率为，则可列出的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据年平均增长率依次得到年的产业规模表达式，再结合已知条件列出方程即可． 【详解】解：年产业规模为亿元，年平均增长率为， 则年的产业规模为亿元；年的产业规模为 亿元； ∵预计年产业规模为亿元， ∴可列方程． 5．（4分）如图，在平行四边形中，，对角线交于点，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则的长是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由平行四边形性质可得，即为中点，又是的中点，所以是中位线，然后根据中位线定理即可求解，掌握平行四边形的性质，三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，即为中点， ∵是的中点， ∴是中位线， ∴， ∵，点P是的中点， ∴，即． 6．（4分）歙县太白楼，又称太白祠，坐落在黄山市歙县城关练江西岸，位于太平桥头．该建筑依山傍水，古朴典雅，为歙县城区一个具有深厚文化底蕴的人文景观．如图2是太白楼基底层正多边形的部分示意图，其外角为，则该正多边形是（   ） A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形 【答案】C 【分析】考查正多边形外角和．根据正多边形外角和定理求解即可． 【详解】解：设正多边形边数为n，根据正多边形外角和定理得 ， 解得：， 所以该正多边形是正八边形， 故选：C． 7．（4分）已知是方程的一个实数根，则方程 一定有一个实数根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程根的定义，先将代入已知方程得到和的关系式，进而即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个实数根， ∴ ， 整理得， ，即 ， ∴方程 一定有一个实数根是． 8．（4分）如图，在中，，点是的中点，作于点，若，，则（   ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】考查了斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运用斜边上的中线等于斜边的一半得，根据，故设，则，运用勾股定理列式计算，得，算出，再结合勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴， ∵， ∴设，则， 即， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 解得（负值已舍去） ∴， 即， 在中，， 故选：C． 9．（4分）【新考向】如图，在中，为锐角．利用尺规在中作菱形，在如图所示的甲、乙、丙三种方案中，正确的方案是（   ） 甲方案：作的平分线，交于点E，过点E作，则四边形是菱形； 乙方案：连接对角线，作的垂直平分线交于点，则四边形是菱形； 丙方案：分别以点为圆心，以的长为半径画弧，交于点，则四边形是菱形． A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．甲、丙 D．乙、丙 【答案】B 【分析】考查了菱形的判定定理以及平行四边形的性质，解题的关键是根据菱形的判定条件（一组邻边相等的平行四边形是菱形、对角线互相垂直平分的四边形是菱形等），结合平行四边形的性质分析各方案是否能作出菱形． 根据平行四边形对边平行且相等的性质，结合甲方案中角平分线的性质判断四边形是否为邻边相等的平行四边形；依据乙方案中垂直平分线的性质及平行四边形对角线的特点，判断四边形的对角线是否互相垂直平分；分析丙方案中以为半径画弧得到的边是否满足菱形四边相等的条件，进而判断各方案的正确性． 【详解】解：菱形的判定定理为：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形． 分析甲方案： 在平行四边形中， ． ∵平分 ∴． ∵ ∴（内错角相等）， ∴ ∴（等角对等边）． ∵ 且 ∴ ． 又∵ ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行）． ∵ ∴平行四边形是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形），故甲方案正确． 分析乙方案： 在平行四边形中，对角线互相平分，即． ∵是的垂直平分线， ∴且（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）． ∴四边形的对角线互相垂直且平分，故四边形是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形），故乙方案正确． 分析丙方案： 分别以A、C为圆心，长为半径画弧，交于E、交于则． 在平行四边形中，但无法证明且四边形的邻边不一定相等，故不能判定为菱形，丙方案错误． 综上，正确的方案是甲、乙． 故选：B． 10．（4分）如图，矩形中，，，E为边上一动点，为等边三角形，连接，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】如图所示，取的中点G，连接，，根据题意证明出，得到，点F在射线上运动，当时，有最小值，如图所示，过点A作于点H，勾股定理求出，，得到，证明出四边形是矩形，即可得到的最小值为． 【详解】如图所示，取的中点G，连接， ∵矩形中，， ∴ ∴， ∵点G是的中点 ∴ ∴ ∵为等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∴， ∴点F在射线上运动 ∴当时，有最小值 如图所示，过点A作于点H ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴四边形是矩形 ∴ ∴的最小值为． 故选：B． 二、填空题（共20分） 11．（5分）若与最简二次根式可以合并，则______． 【答案】4 【分析】考查同类二次根式、最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 先将进行化简，再根据同类二次根式的定义进行解题即可． 【详解】解：依题意，， ∵与最简二次根式可以合并， ∴， ∴． 故答案为：4． 12．（5分）已知一个多边形的内角和比外角和的3倍多，则这个多边形的边数是__________． 【答案】9/九 【分析】考查了多边形内角和公式与外角和公式，设出多边形的边数并掌握公式是解决的关键． 设出多边形的边数n，由多边形的内角和公式“（n为边数，且n为整数）”再结合多边形外角和定理是任意多边形的外角和都为，由题目已知条件建立等式即可求解． 【详解】解：设多边形的边数n， ∴多边形的内角和为， ∵任意多边形的外角和都为， 且一个多边形的内角和比外角和的3倍多， ∴， 整理可得， 解得， ∴这个多边形的边数是9． 故答案为：9 ． 13．（5分）已知，斜边，面积等于3，则___________． 【答案】5 【分析】主要考查直角三角形的面积公式，勾股定理，以及代数中完全平方公式的应用． 利用面积公式建立直角边乘积的关系式，利用勾股定理建立直角边平方和的关系式，再通过完全平方公式将两式结合，求出两直角边的和． 【详解】解：设两条直角边分别为和， 则：，即，， 由完全平方公式：， 故（负值已舍去）． 即， 故答案为：5． 14．（5分）如图，边长为2的正方形的对角线相交于点O，点E是边上的动点，连接并延长交的延长线于点P，过点O作交于点F，交延长线于点Q，连接． （1）的度数为________； （2）若点E恰好是中点时，则的长度为________． 【答案】 /45度 【分析】作于H，由正方形的性质可以证明得到，因此是等腰直角三角形，得到，由等腰直角三角形的性质求出，的长，由勾股定理求出的长，即可得到的长． 【详解】解：作于，连接， ∵四边形是正方形， ∴和是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∵，点是中点 ∴，，， ∴，则， ∴， ∴． 三、解答题（共90分） 15．（8分）计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据二次根式的乘除法法则，乘方进行计算，再加减即可； （2）根据平方差和完全平方公式计算，再根据二次根式的加减法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 16．（8分）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根是1，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系求解即可； （2）将方程的根代入方程求出，再利用整体代入法求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵方程有一个根是 ∴，即， ∴． 17．（8分）如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图，并保留作图痕迹． (1)在图1中，找一点，使得以为顶点的四边形为平行四边形； (2)在图2中，作的中垂线，使得点在格点上，与交于点，标出点即可（不写作法，保留作图痕迹）；你所作出的线段长为______． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析， 【分析】考查无刻度的直尺作图问题，平行四边形的判定，中垂线的定义，根据图中的信息求得线段，和画出线段的中垂线是解题的关键． （1）由图可知，过点找到，且，即可求得结果； （2）以为斜边，构造直角三角形，根据直角三角形在网格线的位置，可以作出中位线交于点，依次构造直角三角形和直角三角形，两直角三角形有公共点格点，且斜边相等，连接交，即为所作线段的中垂线；再构造直角三角形，根据勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：如图所示：四边形即为所求的平行四边形． 理由：由图可知，过点找到，且， ，， 四边形是平行四边形． （2）解：如图所示：为所作的中垂线． 由图可知，构造直角三角形，如图， ，， ． 故答案为：． 18．（8分）已知：整式，且整式． (1)若，求整式和的值． (2)小明同学发现：以整式A、B、C为边长的三角形为直角三角形．你认为小明同学的发现正确吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)正确，见解析 【分析】（1）根据列方程求出的取值，再代入整式计算得到和的值． （2）利用勾股定理的逆定理，分别计算三个整式的平方，验证是否满足两条边的平方和等于最长边的平方，即可判断结论是否正确． 【详解】（1）解：已知， 得 整理得 解得 把代入，得 当时， 当时，(舍去) 综上，， （2）正确，理由如下： ，，，且 以、、为边长的三角形满足勾股定理的逆定理，是直角三角形因此小明同学的发现正确． 19．（10分）如图，菱形中，对角线，交于点，点是的中点，延长到点，使，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】 考查平行四边形的判定、菱形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、含的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定与性质是解答的关键． （1）先证明四边形为平行四边形，再根据菱形的性质得到，然后根据矩形的判定可证得结论； （2）根据矩形的对角线相等求得，再根据菱形的性质和勾股定理求出对角线，的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半求解即可． 【详解】（1） 证明：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴四边形是矩形； （2） ∵四边形是矩形，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形的面积为． 20．（10分）综合与实践： 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1：某农户承包了一块长方形果园，如图是果园的平面图，其中米，米，准备在果园的四周铺设道路，上下两条横向道路（沿方向）的宽度都为米，左右两条纵向道路（沿方向）的宽度都为米，道路围合的中间矩形区域为种植园区（如图中阴影区域）．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过7米，且不小于3米． 素材2：该农户在种植园区种植草莓，市场调研信息：草莓培育一年可产果，若每平方米草莓的月销售利润为40元，每月可销售出800平方米种植面积对应的草莓产量（即月销售覆盖800平方米的种植面积）．受天气原因，农户决定降价促销，若每平方米的草莓月利润每下调1元，每月可多销售50平方米种植面积对应的草莓产量，果园每月的承包费为1000元． 问题解决 (1)种植园区的长为______米，宽为______米；（用含的代数式表示） (2)若种植园区的面积为11200平方米，道路设置的宽度是否符合要求？请说明理由． (3)若农户预期一个月的总利润为35000元，为让客户得到实惠，每平方米草莓的月利润应该下调多少元？（总利润销售利润承包费） 【答案】(1)， (2)符合要求，理由见解析 (3)20元 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出，即可得到答案； （3）设每平方米草莓的月利润应该下调元，由题意即可得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：种植园区的长为米，宽为米； （2）解：符合要求． 理由如下， ， 整理得，， 解得，，． 道路宽度不超过7米，且不小于3米， ，即道路设置的宽度符合要求； （3）解：设每平方米草莓的月利润应该下调元， ， 整理得，， 解得，，． 让客户得到实惠， 每平方米草莓的月利润应该下调20元． 21．（12分）【新情境】3月16日，安徽太湖花亭湖半程马拉松激情开跑，此次比赛将赛道设置在风光秀美的花亭湖环湖彩虹道上，巧妙地把湖光山色和皖韵风情有机融合，生动展现了“体育+文旅”的办赛理念．学生小明操控无人机记录下了赵老师在梅河谷附近的段参赛过程．小明在点B处发现在点A处的赵老师以每分钟250米的速度向Q处匀速前进，1分钟后他发现赵老师已经跑到了离他200米的位置点C处． (1)若，请求出的长度； (2)在（1）的条件下，小刚以的速度从点A出发，此时小红在小刚前方90米以的速度匀速前进． ①在小刚追上小红前，经过多少分钟，他俩与小明的距离相等？ ②当小刚追上小红时，求此时小刚与小明之间的距离． 【答案】(1)的长度为150米 (2)①经过0.2分钟，小刚与小红所在的位置与小明的距离相等；②此时小刚与小明的距离为米 【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论； （2）①设小刚的位置为点M，小红的位置为点N，过点B作，根据勾股定理得到（米），当时，点M和点N在H点异侧，且，设时间为t分钟，则米，根据题意得（米），于是得到结论； ②设经过t分钟，小刚追上小红，则，求得（米），由①可知，米，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意知（米），米， ， ， （米） 答：的长度为150米； （2）解：①设小刚的位置为点M，小红的位置为点N，过点B作， ， ，解得 当时，点M和点N在H点异侧，且， 设时间为t分钟，则米， 根据题意得（米）， ，解得， 经过0.2分钟，小刚与小红所在的位置与小明的距离相等． ②设经过t分钟，小刚追上小红，则，解得， 此时，（米）， 由①可知，米， （米）， ， ， （米）． 此时小刚与小明的距离为米． 22．（12分）综合实践 项目背景：平面镶嵌是用形状相同或者不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖．一般来说，构成一个平面镶嵌图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状．例如我们铺设地板时经常使用正方形地砖． 实践发现：对于正边形．如果一个内角度数能被整除，那么这样的正边形可以进行平面镶嵌．图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组镶嵌图案．如图3．按照平面镶嵌的条件，正五边形就不能进行平面镶嵌．对于不规则的全等凸五边形，也可以进行平面镶嵌，图4就是利用不规则的凸五边形得到的一种镶嵌图案． 问题解决： (1)图3中的度数为__________； (2)图5是图4中的一个基本图形，其中，求的度数； (3)某中学图书馆准备用正多边形地砖铺设地面，已有正三角形地砖，现打算购买另外一种正多边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合镶嵌．请设计一种共顶点组合镶嵌方案，并说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)正三角形和正方形能密铺，理由见解析（答案不唯一） 【分析】考查了多边形内角和及平面图形的镶嵌，两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360度． （1）根据多边形内角和求解即可； （2）根据多边形内角和求解即可； （3）根据题意，采用正方形和等边三角形进行密铺即可，利用围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，即可得到答案． 【详解】（1）解：正五边形的每个内角的度数为：， ∴， 故答案为：； （2）∵图5是五边形， ∴内角和为：， ∴； （3）正三角形和正方形能密铺，理由如下： 正三角形的每个内角是，正方形的每个内角是， ， 正三角形和正方形能密铺． 23．（14分）如图1，是菱形的对角线，E是上一个动点，连接． (1)求证：； (2)如图2，F是直线上一点，连接，且． （ⅰ）求证：； （ⅱ）当时，如图3，延长交的延长线于点G，探索和之间的数量关系并加以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ），证明见解析 【分析】对于（1），根据菱形的性质可知，再根据“边角边”证明，可得答案； 对于（2）（ⅰ），延长交于点G，可得，由（1）可知，再根据旋转得，即可得，然后根据三角形外角的性质得； 对于（2）（ⅱ），根据题意可知四边形是正方形，可得，由（2）①可知， 再根据，可得，然后根据直角三角形的两个锐角互余得，得出，进而得出，可知是线段的垂直平分线，接下来根据线段垂直平分线的性质得，再根据“斜边，直角边”证明，最后根据全等三角形的对应边相等得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴； （2）解：（ⅰ）延长交于点G， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 由（1）可知， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴ ； （ⅱ），证明如下： 如图所示，连接， ∵四边形是菱形，且， ∴四边形是正方形， ∴． 由（2）（ⅰ）可知，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴． ∵， ∴， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B B A B C B C B B 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．4 12．9/九 13．5 14．/45度 三、解答题：本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分。 15．【详解】（1）解：原式 ．（4分） （2）解：原式 ．（8分） 16．【详解】（1）证明：∵， ∴无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（4分） （2）解：∵方程有一个根是 ∴，即， ∴．（8分） 17．【详解】（1）解：如图所示：四边形即为所求的平行四边形． 理由：由图可知，过点找到，且， ，， 四边形是平行四边形．（4分） （2）解：如图所示：为所作的中垂线． 由图可知，构造直角三角形，如图， ，， ． 故答案为：．（8分） 18．【详解】（1）解：已知， 得 整理得 解得 把代入，得 当时， 当时，(舍去) 综上，，（4分） （2）正确，理由如下： ，，，且 以、、为边长的三角形满足勾股定理的逆定理，是直角三角形因此小明同学的发现正确．（8分） 19．【详解】（1）证明：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴四边形是矩形；（5分） （2）∵四边形是矩形，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形的面积为．（10分） 20．【详解】（1）解：种植园区的长为米，宽为米；（2分） （2）解：符合要求． 理由如下， ， 整理得，， 解得，，． 道路宽度不超过7米，且不小于3米， ，即道路设置的宽度符合要求；（6分） （3）解：设每平方米草莓的月利润应该下调元， ， 整理得，， 解得，，． 让客户得到实惠， 每平方米草莓的月利润应该下调20元．（10分） 21．【详解】（1）解：由题意知（米），米， ， ， （米） 答：的长度为150米；（4分） （2）解：①设小刚的位置为点M，小红的位置为点N，过点B作， ， ，解得 当时，点M和点N在H点异侧，且， 设时间为t分钟，则米， 根据题意得（米）， ，解得， 经过0.2分钟，小刚与小红所在的位置与小明的距离相等．（8分） ②设经过t分钟，小刚追上小红，则，解得， 此时，（米）， 由①可知，米， （米）， ， ， （米）． 此时小刚与小明的距离为米．（12分） 22．【详解】（1）解：正五边形的每个内角的度数为：， ∴， 故答案为：；（3分） （2）∵图5是五边形， ∴内角和为：， ∴；（7分） （3）正三角形和正方形能密铺，理由如下： 正三角形的每个内角是，正方形的每个内角是， ， 正三角形和正方形能密铺．（12分） 23．【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴；（4分） （2）解：（ⅰ）延长交于点G， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 由（1）可知， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴ ；（9分） （ⅱ），证明如下： 如图所示，连接， ∵四边形是菱形，且， ∴四边形是正方形， ∴． 由（2）（ⅰ）可知，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴． ∵， ∴， ∴．（14分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材沪科版八年级下册第16~19章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．（4分）要使式子有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（4分）将一元二次方程化为一般形式后，其一次项系数与常数项的和为（   ） A．8 B．2 C．-2 D．9 3．（4分）我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 4．（4分）《安徽省量子科技行业“十五五”规划前景预测研究报告》发布显示，年安徽省量子科技产业规模为120亿元，预计到年为亿．设年、年两年产业规模的年平均增长率为，则可列出的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（4分）如图，在平行四边形中，，对角线交于点，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则的长是（   ） A．1 B． C．2 D． 6．（4分）【新情境】歙县太白楼，又称太白祠，坐落在黄山市歙县城关练江西岸，位于太平桥头．该建筑依山傍水，古朴典雅，为歙县城区一个具有深厚文化底蕴的人文景观．如图2是太白楼基底层正多边形的部分示意图，其外角为，则该正多边形是（   ） A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形 7．（4分）已知是方程的一个实数根，则方程 一定有一个实数根是（   ） A． B． C． D． 8．（4分）如图，在中，，点是的中点，作于点，若，，则（   ） A． B．5 C． D． 9．（4分）【新考向】如图，在中，为锐角．利用尺规在中作菱形，在如图所示的甲、乙、丙三种方案中，正确的方案是（   ） 甲方案：作的平分线，交于点E，过点E作，则四边形是菱形； 乙方案：连接对角线，作的垂直平分线交于点，则四边形是菱形； 丙方案：分别以点为圆心，以的长为半径画弧，交于点，则四边形是菱形． A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．甲、丙 D．乙、丙 10．（4分）如图，矩形中，，，E为边上一动点，为等边三角形，连接，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．（5分）若与最简二次根式可以合并，则______． 12．（5分）已知一个多边形的内角和比外角和的3倍多，则这个多边形的边数是__________． 13．（5分）已知，斜边，面积等于3，则___________． 14．（5分）如图，边长为2的正方形的对角线相交于点O，点E是边上的动点，连接并延长交的延长线于点P，过点O作交于点F，交延长线于点Q，连接． （1）的度数为________； （2）若点E恰好是中点时，则的长度为________． 三、解答题：本题共9小题，共90分。其中：15-18每题8分，19-20题每题10分，21-22题每题12分，23题14分。 15．（8分）计算： (1)． (2) 16．（8分）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根是1，求的值． 17．（8分）如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图，并保留作图痕迹． (1)在图1中，找一点，使得以为顶点的四边形为平行四边形； (2)在图2中，作的中垂线，使得点在格点上，与交于点，标出点即可（不写作法，保留作图痕迹）；你所作出的线段长为______． 18．（8分）已知：整式，且整式． (1)若，求整式和的值． (2)小明同学发现：以整式A、B、C为边长的三角形为直角三角形．你认为小明同学的发现正确吗？请说明理由． 19．（10分）如图，菱形中，对角线，交于点，点是的中点，延长到点，使，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 20．（10分）综合与实践： 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1：某农户承包了一块长方形果园，如图是果园的平面图，其中米，米，准备在果园的四周铺设道路，上下两条横向道路（沿方向）的宽度都为米，左右两条纵向道路（沿方向）的宽度都为米，道路围合的中间矩形区域为种植园区（如图中阴影区域）．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过7米，且不小于3米． 素材2：该农户在种植园区种植草莓，市场调研信息：草莓培育一年可产果，若每平方米草莓的月销售利润为40元，每月可销售出800平方米种植面积对应的草莓产量（即月销售覆盖800平方米的种植面积）．受天气原因，农户决定降价促销，若每平方米的草莓月利润每下调1元，每月可多销售50平方米种植面积对应的草莓产量，果园每月的承包费为1000元． 问题解决 (1)种植园区的长为______米，宽为______米；（用含的代数式表示） (2)若种植园区的面积为11200平方米，道路设置的宽度是否符合要求？请说明理由． (3)若农户预期一个月的总利润为35000元，为让客户得到实惠，每平方米草莓的月利润应该下调多少元？（总利润销售利润承包费） 21．（12分）【新情境】3月16日，安徽太湖花亭湖半程马拉松激情开跑，此次比赛将赛道设置在风光秀美的花亭湖环湖彩虹道上，巧妙地把湖光山色和皖韵风情有机融合，生动展现了“体育+文旅”的办赛理念．学生小明操控无人机记录下了赵老师在梅河谷附近的段参赛过程．小明在点B处发现在点A处的赵老师以每分钟250米的速度向Q处匀速前进，1分钟后他发现赵老师已经跑到了离他200米的位置点C处． (1)若，请求出的长度； (2)在（1）的条件下，小刚以的速度从点A出发，此时小红在小刚前方90米以的速度匀速前进． ①在小刚追上小红前，经过多少分钟，他俩与小明的距离相等？ ②当小刚追上小红时，求此时小刚与小明之间的距离． 22．（12分）综合实践 项目背景：平面镶嵌是用形状相同或者不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖．一般来说，构成一个平面镶嵌图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状．例如我们铺设地板时经常使用正方形地砖． 实践发现：对于正边形．如果一个内角度数能被整除，那么这样的正边形可以进行平面镶嵌．图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组镶嵌图案．如图3．按照平面镶嵌的条件，正五边形就不能进行平面镶嵌．对于不规则的全等凸五边形，也可以进行平面镶嵌，图4就是利用不规则的凸五边形得到的一种镶嵌图案． 问题解决： (1)图3中的度数为__________； (2)图5是图4中的一个基本图形，其中，求的度数； (3)某中学图书馆准备用正多边形地砖铺设地面，已有正三角形地砖，现打算购买另外一种正多边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合镶嵌．请设计一种共顶点组合镶嵌方案，并说明理由． 23．（14分）如图1，是菱形的对角线，E是上一个动点，连接． (1)求证：； (2)如图2，F是直线上一点，连接，且． （ⅰ）求证：； （ⅱ）当时，如图3，延长交的延长线于点G，探索和之间的数量关系并加以证明． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ ( 11 ) 2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )答题卡 ( 单项 选择题 （ 本题共 1 0 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ） 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二 、填空题 （ 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． ） 1 1 . ________________ 1 3 . ________________ 1 2 . ________________ 1 4 . _______ _______ 三 、解答题 （ 本题共 9 小题，共 90 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ） 1 5 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 16 ．（ 8 分） 17 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ．（ 8 分） 19 ． （ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 0 ．（ 10 分） 2 1 ．（ 12 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 2 ．（ 12 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 3 ．（1 4 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $