精品解析：安徽省六安市金安区汇文中学2024-2025学年八年级下学期定时作业数学试卷（二）

2024－2025学年安徽省六安市金安区汇文中学八年级（下）定时作业 数学试卷（二） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. （x﹣1）（x+2）＝1 D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中，正确的是 （ ） A. ； B. ； C ； D. . 5. 若在实数范围内有意义，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 且 6. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 将方程x2-6x+3=0左边配成完全平方式，得到的方程是（     ） A. （x-3）2=-3                     B. （x-3）2=6                     C. （x-3）2=3                     D. （x-3）2=12 8. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 总有实数根 9. 若，其中为整数，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如果非零实数a是一元二次方程x2－5x＋m＝0的一个根，－a是方程x2＋5x－m＝0的一个根，那么a的值等于( ) A. 0 B. 1 C. D. 5 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 若最简根式与是同类二次根式，则_______． 12. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为______． 13. 若关于的一元二次方程的一个实根的倒数恰是它本身，则的值为____． 14. 新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同类方程”．如与是“同类方程”． （1）与是“同类方程”，则______； （2）现有关于x的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是________． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1） （2） 16. 解方程： （1） （2） 17. 已知，，求下列代数式的值： （1）； （2）． 18. 已知长方形长a＝，宽b＝． ①求长方形的周长； ②求与长方形等面积的正方形的周长，并比较长方形周长与正方形周长大小关系． 19. 已知关于x方程＋ax＋a－2＝0． (1)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； (2)若该方程有一根是－2，求另一根． 20. 观察，猜想，证明． 观察下列的等式 ① ；②；③… （1）发现上述3个等式的规律，猜想第5个等式并进行验证； （2）写出含字母n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并写出证明过程． 21. 已知关于 x 的一元二次方程 x2+3x﹣m＝0 有实数根． (1)求m的取值范围 (2)若两实数根分别为x1和 x2，且x12+x22＝11，求 m 值． 22. 某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26米， （1）为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？ （2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？ 23. 请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：________． （2）已知方程，求一个一元二次方程，使它根分别是已知方程根的倒数． （3）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求一元二次方程的两根．（直接写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年安徽省六安市金安区汇文中学八年级（下）定时作业 数学试卷（二） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、含有开得尽方的因数，故不是最简二次根式，故符合题意； B、是最简二次根式，故不符合题意； C、是最简二次根式，故不符合题意； D、是最简二次根式，故不符合题意； 故选：A． 2. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. （x﹣1）（x+2）＝1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行判断即可． 【详解】解：A．不是整式方程，故此选项不合题意； B．当a、b、c均为常数，而a=0时，不是一元二次方程，故此选项不合题意； C．它是一元二次方程，故此选项符合题意； D．整理后方程为：，不是一元二次方程，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住： 化简后的方程：含有“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据二次根式的意义求出n，再求出m，最后根据负整数指数幂的运算法则得到最终解答． 【详解】解：由题意可得： 2n-5=5-2n=0， ∴m=0+0+2=2， ∴n-m= 故选A． 【点睛】本题考查二次根式和负整数指数幂的综合应用，熟练掌握二次根式有意义的条件及负整数指数幂的计算方法是解题关键．　 4. 下列各式中，正确的是 （ ） A. ； B. ； C. ； D. . 【答案】B 【解析】 【详解】A. ，此项错误 B.-=-5此项正确 C. 此项错误 D. 此项错误， 故选B 考点：平方根 点评：本题难度较低，主要考查学生对平方根的学习．为易错题．常在正负符号上出错． 5. 若在实数范围内有意义，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握分式分母不为0，二次根式被开方数为非负数．据此即可解答． 【详解】解：根据题意可得： ， 解得：且， 故选：D． 6 若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，由题意可得，，再利用二次根式的性质化简即可得解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：A． 7. 将方程x2-6x+3=0左边配成完全平方式，得到的方程是（     ） A. （x-3）2=-3                     B. （x-3）2=6                     C. （x-3）2=3                     D. （x-3）2=12 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：移项，得x2－6x＝－3， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方(－3)2，得 x2－6x＋(－3)2＝－3＋(－3)2， 即(x－3)2＝6． 故选B． 点睛：配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 8. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 总有实数根 【答案】D 【解析】 【详解】∵△=b2−4ac=(k−1)2−4×(−k)=(k+1)2⩾0， ∴方程总有两个实数根． 故选D. 点睛：本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.解题关键是把判别式△转化成完全平方式与一个正数的和的形式，才能判断出它的正负性.总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△>0，﹤=﹥方程有两个不相等的实数根；（2）△=0，﹤=﹥方程有两个相等的实数根；（3）△<0，﹤=﹥方程没有实数根. 9. 若，其中为整数，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先计算二次根式的减法，然后进行无理数的估算，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，以及无理数的估算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 10. 如果非零实数a是一元二次方程x2－5x＋m＝0一个根，－a是方程x2＋5x－m＝0的一个根，那么a的值等于( ) A. 0 B. 1 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到a2-5a+m=0，a2-5a-m=0，把两式相加得2a2-10a=0，然后解关于a的一元二次方程即可得到满足条件的a的值． 【详解】由题意得：a2-5a+m=0，a2-5a-m=0， 所以2a2-10a=0， 解得a1=0（舍去），a2=5， 所以a的值为5， 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及解一元二次方程，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 若最简根式与是同类二次根式，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由同类二次根式的定义，得到，解方程，然后结合最简二次根式的定义，即可得到答案． 【详解】解：∵最简根式与是同类二次根式， ∴， 整理，可得， 解得 或， 当时，，不是最简二次根式，舍去； 当，，是最简二次根式，符合题意， 所以，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义、最简二次根式的定义以及解一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握相关定义，正确求出一元二次方程的解． 12. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：关于的方程有两个实数根， ， 解得：， ， ， 的取值范围为且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式，列出关于的一元一次不等式组是解题的关键． 13. 若关于的一元二次方程的一个实根的倒数恰是它本身，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】由根与系数关系可得：x1+x2=-p，x1•x2=1，又知个实数根的倒数恰是它本身，则该实根为1或-1，然后把±1分别代入两根之和的形式中就可以求出p的值． 【详解】由根与系数的关系可得： x1+x2=-p，x1•x2=1， 又知个实数根的倒数恰是它本身， 则该实根为1或-1， 若是1时，即1+x2=-p，而x2=1，解得p=-2； 若是-1时，则p=2． 故答案为. 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要会把代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可． 14. 新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同类方程”．如与是“同类方程”． （1）与是“同类方程”，则______； （2）现有关于x的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是________． 【答案】 ①. ②. 6 【解析】 【分析】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组，理解“同类方程”的定义是解答本题的关键． （1）根据“同类方程”的定义，可得出b的值． （2）根据“同类方程”的定义，可得出a，b的值，从而解得代数式的最大值． 【详解】解：（1）与是“同类方程”， 即与是“同类方程”， ∴， 解得， 故答案为： （2）∵与是“同类方程”， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴ ∴当时，取得最大值为6． 故答案为：6． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟记二次根式运算法则，准确应用公式进行计算． （1）先化简二次根式，再加减即可； （2）先运用乘法公式个除法进行计算，再加减即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）该方程没有实数根 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 ∴或 ，； 【小问2详解】 ， ， ，，， 该方程没有实数根． 17. 已知，，求下列代数式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）求出、的值，再代入代数式计算即可求解； （）求出、的值，再利用完全平方公式的变形运算求出的值，把、的值代入代数式通分后的结果中计算即可求解； 本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：，， ，， ； 【小问2详解】 解：，， ，， ， ． 18. 已知长方形长a＝，宽b＝． ①求长方形的周长； ②求与长方形等面积的正方形的周长，并比较长方形周长与正方形周长大小关系． 【答案】①6；②正方形的周长为4，长方形的周长大于正方形的周长． 【解析】 【分析】①根据长方形的周长公式列出算式，然后根据二次根式混合运算的运算法则进行计算即可； ②先求出正方形的边长，然后利用周长公式进行求解即可. 【详解】①长方形的周长为2×()＝2×(2+)＝6； ②长方形的面积为＝2×＝6， 则正方形边长为， ∴此正方形的周长为4， ∵6＝，4＝，且＞， ∴6＞4， 则长方形的周长大于正方形的周长． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，实数大小比较等，熟练掌握相关知识和运算法则以及求解方法是解题的关键. 19. 已知关于x的方程＋ax＋a－2＝0． (1)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； (2)若该方程有一根是－2，求另一根． 【答案】（1）详见解析；（2）0. 【解析】 【详解】试题分析：（1）计算△的值，使△的值大于0即可证得结论；（2）利用根与系数的关系即可求解. 试题解析： (1)证明：∵在方程＋ax＋a－2＝0中，△＝－4a＋8＝＋4＞0， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； (2)解：设方程的两根分别为 、， 当＝－2时，4－2a＋a－2＝0，解得：a＝2． ∵ ＝－a＝－2，∴＝0． ∴若该方程有一根是－2，则另一根为0． 20. 观察，猜想，证明． 观察下列的等式 ① ；②；③… （1）发现上述3个等式的规律，猜想第5个等式并进行验证； （2）写出含字母n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并写出证明过程． 【答案】(1)见解析；（2），理由见解析 【解析】 【详解】试题分析:(1)根据二次根式规律即可求解,(2)根据二次根式规律可写出等式. 试题解析: （1）猜想:, 验证:右边==左边, （2）第n﹣1个等式:, 证明:右边==左边. 21. 已知关于 x 的一元二次方程 x2+3x﹣m＝0 有实数根． (1)求m的取值范围 (2)若两实数根分别为x1和 x2，且x12+x22＝11，求 m 的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）因为方程有实数根，所以根的判别式要大于等于0，即△≥0，据此即可求出m的取值范围；（2）根据一元二次方程根与系数的关系，将x1+x2= -3、x1x2=﹣m代入x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1•x2=11，解关于m的方程即可． 【详解】（1）∵关于x的一元二次方程 x2+3x﹣m=0有实数根， ∴△=b2﹣4ac=32+4m≥0， 解得：m≥ ； （2）∵x1+x2=﹣3、x1x2=﹣m， ∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=11， ∴（﹣3）2+2m=11， 解得：m=1． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系. 22. 某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26米， （1）为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？ （2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？ 【答案】（1）长为10米，宽为8米；（2）小路的宽为1米． 【解析】 【分析】（1）设与墙垂直的一面为x米，然后可得另两面则为（26﹣2x+2）米，然后利用其面积为80，列出方程求解即可； （2）设小路的宽为a米，利用去掉小路的面积为54平米列出方程求解即可得到答案． 【详解】解：（1）设与墙垂直的一面为x米，另一面则为（26﹣2x+2）米 根据题意得： 整理得： 解得或， 当x＝4时，28﹣2x＝20＞12，不符合题意，舍去 当x＝10时，28﹣5x＝8＜12，符合题意 ∴长为10米，宽为8米． （2）设宽为a米，根据题意得：（8﹣2a）（10﹣a）＝54， a2﹣14a+13＝0， 解得：a＝13＞10（舍去），a＝1， 答：小路的宽为1米． 【点睛】此题考查了一元二次方程与几何图形面积的应用，理解题意找到题中的等量关系是解题的关键． 23. 请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：________． （2）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． （3）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求一元二次方程的两根．（直接写出结果） 【答案】（1） （2） （3）4、 【解析】 【分析】（1）利用题中解法，设所求方程的根为y，则，所以，然后把代入已知方程得； （2）设所求方程的根为y，则，所以．然后把代入已知方程得．再化成整式方程即可． （3）把一元二次方程变形为，再与方程比较可得解． 【小问1详解】 设所求方程的根为y，则， 所以， 把代入已知方程，得． 化简得， 故所求方程为， 故答案为：； 【小问2详解】 设所求方程的根是y，则，所以， 把代入方程，得， 化简，得； 【小问3详解】 一元二次方程整理度可得：， ∵令 ∴ 则方程的两根比两根大1， 所以方程的两根分别是4、 【点睛】本题是一道材料题，考查了一元二次方程的应用，以及解法，是一种新型问题，要熟练掌握． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$